Ejercicios de ciencias

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2025

Sean las matrices $𝐴 = (2234) y 𝐵 = (3122) .$

Halla razonadamente el determinante de una matriz $𝑋$ que verifica $𝑋 3 𝐴 𝑋 2 = 𝐵 2$ .
Determina, si existe, una matriz $𝑌$ que verifique $𝐴 3 𝑌 𝐵 - 1 = 𝐴 2$ .

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2025

Sean las matrices $𝐴 = (𝑎 3 𝑏 1) y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 - 1 2 11 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina $𝑎$ y $𝑏$ para que $𝐴 2 = 4 𝐼$ , donde $𝐼$ es la matriz identidad de orden 2.
Para $𝑎 = - 1$ y $𝑏 = 1$ , calcula, si es posible, la matriz $𝑋$ que cumple $𝐴 2 𝑋 = 𝐵 𝑡$ .

Ejercicio 5: Junio de 2024

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11818010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula $𝐴 2024 .$
Halla la matriz $𝑋$ , si es posible, que verifica $𝐴 2 𝑋 𝐴 + 𝐼 = 𝑂$ , donde $𝐼$ y $𝑂$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

Resolución

Calculamos las primeras potencias de $𝐴 .$ $𝐴 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12828010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐴 3 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 13838010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐴 4 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 14848010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝐴 2024 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12024820248010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1253253010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ ∣ ∣ ∣ 11818010001 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 .$ Como $d e t (𝐴) \neq 0$ , la matriz $𝐴 3$ es invertible con $d e t (𝐴 3) = 1 .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝐴 2 𝑋 𝐴 + 𝐼 = 𝑂 \Leftrightarrow 𝐴 2 𝑋 𝐴 = - 𝐼 \Leftrightarrow 𝑋 = - 𝐴 - 2 𝐴 - 1 = - 𝐴 - 3 .$ Para hallar la inversa de $𝐴 3$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴 3) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 - 38 10 - 38 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 3 = 1 | 𝐴 3 | A d j (𝐴 3) 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 38 - 38 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = - 𝐴 3 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 3838 0 - 1 0 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2024

Considera las matrices $𝐴 = (13 - 2 5), 𝑀 = (0111)$ e $𝐼$ la identidad de orden 2.

Sabiendo que $𝐴$ verifica la identidad $(𝐴 + 𝑎 𝐼) 2 = 𝑏 𝐼$ , halla $𝑎$ y $𝑏 .$
Resuelve la ecuación $𝑀 𝑋 + 𝑀 2 = 𝐼 .$

Resolución

En primer lugar, calculamos $(𝐴 + 𝑎 𝐼) 2 .$ $(𝐴 + 𝑎 𝐼) 2 = [(13 - 2 5) + (𝑎 0 0 𝑎)] 2 = (𝑎 + 1 3 - 2 𝑎 + 5) 2 = ((𝑎 + 1) 2 - 6 3 (𝑎 + 1) + 3 (𝑎 + 5) - 2 (𝑎 + 1) - 2 (𝑎 + 5) (𝑎 + 5) 2 - 6) = = ((𝑎 + 1) 2 - 6 6 𝑎 + 18 - 4 𝑎 - 12 (𝑎 + 5) 2 - 6) .$ Así que: $(𝐴 + 𝑎 𝐼) 2 = 𝑏 𝐼 \Leftrightarrow ((𝑎 + 1) 2 - 6 6 𝑎 + 18 - 4 𝑎 - 12 (𝑎 + 5) 2 - 6) = (𝑏 0 0 𝑏) \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ (𝑎 + 1) 2 - 6 = 𝑏, 6 𝑎 + 18 = 0, - 4 𝑎 - 12 = 0, (𝑎 + 5) 2 - 6 = 𝑏 .$ Resolvemos el sistema. $6 𝑎 + 18 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = - 3, - 4 𝑎 - 12 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = - 3, (𝑎 + 1) 2 - 6 = 𝑏 𝑎 = - 3 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑏 = - 2, (𝑎 + 5) 2 - 6 = 𝑏 𝑎 = - 3 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑏 = - 2 .$ Por tanto, $𝑎 = - 3$ y $𝑏 = - 2 .$
En primer lugar, hallamos el determinante de la matriz $𝑀 .$ $∣ 0111 ∣ = - 1 .$ Como $d e t (𝑀) \neq 0$ , la matriz $𝑀$ es invertible. Despejamos la ecuación matricial. $𝑀 𝑋 + 𝑀 2 = 𝐼 \Leftrightarrow 𝑀 𝑋 = 𝐼 - 𝑀 2 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝑀 - 1 (𝐼 - 𝑀 2) = 𝑀 - 1 - 𝑀 .$ Para hallar la inversa de $𝑀$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝑀) = (1 - 1 - 1 0) .$ De esta forma, calculamos su inversa como: $𝑀 - 1 = 1 | 𝑀 | A d j (𝑀) 𝑡 = - (1 - 1 - 1 0) = (- 1 1 10) .$ Por tanto, $𝑋 = 𝑀 - 1 - 𝑀 = (- 1 1 10) - (0111) = (- 1 0 0 - 1) .$

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2024

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 0 720001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2010101900 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula los determinantes de las matrices $((𝐴 𝐵) 5) - 1$ y $27 𝐴 𝐵 6 .$
Halla la matriz $𝑋$ , si es posible, que verifica que $𝐴 𝑋 𝐵 = 9 𝐼$ , donde $𝐼$ es la matriz identidad de orden 3.

