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Ejercicio 3: Junio de 2025

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=𝑎+ln⁡(𝑥)𝑥2.

  1. Calcula 𝑎 para que 𝑦 =1 sea una asíntota horizontal de la gráfica de 𝑓.
  2. Para 𝑎 =0, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓. Estudia y halla los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Resolución
  1. La ordenada de la asíntota horizontal viene dada por: lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑎+ln⁡(𝑥)𝑥2)=𝑎. Para que 𝑦 =1 sea la asíntota horizontal, ha de verificarse que 𝑎 =1.
  2. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=1𝑥⋅𝑥2−ln⁡(𝑥)⋅2𝑥𝑥4=𝑥−2𝑥ln⁡(𝑥)𝑥4=1−2ln⁡(𝑥)𝑥3. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔1−2ln⁡(𝑥)𝑥3=0⇔1−2ln⁡(𝑥)=0⇔ln⁡(𝑥)=12⇔𝑥=√𝑒. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,√𝑒) (√𝑒, +∞)
    signo de 𝑓′ + −
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (0,√𝑒) y decreciente en (√𝑒, +∞). Además, el punto (√𝑒,12𝑒) es un máximo relativo.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2025

Sea 𝑓 :[0,2] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)={1−𝑒𝑥,si 0≤𝑥<1,2𝑥−1−𝑒,si 1≤𝑥≤2.

  1. Estudia la derivabilidad de 𝑓.
  2. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2025

Considera la función 𝑓 :( −1,1) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1(1−|𝑥|)2.

  1. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2025

Sean las funciones 𝑓 :( −1,0) ∪(0,1) →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ, definidas por 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥2𝑒)y𝑔(𝑥)=𝑥3+2.

  1. Calcula 𝑎 ≠0 de forma que en el punto (𝑎,𝑓(𝑎)) la recta normal a la gráfica de la función 𝑓 sea paralela a la recta tangente a la gráfica de 𝑔 en el punto (𝑎,𝑔(𝑎)).
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función 𝑓.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2025

Sea la función 𝑓 :( −1,1) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1+|𝑥|1−|𝑥|.

  1. Estudia la derivabilidad de 𝑓.
  2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2024

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥2+1𝑥).

  1. Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
  2. Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑥𝑥2+1⋅2𝑥⋅𝑥−(𝑥2+1)𝑥2=𝑥2−1𝑥(𝑥2+1). Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔𝑥2−1𝑥(𝑥2+1)=0⇔𝑥2−1=0⇔𝑥=±1. Como Dom⁡(𝑓) =(0, +∞), el único punto crítico es 𝑥 =1. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ − +
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (1, +∞) y decreciente en (0,1).
  2. Por el apartado anterior, el punto (1,ln⁡(2)) es un mínimo absoluto y la función no tiene más extremos.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2024

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥2 +1)𝑒𝑥.

  1. Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de 𝑓 y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥𝑒𝑥+(𝑥2+1)𝑒𝑥=(𝑥2+2𝑥+1)𝑒𝑥=(𝑥+1)2𝑒𝑥. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔(𝑥+1)2𝑒𝑥=0⇔(𝑥+1)2=0⇔𝑥+1=0⇔𝑥=−1. Observamos que 𝑓′(𝑥) >0 para valor de 𝑥, así que 𝑓 es creciente en ℝ.
  2. En primer lugar, hallamos la segunda derivada de la función 𝑓. 𝑓″(𝑥)=2(𝑥+1)𝑒𝑥+(𝑥+1)2𝑒𝑥=(2𝑥+2)𝑒𝑥+(𝑥2+2𝑥+1)𝑒𝑥=(𝑥2+4𝑥+3)𝑒𝑥. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada de 𝑓 a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔(𝑥2+4𝑥+3)𝑒𝑥=0⇔𝑥2+4𝑥+3=0⇔{𝑥=−3,𝑥=−1. Estudiamos el signo de la segunda derivada.
    ( −∞, −3) ( −3, −1) ( −1, +∞)
    signo de 𝑓″ + − +
    curvatura de 𝑓 ⌣ ⌢ ⌣
    Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −∞, −3) ∪( −1, +∞) y cóncava en ( −3, −1). Además, ( −3,10𝑒−3) y ( −1,2𝑒−1) son los puntos de inflexión.

