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Ejercicio 1: Junio de 2025

Juan ha gastado 80€ por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.

  1. ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta.
  2. Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57€, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30%, del 40% y del 20%, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.

Resolución

Llamamos 𝑥 al precio del jersey, 𝑦 al precio de la camisa y 𝑧 al precio del pantalón.

Planteamos el sistema de ecuaciones. {𝑥+𝑦+𝑧=80,𝑥=𝑦+𝑧3⇔{𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que: 4𝑥=80⇔𝑥=20. El sistema queda: {𝑦+𝑧=60,−𝑦−𝑧=−60⇔𝑦+𝑧=60. Por tanto, el jersey cuesta 20€ pero no se puede determinar de forma única el precio de la camisa.

Completamos el sistema de ecuaciones con la nueva ecuación. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0,0,7𝑥+0,6𝑦+0,8𝑧=57⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0,7𝑥+6𝑦+8𝑧=570. Como sabemos que 𝑥 =20 por el apartado anterior, el sistema queda: {𝑦+𝑧=60,6𝑦+8𝑧=430⇔{𝑦+𝑧=60,3𝑦+4𝑧=215. Resolvemos el sistema por sustitución. Como 𝑧 =60 −𝑦, entonces: 3𝑦+240−4𝑦=215⇔𝑦=25⇒𝑧=60−𝑦=60−25=35. Por tanto, el jersey cuesta 20€, la camisa cuesta 25€ y el pantalón cuesta 35€.

Ejercicio 1: Julio de 2025

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Resolución

Llamamos 𝑥, 𝑦 y 𝑧 a los tres números en orden. Planteamos el sistema de ecuaciones. {𝑥+𝑦+𝑧=22,4𝑥+3𝑦+2𝑧=61.

Consideramos los tres casos en los que algún número es 15.

  • Si 𝑥 =15, el sistema queda: {15+𝑦+𝑧=22,60+3𝑦+2𝑧=61⇔{𝑦+𝑧=7,3𝑦+2𝑧=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −2𝐹1, obtenemos que 𝑦 = −13. Como no es un número natural, este caso no es posible.
  • Si 𝑦 =15, el sistema queda: {𝑥+15+𝑧=22,4𝑥+45+2𝑧=61⇔{𝑥+𝑧=7,4𝑥+2𝑧=16⇔{𝑥+𝑧=7,2𝑥+𝑧=8. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −𝐹1, obtenemos que 𝑥 =1. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥+𝑧=7⇔𝑧=7−𝑥=6. Por tanto, los números son 1, 15 y 6.
  • Si 𝑧 =15, el sistema queda: {𝑥+𝑦+15=22,4𝑥+3𝑦+30=61⇔{𝑥+𝑦=7,4𝑥+3𝑦=31. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −3𝐹1, obtenemos que 𝑥 =10. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥+𝑦=7⇔𝑦=7−𝑥=−3. Como no es un número natural, este caso no es posible.

Por tanto, el único caso posible es que los números sean 1, 15 y 6.

Ejercicio 6: Junio de 2024

Considera el sistema ⎧{ {⎨{ {⎩𝑦+𝑧=1,(𝑘−1)𝑥+𝑦+𝑧=𝑘,𝑥+(𝑘−1)𝑦+𝑧=0.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑘.
  2. Para 𝑘 =1 resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que 𝑦 =0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝011𝑘−1111𝑘−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣0111∣=−1≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑘, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣011𝑘−1111𝑘−11∣=1+(𝑘−1)2−1−(𝑘−1)=𝑘2−3𝑘+2. Observamos que |𝐴|=0⇔𝑘2−3𝑘+2=0⇔{𝑘=1,𝑘=2. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑘 ≠1 y 𝑘 ≠2. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2.
    • Si 𝑘 ≠1 y 𝑘 ≠2, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑘 =1, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝011101111010⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que las dos primeras filas son iguales, así que rang⁡(𝐴∗) =2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑘 =2, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝011111121110⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣011112110∣=2≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑘 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a {𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑧=0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces 𝑦+𝑧=1⇔𝑦=1−𝑧𝑧=𝜆←←←←←←→𝑦=1−𝜆,𝑥+𝑧=0⇔𝑥=−𝑧𝑧=𝜆←←←←←←→𝑥=−𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜆,𝑦=1−𝜆,𝑧=𝜆. Para 𝜆 =1, una solución es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1,𝑦=0,𝑧=1.

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2024

Considera el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥+𝑦+𝑧=1+𝑎,𝑥+2𝑦−𝑧=1−𝑎,𝑥+(1+𝑎)𝑦−𝑎𝑧=0.

  1. Calcula 𝑎 para que el sistema sea compatible indeterminado.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝑎 =0.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎1112−111+𝑎−𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣112−1∣=−3≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑎, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣𝑎1112−111+𝑎−𝑎∣=−2𝑎2−1+1+𝑎−2+𝑎(1+𝑎)+𝑎=−𝑎2+3𝑎−2. Observamos que |𝐴|=0⇔−𝑎2+3𝑎−2=0⇔{𝑎=1,𝑎=2. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑎 ≠1 y 𝑎 ≠2. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2.
    • Si 𝑎 ≠1 y 𝑎 ≠2, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑎 =1, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111212−1012−10⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que las dos últimas filas son iguales, así que rang⁡(𝐴∗) =2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑎 =2, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝211312−1−113−20⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1132−1−13−20∣=−8≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
    Por tanto, el sistema es compatible indeterminado para 𝑎 =1.
  2. Si 𝑎 =0, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior, así que tiene solución única. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝011112−111100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+𝐹1←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝011113021100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−𝐹3←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝011102021100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑦+𝑧=1,2𝑦=2,𝑥+𝑦=0. Resolvemos el sistema. 2𝑦=2⇔𝑦=1,𝑦+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑦𝑦=1←←←←←→𝑧=0,𝑥+𝑦=0⇔𝑥=−𝑦𝑦=1←←←←←→𝑥=−1. Por tanto, la solución del sistema es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1,𝑦=1,𝑧=0.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2024

Considera el sistema ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−2−320−23−2−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=𝑚⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina los valores de 𝑚 para los que el sistema es compatible indeterminado.
  2. Para 𝑚 =2 resuelve el sistema, si es posible.

Resolución
  1. En primer lugar, escribimos la expresión matricial en forma de sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩5𝑥−2𝑦−3𝑧=𝑚𝑥,2𝑥−2𝑧=𝑚𝑦,3𝑥−2𝑦−𝑧=𝑚𝑧⇔⎧{ {⎨{ {⎩(5−𝑚)𝑥−2𝑦−3𝑧=0,2𝑥−𝑚𝑦−2𝑧=0,3𝑥−2𝑦+(−1−𝑚)𝑧=0. Observamos que se trata de un sistema homogéneo, así que es compatible para cualquier valor de 𝑚. La matriz de coeficientes del sistema es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑚−2−32−𝑚−23−2−1−𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango 𝐴 según el valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣5−𝑚−2−32−𝑚−23−2−1−𝑚∣=𝑚(5−𝑚)(1+𝑚)+24−9𝑚−4(1+𝑚)−4(5−𝑚)=−𝑚3+4𝑚2−4𝑚. Observamos que: |𝐴|=0⇔−𝑚3+4𝑚2−4𝑚=0⇔−𝑚(𝑚2−4𝑚+4)=0⇔{𝑚=0,𝑚2−4𝑚+4=0⇔𝑚=2. Así que rang⁡(𝐴) ≤2 si 𝑚 =0 o 𝑚 =2. Por tanto, el sistema es compatible indeterminado para 𝑚 =0 y 𝑚 =2.
  2. Si 𝑚 =2, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a: {3𝑥−2𝑦−3𝑧=0,2𝑥−2𝑦−2𝑧=0⇔{3𝑥−2𝑦−3𝑧=0,𝑥−𝑦−𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si a la primera ecuación le restamos el triple de la segunda, obtenemos que 𝑦 =0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces: 𝑥−𝑦−𝑧=0⇔𝑥=𝑦+𝑧𝑦=0←←←←←←→𝑧=𝜆𝑥=𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=0,𝑧=𝜆.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2024

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10120𝑎53𝑎−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula el rango de 𝐴 según los valores de 𝑎.
  2. Si 𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝124⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ y 𝑎 =2 resuelve, si es posible, el sistema 𝐴𝑋 =𝐵.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣10120𝑎53𝑎−10∣=2(3𝑎−1)−𝑎(3𝑎−1)=(2−𝑎)(3𝑎−1). Observamos que: |𝐴|=0⇔(2−𝑎)(3𝑎−1)=0⇔{2−𝑎=0⇔𝑎=2,3𝑎−1=0⇔𝑎=13. Así que rang⁡(𝐴) =3 si 𝑎 ≠13 y 𝑎 ≠2. En caso contrario, rang⁡(𝐴) ≤2. Estudiamos estos casos.
    • Si 𝑎 =13, 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1012013500⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣11213∣=−53≠0⇒rang⁡(𝐴)=2.
    • Si 𝑎 =2, 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101202550⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1055∣=5≠0⇒rang⁡(𝐴)=2.
    Por tanto,
    • Si 𝑎 ≠13 y 𝑎 ≠2, entonces rang⁡(𝐴) =3.
    • Si 𝑎 =13 o 𝑎 =2, entonces rang⁡(𝐴) =2.
  2. Si 𝑎 =2, por el apartado anterior rang⁡(𝐴) =2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝101120225504⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ Observamos que la segunda fila es el doble de la primera, así que rang⁡(𝐴∗) =2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible determinado. Podemos reducir el sistema a: {𝑥+𝑧=1,5𝑥+5𝑦=4. Si tomamos 𝑥 =𝜆, entonces: 𝑥+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑥𝑥=𝜆←←←←←←→𝑧=1−𝜆,5𝑥+5𝑦=4⇔5𝑦=4−5𝑥⇔𝑦=4−5𝑥5=45−𝑥𝑥=𝜆←←←←←←→𝑦=45−𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=45−𝜆,𝑧=1−𝜆.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2024

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Resolución

Llamamos 𝑥 al dígito de las centenas, 𝑦 al de las decenas y 𝑧 al de las unidades. De esta forma, el número se escribe 𝑥𝑦𝑧 y se calcula como 100𝑥 +10𝑦 +𝑧.