Resolución

En primer lugar, hallamos los determinantes de las matrices $A$ y $B.$ $|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 9, \quad |B| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{9} & 0 & 0 \end{vmatrix} = -\frac{1}{9}.$
- Calculamos el determinante de $((𝐴 𝐵) 5) - 1 .$ $| ((𝐴 𝐵) 5) - 1 | = (| 𝐴 | \cdot | 𝐵 |) - 5 = (9 \cdot (- 19)) - 5 = - 1 .$
- Calculamos el determinante de $27 𝐴 𝐵 6 .$ Como $𝐴$ y $𝐵$ son de orden 3, $| 27 𝐴 𝐵 6 | = 273 \cdot | 𝐴 | \cdot | 𝐵 | 6 = 273 \cdot 9 \cdot (- 19) 6 = 13 .$
Por el apartado anterior, $𝐴$ y $𝐵$ son invertibles. Despejamos la ecuación matricial. $𝐴 𝑋 𝐵 = 9 𝐼 \Leftrightarrow 𝑋 = 9 𝐴 - 1 𝐵 - 1 = 9 (𝐵 𝐴) - 1 .$ En primer lugar, calculamos $𝐵 𝐴 .$ $𝐵 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2010101900 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 0 720001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 2 1 720 19 - 19 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Además, su determinante es: $| 𝐵 𝐴 | = | 𝐵 | \cdot | 𝐴 | = - 19 \cdot 9 = - 1 .$ Para hallar la inversa de $𝐵 𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐵 𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 00 - 1 - 19 - 19 0 - 2 718 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ De esta forma, podemos calcular su inversa como: $(𝐵 𝐴) - 1 = 1 | 𝐵 𝐴 | A d j (𝐵 𝐴) 𝑡 = - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 19 - 2 0 - 19 7 - 1 018 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0192 019 - 7 10 - 18 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = 9 (𝐵 𝐴) - 1 = 9 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0192 019 - 7 10 - 18 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0118 01 - 63 90 - 162 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2024

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101 𝑚 10 1 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 80 04441220 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina los valores de $𝑚$ para los que la matriz $𝐴 2$ tiene inversa.
Para $𝑚 = 0$ calcula, si es posible, la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 2 𝑋 = 12 (𝐴 + 𝐵) .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 101 𝑚 10 1 - 1 2 ∣ = 2 - 𝑚 - 1 = 1 - 𝑚 .$ Así que $| 𝐴 2 | = | 𝐴 | 2 = (1 - 𝑚) 2 .$ La inversa de la matriz $𝐴 2$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 2 | = 0 \Leftrightarrow (1 - 𝑚) 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑚 = 1 .$ Por tanto, la matriz $𝐴 2$ tiene inversa si y solo si $𝑚 \neq 1 .$
Si $𝑚 = 0$ , por el apartado anterior $𝐴 2$ es invertible con $d e t (𝐴 2) = 1$ , y es de la forma $𝐴 2 = 𝐴 \cdot 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010 1 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010 1 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 3 010 3 - 3 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝐴 2 𝑋 = 12 (𝐴 + 𝐵) \Leftrightarrow 𝑋 = 12 𝐴 - 2 (𝐴 + 𝐵) .$ Para hallar la inversa de $𝐴 2$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴 2) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 50 - 3 - 4 13 - 3 02 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 2 = 1 | 𝐴 2 | A d j (𝐴 2) 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 4 - 3 010 - 3 32 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = 12 𝐴 - 2 (𝐴 + 𝐵) = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 4 - 3 010 - 3 32 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010 1 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 80 04441220 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 4 - 3 010 - 3 32 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 3 81 05451122 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 30 - 13 - 77 054191353 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 6: Junio de 2023