Ejercicio 2: Julio de 2024

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥)=(𝑥−12)𝑒−𝑥2.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  2. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑒−𝑥2+(𝑥−12)𝑒−𝑥2⋅(−2𝑥)=𝑒−𝑥2−2𝑥2𝑒−𝑥2+𝑥𝑒−𝑥2=𝑒−𝑥2(−2𝑥2+𝑥+1). Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔𝑒−𝑥2(−2𝑥2+𝑥+1)=0⇔−2𝑥2+𝑥+1=0⇔{𝑥=−12,𝑥=1. Estudiamos el signo de la derivada para determinar si se tratan de extremos.
    (−∞,−12) (−12,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ − + −
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (−12,1) y decreciente en (−∞,−12) ∪(1, +∞).
  2. Por el apartado anterior, el punto (1,12𝑒) es un máximo relativo y (−12,−14√𝑒) es un mínimo relativo. Veamos si alguno de estos extremos es absoluto. Por un lado, observamos que lím𝑥→−∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−∞⁡(𝑥−12)𝑒−𝑥2=0, así que 𝑓 no alcanza valores inferiores a −14√𝑒. Por tanto, (−12,−14√𝑒) es un mínimo absoluto. Por otro lado, como lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑥−12)𝑒−𝑥2=0, la función no alcanza valores superiores a 12𝑒. Por tanto, (1,12𝑒) es un máximo absoluto.

Ejercicio 1: Junio de 2023

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1𝑒𝑥+𝑒−𝑥.

  1. Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Calcula lím𝑥→+∞⁡𝑥2𝑓(𝑥).

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=−(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)(𝑒𝑥+𝑒−𝑥)2=𝑒−𝑥−𝑒𝑥(𝑒𝑥+𝑒−𝑥)2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔𝑒𝑥=𝑒−𝑥⇔𝑥=0. Así que 𝑥 =0 es el único punto crítico. Estudiemos el signo de la derivada para determinar si en 𝑥 =0 hay un extremo.
    ( −∞,0) (0, +∞)
    signo de 𝑓′ + −
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, 𝑓 tiene un máximo absoluto en 𝑥 =0. Es decir, el punto (0,12) es un máximo absoluto de 𝑓. Observamos también que lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−∞⁡𝑓(𝑥)=0, así que 𝑓 tiene la asíntota horizontal 𝑦 =0. Por tanto, no tiene ningún mínimo absoluto.
  2. Calculamos el límite. lím𝑥→∞⁡𝑥2𝑓(𝑥)=lím𝑥→∞⁡𝑥2𝑒𝑥+𝑒−𝑥=0.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2023

Sabiendo que 𝐹 :ℝ →ℝ definida por 𝐹(𝑥) =𝑒𝑥2 es una primitiva de 𝑓.

  1. Comprueba que 𝑓 es creciente.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =1.

Resolución
  1. Como 𝐹 es una primitiva de 𝑓, entonces 𝑓(𝑥)=𝐹′(𝑥)=2𝑥𝑒𝑥2. Calculamos en primer lugar la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑒𝑥2+2𝑥⋅2𝑥𝑒𝑥2=2𝑒𝑥2(2𝑥2+1). Observamos que la derivada no se anula en ningún punto, así la función no tiene ningún punto crítico. Como 𝑓′(𝑥) >0 para todo 𝑥, 𝑓 es creciente en ℝ.
  2. Calculamos los puntos de corte de la función con el eje 𝑋. 𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥𝑒𝑥2=0⇔𝑥=0. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y la recta 𝑥 =1. Figura Calculamos el área del recinto. ∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥=[𝐹(𝑥)]10=[𝑒𝑥2]10=𝑒−1𝑢2.

