Matemáticas de Selectividad

Sabiendo que lím𝑥→0⁡ln⁡(𝑥+1)−𝑎sen⁡(𝑥)+𝑥cos⁡(3𝑥)𝑥2 es finito, calcula 𝑎 y el valor del límite.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1 sabiendo que 𝑓(0) =0 y 𝑓′(𝑥)=(𝑥−1)2𝑥+1 para 𝑥 > −1.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−111010−211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−332−8748−6−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Halla la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋 +𝐵 =2𝐴.
2. Calcula 𝐵2 y 𝐵2016.

Considera el punto 𝑃(1,0,5) y la recta 𝑟 dada por {𝑦+2𝑧=0,𝑥=1.

1. Determina la ecuación del plano que pasa por 𝑃 y es perpendicular a 𝑟.
2. Calcula la distancia de 𝑃 a la recta 𝑟 y el punto simétrico de 𝑃 respecto a 𝑟.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥2+1.

1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de 𝑓.
2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
3. Esboza la gráfica de 𝑓.

Sea 𝑓 :(0, +∞) →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥).

1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
2. Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 =𝑥 −1 y la recta 𝑥 =3. Calcula su área.

Se considera el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩(3𝛼−1)𝑥+2𝑦=5−𝛼,𝛼𝑥+𝑦=2,3𝛼𝑥+3𝑦=𝛼+5.

1. Discútelo según los valores del parámetro 𝛼.
2. Resuélvelo para 𝛼 =1 y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde 𝑥 =4.

Considera las rectas 𝑟 y 𝑠 dadas por 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+2𝜆,𝑦=1−𝜆,𝑧=1y𝑠≡{𝑥+2𝑦=−1,𝑧=−1.

1. Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.
2. Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas 𝑟 y 𝑠, calcula su área.