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 00 𝑚 𝑚 00 0 𝑚 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100001010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina para qué valores de $𝑚$ existe la inversa de la matriz $𝐴 .$
Para todo $𝑚 \neq - 1$ , resuelve, si es posible, la ecuación $𝐴 𝑋 + 𝑋 = 𝐵 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 00 𝑚 𝑚 00 0 𝑚 0 ∣ = 𝑚 3 .$ La inversa de la matriz $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 𝑚 3 = 0 \Leftrightarrow 𝑚 = 0 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si y solo si $𝑚 \neq 0 .$
Resolvemos la ecuación matricial para $𝑚 \neq - 1 .$ $𝐴 𝑋 + 𝑋 = 𝐵 \Leftrightarrow (𝐴 + 𝐼) 𝑋 = 𝐵 \Leftrightarrow 𝑋 = (𝐴 + 𝐼) - 1 𝐵 .$ Operando, $𝐴 + 𝐼 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑚 𝑚 10 0 𝑚 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ Además, $| 𝐴 + 𝐼 | = 𝑚 3 + 1 \neq 0$ para $𝑚 \neq - 1$ , así que esta matriz es invertible. Para hallar la inversa de la matriz $𝐴 + 𝐼$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴 + 𝐼) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 𝑚 𝑚 2 𝑚 2 1 - 𝑚 - 𝑚 𝑚 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular la inversa como $(𝐴 + 𝐼) - 1 = 1 | 𝐴 + 𝐼 | A d j (𝐴 + 𝐼) 𝑡 = 1 𝑚 3 + 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 𝑚 2 - 𝑚 - 𝑚 1 𝑚 2 𝑚 2 - 𝑚 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = (𝐴 + 𝐼) - 1 𝐵 = 1 𝑚 3 + 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 𝑚 2 - 𝑚 - 𝑚 1 𝑚 2 𝑚 2 - 𝑚 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100001010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 1 𝑚 3 + 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 𝑚 𝑚 2 - 𝑚 𝑚 2 1 𝑚 2 1 - 𝑚 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2023

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 𝑚 - 1 30 - 2 - 3 𝑚 12 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 3 021254 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina los valores de $𝑚$ para que la matriz $𝐴$ tenga inversa.
Calcula para $𝑚 = 1$ , si es posible, la matriz $𝑋$ tal que $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 1 2 𝑚 - 1 30 - 2 - 3 𝑚 12 ∣ = 12 𝑚 2 - 3 + 2 - 12 𝑚 = 12 𝑚 2 - 12 𝑚 - 1 .$ La inversa de la matriz $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 12 𝑚 2 - 12 𝑚 - 1 = 0 \Leftrightarrow 𝑚 = 12 \pm 1 \sqrt 3 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si y solo si $𝑚 \neq 12 \pm 1 \sqrt 3 .$
Resolvemos la ecuación matricial para $𝑚 = 1 .$ $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 𝐵 𝑡 .$ Como $𝑚 = 1$ , por el apartado anterior $𝐴$ es invertible y $d e t (𝐴) = - 1 .$ Para hallar la inversa de la matriz $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 203 - 5 - 1 - 7 - 4 - 1 - 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 54 011 - 3 76 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = 𝐴 - 1 𝐵 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 54 011 - 3 76 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 102 - 1 25 314 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5143723982053 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2023

Sean las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑚 + 1 1 𝑚 - 1 111 𝑚 - 1 1 𝑚 + 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 042004221 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001010100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula $𝑚$ para que la matriz $𝐴$ tenga inversa.
Para $𝑚 = 0$ , resuelve, si es posible, la ecuación matricial $12 𝐴 𝑋 + 𝐶 4 = 𝐵 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 𝑚 + 1 1 𝑚 - 1 111 𝑚 - 1 1 𝑚 + 1 ∣ = (𝑚 + 1) 2 + 2 (𝑚 - 1) - (𝑚 - 1) 2 - 2 (𝑚 + 1) = = 𝑚 2 + 2 𝑚 + 1 + 2 𝑚 - 2 - 𝑚 2 + 2 𝑚 - 1 - 2 𝑚 - 2 = 4 𝑚 - 4 .$ La inversa de la matriz $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 4 𝑚 - 4 = 0 \Leftrightarrow 𝑚 = 1 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si y solo si $𝑚 \neq 1 .$
Si $𝑚 = 0$ , por el apartado anterior la matriz $𝐴$ es invertible y $d e t (𝐴) = - 4 .$ Resolvemos la ecuación matricial. $12 𝐴 𝑋 + 𝐶 4 = 𝐵 \Leftrightarrow 12 𝐴 𝑋 = 𝐵 - 𝐶 4 \Leftrightarrow 𝑋 = 2 𝐴 - 1 (𝐵 - 𝐶 4) .$ Para hallar la inversa de la matriz $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 2 2 - 2 0 - 2 2 - 2 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = - 14 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 2 2 - 2 0 - 2 2 - 2 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 - 1 101 - 1 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por otro lado, $𝐶 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001010100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001010100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝐼 \Rightarrow 𝐶 4 = 𝐼 .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = 2 𝐴 - 1 (𝐵 - 𝐶 4) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 - 1 101 - 1 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 042004221 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 - 1 101 - 1 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 42 0 - 1 4 220 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 - 3 4 162 1 - 5 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2023

Dadas las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 - 2 - 2 31 613 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = (- 1 0 - 1 - 3 - 1 5),$ calcula, si es posible, la matriz $𝑋$ que verifica la ecuación $3 𝑋 - 𝐵 𝑡 = 𝐴 𝑋 .$

Resolución

Resolvemos la ecuación matricial. $3 𝑋 - 𝐵 𝑡 = 𝐴 𝑋 \Leftrightarrow 3 𝑋 - 𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡 \Leftrightarrow (3 𝐼 - 𝐴) 𝑋 = 𝐵 𝑡 \Leftrightarrow 𝑋 = (3 𝐼 - 𝐴) - 1 𝐵 𝑡 .$

Operando, $3 𝐼 - 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 300030003 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 - 2 - 2 31 613 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 112 20 - 1 - 6 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Como $d e t (3 𝐼 - 𝐴) = 1 \neq 0$ , la matriz es invertible.

Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (3 𝐼 - 𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 6 - 2 - 2 12 - 5 - 1 5 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $(3 𝐼 - 𝐴) - 1 = 1 | 3 𝐼 - 𝐴 | A d j (3 𝐼 - 𝐴) 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 2 - 1 6125 - 2 - 5 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = (3 𝐼 - 𝐴) - 1 𝐵 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 2 - 1 6125 - 2 - 5 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 3 0 - 1 - 1 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 20 - 11 - 5 41 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 6: Junio de 2022

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑚 \sqrt 𝑚 \sqrt 𝑚 \sqrt 𝑚 𝑚 1 \sqrt 𝑚 1 𝑚 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ donde $𝑚 \geq 0 .$

¿Para qué valores de $𝑚$ tiene inversa la matriz $𝐴$ ?
Para $𝑚 = 4$ resuelve, si es posible, la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 12 𝐼$ , donde $𝐼$ es la matriz identidad de orden 3.

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑚 \sqrt 𝑚 \sqrt 𝑚 \sqrt 𝑚 𝑚 1 \sqrt 𝑚 1 𝑚 ∣ ∣ ∣ ∣ = 𝑚 3 - 2 𝑚 2 + 𝑚 = 𝑚 (𝑚 2 - 2 𝑚 + 1) .$ La inversa de la matriz $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 𝑚 (𝑚 2 - 2 𝑚 + 1) = 0 \Leftrightarrow {𝑚 = 0, 𝑚 2 - 2 𝑚 + 1 = 0 \Leftrightarrow 𝑚 = 1 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si y solo si $𝑚 \neq 0$ y $𝑚 \neq 1 .$
Si $𝑚 = 4$ , $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 422241214 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Resolvemos la ecuación matricial. $𝐴 𝑋 = 12 𝐼 \Leftrightarrow 𝑋 = 12 𝐴 - 1 .$ Como $𝑚 = 4$ , $𝐴$ es invertible. Hallamos su inversa calculando primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 15 - 6 - 6 - 6 120 - 6 012 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Como $d e t (𝐴) = 𝑚 (𝑚 2 - 2 𝑚 + 1) = 36$ , podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 136 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 15 - 6 - 6 - 6 120 - 6 012 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = 12 𝐴 - 1 = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 15 - 6 - 6 - 6 120 - 6 012 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 2 - 2 - 2 40 - 2 04 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2022

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 121111 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula $𝐴 - 1 .$
Calcula la matriz $𝑋$ de orden 3 que verifica $𝐴 𝑋 + (𝐴 - 𝑋) 2 = 𝑋 2 + 𝐼$ , siendo $𝐼$ la matriz identidad de orden 3.

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 121111 1 - 1 - 1 ∣ = 2 .$ Como $d e t (𝐴) \neq 0$ , $𝐴$ es invertible. Para hallar la inversa de la matriz, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 02 - 2 1 - 2 3 10 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 011 2 - 2 0 - 2 3 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01212 1 - 1 0 - 1 32 - 12 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Resolvemos la ecuación matricial. $𝐴 𝑋 + (𝐴 - 𝑋) 2 = 𝑋 2 + 𝐼 \Leftrightarrow 𝐴 𝑋 + (𝐴 - 𝑋) (𝐴 - 𝑋) = 𝑋 2 + 𝐼 \Leftrightarrow 𝐴 𝑋 + 𝐴 2 - 𝐴 𝑋 - 𝑋 𝐴 + 𝑋 2 = 𝑋 2 + 𝐼 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 𝐴 2 - 𝑋 𝐴 = 𝐼 \Leftrightarrow 𝑋 𝐴 = 𝐴 2 - 𝐼 \Leftrightarrow 𝑋 = (𝐴 2 - 𝐼) 𝐴 - 1 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 𝐴 - 1 .$ Operando, $𝑋 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 121111 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01212 1 - 1 0 - 1 32 - 12 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 13212021 2 - 52 - 12 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2022