Ejercicio 1: Julio de 2023

Sea la función 𝑓 :[ −2,2𝜋] →ℝ, definida por 𝑓(𝑥)={5𝑥+1,si −2≤𝑥≤0,𝑒𝑥cos⁡(𝑥),si 0<𝑥≤2𝜋.

  1. Halla los extremos relativos y absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋2.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)={5,si −2≤𝑥<0,𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)−sen⁡(𝑥)),si 0<𝑥≤2𝜋. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada de 𝑓 a cero.
    • Si −2 ≤𝑥 <0, 𝑓′(𝑥) =5 ≠0.
    • Si 0 <𝑥 ≤2𝜋, 𝑓′(𝑥)=0⇔𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)−sen⁡(𝑥))=0⇔cos⁡(𝑥)−sen⁡(𝑥)=0⇔cos⁡(𝑥)=sen⁡(𝑥)⇔{𝑥=𝜋4,𝑥=5𝜋4.
    Así que los puntos críticos son 𝑥 =𝜋4 y 𝑥 =5𝜋4. También consideraremos 𝑥 =0 por ser el punto de ruptura. Estudiamos el signo de la derivada para determinar si se tratan de extremos.
    ( −2,0) (0,𝜋4) (𝜋4,5𝜋4) (5𝜋4,2𝜋)
    signo de 𝑓′ + + − +
    monotonía de 𝑓 → → → →
    Por tanto, considerando también los extremos del intervalo, 𝑓 tiene máximos relativos en 𝑥 =𝜋4 y 𝑥 =2𝜋 y tiene mínimos relativos en 𝑥 = −2 y 𝑥 =5𝜋4. Es decir, los puntos (𝜋4,𝑒𝜋4√22) y (2𝜋,𝑒2𝜋) son máximos relativos y los puntos ( −2, −9) y (5𝜋4,−𝑒5𝜋4√22) son mínimos relativos. Comparando, podemos concluir que el punto (2𝜋,𝑒2𝜋) es un máximo absoluto y el punto (5𝜋4,−𝑒5𝜋4√22) es un mínimo absoluto.
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝜋2 es 𝑦−𝑓(𝜋2)=𝑓′(𝜋2)(𝑥−𝜋2)→𝑦=−𝑒𝜋2(𝑥−𝜋2)⇔𝑦=−𝑒𝜋2𝑥+𝑒𝜋2𝜋2.

Ejercicio 2: Julio de 2023

Sea 𝑓 :(0, +∞) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥ln2⁡(𝑥).

  1. Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=ln2⁡(𝑥)+2ln⁡(𝑥)=ln⁡(𝑥)(ln⁡(𝑥)+2). Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔ln⁡(𝑥)(ln⁡(𝑥)+2)=0⇔{ln⁡(𝑥)=0⇔𝑥=1,ln⁡(𝑥)+2=0⇔ln⁡(𝑥)=−2⇔𝑥=𝑒−2. Así que los puntos críticos son 𝑥 =𝑒−2 y 𝑥 =1. Estudiamos el signo de la derivada para determinar si se tratan de extremos.
    (0,𝑒−2) (𝑒−2,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 =𝑒−2 y un mínimo relativo en 𝑥 =1. Es decir, el punto (𝑒−2,4𝑒−2) es un máximo relativo y el punto (1,0) es un mínimo relativo.
  2. Veamos si alguno de los extremos relativos de 𝑓 es absoluto. Por un lado, observamos que lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑥ln2⁡(𝑥)=0, así que 𝑓 no alcanza valores inferiores a 0. Por tanto, (1,0) es un mínimo absoluto. Por otro lado, como lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑥ln2⁡(𝑥)=+∞, entonces 𝑓 no tiene ningún máximo absoluto.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2022

Sea 𝑓 la función continua definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2+1𝑥−1,si 𝑥≤0,𝑎𝑥+𝑏(𝑥+1)2,si 𝑥>0.