En primer lugar, como la suma de sus cifras es 9, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=9. Por otro lado, el número que se obtiene al intercambiar las cifra de las centenas por la de las unidades se escribe 𝑧𝑦𝑥 y se calcula como 100𝑧 +10𝑦 +𝑥. Como la diferencia entre los dos números es 198, entonces 100𝑥+10𝑦+𝑧−(100𝑧+10𝑦+𝑥)=198⇔99𝑥−99𝑧=198⇔𝑥−𝑧=2. Además, como la suma ebtre ambos números es 828, entonces 100𝑥+10𝑦+𝑧+100𝑧+10𝑦+𝑥=828⇔101𝑥+20𝑦+101𝑧=828. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=9,𝑥−𝑧=2,101𝑥+20𝑦+101𝑧=828.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111910−1210120101828⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−101𝐹1←←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111910−120−810−81⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝012710−120−810−81⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑦+2𝑧=7,𝑥−𝑧=2,−81𝑦=−81. Por tanto, −81𝑦=−81⇔𝑦=1,𝑦+2𝑧=7⇔𝑧=7−𝑦2𝑦=1←←←←←→𝑧=3,𝑥−𝑧=2⇔𝑥=2+𝑧𝑧=3←←←←←→𝑥=5. Así que el número es 513.

Ejercicio 6: Julio de 2024

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2.200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1.250 euros.

  1. ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C?
  2. Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es 25 del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?

Resolución

Llamamos 𝑥 al precio de un perfume de tipo A, 𝑦 al de tipo B y 𝑧 al de tipo C.

Un pedido de 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C tiene un coste de 2.200 euros, así que 20𝑥+30𝑦+15𝑧=2.200⇔4𝑥+6𝑦+3𝑧=440. Además, como otro pedido de 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C cuesta 1.250 euros, 15𝑥+10𝑦+10𝑧=1.250⇔3𝑥+2𝑦+2𝑧=250.

  1. Podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales {4𝑥+6𝑦+3𝑧=440,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. (463440322250)2𝐹1−3𝐹2←←←←←←←←←←→(−160130322250). El sistema resultante es {−𝑥+6𝑦=130,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250. Si 𝑦 =𝜆, entonces −𝑥+6𝑦=130⇔𝑥=6𝑦−130𝑦=𝜆←←←←←←→𝑥=6𝜆−130,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250⇔𝑧=250−3𝑥−2𝑦2𝑥=6𝜆−130←←←←←←←←←←←←→𝑧=𝜆𝑧=250−18𝜆+390−2𝜆2=320−10𝜆. Así que el precio de un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C se puede calcular como 25𝑥+10𝑦+16𝑧=25⋅(6𝜆−130)+10𝜆+16⋅(320−10𝜆)=150𝜆−3.250+10𝜆+5.120−160𝜆=1.870. Por tanto, el precio total es de 1.870€.
  2. Si el precio de un perfume de tipo C es 25 del precio de uno de tipo A, entonces 𝑧=25𝑥⇔2𝑥=5𝑧. Así que 2⋅(6𝜆−130)=5⋅(320−10𝜆)⇔12𝜆−260=1.600−50𝜆⇔𝜆=30. Así que 𝑥=6⋅30−130=50,𝑦=30,𝑧=320−10⋅30=20. Por tanto, el precio de un perfume de tipo A es de 50€, el de uno de tipo B de 30€ y el de uno de tipo C de 20€.

Ejercicio 5: Junio de 2023

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos.

  • El 60% de los coches blancos más el 50% de los coches negros representan el 30% de los coches vendidos.
  • El 20% de los coches blancos junto con el 60% de los coches negros y el 60% de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos.
  • Se han vendido 100 coches negros más que blancos.
Determina el número de coches vendidos de cada color.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de coches blancos vendidos, 𝑦 al número de coches negros y 𝑧 al número de coches rojos.

En primer lugar, si el 60% de los coches blancos más el 50% de los coches negros representan el 30% de los coches vendidos, entonces 0,6𝑥+0,5𝑦=0,3(𝑥+𝑦+𝑧)⇒6𝑥+5𝑦=3(𝑥+𝑦+𝑧).

Además, si el 20% de los coches blancos junto con el 60% de los coches negros y el 60% de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos, 0,2𝑥+0,6𝑦+0,6𝑧=0,5(𝑥+𝑦+𝑧)⇒2𝑥+6𝑦+6𝑧=5(𝑥+𝑦+𝑧).

Por último, si se han vendido 100 coches negros más que blancos, 𝑦=𝑥+100.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩6𝑥+5𝑦=3(𝑥+𝑦+𝑧),2𝑥+6𝑦+6𝑧=5(𝑥+𝑦+𝑧),𝑦=𝑥+100⇒⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥+2𝑦−3𝑧=0,−3𝑥+𝑦+𝑧=0,−𝑥+𝑦=100.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝32−30−3110−110100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1+3𝐹2←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−6500−3110−110100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−5𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−100−500−3110−110100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥=−500,−3𝑥+𝑦+𝑧=0,−𝑥+𝑦=100.

Por tanto, −𝑥=−500⇔𝑥=500,−𝑥+𝑦=100𝑥=500←←←←←←←←→−500+𝑦=100⇔𝑦=600,−3𝑥+𝑦+𝑧=0𝑥=500←←←←←←←←→𝑦=600−3⋅500+600+𝑧=0⇔𝑧=900.

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2023

Una fábrica dispone de tres líquidos 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro de líquido 𝐿1 contiene 120 mg de sodio y 90 mg de magnesio, cada litro del líquido 𝐿2 contiene 100 mg de sodio y 90 mg de magnesio y cada litro del líquido 𝐿3 contiene 60 mg de sodio y 180 mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3 en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de 100 mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de litros del líquido 𝐿1, 𝑦 al número de litros de 𝐿2 y 𝑧 al número de litros de 𝐿3.

Se quiere obtener un litro de mezcla de 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3, así que 𝑥+𝑦+𝑧=1. Como se pide que la cantidad de sodio en la mezcla sea de 100 mg y cada litro de 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3 contiene 120 mg, 100 mg y 60 mg de sodio, respectivamente, entonces 120𝑥+100𝑦+60𝑧=100. Como también se pretende que la cantidad de magnesio en la mezcla sea de 100 mg y cada litro de 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3 contiene 90 mg, 90 mg y 180 mg de magnesio, respectivamente, entonces 90𝑥+90𝑦+180𝑧=100.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=1,120𝑥+100𝑦+60𝑧=100,90𝑥+90𝑦+180𝑧=100⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=1,6𝑥+5𝑦+3𝑧=5,9𝑥+9𝑦+18𝑧=10.

La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1116539918⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su determinante: |𝐴|=∣1116539918∣=90+27+54−45−27−108=−9. Como det(𝐴) ≠0, entonces rang⁡(𝐴) =3. El rango de la matriz de coeficientes es máximo, así que por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado. Por tanto, sí es posible obtener dicha mezcla.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝11116535991810⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−6𝐹1←←←←←←←←←→𝐹3−9𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝11110−1−3−10091⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.

El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=1,−𝑦−3𝑧=−1,9𝑧=1. Por tanto, 9𝑧=1⇔𝑧=19,−𝑦−3𝑧=−1𝑧=1/9←←←←←←←←→−𝑦−3⋅19=−1⇔𝑦=23,𝑥+𝑦+𝑧=1𝑦=2/3←←←←←←←←→𝑧=1/9𝑥+23+19=1⇔𝑥=29. Así que la mezcla ha de estar formada por 29 litros de 𝐿1, 23 litros de 𝐿2 y 19 litros de 𝐿3.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2023

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝110101011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝001010100⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, se define la matriz 𝑀 =𝐴 +(𝜆 −1)𝐵.