Dado $𝑎 \neq 0$ , considera las matrices $𝐴 = (- 𝑎 3 𝑎 1) y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 3412 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina para qué valores de $𝑎$ se cumple que $𝐴 - 1 = 14 𝐴 .$
Para $𝑎 = 1$ calcula, si es posible, la matriz $𝑋$ tal que $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ - 𝑎 3 - 3 - 𝑎 ∣ = - 4 𝑎 .$ La matriz $𝐴$ tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow - 4 𝑎 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = 0 .$ Como la matriz $𝐴$ tiene que ser invertible, necesariamente $𝑎 \neq 0 .$ Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = (1 - 𝑎 - 3 - 𝑎) .$ Ahora podemos calcular la inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = - 1 4 𝑎 (1 - 3 - 𝑎 - 𝑎) = 14 (- 1 𝑎 3 𝑎 11) .$ Así que $𝐴 - 1 = 14 𝐴 \Leftrightarrow 14 (- 1 𝑎 3 𝑎 11) = 14 (- 𝑎 3 𝑎 1) \Leftrightarrow (- 1 𝑎 3 𝑎 11) = (- 𝑎 3 𝑎 1) \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ - 1 𝑎 = - 𝑎, 3 𝑎 = 3, 1 = 𝑎, 1 = 1 . \Leftrightarrow 𝑎 = 1 .$
Si $𝑎 = 1$ , sabemos por el apartado anterior que $𝐴$ es invertible y $𝐴 - 1 = 14 𝐴 = 14 (- 1 3 11) .$ Despejamos y resolvemos la ecuación matricial. $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 𝐵 𝑡 = 14 (- 1 3 11) (131 - 1 42) = 14 (- 4 95 073) .$

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2022

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑚 13 1 𝑚 2 1 𝑚 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2210 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula el rango de la matriz $𝐴$ según los valores de $𝑚 .$
Para $𝑚 = 0$ resuelve la ecuación $𝐴 𝑋 = 𝐵$ , si es posible.

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $A.$ $|A| = \begin{vmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{vmatrix} = 3m^2 + 2 + 3m - 3m - 3 - 2m^2 = m^2 - 1.$ Observamos que $|A| = 0 \Leftrightarrow m^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1.$ Así que, si $m \neq \pm 1$ , entonces $\rang(A) = 3.$ En caso contrario, $\rang(A) \leq 2.$ Estudiamos estos casos.
- Si $𝑚 = - 1$ , $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 13 1 - 1 2 1 - 1 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Como $∣ 13 - 1 2 ∣ = 5 \neq 0,$ entonces $r a n g (𝐴) = 2 .$
- Si $𝑚 = - 1$ , $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 113112113 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Como $∣ 1312 ∣ = - 1 \neq 0,$ entonces $r a n g (𝐴) = 2 .$
Por tanto,
- Si $𝑚 \neq \pm 1$ , entonces $r a n g (𝐴) = 3 .$
- Si $𝑚 = - 1$ o $𝑚 = 1$ , entonces $r a n g (𝐴) = 2 .$
Resolvemos la ecuación matricial para $𝑚 = 0 .$ $𝐴 𝑋 = 𝐵 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 𝐵 .$ Como $𝑚 = 0$ , por el apartado anterior $𝐴$ es invertible y $d e t (𝐴) = - 1 .$ Para hallar la inversa de la matriz $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 1 0 - 3 - 3 1 23 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 3 2 - 1 - 3 3 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 03 - 2 13 - 3 0 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = 𝐴 - 1 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 03 - 2 13 - 3 0 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2210 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 4 8 - 4 - 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 5: Julio de 2022

Considera las matrices $𝐴 = (10 - 2 1), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 𝑎 2 𝑎 1 220 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (10 - 2 2 - 1 - 1) .$

Determina los valores de $𝑎$ para los que la matriz $𝐵$ no tiene inversa.
Para $𝑎 = 1$ calcula $𝑋$ tal que $𝐴 𝑋 𝐵 = 𝐶$ , si es posible.

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐵 .$ $| 𝐵 | = ∣ 11 𝑎 2 𝑎 1 220 ∣ = 2 + 4 𝑎 - 2 𝑎 2 - 2 = - 2 𝑎 2 + 4 𝑎 .$ La inversa de la matriz $𝐵$ no existe si y solo si su determinante es nulo. $| 𝐵 | = 0 \Leftrightarrow - 2 𝑎 2 + 4 𝑎 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 (𝑎 - 2) = 0 \Leftrightarrow {𝑎 = 0, 𝑎 = 2 .$ Por tanto, la matriz $𝐵$ no tiene inversa si y solo si $𝑎 = 0$ o $𝑎 = 2 .$
Resolvemos la ecuación matricial para $𝑎 = 1 .$ $𝐴 𝑋 𝐵 = 𝐶 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 𝐶 𝐵 - 1 .$ Sabemos que la matriz $𝐵$ es invertible dado que $𝑎 \neq 0, 2 .$ Observamos que $𝐴$ también es invertible, porque $d e t (𝐴) = 1 \neq 0 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = (1201) .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = (1021) .$ Repetimos el mismo procedimiento para hallar la inversa de $𝐵 .$ Calculamos su matriz adjunta: $A d j (𝐵) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 22 2 - 2 0 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Como $d e t (𝐵) = - 2 𝑎 2 + 4 𝑎 = 2$ , $𝐵 - 1 = 1 | 𝐵 | A d j (𝐵) 𝑡 = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 20 2 - 2 1 20 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = 𝐴 - 1 𝐶 𝐵 - 1 = 12 (1021) (10 - 2 2 - 1 - 1) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 20 2 - 2 1 20 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 (10 - 2 4 - 1 - 5) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 20 2 - 2 1 20 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = 12 (- 6 22 - 20 104) = (- 3 11 - 10 52) .$