  1. Determina 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −1, estudia la derivabilidad de 𝑓.

Resolución
  1. En primer lugar, estudiamos la continuidad de la función.
    • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥2+1𝑥−1=−1,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑎𝑥+𝑏(𝑥+1)2=𝑏,𝑓(0)=−1. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que 𝑏 = −1.
    Por otro lado, si 𝑥 >0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)2−2(𝑎𝑥+𝑏)(𝑥+1)(𝑥+1)4𝑏=−1←←←←←←←→𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)2−2(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+1)4. Si la función tiene un extremo en 𝑥 =2, entonces 𝑓′(2) =0. 𝑓′(2)=0⇔9𝑎−6(2𝑎−1)81=0⇔9𝑎−6(2𝑎−1)=0⇔9𝑎−12𝑎+6=0⇔3𝑎=6⇔𝑎=2. Por tanto, 𝑎 =2 y 𝑏 = −1.
  2. Si 𝑎 =2 y 𝑏 = −1, por el apartado anterior 𝑓 es continua. Estudiamos la derivabilidad de la función.
    • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥(𝑥−1)−(𝑥2+1)(𝑥−1)2,si 𝑥<0,2(𝑥+1)2−2(2𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+1)4,si 𝑥>0=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2−2𝑥−1(𝑥−1)2,si 𝑥<0,−2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4,si 𝑥>0.
    • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥2−2𝑥−1(𝑥−1)2=−1,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡−2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4=4. Observamos que 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{0}.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2022

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥2 +1).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de 𝑓 y los puntos de inflexión de su gráfica.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥𝑥2+1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥𝑥2+1=0⇔2𝑥=0⇔𝑥=0. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,0) (0, +∞)
    signo de 𝑓′ − +
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (0, +∞) y es decreciente en ( −∞,0).
  2. En primer lugar, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑥)=2(𝑥2+1)−2𝑥⋅2𝑥(𝑥2+1)2=−2𝑥2+2(𝑥2+1)2. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔−2𝑥2+2(𝑥2+1)2=0⇔−2𝑥2+2=0⇔𝑥2=1⇔𝑥=±1. Estudiemos el signo de la segunda derivada.
    ( −∞, −1) ( −1,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓″ − + −
    curvatura de 𝑓 ⌢ ⌣ ⌢
    Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −1,1) y es cóncava en ( −∞, −1) ∪(1, +∞). Además, tiene puntos de inflexión en 𝑥 = −1 y 𝑥 =1, es decir, los puntos ( −1,ln⁡(2)) y (1,ln⁡(2)).

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2022

Considera la función 𝐹 :[0,2𝜋] →ℝ definida por 𝐹(𝑥)=∫𝑥02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝐹.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋.

Resolución

La función 𝑓(𝑥) =2𝑥cos⁡(𝑥) es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐹(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡 es derivable, con 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥).

  1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝐹 a cero. 𝐹′(𝑥)=0⇔𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥cos⁡(𝑥)=0⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,cos⁡(𝑥)=0⇔{𝑥=𝜋2,𝑥=3𝜋2. Así que los puntos críticos son 𝑥 =0, 𝑥 =𝜋2 y 𝑥 =3𝜋2. Estudiamos el signo de la derivada para determinar si 𝐹 es creciente o decreciente.
    (0,𝜋2) (𝜋2,3𝜋2) (3𝜋2,2𝜋)
    signo de 𝐹′ + − +
    monotonía de 𝐹 → → →
    Por tanto, 𝐹 es creciente en (0,𝜋2) ∪(3𝜋2,2𝜋) y es decreciente en (𝜋2,3𝜋2).
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en 𝑥 =𝜋 viene dada por 𝑦−𝐹(𝜋)=𝐹′(𝜋)(𝑥−𝜋). Por un lado, 𝐹′(𝜋)=𝑓(𝜋)=−2𝜋. Por otro lado, 𝐹(𝜋)=∫𝜋0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝜋02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡. En primer lugar, hallamos una primitiva de 𝑓. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑡⇒𝑢′=1,𝑣′=cos⁡(𝑡)⇒𝑣=sen⁡(𝑡). Entonces: ∫2𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2∫𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2𝑡sen⁡(𝑡)−2∫sen⁡(𝑡)𝑑𝑡=2𝑡sen⁡(𝑡)+2cos⁡(𝑡). Calculamos la integral definida. 𝐹(𝜋)=∫𝜋02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2[𝑡sen⁡(𝑡)+cos⁡(𝑡)]𝜋0=−2−2=−4. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 =𝜋 es 𝑦+4=−2𝜋(𝑥−𝜋)⇔𝑦=−2𝜋𝑥+2𝜋2−4.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2022