  1. Halla los valores de 𝜆 para los que la matriz 𝑀 tiene rango menor que 3.
  2. Para 𝜆 = −1, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es 𝑀.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos 𝑀. 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝110101011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+(𝜆−1)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝001010100⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11𝜆−11𝜆−11𝜆−111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Como la matriz 𝑀 es cuadrada, rang⁡(𝑀) <3 ⇔|𝑀| =0. Calculamos el determinante de 𝑀. |𝑀|=∣11𝜆−11𝜆−11𝜆−111∣=3(𝜆−1)−(𝜆−1)3−2=3𝜆−5−(𝜆3−3𝜆2+3𝜆−1)=−𝜆3+3𝜆2−4. Si factorizamos el polinomio, obtenemos que |𝑀|=−(𝜆−2)2(𝜆+1). Así que |𝑀|=0⇔−(𝜆−2)2(𝜆+1)=0⇔{𝜆−2=0⇔𝜆=2,𝜆+1=0⇔𝜆=−1. Por tanto, la matriz 𝑀 tiene rango menor que 3 para 𝜆 = −1 y 𝜆 =2.
  2. Si 𝜆 = −1, 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−21−21−211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por el apartado anterior sabemos que rang⁡(𝑀) <3. Observamos que ∣111−2∣=−3≠0⇒rang⁡(𝑀)=2. El sistema a resolver es ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−21−21−211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠→⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦−2𝑧=0,𝑥−2𝑦+𝑧=0,−2𝑥+𝑦+𝑧=0. Podemos ver que se trata de un sistema compatible indeterminado por el teorema de Rouché-Frobenius. Como el rango de 𝑀 es 2, el sistema se puede reducir a {𝑥+𝑦−2𝑧=0,𝑥−2𝑦+𝑧=0. Resolvemos el sistema por el método de Gauss. (11−201−210)𝐹2−𝐹1←←←←←←←←→(11−200−330). El sistema resultante es {𝑥+𝑦−2𝑧=0,−3𝑦+3𝑧=0. Si tomamos 𝑧 =𝜇, −3𝑦+3𝑧=0𝑧=𝜇←←←←←←→−3𝑦+3𝜇=0⇔𝑦=𝜇,𝑥+𝑦−2𝑧=0𝑦=𝜇←←←←←←→𝑧=𝜇𝑥+𝜇−2𝜇=0⇔𝑥=𝜇. Por tanto, la solución del sistema es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜇,𝑦=𝜇,𝑧=𝜇,𝜇∈ℝ.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2023

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧𝑦𝑥𝑥𝑧𝑧𝑦⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(𝛼11)y𝐶=(111).

  1. Discute el sistema 𝐵𝐴 =𝐶, según los valores de 𝛼.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝛼 =0 y para 𝛼 =1.

Resolución
  1. En primer lugar, escribimos la expresión 𝐵𝐴 =𝐶 en forma de sistema. 𝐵𝐴=𝐶⇔(𝛼11)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧𝑦𝑥𝑥𝑧𝑧𝑦⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(111)⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝛼𝑥+𝑦+𝑧=1,𝛼𝑦+𝑥+𝑧=1,𝛼𝑧+𝑥+𝑦=1⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝛼𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝛼𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑦+𝛼𝑧=1. Luego la matriz de coeficientes del sistema es 𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼111𝛼111𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝛼, estudiamos su determinante. |𝐷|=∣𝛼111𝛼111𝛼∣=𝛼3+2−3𝛼=𝛼3−3𝛼+2. Observamos que |𝐷|=0⇔𝛼3−3𝛼+2=0⇔{𝛼=−2,𝛼=1. Es decir, rang⁡(𝐷) =3 si y solo si 𝛼 ≠ −2 y 𝛼 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐷) ≤2.
    • Si 𝛼 = −2, 𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2111−2111−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−211∣=3≠0⇒rang⁡(𝐷)=2.
    • Si 𝛼 =1, 𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111111111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇒rang⁡(𝐷)=1.
    Por tanto,
    • Si 𝛼 ≠ −2 y 𝛼 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝛼 = −2, la matriz de coeficientes ampliada es (𝐷|𝐸)=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−21111−21111−21⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣−2111−21111∣=9≠0⇒rang⁡(𝐷|𝐸)=3. Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.
    • Si 𝛼 =1, la matriz de coeficientes ampliada es (𝐷|𝐸)=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111111111111⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⇒rang⁡(𝐷|𝐸)=1. Como rang⁡(𝐷) =rang⁡(𝐷|𝐸) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝛼 =0, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior y tiene la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑧=1,𝑥+𝑦=1. Resolvemos el sistema mediante reducción. Si restamos las dos primeras ecuaciones, obtenemos que 𝑦−𝑥=0⇔𝑥=𝑦. Sustituyendo en la última ecuación, 𝑥+𝑦=1𝑥=𝑦←←←←←←→2𝑥=1⇔𝑥=12⇒𝑦=12. Por último, sustituyendo en la primera ecuación, 𝑦+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑦𝑦=1/2←←←←←←←←→𝑧=1−12=12. Por tanto, la solución es 𝑥=𝑦=𝑧=12.
    • Si 𝛼 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior y tiene rango 1, así que se puede reducir a 𝑥+𝑦+𝑧=1. Si tomamos 𝑦 =𝜆 y 𝑧 =𝜇, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=1⇔𝑥=1−𝑦−𝑧𝑦=𝜆←←←←←←→𝑧=𝜇𝑥=1−𝜆−𝜇. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1−𝜆−𝜇,𝑦=𝜆,𝑧=𝜇,𝜆,𝜇∈ℝ.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2023

Una plataforma de streaming se especializa en series de tres géneros: animación, ciencia ficción y comedia. Se sabe que el 30% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción coincide con el 20% del total de series. El 25% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción más el 60% de las de comedia representan la mitad del total de series. Hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción. Halla el número de series de cada género.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de series de animación de la plataforma, 𝑦 al de series de ciencia ficción y 𝑧 al de series de comedia.

En primer lugar, si el 30% de las series de animación junto con el 50% de las de ciencia ficción son el 20% del total de series, entonces 0,3𝑥+0,5𝑦=0,2(𝑥+𝑦+𝑧).

Además, si el 25% de las series de animación junto con el 50% de las de ciencia ficción y el 60% de las de comedia son la mitad del total de series, 0,25𝑥+0,5𝑦+0,6𝑧=𝑥+𝑦+𝑧2.

Por último, si hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción, 𝑥=𝑦−100.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩0,3𝑥+0,5𝑦=0,2(𝑥+𝑦+𝑧),0,25𝑥+0,5𝑦+0,6𝑧=𝑥+𝑦+𝑧2,𝑥=𝑦−100⇒⎧{ {⎨{ {⎩0,1𝑥+0,3𝑦−0,2𝑧=0,−0,25𝑥+0,1𝑧=0,𝑥−𝑦=−100⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+3𝑦−2𝑧=0,−5𝑥+2𝑧=0,𝑥−𝑦=−100.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝13−20−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1+𝐹2←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−4300−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1+3𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−100−300−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥=−300,−5𝑥+2𝑧=0,𝑥−𝑦=−100.

Por tanto, −𝑥=−300⇔𝑥=300,−5𝑥+2𝑧=0𝑥=300←←←←←←←←→−1500+2𝑧=0⇔𝑧=750,𝑥−𝑦=−100𝑥=300←←←←←←←←→300−𝑦=−100⇔𝑦=400. Así que esta plataforma tiene 300 series de animación, 400 series de ciencia ficción y 750 series de comedia.

Ejercicio 6: Julio de 2023

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es de 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6%, el 12% y el 30%, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

Resolución

Llamamos 𝑥 al importe sin impuestos de refrescos, 𝑦 al de cerveza y 𝑧 al de vino.

En primer lugar, si el importe total sin impuestos es de 500€, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=500.

Además, si el gasto en vino es de 60€ menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente y sin impuestos, 𝑧=𝑥+𝑦−60.

Por último, si los impuestos son del 6%, 12% y 30% respectivamente y el importe total con impuestos es de 592,4€, 1,06𝑥+1,12𝑦+1,3𝑧=592,4.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=500,𝑧=𝑥+𝑦−60,1,06𝑥+1,12𝑦+1,3𝑧=592,4⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=500,𝑥+𝑦−𝑧=60,106𝑥+112𝑦+130𝑧=59240.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝11150011−16010611213059240⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←←←←→𝐹3−106𝐹2⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝00244011−1600623652880⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑧=440,𝑥+𝑦−𝑧=60,6𝑦+236𝑧=52880⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑧=220,𝑥+𝑦−𝑧=60,3𝑦+118𝑧=26440.

Por tanto, 𝑧=220,3𝑦+118𝑧=26440𝑧=220←←←←←←←←→3𝑦+25960=26440⇔3𝑦=480⇔𝑦=160,𝑥+𝑦−𝑧=60𝑦=160←←←←←←←←→𝑧=220𝑥+160−220=60⇔𝑥=120. Así que el importe de cada una de las bebidas con impuestos es

  • Refrescos: 1,06 ⋅120 =127,20€.
  • Cerveza: 1,12 ⋅160 =179,20€.
  • Vino: 1,3 ⋅220 =286€.