Ejercicio 5: Julio de 2021

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 034 1 - 4 - 5 - 1 34 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Comprueba que $𝐴 2 = - 𝐴 - 1 .$
Dadas las matrices $𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 30 - 4 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 20 - 3 2 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ calcula la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 4 𝑋 + 𝐵 = 𝐴 𝐶 .$

Resolución

Comprobemos en primer lugar que la matriz $𝐴$ es invertible. Calculamos su determinante. $| 𝐴 | = ∣ 034 1 - 4 - 5 - 1 34 ∣ = - 1 .$ Como $d e t (𝐴) \neq 0$ , la matriz $𝐴$ es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 1 - 1 04 - 3 14 - 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 01 144 - 1 - 3 - 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 - 1 - 1 - 4 - 4 133 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por otro lado, calculamos $𝐴 2 = 𝐴 \cdot 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 034 1 - 4 - 5 - 1 34 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 034 1 - 4 - 5 - 1 34 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 01 144 - 1 - 3 - 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝐴 2 = - 𝐴 - 1 .$
En primer lugar, observamos que por el apartado anterior $𝐴 4 = 𝐴 2 \cdot 𝐴 2 = - 𝐴 - 1 \cdot 𝐴 2 = - 𝐴 .$ Despejamos y resolvemos la ecuación matricial. $𝐴 4 𝑋 + 𝐵 = 𝐴 𝐶 \Leftrightarrow - 𝐴 𝑋 + 𝐵 = 𝐴 𝐶 \Leftrightarrow - 𝐴 𝑋 = 𝐴 𝐶 - 𝐵 \Leftrightarrow 𝑋 = - 𝐴 - 1 (𝐴 𝐶 - 𝐵) = - 𝐶 + 𝐴 - 1 𝐵 = = - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 20 - 3 2 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 - 1 - 1 - 4 - 4 133 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 30 - 4 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 0 3 - 2 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 6 3 - 19 - 2 14 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 - 6 6 - 21 - 3 15 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2020

Considera las matrices $𝐴 = (1112) y 𝐵 = (2120) .$

Sabiendo que una matriz $𝑋$ verifica que $𝑋 3 𝐴 𝑋 = 𝐵 2$ , halla los posibles valores de su determinante.
Determina, si existe, una matriz $𝑌$ que verifique $𝐴 2 𝑌 𝐵 - 1 = 𝐴 .$

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2020

Considera $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 𝑚 𝑚 2 - 3 𝑚 - 1 04 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 310 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina los valores de $𝑚$ para los que la ecuación $𝐴 𝑋 + 𝐵 = 𝐶$ tiene solución única.
Para $𝑚 = 0$ , halla $𝑋$ tal que $𝐴 𝑋 + 𝐵 = 𝐶 .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2019

Dadas las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 𝑚 1 𝑚 - 1 𝑚 0 111 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 2001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula los valores de $𝑚$ para los cuales $𝐴$ tiene inversa.
Para $𝑚 = 2$ , encuentra la matriz $𝑋$ que cumple $𝐴 𝑋 - 𝐵 𝐵 𝑡 = 𝐼$ , siendo $𝐼$ la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2019

Dada la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 543422321 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ halla la matriz $𝑋$ que cumple $𝐴 𝑋 = (𝐴 - 1 𝐴 𝑡 + 𝐼) 2$ , siendo $𝐼$ la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2018

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 00 00 - 1 0 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 2 - 1 101 - 1 2 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐷 = (4 - 5 6) .$ Determina, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica que $𝐴 2 𝑋 - 𝐵 𝐴 + 𝑋 = 𝐶 𝐷 .$

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2018

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (112) .$

Calcula $𝐴 2018 .$
Determina, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 (𝑋 + 2 𝐼) = 𝐵 𝐶$ , donde $𝐼$ es la matriz identidad.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2017

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 122101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (311 2 - 1 1) y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 110 - 1 21 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Determina, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica que $𝐴 𝐵 𝑋 - 2 𝐶 = 𝐶 𝑋 .$

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2017

Considera la matriz $𝐴 = (2 - 1 - 1 0) .$

Comprueba que $𝐴 𝐴 𝑡 - 2 𝐴 = 𝐼 .$
Calcula $𝐴 - 1 .$
Determina, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica $𝑋 𝐴 + 𝐼 = 3 𝐴 .$

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2017

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑚 - 1 0 𝑚 - 1 2 - 𝑚 0 - 1 2 - 𝑚 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 01 1 - 1 0 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina los valores de $𝑚$ para los que la matriz $𝐴$ no tiene inversa.
Para $𝑚 = 1$ , calcula, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica la igualdad $𝐴 - 1 𝑋 𝐴 + 𝐼 = 𝐵$ , siendo $𝐼$ la matriz identidad.