Sea 𝑓 :[0,2𝜋] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥(cos⁡(𝑥) +sen⁡(𝑥)).

  1. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =3𝜋2.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)+sen⁡(𝑥))+𝑒𝑥(−sen⁡(𝑥)+cos⁡(𝑥))=2𝑒𝑥cos⁡(𝑥). Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑒𝑥cos⁡(𝑥)=0⇔cos⁡(𝑥)=0⇔{𝑥=𝜋2,𝑥=3𝜋2. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,𝜋2) (𝜋2,3𝜋2) (3𝜋2,2𝜋)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Así que los puntos (𝜋2,𝑒𝜋2) y (2𝜋,𝑒2𝜋) son máximos relativos y los puntos (0,1) y (3𝜋2,−𝑒𝜋2) son mínimos relativos. Por tanto, (2𝜋,𝑒2𝜋) es el máximo absoluto y (3𝜋2,−𝑒𝜋2) es el mínimo absoluto.
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =3𝜋2 es 𝑦−𝑓(3𝜋2)=𝑓′(3𝜋2)(𝑥−3𝜋2)⇔𝑦=−𝑒3𝜋2. Observamos que la recta tangente es horizontal, así que la recta normal tiene que ser vertical. Por tanto, su ecuación es 𝑥=3𝜋2.

Ejercicio 3: Junio de 2021

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =4𝑥3 −𝑥4.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓.
  2. Esboza la gráfica de 𝑓 y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=12𝑥2−4𝑥3. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔12𝑥2−4𝑥3=0⇔4𝑥2(3−𝑥)=0⇔{𝑥=0,3−𝑥=0⇔𝑥=3. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,0) (0,3) (3, +∞)
    signo de 𝑓′ + + −
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,3) y es decreciente en (3, +∞).
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝑓 con el eje 𝑋. 𝑓(𝑥)=0⇔4𝑥3−𝑥4=0⇔𝑥3(4−𝑥)=0⇔{𝑥=0,4−𝑥=0⇔𝑥=4. Así que los puntos de corte con (0,0) y (4,0). Representamos gráficamente la función. Figura Podemos representar gráficamente el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫40𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫40(4𝑥3−𝑥4)𝑑𝑥=[𝑥4−15𝑥5]40=2565𝑢2.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2021

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3 (para 𝑥 ≠ −3, 𝑥 ≠1).

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Resolución
  1. Estudiamos las asíntotas.
    • El denominador se anula en 𝑥 = −3 y 𝑥 =1. Observamos que lím𝑥→−3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3−⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=−10+=−∞,lím𝑥→−3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3+⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=−10−=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −3 es una asíntota vertical. De igual forma, observamos que lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=−90−=+∞,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=−90+=−∞. Por tanto, la recta 𝑥 =1 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal y 𝑓 no tiene ninguna asíntota oblicua.
  2. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥(𝑥2+2𝑥−3)−(𝑥2−10)(2𝑥+2)(𝑥2+2𝑥−3)2=2𝑥3+4𝑥2−6𝑥−2𝑥3−2𝑥2+20𝑥+20(𝑥2+2𝑥−3)2=2𝑥2+14𝑥+20(𝑥2+2𝑥−3)2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥2+14𝑥+20(𝑥2+2𝑥−3)2=0⇔2𝑥2+14𝑥+20=0⇔𝑥2+7𝑥+10=0⇔{𝑥=−5,𝑥=−2. Así que los puntos críticos son 𝑥 = −5 y 𝑥 = −2. También consideramos 𝑥 = −3 y 𝑥 =1 por no pertenecer al dominio. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞, −5) ( −5, −3) ( −3, −2) ( −2,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + − − + +
    monotonía de 𝑓 → → → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞, −5) ∪( −2,1) ∪(1, +∞) y decreciente en ( −5, −3) ∪( −3, −2).