Ejercicio 5: Junio de 2022

Considera el sistema: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+𝑚𝑧=−3,−𝑚𝑥+3𝑦−𝑧=1,𝑥−4𝑦+𝑚𝑧=−6.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =2 resuelve el sistema, si es posible.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1𝑚−𝑚3−11−4𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−11−4∣=−3≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑚, estudiamos su determinante. det(𝐴)=3𝑚+1+4𝑚2−3𝑚−𝑚2−4=3𝑚2−3. Podemos ver que det(𝐴)=0⇔3𝑚2−3=0⇔𝑚2=1⇔{𝑚=−1,𝑚=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠ −1 y 𝑚 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2. Por tanto,
    • Si 𝑚 ≠ −1 y 𝑚 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −1, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−1−1−313−111−4−1−6⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−1−31311−4−6∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =1, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−3−13−111−41−6⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−1−3−1311−4−6∣=−12≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 =2, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior, así que tiene solución única. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−12−3−23−111−42−6⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+2𝐹1←←←←←←←←←→𝐹3−𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−12−3013−50−30−3⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+2𝑧=−3,𝑦+3𝑧=−5,−3𝑦=−3. Por tanto, la solución es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2,𝑦=1,𝑧=−2.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2022

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75% de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de minutos de la Fase I, 𝑦 al de la Fase II y 𝑧 al de la Fase III.

En primer lugar, si se dedica el 75% de las 8 horas de sueño a la fase NO-REM, es decir, 360 minutos, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=360.

Además, si el tiempo dedicado a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas, 𝑦=2(𝑥+𝑦).

Por último, si el tiempo dedicado a la Fase III es el cuádruple que el de la Fase I, 𝑧=4𝑥.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,𝑦=2(𝑥+𝑦),𝑧=4𝑥.⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,2𝑥−𝑦+2𝑧=0,4𝑥−𝑧=0.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113602−12040−10⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−2𝐹1←←←←←←←←←→𝐹3+𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113600−30−720510360⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,−3𝑦=−720,5𝑥+𝑦=360.

Por tanto, −3𝑦=−720⇔𝑦=240,5𝑥+𝑦=360𝑦=240←←←←←←←←→5𝑥+240=360𝑥→=24,𝑥+𝑦+𝑧=360𝑥=24←←←←←←←←→𝑦=24024+240+𝑧=360⇔𝑧=96. Así que se dedican 24 minutos a la Fase I, 240 minutos a la Fase II y 96 minutos a la Fase III.

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2022

Considera el sistema: ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+3𝑦+𝑚𝑧=3,𝑥+𝑚𝑦−𝑧=−1,3𝑥+𝑦−3𝑧=−𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 = −2 encuentra, si es posible, 𝑦0 para que la solución del sistema sea 𝑥 =𝜆, 𝑦 =𝑦0, 𝑧 =𝜆 −37.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝23𝑚1𝑚−131−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣23𝑚1𝑚−131−3∣=−6𝑚−9+𝑚−3𝑚2+9+2=−3𝑚2−5𝑚+2. Obervamos que |𝐴|=0⇔−3𝑚2−5𝑚+2=0⇔{𝑚=−2,𝑚=13. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠13. En otro caso, rang⁡(𝐴) ≤2.
    • Si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠13, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −2, la matrices de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝23−21−2−131−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣231−2∣=−7≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝23−231−2−1−131−32⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣2331−2−1312∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =13, la matrices de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2313113−131−3⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣23113∣=−73≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝23133113−1−131−3−13⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣ ∣ ∣ ∣233113−131−13∣ ∣ ∣ ∣=−569≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 = −2, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝23−231−2−1−131−32⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−2𝐹2←←←←←←←←←→𝐹3−3𝐹2⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝07051−2−1−10705⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠→(07051−2−1−1). El sistema resultante es {7𝑦=5,𝑥−2𝑦−𝑧=−1. Si tomamos 𝑥 =𝜆, entonces 7𝑦=5⇔𝑦=57,𝑥−2𝑦−𝑧=−1⇔𝑧=𝑥−2𝑦+1𝑥=𝜆←←←←←←←←→𝑦=5/7𝑧=𝜆−107+1=𝜆−37. En efecto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=57,𝑧=𝜆−37,𝜆∈ℝ.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2022

La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de 13000 personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tienen cada uno.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de seguidores de Alberto, 𝑦 al de Begoña y 𝑧 al de Carlos.

En primer lugar, si entre los tres tienen 13000, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=13000.

Además, si dos terceras partes de los seguidores de Carlos son tantos como el doble de los de Alberto, 23𝑧=2𝑥.

Por último, si los seguidores de Alberto junto con la quinta parte de los de Begoña son tantos como la mitad de los de Carlos, 𝑥+15𝑦=12𝑧.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=13000,23𝑧=2𝑥,𝑥+15𝑦=12𝑧⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=13000,3𝑥−𝑧=0,10𝑥+2𝑦−5𝑧=0.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1111300030−10102−50⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−2𝐹1←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1111300030−1080−7−26000⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−7𝐹2←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1111300030−10−1300−26000⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=13000,3𝑥−𝑧=0,−13𝑥=−26000.

Por tanto, −13𝑥=−26000⇔𝑥=2000,3𝑥−𝑧=0𝑥=2000←←←←←←←←←→6000−𝑧=0⇔𝑧=6000,𝑥+𝑦+𝑧=13000𝑥=2000←←←←←←←←←→𝑧=60002000+𝑦+6000=13000⇔𝑦=5000. Así que Alberto tiene 2000 seguidores, Begoña tiene 5000 y Carlos tiene 6000.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2022

Considera el sistema de ecuaciones lineales: ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼11𝛼−11𝛼0𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝛼.
  2. Para 𝛼 =1 resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible.

Resolución
  1. Como se trata de un sistema homogéneo, sabemos que es compatible para cualquier valor de 𝛼. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼11𝛼−11𝛼0𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣11−11∣=2≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝛼, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣𝛼11𝛼−11𝛼0𝛼∣=−𝛼2+𝛼+𝛼−𝛼2=−2𝛼2+2𝛼. Observamos que |𝐴|=0⇔−2𝛼2+2𝛼⇔−2𝛼(𝛼−1)=0⇔{𝛼=0,𝛼=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝛼 ≠0 y 𝛼 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2.
    • Si 𝛼 ≠0 y 𝛼 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝛼 =0 o 𝛼 =1, rang⁡(𝐴) =2 <3. Por tanto, el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝛼 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a {𝑥+𝑦+𝑧=0,𝑥−𝑦+𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝑦=0⇔𝑦=0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=0⇔𝑥=−𝑧−𝑦𝑦=0←←←←←←→𝑧=𝜆𝑥=−𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜆,𝑦=0,𝑧=𝜆. Para 𝜆 =1, una solución no trivial es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1,𝑦=0,𝑧=1.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2022

Considera el sistema: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑚𝑦−2𝑧=𝑚,𝑥+𝑦+𝑧=2𝑚,𝑥+2𝑦+𝑚𝑧=3𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =1 resuelve el sistema, si es posible.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−𝑚−211112𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1112∣=1≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣1−𝑚−211112𝑚∣=𝑚−𝑚−4+2−2+𝑚2=𝑚2−4. Podemos ver que |𝐴|=0⇔𝑚2−4=0⇔𝑚=±2. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠2. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2.
    • Si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠2, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −2, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝12−2−2111−412−2−6⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣12−211−412−6∣=4≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
    • Si 𝑚 =2, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−2−2211141226⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−22114126∣=4≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 =1, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−1−2111121213⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←→𝐹3−𝐹2⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝0−2−3−111120101⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑦−3𝑧=−1,𝑥+𝑦+𝑧=2,𝑦=1. Por tanto, −2𝑦−3𝑧=−1⇔𝑧=1−2𝑦3𝑦=−1←←←←←←←→𝑧=−13,𝑥+𝑦+𝑧=2⇔𝑥=2−𝑦−𝑧𝑦=1←←←←←←←←←→𝑧=−1/3𝑥=43.

Ejercicio 5: Junio de 2021

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥+2𝑦−𝑧=1,5𝑥−4𝑦+2𝑧=0,𝑥+3𝑚𝑦=𝑚+25.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema para 𝑚 =0. ¿Hay alguna solución en la que 𝑥 =0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑚2−15−4213𝑚0⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣5210∣=−2≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣𝑚2−15−4213𝑚0∣=4−15𝑚−4−6𝑚2=−6𝑚2−15𝑚. Podemos ver que |𝐴|=0⇔−6𝑚2−15𝑚=0⇔𝑚(6𝑚+15)=0⇔{𝑚=0,6𝑚+15=0⇔𝑚=−156=−52. Así que, si 𝑚 ≠ −52 y 𝑚 ≠0, entonces rang⁡(𝐴) =3. En caso contrario, rang⁡(𝐴) =2. Por tanto,
    • Si 𝑚 ≠ −52 y 𝑚 ≠0, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −52, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−522−115−4201−1520−2110⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣ ∣ ∣ ∣2−11−420−1520−2110∣ ∣ ∣ ∣=15≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.
    • Si 𝑚 =0, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝02−115−42010025⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣ ∣ ∣ ∣2−11−4200025∣ ∣ ∣ ∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝑚 =0, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior, así que tiene infinitas soluciones. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝02−115−42010025⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−5𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝02−110−42−210025⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+2𝐹1←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝02−11000010025⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠→(02−1110025). El sistema resultante es {2𝑦−𝑧=1,𝑥=25. Si tomamos 𝑦 =𝜆, entonces 2𝑦−𝑧=1⇔𝑧=2𝑦−1𝑦=𝜆←←←←←←→𝑧=2𝜆−1. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=25,𝑦=𝜆,𝑧=2𝜆−1,𝜆∈ℝ. Observamos que no existe ninguna solución con 𝑥 =0.