Ejercicio A3: Junio de 2016

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 11 010 - 2 11 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 3 32 - 8 74 8 - 6 - 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Halla la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 𝑋 + 𝐵 = 2 𝐴 .$
Calcula $𝐵 2$ y $𝐵 2016 .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2016

Considera las matrices $𝐴 = (1011) y 𝐵 = (1201) .$ Determina, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 𝑋 + 𝐵 2 = 𝐵 𝑋 + 𝐴 2 .$

Ejercicio B3: Septiembre de 2016

Considera $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111 - 1 - 1 - 1 000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula el rango de $𝐴 𝐵 𝑡 + 𝜆 𝐼$ según los valores de $𝜆$ ( $𝐼$ es la matriz identidad de orden 3).
Calcula la matriz $𝑋$ que verifica $𝐶 𝑋 - 𝑋 = 2 𝐼 .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2015

Halla la matriz $𝑋$ que verifica la igualdad $𝐴 𝑋 𝐴 - 1 + 𝐵 = 𝐶 𝐴 - 1$ sabiendo que $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 1 0 - 1 - 3 0 141 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 2 00 - 1 10 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 110 11 - 1 - 1 - 5 - 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2015

Considera las matrices $𝐴 = (1211) y 𝐵 = (4 - 1 41) .$

Halla el determinante de una matriz $𝑋$ que verifique la igualdad $𝑋 2 𝐴 𝑋 = 𝐵 .$
Determina, si existe, la matriz $𝑌$ que verifica la igualdad $𝐴 2 𝑌 𝐵 - 1 = 𝐴 .$

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2015

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111123149 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 11 1 - 1 1 11 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Halla la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 𝑋 - 𝐵 = 𝐼$ ( $𝐼$ denota la matriz identidad de orden 3).
Calcula el determinante de la matriz $(𝐴 2 𝐵 - 1) 2015 .$

Ejercicio A3: Septiembre de 2015

Considera las siguientes matrices: $𝐴 = (- 1 2 2 - 1), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 - 2 10 321 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (100 - 1 50) .$

Determina la matriz $𝑋$ para la que $𝐴 𝑡 𝑋 𝐵 - 1 = 𝐶 .$
Calcula el determinante de $𝐵 - 1 (𝐶 𝑡 𝐶) 𝐵 .$

Ejercicio B3: Junio de 2014

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 011100001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 1 1 - 1 0 - 1 23 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Determina, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 𝑋 + 𝐵 = 𝐴 2 .$

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2014

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 102111230 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 20 - 3 3 - 1 - 3 - 1 - 2 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula $𝐴 - 1 .$
Halla la matriz $𝑋$ que verifica que $𝐴 𝑡 𝑋 + 𝐵 = 𝐼 .$

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2014

Considera las matrices $𝐴 = (1 + 𝑚 1 1 1 - 𝑚) y 𝐵 = (1 - 1 10) .$

¿Para qué valores de $𝑚$ se verifica que $𝐴 2 = 2 𝐴 + 𝐼 ?$
Para $𝑚 = 1$ , calcula $𝐴 - 1$ y la matriz $𝑋$ que satisface $𝐴 𝑋 - 𝐵 = 𝐴 𝐵 .$

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2014

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 0 - 2 1 0 - 5 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001111100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Halla la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 - 1 𝑋 𝐴 = 𝐵 - 𝐴 .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2013

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 10 200101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (021120) y 𝐶 = (12 - 1 6) .$

Halla $𝐴 - 1 .$
Calcula la matriz $𝑋$ que satisface $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡 𝐶 .$
Halla el determinante de $𝐴 2013 𝐵 𝑡 𝐵 (𝐴 - 1) 2013 .$

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2013

Considera las matrices $𝐴 = (- 1 2 01) y 𝐵 = (1 - 1 10) .$

Calcula $𝑋$ e $𝑌$ tales que $𝑋 - 𝑌 = 𝐴 𝑡$ y $2 𝑋 - 𝑌 = 𝐵 .$
Calcula $𝑍$ tal que $𝐴 𝑍 = 𝐵 𝑍 + 𝐴 .$

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2013

Sean $𝐴$ y $𝐵$ las matrices $𝐴 = (2 - 3 - 3 5) y 𝐵 = (1 - 4 - 9 5) .$

Calcula las matrices $𝑋$ e $𝑌$ para las que $2 𝑋 - 𝑌 = 𝐴$ y $𝑋 - 3 𝑌 = 𝐵 .$
Halla la matriz $𝑍$ que verifica $𝐵 2 + 𝑍 𝐴 + 𝐵 𝑡 = 3 𝐼 .$