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2021

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 +|𝑥 −1|.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  2. Calcula ∫20𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
  1. En primer lugar, expresamos 𝑓(𝑥) =𝑥2 +|𝑥 −1| como una función a trozos. 𝑓(𝑥)=𝑥2+|𝑥−1|={𝑥2−𝑥+1,si 𝑥<1,𝑥2+𝑥−1,si 𝑥≥1. Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑥−1,si 𝑥<1,2𝑥+1,si 𝑥>1. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada de 𝑓 a cero.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥−1=0⇔𝑥=12.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥+1=0⇔𝑥=−12∉(1,+∞).
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =12. También consideramos 𝑥 =1 por ser el punto de ruptura. Estudiamos el signo la derivada.
    (−∞,12) (12,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ − + +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (12,1) ∪(1, +∞) y decreciente en (−∞,12).
  2. Calculamos la integral. ∫20𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫10(𝑥2−𝑥+1)𝑑𝑥+∫21(𝑥2+𝑥−1)𝑑𝑥=[13𝑥3−12𝑥2+𝑥]10+[13𝑥3+12𝑥2−𝑥]21==13−12+1+83+2−2−(13+12−1)=113.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2021

Considera la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln2⁡(𝑥).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓 y las rectas 𝑦 =0, 𝑥 =1, 𝑥 =𝑒.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2ln⁡(𝑥)⋅1𝑥=2ln⁡(𝑥)𝑥. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2ln⁡(𝑥)𝑥=0⇔ln⁡(𝑥)=0⇔𝑥=1. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ − +
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (1, +∞) y decreciente en (0,1). Además, el punto (1,0) es un mínimo relativo.
  2. Podemos representar la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =1 y 𝑥 =𝑒. Figura El área de la región viene dada por ∫𝑒1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑒1ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥. En primer lugar, hallamos una primitiva de 𝑓 por partes. 𝑢=ln2⁡(𝑥)⇒𝑢′=2ln⁡(𝑥)𝑥,𝑣′=1⇒𝑣=𝑥. Entonces ∫ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑥ln2⁡(𝑥)−∫2ln⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑥ln2⁡(𝑥)−2𝑥ln⁡(𝑥)+2𝑥. Por último, calculamos el área de la región. ∫𝑒1ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥=[𝑥ln2⁡(𝑥)−2𝑥ln⁡(𝑥)+2𝑥]𝑒1=𝑒−2𝑒+2𝑒−2=𝑒−2𝑢2.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2021

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥−1𝑒2𝑥+1.

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Resolución
  1. Observamos que el denominador no se anula para ningún valor de 𝑥, así que no tiene ninguna asíntota vertical. Veamos si tiene alguna asíntota horizontal. lím𝑥→−∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−∞⁡𝑒2𝑥−1𝑒2𝑥+1=−1,lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑒2𝑥−1𝑒2𝑥+1=1. Por tanto, la recta 𝑦 = −1 es una asíntota horizontal por la izquierda mientras que 𝑦 =1 es una asíntota horizontal por la derecha. Además, 𝑓 no tiene ninguna asíntota oblicua.
  2. En primer lugar, hallamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑒2𝑥(𝑒2𝑥+1)−(𝑒2𝑥−1)2𝑒2𝑥(𝑒2𝑥+1)2=2𝑒𝑥(𝑒2𝑥+1−𝑒2𝑥+1)(𝑒2𝑥+1)2=4𝑒2𝑥(𝑒2𝑥+1)2. Observamos que 𝑓′(𝑥) >0 para todo valor de 𝑥, así que 𝑓 es creciente en ℝ.