Ejercicio 6: Junio de 2021

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de botellas producidas por hora, 𝑦 al número de garrafas y 𝑧 al número de bidones.

En primer lugar, si se dispone de 10 kilos de polietileno y se necesitan 50 gramos, 100 gramos y 1 kilo para cada botella, garrafa y bidón, respectivamente, entonces 50𝑥+100𝑦+1000𝑧=10000. Además, si se produce el doble de botellas que de garrafas, 𝑥=2𝑦. Por último, si se producen un total de 52 productos por hora, 𝑥+𝑦+𝑧=52.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩50𝑥+100𝑦+1000𝑧=10000,𝑥=2𝑦,𝑥+𝑦+𝑧=52⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑦+20𝑧=200,𝑥−2𝑦=0,𝑥+𝑦+𝑧=52.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝12202001−20011152⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−20𝐹2←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−19−180−8401−20011152⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−9𝐹2←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−2800−8401−20011152⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−28𝑥=−840,𝑥−2𝑦=0,𝑥+𝑦+𝑧=52.

Por tanto, −28𝑥=−840⇔𝑥=30,𝑥−2𝑦=0𝑥=30←←←←←←←→30−2𝑦=0⇔𝑦=15,𝑥+𝑦+𝑧=52𝑥=30←←←←←←←→𝑦=1530+15+𝑧=52⇔𝑧=7. Así que se producen 30 botellas, 15 garrafas y 7 bidones por hora.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2021

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑚𝑦+𝑚𝑧=1,𝑥+2𝑚𝑦+(𝑚+1)𝑧=1,2𝑥+𝑚𝑦+𝑚𝑧=2.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝑚 =1.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝑚𝑚12𝑚𝑚+12𝑚𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣1𝑚𝑚12𝑚𝑚+12𝑚𝑚∣=2𝑚2+2𝑚(𝑚+1)+𝑚2−4𝑚2−𝑚(𝑚+1)−𝑚2=−𝑚2+𝑚. Observamos que |𝐴|=0⇔−𝑚2+𝑚=0⇔𝑚(−𝑚+1)=0⇔{𝑚=0,−𝑚+1=0⇔𝑚=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠0 y 𝑚 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) ≤2.
    • Si 𝑚 ≠0 y 𝑚 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 =0, la matriz de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100101200⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Podemos ver que ∣1120∣=−2≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝100110112002⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣101111202∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =1, la matriz de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111122211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Podemos ver que ∣1121∣=−1≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111112212112⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣111121212∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝑚 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a {𝑥+𝑦+𝑧=1,2𝑥+𝑦+𝑧=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos ambas ecuaciones, obtenemos que −𝑥=−1⇔𝑥=1. Si tomamos 𝑦 =𝜆, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑥−𝑦𝑥=1←←←←←←→𝑦=𝜆𝑧=−𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1,𝑦=𝜆,𝑧=−𝜆.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2021

En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7,50€. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7,20€.

  1. Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja.
  2. ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2€? Razona la respuesta.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al precio de un café, 𝑦 al de una tostada y 𝑧 al de un zumo de naranja. Por un lado, si tres cafés, una tostada y dos zumos cuestan 7,50€, entonces 3𝑥+𝑦+2𝑧=7,50. Por otro lado, si cuatro cafés, una tostada y un zumo cuestan 7,20€, 4𝑥+𝑦+𝑧=7,20. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales {3𝑥+𝑦+2𝑧=7,50,4𝑥+𝑦+𝑧=7,20. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. (3127,54117,2)𝐹1−𝐹2←←←←←←←←→(−1010,34117,2). El sistema resultante es {−𝑥+𝑧=0,3,4𝑥+𝑦+𝑧=7,2. Si 𝑥 =𝜆, entonces −𝑥+𝑧=0,3𝑥=𝜆←←←←←←→−𝜆+𝑧=0,3⇔𝑧=𝜆+0,3,4𝑥+𝑦+𝑧=7,2𝑥=𝜆←←←←←←←←←←→𝑧=𝜆+0,34𝜆+𝑦+𝜆+0,3=7,2⇔𝑦=6,9−5𝜆. Así que el precio de dos cafés, una tostada y tres zumos se puede calcular como 2𝑥+𝑦+3𝑧=2𝜆+6,9−5𝜆+3(𝜆+0,3)=7,8. Por tanto, el precio total es 7,80€.
  2. Si el precio del zumo de naranja es de 2€, entonces 𝑧=2⇔𝜆+0,3=2⇔𝜆=1,7. Así que 𝑥=1,7,𝑦=6,9−5⋅1,7=−1,6. El precio de la tostada no puede ser negativo, así que no es posible que el precio del zumo de naranja sea de 2€.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2021

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+2𝑧=0,3𝑥−𝑦−2𝑧=0,−𝑥+2𝑦+𝑚𝑧=0.

  1. Calcula 𝑚 para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.
  2. Para 𝑚 =2, ¿existe alguna solución tal que 𝑧 =1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. Como se trata de un sistema homogéneo, sabemos que es compatible. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1123−1−2−12𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para que el sistema sea compatible indeterminado necesitamos que el rango de 𝐴 sea menor que el número de incógnitas, por el teorema de Rouché-Frobenius. Es decir, su determinante ha de ser nulo. Además, observamos que ∣113−1∣=−4≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Calculamos el determinante de 𝐴. |𝐴|=∣1123−1−2−12𝑚∣=−4𝑚+16. Así que rang⁡(𝐴)=2⇔|𝐴|=0⇔−4𝑚+16=0⇔𝑚=4. Por tanto, para 𝑚 =4 el sistema tiene infinitas soluciones. Como para este valor del parámetro el rango de 𝐴 es 2, el sistema se puede reducir a {𝑥+𝑦+2𝑧=0,3𝑥−𝑦−2𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que 4𝑥=0⇔𝑥=0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces 𝑥+𝑦+2𝑧=0𝑥=0←←←←←←→𝑧=𝜆𝑦+2𝜆=0⇔𝑦=−2𝜆. Por tanto, la solución del sistema es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑦=−2𝜆,𝑧=𝜆,𝜆∈ℝ.
  2. Si 𝑚 =2, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior y como es homogéneo su única solución es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0. Por tanto, no existe ninguna solución con 𝑧 =1.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2021

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝202−121014⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Estudia, según los valores de 𝜆, el rango de la matriz 𝐴 −𝜆𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden tres.
  2. Resuelve el sistema (𝐴−𝐼)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ y halla, si existe, una solución en la que 𝑥 =2.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 −𝜆𝐼. ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝202−121014⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−𝜆⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−𝜆02−12−𝜆1014−𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos el determinante de esta matriz. |𝐴−𝜆𝐼|=∣2−𝜆02−12−𝜆1014−𝜆∣=(2−𝜆)2(4−𝜆)−2−(2−𝜆)=−𝜆3+8𝜆2−19𝜆+12. Si factorizamos el polinomio, obtenemos que |𝐴−𝜆𝐼|=−(𝜆−1)(𝜆−3)(𝜆−4). Observamos que |𝐴−𝜆𝐼|=0⇔−(𝜆−1)(𝜆−3)(𝜆−4)=0⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝜆=1,𝜆=3,𝜆=4. Así que, si 𝜆 ≠1, 𝜆 ≠3 y 𝜆 ≠4, entonces rang⁡(𝐴 −𝜆𝐼) =3. En caso contrario, rang⁡(𝐴) ≤2. Estudiemos estos casos.
    • Si 𝜆 =1, 𝐴−𝜆𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝102−111013⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣10−11∣=1≠0⇒rang⁡(𝐴−𝜆𝐼)=2.
    • Si 𝜆 =3, 𝐴−𝜆𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−102−1−11011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣−10−1−1∣=1≠0⇒rang⁡(𝐴−𝜆𝐼)=2.
    • Si 𝜆 =4, 𝐴−𝜆𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−202−1−21010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣−20−1−2∣=4≠0⇒rang⁡(𝐴−𝜆𝐼)=2.
    Por tanto,
    • Si 𝜆 ≠1, 𝜆 ≠3 y 𝜆 ≠4, entonces rang⁡(𝐴 −𝜆𝐼) =3.
    • Si 𝜆 =1, 𝜆 =3 o 𝜆 =4, entonces rang⁡(𝐴 −𝜆𝐼) =2.
  2. El sistema a resolver es ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝102−111013⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠→⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑧=0,−𝑥+𝑦+𝑧=0,𝑦+3𝑧=0. Como se trata de un sistema homogéneo, sabemos que es compatible. Por el apartado anterior rang⁡(𝐴 −𝐼) =2, así que se trata de un sistema compatible indeterminado y se puede reducir a {𝑥+2𝑧=0,𝑦+3𝑧=0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, 𝑥+2𝑧=0𝑧=𝜆←←←←←←→𝑥+2𝜆=0⇔𝑥=−2𝜆,𝑦+3𝑧=0𝑧=𝜆←←←←←←→𝑦+3𝜆=0⇔𝑧=−3𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−2𝜆,𝑦=−3𝜆,𝑧=𝜆,𝜆∈ℝ. Para 𝜆 = −1, una solución es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2,𝑦=3,𝑧=−1.

