Matemáticas de Selectividad

Halla los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la gráfica de la función 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 tiene una asíntota vertical en 𝑥 =1, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de abscisa 𝑥 =3.

Calcula ∫𝜋0𝑥2sen⁡(𝑥)𝑑𝑥.

Considera las siguientes matrices: 𝐴=(−122−1),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100−210321⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(100−150).

1. Determina la matriz 𝑋 para la que 𝐴𝑡𝑋𝐵−1 =𝐶.
2. Calcula el determinante de 𝐵−1(𝐶𝑡𝐶)𝐵.

Sea 𝑟 la recta definida por ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1,𝑦=1,𝑧=𝜆−2 y 𝑠 la recta dada por {𝑥−𝑦=1,𝑧=−1.

1. Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener 180.000 m² para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita vallado?

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =|𝑥2 −4|.

1. Haz un esbozo de la gráfica de 𝑓.
2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =5.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+(𝛼−1)𝑧=𝛼−1,𝑥−𝛼𝑦−3𝑧=1,𝑥+𝑦+2𝑧=2𝛼−2.

1. Resuelve el sistema para 𝛼 =1.
2. Determina, si existe, el valor de 𝛼 para el que (𝑥,𝑦,𝑧) =(1, −3,𝛼) es la única solución del sistema dado.

Considera el plano 𝜋 de ecuación 𝑚𝑥 +5𝑦 +2𝑧 =0 y la recta 𝑟 dada por 𝑥+13=𝑦𝑛=𝑧−12.

1. Calcula 𝑚 y 𝑛 en el caso en el que la recta 𝑟 es perpendicular al plano 𝜋.
2. Calcula 𝑚 y 𝑛 en el caso en el que la recta 𝑟 está contenida en el plano 𝜋.