Matemáticas de Selectividad

Considera las rectas 𝑟≡𝑥1=𝑦−2−1=𝑧−𝑘2y𝑠≡𝑥+2−1=𝑦+32=𝑧−11.

1. Determina 𝑘 sabiendo que ambas se cortan en un punto.
2. Para 𝑘 =0, halla la ecuación general del plano que contiene a 𝑟 y es paralelo a 𝑠.

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas (2,0) de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =√𝑥+1. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

Sea la función 𝑓 :( −1,1) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1+|𝑥|1−|𝑥|.

1. Estudia la derivabilidad de 𝑓.
2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Se considera la matriz 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ con determinante igual a -5.

1. Calcula ∣𝑎11𝑎312𝑎213𝑎123𝑎326𝑎222𝑎132𝑎334𝑎23∣.
2. Calcula ∣2𝑎11−3𝑎312𝑎12−3𝑎324𝑎13−6𝑎33𝑎21𝑎222𝑎23𝑎31𝑎322𝑎33∣.

Sean las matrices 𝐴=(𝑎3𝑏1)y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina 𝑎 y 𝑏 para que 𝐴2 =4𝐼, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 2.
2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, calcula, si es posible, la matriz 𝑋 que cumple 𝐴2𝑋 =𝐵𝑡.

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = −𝑒𝑥 y 𝑔(𝑥) = −𝑒−𝑥.

1. Esboza las gráficas de dichas funciones.
2. Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas 𝑥 = −1 y 𝑥 =1.

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media 200 gramos y desviación típica desconocida.

1. Si el 33% de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.
2. Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesen entre 160 y 220 gramos.