Ejercicio 6: Julio de 2021

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

  1. Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.
  2. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de viajes semanales por la ruta A, 𝑦 al de la ruta B y 𝑧 al de la ruta C.

Si hace un total de 70 viajes semanales, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=70. Además, si el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C, entonces 𝑦=𝑥+𝑧.

  1. Si el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, entonces 2(𝑥+𝑧)=70. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑦=𝑥+𝑧,2(𝑥+𝑧)=70⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,2𝑥+2𝑧=70⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑧=35. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1111−11101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su determinante. |𝐴|=∣1111−11101∣=0. Como det(𝐴) =0, entonces rang⁡(𝐴) <3. Por tanto, no se trata de un sistema compatible determinado, así que no se puede determinar el número de viajes por ruta.
  2. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, entonces 2𝑧=𝑦−5. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,2𝑧=𝑦−5⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,𝑦−2𝑧=5. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111701−11001−25⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−𝐹1←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111700−20−7001−25⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,−2𝑦=−70,𝑦−2𝑧=5. Por tanto, −2𝑦=−70⇔𝑦=35,𝑦−2𝑧=5⇔𝑧=𝑦−52𝑦=35←←←←←←←→𝑧=15,𝑥+𝑦+𝑧=70⇔𝑥=70−𝑦−𝑧𝑦=35←←←←←←←→𝑧=15𝑥=20. Así que se hacen 20 viajes semanales por la ruta A, 35 por la ruta B y 15 por la ruta C.

Ejercicio 7: Julio de 2020

Considera 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111101414⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎2𝑎3𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵, según los valores de 𝑎.
  2. Para 𝑎 =0, resuelve el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵. Calcula, si es posible, una solución en la que 𝑦 +𝑧 =4.

Resolución
  1. Observamos que: |𝐴|=∣111101414∣=0,∣1110∣=−1≠0. Así que rang⁡(𝐴) =2. Por otro lado, la matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111𝑎1012𝑎4143𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar su rango según el valor de 𝑎, estudiamos el determinante: ∣11𝑎102𝑎413𝑎∣=8𝑎+𝑎−2𝑎−3𝑎=4𝑎. Observamos que: 4𝑎=0⇔𝑎=0. Es decir, rang⁡(𝐴∗) =3 cuando 𝑎 ≠0. En otro caso, rang⁡(𝐴∗) =2.
    • Si 𝑎 ≠0, rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), así que el sistema es incompatible.
    • Si 𝑎 =0, rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, así que el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝑎 =0, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a: {𝑥+𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 𝑦 =0. Así que, si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces 𝑥 = −𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜆,𝑦=0,𝑧=𝜆. Para 𝜆 =4, una solución es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−4,𝑦=0,𝑧=4. Esta solución verifica que 𝑦 +𝑧 =4.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2020

Siendo 𝜆 un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝜆𝑦=2,2𝑥+4𝑦=1,𝜆𝑥+𝑦=2𝜆. Discútelo según los valores de 𝜆 y resuélvelo cuando sea posible.

Resolución

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema son: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝜆24𝜆1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1𝜆2241𝜆12𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. En primer lugar, observamos que: ∣1221∣=−3≠0⇒rang⁡(𝐴∗)≥2. Para determinar el rango de 𝐴∗ en función del valor de 𝜆, estudiamos su determinante. |𝐴∗|=∣1𝜆2241𝜆12𝜆∣=8𝜆+𝜆2+4−8𝜆−4𝜆2−1=−3𝜆2+3. Observamos que: |𝐴∗|=0⇔−3𝜆2+3=0⇔𝜆2=1⇔𝜆=±1. Es decir, rang⁡(𝐴∗) =3 si y solo si 𝜆 ≠ ±1. En otro caso, rang⁡(𝐴∗) =2.

  • Si 𝜆 ≠ ±1, entonces rang⁡(𝐴∗) =3 y rang⁡(𝐴) ≤2. Por tanto, el sistema es incompatible.
  • Si 𝜆 = −1, la matriz de coeficientes es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−124−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1−124∣=6≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) =2, el sistema es compatible determinado. Podemos reducir el sistema a: {𝑥−𝑦=2,2𝑥+4𝑦=1𝐹1⋅(−2)←←←←←←←←←→{−2𝑥+2𝑦=−4,2𝑥+4𝑦=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que: 6𝑦=−3⇔𝑦=−12. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥−𝑦=2⇔𝑥=2+𝑦𝑦=−1/2←←←←←←←←←→𝑥=32. Por tanto, la solución es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=32,𝑦=−12.
  • Si 𝜆 =1, la matriz de coeficientes es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112411⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1124∣=2≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) =2, el sistema es compatible determinado. Podemos reducir el sistema a: {𝑥+𝑦=2,2𝑥+4𝑦=1𝐹1⋅(−2)←←←←←←←←←→{−2𝑥−2𝑦=−4,2𝑥+4𝑦=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que: 2𝑦=−3⇔𝑦=−32. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥+𝑦=2⇔𝑥=2−𝑦𝑦=−3/2←←←←←←←←←→𝑥=72. Por tanto, la solución es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=72,𝑦=−32.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2020

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑎𝑦+𝑧=𝑎,𝑥+𝑦+𝑎𝑧=𝑎2.

  1. Discútelo según los valores de 𝑎.
  2. Resuelve, si es posible, el sistema para 𝑎 =1 y 𝑎 = −2.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎111𝑎111𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑎, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣𝑎111𝑎111𝑎∣=𝑎3−3𝑎+2. Observamos que: |𝐴|=0⇔𝑎3−3𝑎+2=0⇔(𝑎−1)2(𝑎+2)=0⇔{𝑎=−2,𝑎=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑎 ≠ −2 y 𝑎 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) ≤2.
    • Si 𝑎 ≠ −2 y 𝑎 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑎 = −2, la matriz de coeficientes es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2111−2111−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣−211−2∣=3≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−21111−21−211−24⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣−2111−2−2114∣=9≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
    • Si 𝑎 =1, la matrices de coeficientes y ampliada son: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111111111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111111111111⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que las tres filas son iguales en las dos matrices, así que rang⁡(𝐴) =1 y rang⁡(𝐴∗) =1. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑎 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior y se puede reducir a: 𝑥+𝑦+𝑧=1. Si tomamos 𝑥 =𝜆 e 𝑦 =𝜇, entonces: 𝑥+𝑦+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑥−𝑦=1−𝜆−𝜇. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=𝜇,𝑧=1−𝜆−𝜇,𝜆,𝜇∈ℝ.
    • Si 𝑎 = −2, el sistema es incompatible por el apartado anterior, así que no tiene solución.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2020

Considera 𝐴=(211101),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−1𝑚11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina los valores de 𝑚 para los que 𝐴𝐵 no tiene inversa.
  2. Determina los valores de 𝑚 para los que 𝐵𝐴 no tiene inversa.
  3. Para 𝑚 =0, resuelve, si es posible, el sistema dado por 𝐵𝐴𝑋 =𝐶 y halla una solución en la que 𝑥 +𝑦 +𝑧 =0.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2020

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑚𝑦+𝑧=1,5𝑥+2𝑦+𝑚𝑧=0,𝑚𝑦+(𝑚−3)𝑧=−3.

  1. Discute el sistema en función de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =0, resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que 𝑦 =5.

Ejercicio 3: Septiembre de 2020

Considera el sistema de ecuaciones dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−21𝑚4−20𝑚+2−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝22𝑚1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 = −2, ¿existe alguna solución con 𝑧 =0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que: ∣110−3∣=−3≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣1−21𝑚4−20𝑚+2−3∣=−12+𝑚2+2𝑚−6𝑚+2𝑚+4=𝑚2−2𝑚−8. Observamos que: |𝐴|=0⇔𝑚2−2𝑚−8=0⇔{𝑚=−2,𝑚=4.
    • Si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠4, entonces rang⁡(𝐴) =3. Como el rango de la matriz de coeficientes es máximo, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −2, entonces rang⁡(𝐴) =2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−212−24−2−400−31⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que las dos primeras filas son proporcionales, así que rang⁡(𝐴∗) =2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) =2 <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =4, entonces rang⁡(𝐴) =2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−21244−2806−31⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1124−280−31∣=−6≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 = −2, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a: {𝑥−2𝑦+𝑧=2,−3𝑧=1. Si tomamos 𝑦 =𝜆, entonces: −3𝑧=1⇔𝑧=−13,𝑥−2𝑦+𝑧=2⇔𝑥=2+2𝑦−𝑧𝑦=𝜆←←←←←←←←←→𝑧=−1/3𝑥=73+2𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=73+2𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=−13,𝜆∈ℝ. Observamos que no existe ninguna solución con 𝑧 =0.