Ejercicio A3: Septiembre de 2013

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101110002 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 11 1 - 1 1 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Halla, si es posible, $𝐴 - 1$ y $𝐵 - 1 .$
Halla el determinante de $𝐴 𝐵 2013 𝐴 𝑡 .$
Calcula la matriz $𝑋$ que satisface $𝐴 𝑋 - 𝐵 = 𝐴 𝐵 .$

Ejercicio A3: Junio de 2012

Sea la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001212 1 𝑘 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

¿Para qué valores del parámetro $𝑘$ no existe la inversa de la matriz $𝐴$ ? Justifica la respuesta.
Para $𝑘 = 0$ , resuelve la ecuación matricial $(𝑋 + 𝐼) 𝐴 = 𝐴 𝑡 .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2012

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 120012121 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (0110) y 𝐶 = (- 1 20 112) .$ Determina, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 𝑋 𝐵 = 𝐶 𝑡 .$

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2012

Encuentra la matriz $𝑋$ que satisface la ecuación $𝑋 𝐴 + 𝐴 3 𝐵 = 𝐴$ , siendo $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001010100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 0 02 - 1 - 1 02 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2012

Dada la matriz $𝐴 = (3 - 2 51),$ sean $𝐵$ la matriz que verifica que $𝐴 𝐵 = (- 2 1 73) .$

Comprueba que las matrices $𝐴$ y $𝐵$ poseen inversas.
Resuelve la ecuación matricial $𝐴 - 1 𝑋 - 𝐵 = 𝐵 𝐴 .$

Ejercicio B3: Junio de 2011

Dada la matriz $𝐴 = (𝜆 + 1 0 1 - 1) .$

Determina los valores de $𝜆$ para los que la matriz $𝐴 2 + 3 𝐴$ no tiene inversa.
Para $𝜆 = 0$ , halla la matriz $𝑋$ que verifica la ecuación $𝐴 𝑋 + 𝐴 = 2 𝐼 .$

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2011

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 0 𝜆 1 0 - 1 𝜆 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝑦 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001100010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

¿Hay algún valor de $𝜆$ para el que $𝐴$ no tiene inversa?
Para $𝜆 = 1$ , resuelve la ecuación matricial $𝐴 - 1 𝑋 𝐴 = 𝐵$ .

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2011

Sean $𝐴$ y $𝐵$ dos matrices que verifican: $𝐴 + 𝐵 = (4232) y 𝐴 - 𝐵 = (24 - 1 2) .$

Halla las matrices $(𝐴 + 𝐵) (𝐴 - 𝐵) y 𝐴 2 - 𝐵 2 .$
Resuelve la ecuación matricial $𝑋 𝐴 - 𝑋 𝐵 - (𝐴 + 𝐵) 𝑡 = 2 𝐼 .$

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2011

Sea la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 30 𝜆 - 5 𝜆 - 5 𝜆 03 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina los valores de $𝜆$ para los que la matriz $𝐴 - 2 𝐼$ tiene inversa.
Para $𝜆 = - 2$ , resuelve la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 2 𝑋 + 𝐼$ .

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2011

Dada la matriz $𝐴 = (- 1 1 2 - 1) .$

Demuestra que $𝐴 2 + 2 𝐴 = 𝐼$ y que $𝐴 - 1 = 𝐴 + 2 𝐼$ .
Calcula la matriz $𝑋$ que verifica la ecuación $𝐴 2 + 𝑋 𝐴 + 5 𝐴 = 4 𝐼$ .

Ejercicio A3: Septiembre de 2011

Dadas las matrices: $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝛼 1 - 1 1 𝛼 - 1 - 1 - 1 𝛼 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 011 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula el rango de $𝐴$ dependiendo de los valores de $𝛼 .$
Para $𝛼 = 2$ , resuelve la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 𝐵 .$

Ejercicio B3: Septiembre de 2011

Sean las matrices $𝐴 = (𝛼 1 - 𝛼 3), 𝐵 = (131 - 1 42) .$

Calcula los valores de $𝛼$ para los que la matriz inversa de $𝐴$ es $112 𝐴 .$
Para $𝛼 = - 3$ , determina la matriz $𝑋$ que verifica la ecuación $𝐴 𝑡 𝑋 = 𝐵 .$

Ejercicio A3: Junio de 2010

Sean las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 - 1 0 𝑚 3 41 - 𝑚 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1032 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (5 - 3 4 - 3 - 2 2) .$

Indica los valores de $𝑚$ para los que $𝐴$ es invertible.
Resuelve la ecuación matricial $𝑋 𝐴 - 𝐵 𝑡 = 𝐶$ para $𝑚 = 0$ .

Ejercicio B3: Septiembre de 2010

Sean las matrices $𝐴 = (10 - 1 1), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 0 - 1 - 1 012 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (312 01 - 2) .$ Calcula la matriz $𝑋$ que cumpla la ecuación $𝐴 𝑋 𝐵 = 𝐶$ .