Ejercicio 7: Septiembre de 2020

Considera 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝123002011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halla los valores de 𝜆 tales que |𝐴 −𝜆𝐼| =0, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3.
  2. Para 𝜆 =1, resuelve el sistema dado por (𝐴 −𝜆𝐼)𝑋 =0. ¿Existe alguna solución tal que 𝑧 =1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la matriz 𝐴 −𝜆𝐼. 𝐴−𝜆𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝123002011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝜆000𝜆000𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−𝜆230−𝜆2011−𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su determinante. |𝐴−𝜆𝐼|=∣1−𝜆230−𝜆2011−𝜆∣=−𝜆(1−𝜆)−2(1−𝜆)=−(𝜆+2)(1−𝜆). Observamos que: |𝐴−𝜆𝐼|=0⇔−(𝜆+2)(1−𝜆)=0⇔{𝜆=−2,𝜆=1.
  2. Si 𝜆 =1, la matriz 𝐴 −𝜆𝐼 es: 𝐴−𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0230−12010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Sabemos que rang⁡(𝐴 −𝐼) ≤2 por el apartado anterior. Además, observamos que: ∣−1210∣=−2≠0⇒rang⁡(𝐴−𝐼)=2. Como se trata de un sistema homogéneo, es compatible indeterminado. Podemos reducir el sistema a: {−𝑦+2𝑧=0,𝑦=0. Despejando y sustituyendo, obtenemos que: −𝑦+2𝑧=0⇔𝑧=𝑦2𝑦=0←←←←←→𝑧=0. Si tomamos 𝑥 =𝜇, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜇,𝑦=0,𝑧=0,𝜇∈ℝ. Observamos que no existe ninguna solución con 𝑧 =1.

Ejercicio B3: Junio de 2019

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−𝑚12𝑚−11𝑚1𝑚11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑚2−1𝑚1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝑋𝑡𝐴 =𝐵𝑡. Discútelo según los distintos valores de 𝑚.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2019

Dado el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥−𝑦+13𝑧=0,2𝑥−𝑚𝑦+4𝑧=0,𝑥+𝑦+7𝑧=0.

  1. Encuentra los valores de 𝑚 para los que el sistema tiene infinitas soluciones.
  2. Resuelve el sistema para 𝑚 =3. En este caso, ¿hay alguna solución en la que 𝑥 =10? Razona tu respuesta.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2019

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎111𝑎111𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Encuentra los valores de 𝑎 para los que el sistema dado por 𝐴𝑋 =2𝑋 tiene infinitas soluciones.
  2. Para 𝑎 =0, si es posible, resuelve 𝐴𝑋 =2𝑋.

Resolución
  1. Podemos expresar el sistema de la forma 𝐴𝑋=2𝑋⇔𝐴𝑋−2𝑋=0⇔(𝐴−2𝐼)𝑋=0. Observamos que se trata de un sistema homogéneo con matriz de coeficientes, así que es compatible. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴−2𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎−2111𝑎−2111𝑎−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para que el sistema sea compatible indeterminado necesitamos que el rango de 𝐴 −2𝐼 de sea menor que el número de incógnitas. Es decir, su determinante ha de ser nulo.
    Calculamos el determinante de 𝐴 −2𝐼. |𝐴−2𝐼|=∣𝑎−2111𝑎−2111𝑎−2∣=(𝑎−2)3+2−3(𝑎−2)==𝑎3−6𝑎2+12𝑎−8+2−3𝑎+6=𝑎3−6𝑎2+9𝑎. Así que |𝐴−2𝐼|=0⇔𝑎3−6𝑎2+9𝑎=0⇔𝑎(𝑎2−6𝑎+9)=0⇔{𝑎=0,𝑎2−6𝑎+9=0⇔𝑎=3. Por tanto, para 𝑎 =0 y 𝑎 =3 el sistema tiene infinitas soluciones.
  2. Si 𝑎 =0, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior y su matriz de coeficientes es 𝐴−2𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2111−2111−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣−211−2∣=3≠0⇒rang⁡(𝐴−2𝐼)=2. Así que el sistema se puede reducir a {−2𝑥+𝑦+𝑧=0,𝑥−2𝑦+𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos ambas ecuaciones, obtenemos que −3𝑥+3𝑦=0⇔𝑥=𝑦. Sustituyendo en la primera ecuación, −2𝑥+𝑦+𝑧=0⇔𝑧=2𝑥−𝑦𝑥=𝑦←←←←←←→𝑧=𝑥. Si tomamos 𝑥 =𝜆, la solución del sistema es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=𝜆,𝜆∈ℝ.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2019

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝜆𝑦+𝑧=4,−𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑦+𝑧=𝜆+3.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝜆 =1.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2019

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝑚1𝑚−1𝑚0111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01𝑘⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Estudia el rango de 𝐴 según los valores de 𝑚.
  2. Sabiendo que para 𝑚 =1 el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵 tiene solución, encuentra 𝑘 y resuélvelo.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2019

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥+(𝑚+1)𝑧=𝑚,𝑚𝑦+𝑧=𝑚,𝑦+𝑚𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuélvelo, si es posible, para 𝑚 =1.

Ejercicio A3: Septiembre de 2019

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+2𝑧=0,(𝑚+2)𝑥+𝑦−𝑧=𝑚,3𝑥+(𝑚+2)𝑦+𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝑚 =0.

Ejercicio B3: Septiembre de 2019

Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

Resolución

Llamamos 𝑥 al ángulo menor del triángulo, 𝑦 al ángulo intermedio y 𝑧 al ángulo mayor.

En primer lugar, como el menor es la mitad del mayor, entonces 𝑥=𝑧2. Además, como la suma de los ángulos menor y mayor son el doble del intermedio, 𝑥+𝑧=2𝑦. Por último, la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, así que 𝑥+𝑦+𝑧=180. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝑧2,𝑥+𝑧=2𝑦,𝑥+𝑦+𝑧=180⇒⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−𝑧=0,𝑥−2𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑦+𝑧=180.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−101−210111180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+𝐹1←←←←←←←←→𝐹3+𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−103−200310180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+2𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−10900360310180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−𝑧=0,9𝑥=360,3𝑥+𝑦=180.

Por tanto, 9𝑥=360⇔𝑥=40,2𝑥−𝑧=0𝑥=40←←←←←←←→80−𝑧=0⇔𝑧=80,3𝑥+𝑦=180𝑥=40←←←←←←←→120+𝑦=180⇔𝑦=60. Así que los ángulos del triángulo son 40º, 60º y 80º, respectivamente.

Ejercicio A3: Junio de 2018

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑦+(𝑚+3)𝑧=3,𝑥+𝑦+𝑧=3𝑚,2𝑥+4𝑦+3(𝑚+1)𝑧=8.

  1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuelve el sistema para 𝑚 = −2.

Ejercicio B3: Junio de 2018

  1. Justifica que es posible hacer un pago de 34,50 euros cumpliendo las siguientes restricciones:
    • Utilizando únicamente monedas de 50 céntimos, de 1 euro y de 2 euros.
    • Se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas.
    • Tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.
    ¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?
  2. Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2018

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−1𝜆2−𝜆12𝜆−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el rango de 𝐴 según los valores del parámetro 𝜆.
  2. Para 𝜆 = −2, estudia y resuelve el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2018

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑚𝑧=1,𝑥+𝑚𝑦+𝑧=1,𝑥+2𝑦+4𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema en función del parámetro 𝑚.
  2. Si es posible, resuelve el sistema para 𝑚 =1.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2018

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200121103⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝑚𝑋 según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.
  3. Para 𝑚 =3 resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que 𝑥 +𝑦 +𝑧 =3.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2018

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑧=𝑚,𝑚𝑦+3𝑧=1,4𝑥+𝑦−𝑚𝑧=5.

  1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Para 𝑚 =1 resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea 𝑥 =𝑧.

Ejercicio B3: Septiembre de 2018

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑚𝑧=𝑚2,𝑦−𝑧=𝑚,𝑥+𝑚𝑦+𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuélvelo para 𝑚 =1. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑧 =2.

Ejercicio A3: Junio de 2017

Considera 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−20−21000−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina los valores de 𝜆 para los que la matriz 𝐴 +𝜆𝐼 no tiene inversa.
  2. Resuelve 𝐴𝑋 = −3𝑋. Determina, si existe, alguna solución con 𝑥 =1.

Ejercicio B3: Junio de 2017

Sabemos que el coste de 3 lápices, 1 rotulador y 2 carpetas es de 15 euros, mientras que el de 2 lápices, 4 rotuladores y 1 carpeta es de 20 euros.

  1. Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25 euros ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.
  2. Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2017

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−112−2241−1−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑀=(−112)y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula 𝐵𝑀.
  2. Razona si el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵 tiene solución o no y, en caso afirmativo, cuántas soluciones tiene.
  3. Resuelve 𝐴𝑋 =𝐵.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2017

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥+𝑘𝑦=1,2𝑥−𝑦+𝑘𝑧=1,𝑥−3𝑦+2𝑧=1 del que se sabe que para un cierto valor de 𝑘 es compatible indeterminado.

  1. Determina el valor de 𝑘.
  2. Resuelve el sistema para 𝑘 =1.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2017

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−111𝑚𝑚𝑚13⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =2, si es posible, resuelve el sistema dado.

Ejercicio A3: Septiembre de 2017

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11120313𝑚−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑚2𝑚+1𝑚−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =2, calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para la que 𝑧 =17.

Ejercicio B3: Junio de 2016

Se considera el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩(3𝛼−1)𝑥+2𝑦=5−𝛼,𝛼𝑥+𝑦=2,3𝛼𝑥+3𝑦=𝛼+5.

  1. Discútelo según los valores del parámetro 𝛼.
  2. Resuélvelo para 𝛼 =1 y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde 𝑥 =4.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2016

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝜆𝑦+𝑧=𝜆,𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑦+𝜆𝑧=1.

  1. Determina, si existen, los valores de 𝜆 para los que el sistema tiene infinitas soluciones.
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 = −2.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2016

Sea la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21001−1024⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Estudia, según los valores de 𝜆, el rango de la matriz 𝐴 −𝜆𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3.
  2. Resuelve el sistema dado por (𝐴−2𝐼)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2016

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝜆+1)𝑦+𝑧=1,𝜆𝑦+𝑧=0,𝜆𝑦+𝜆𝑧=𝜆.

  1. Discútelo según los valores de 𝜆.
  2. Resuélvelo para 𝜆 =0.
  3. Determina, si existe, el valor de 𝜆 para el que hay una solución en la que 𝑧 =2. Calcula esa solución.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2016

Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−1𝑚+2𝑚11𝑚+2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−𝑚𝑚7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema para 𝑚 = −3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que 𝑥 =2.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2016

De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente:

  • La empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas.
  • El beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos.
  1. Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C.
  2. Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.

Ejercicio A3: Septiembre de 2016

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−4𝑦+2𝑧=1,5𝑥−11𝑦+9𝑧=𝜆,𝑥−3𝑦+5𝑧=2.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Resuélvelo, si es posible, para 𝜆 =4.

Ejercicio A3: Junio de 2015

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝑦−𝑧=−1,𝜆𝑥+𝜆𝑧=𝜆,𝑥+𝑦−𝜆𝑧=0.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 =0.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2015

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝜆𝑦+𝜆𝑧=0,𝜆𝑥+2𝑦+2𝑧=0,𝜆𝑥+2𝑦+𝑧=0.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Determina, si existen, los valores de 𝜆 para los que el sistema tiene alguna solución en la que 𝑧 ≠0.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2015

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝛼𝑧=2,2𝑥+𝛼𝑦=𝛼+4,3𝑥+𝑦+(𝛼+4)𝑧=7.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝛼.
  2. Resuelve el sistema para 𝛼 =2.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2015

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝛼𝑥+𝑦+3𝑧=4,𝑥+𝑦−2𝑧=−2,−𝑥+2𝑦+(3+𝛼)𝑧=4+𝛼.

  1. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema dado tiene solución única.
  2. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2015

Considera el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼2−101234𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝛼−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema tiene solución única.
  2. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema no tiene solución.
  3. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Ejercicio B3: Septiembre de 2015

Considera el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+(𝛼−1)𝑧=𝛼−1,𝑥−𝛼𝑦−3𝑧=1,𝑥+𝑦+2𝑧=2𝛼−2.

  1. Resuelve el sistema para 𝛼 =1.
  2. Determina, si existe, el valor de 𝛼 para el que (𝑥,𝑦,𝑧) =(1, −3,𝛼) es la única solución del sistema dado.

Ejercicio A3: Junio de 2014

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales. {𝑥+2𝑦−3𝑧=3,2𝑥+3𝑦+𝑧=5.

  1. Calcula 𝛼 de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma 𝛼𝑥 +𝑦 −7𝑧 =1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.
  2. Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2014

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝑚+1)𝑦+2𝑧=−1,𝑚𝑥+𝑦+𝑧=𝑚,(1−𝑚)𝑥+2𝑦+𝑧=−𝑚−1.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuélvelo para 𝑚 =2. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑧 =2.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2014

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧. ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑦+(𝜆+1)𝑧=𝜆,𝜆𝑥+𝑧=𝜆,𝑥+𝜆𝑧=𝜆.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝜆.
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 =1.
  3. Para 𝜆 =0, si es posible, da tres soluciones distintas.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2014

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥−2𝑦+𝑧=1,𝑥−2𝑚𝑦+𝑧=−2,𝑥−2𝑦+𝑚𝑧=1.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Si es posible, resuelve el sistema para 𝑚 = −2.

Ejercicio A3: Septiembre de 2014

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+𝑚𝑧=0,𝑚𝑥+2𝑦+𝑧=0,−𝑥+𝑦+2𝑚𝑧=0.

  1. Halla los valores del parámetro 𝑚 para los que el sistema tiene una única solución.
  2. Halla los valores del parámetro 𝑚 para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.
  3. Resuelve el sistema para 𝑚 = −2.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2013

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {𝑥−𝑦+𝑧=0,2𝑥+3𝑦−𝑧=3.

  1. Determina el valor de 𝑚 para el que al añadir una ecuación 𝑥+𝑚𝑦+4𝑧=−3 al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.
  2. Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2013

Sean 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−21−3−1𝑚𝑚−2𝑚02⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina el rango de 𝐴 según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Discute el sistema 𝐴𝑋 =𝐵 según los valores del parámetro 𝑚.
  3. Resuelve el sistema 𝐴𝑋 =𝐵 para 𝑚 =1.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2013

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑦+𝑧=0,𝑥−𝑦+𝑚𝑧=𝑚−2,𝑚𝑥+𝑦+3𝑧=𝑚−2.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuélvelo, si es posible, para 𝑚 =2.

Ejercicio B3: Septiembre de 2013

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−4𝑦+6𝑧=6,𝑚𝑦+2𝑧=𝑚+1,−3𝑥+6𝑦−3𝑚𝑧=−9.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuélvelo para 𝑚 =3. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑦 =0.

Ejercicio B3: Junio de 2012

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=𝜆+1,3𝑦+2𝑧=2𝜆+3,3𝑥+(𝜆−1)𝑦+𝑧=𝜆.

  1. Resuelve el sistema para 𝜆 =1.
  2. Halla los valores de 𝜆 para los que el sistema tiene una única solución.
  3. ¿Existe algún valor de 𝜆 para el que el sistema admite la solución (−12,0,12)?

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2012

Dado el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑘𝑥+2𝑦=3,−𝑥+2𝑘𝑧=−1,3𝑥−𝑦−7𝑧=𝑘+1.

  1. Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro 𝑘.
  2. Resuélvelo para 𝑘 =1.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2012

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝑘+1)𝑦+2𝑧=−1,𝑘𝑥+𝑦+𝑧=2,𝑥−2𝑦−𝑧=𝑘+1.

  1. Clasifícalo según los distintos valores de 𝑘.
  2. Resuélvelo para el caso 𝑘 =2.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2012

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑘𝑦+2𝑧=𝑘+1,𝑥+2𝑦+𝑘𝑧=3,(𝑘+1)𝑥+𝑦+𝑧=𝑘+2.

  1. Determina los valores de 𝑘 para los que el sistema tiene más de una solución.
  2. ¿Existe algún valor de 𝑘 para el cual el sistema no tiene solución?
  3. Resuelve el sistema para 𝑘 =0.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2012

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

  1. ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.
  2. Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2012

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑘𝑧=1,2𝑥+𝑘𝑦=1,𝑦+2𝑧=𝑘.

  1. Clasifica el sistema según los valores del parámetro 𝑘.
  2. Resuélvelo para 𝑘 =1.
  3. Resuélvelo para 𝑘 = −1.

Ejercicio A3: Septiembre de 2012

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑘𝑥+2𝑦=2,2𝑥+𝑘𝑦=𝑘,𝑥−𝑦=−1.

  1. Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro 𝑘.
  2. Especifica para qué valores del parámetro 𝑘 es determinado y para cuáles indeterminado.
  3. Halla las soluciones en cada caso.

Ejercicio B3: Septiembre de 2012

Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦=𝜆,2𝜆𝑦+𝜆𝑧=𝜆,−𝑥−𝑦+𝜆𝑧=0.

  1. Clasifícalo según los distintos valores del parámetro 𝜆.
  2. Resuélvelo para 𝜆 =0 y 𝜆 = −1.

Ejercicio A3: Junio de 2011

Dado el sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩−𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝜆𝑦+𝑧=2,𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1.

  1. Clasifica el sistema según los valores del parámetro 𝜆.
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 =0.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2011

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1102𝑡+1𝑡−1−2𝑡−10𝑡+3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula el rango de 𝐴 según los diferentes valores de 𝑡.
  2. Razona para qué valores de 𝑡 el sistema homogéneo 𝐴𝑋 =0 tiene más de una solución.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2011

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−2𝑦+4𝑧=4,2𝑥+𝑧=𝑎,−3𝑥−3𝑦+3𝑧=−3.

  1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑎.
  2. Resuélvelo cuando sea posible.

Ejercicio B3: Junio de 2010

Sea el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝑦+𝑧=𝜆+2,2𝑥−𝜆𝑦+𝑧=2,𝑥−𝑦+𝜆𝑧=𝜆.

  1. Discútelo según los valores de 𝜆. ¿Tiene siempre solución?
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 = −1.

Ejercicio A3: Septiembre de 2010

  1. Discute, según los valores del parámetro 𝜆, el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+𝜆𝑦+𝑧=𝜆,𝜆𝑥+2𝑦+(𝜆+2)𝑧=4,𝑥+3𝑦+2𝑧=6−𝜆.
  2. Resuelve el sistema anterior para 𝜆 =0.