Ejercicio 1: Julio de 2020

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3𝑥2−1 para 𝑥 ≠ −1,1.

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Resolución
  1. En primer lugar, factorizamos los polinomios para simplificar la función. 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3𝑥2−1=(𝑥−3)(𝑥+1)(𝑥−1)(𝑥+1)=𝑥−3𝑥−1. Así que Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{1}.
    • Estudiamos la existencia de asíntota vertical en 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑥−3𝑥−1=−20−=+∞,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑥−3𝑥−1=−20+=−∞. Por tanto, la recta 𝑥 =1 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene alguna asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑥−3𝑥−1=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal y 𝑓 no tiene ninguna asíntota oblicua.
  2. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑥−1−(𝑥−3)(𝑥−1)2=2(𝑥−1)2. Observamos que 𝑓′(𝑥) >0 para 𝑥 ≠1, así que 𝑓 es creciente en todo su dominio, es decir, en ( −∞,1) ∪(1, +∞).

Ejercicio 5: Julio de 2020

Sea 𝑓 :[0,2𝜋] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=sen⁡(𝑥)2−cos⁡(𝑥).

  1. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋3.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=cos⁡(𝑥)(2−cos⁡(𝑥))−sen2⁡(𝑥)(2−cos⁡(𝑥))2=2cos⁡(𝑥)−cos2⁡(𝑥)−sen2⁡(𝑥)(2−cos⁡(𝑥))2=2cos⁡(𝑥)−1(2−cos⁡(𝑥))2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2cos⁡(𝑥)−1(2−cos⁡(𝑥))2=0⇔2cos⁡(𝑥)−1=0⇔cos⁡(𝑥)=12⇔{𝑥=𝜋3,𝑥=5𝜋3. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,𝜋3) (𝜋3,5𝜋3) (5𝜋3,2𝜋)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Así que los puntos (𝜋3,1√3) y (2𝜋,0) son máximos relativos y los puntos (0,0) y (5𝜋3,−1√3) son mínimos relativos. Por tanto, (𝜋3,1√3) es el máximo absoluto y (5𝜋3,−1√3) es el mínimo absoluto.
    • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝜋3 viene dada por: 𝑦−𝑓(𝜋3)=𝑓′(𝜋3)(𝑥−𝜋3)⇔𝑦−1√3=0⇔𝑦=1√3.
    • Observamos que la recta tangente es horizontal, así que la recta normal tiene que ser vertical. Por tanto, su ecuación es: 𝑥=𝜋3.

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2020

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=|𝑥|2−𝑥 para 𝑥 ≠2.

  1. Estudia la derivabilidad de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Resolución

En primer lugar, escribimos 𝑓 como una función a trozos. 𝑓(𝑥)=|𝑥|2−𝑥=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥2−𝑥,si 𝑥<0,𝑥2−𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠0 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−2(2−𝑥)2,si 𝑥<0,2(2−𝑥)2,si 𝑥>0.
    • Estudiamos la continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0⁡|𝑥|2−𝑥=0,𝑓(0)=0. Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =0. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−−2(2−𝑥)2=−12,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡2(2−𝑥)2=12. Como 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{0,2}.
  2. Estudiamos la monotonía de 𝑓. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=−2(2−𝑥)2≠0.
    • Si 𝑥 >0, 𝑓′(𝑥)=2(2−𝑥)2≠0.
    Así que 𝑓 no tiene puntos críticos. Consideramos 𝑥 =0 y 𝑥 =2 por no ser derivable y no pertenecer al dominio, respectivamente. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,0) (0,2) (2, +∞)
    signo de 𝑓′ − + +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, la función es creciente en (0,2) ∪(2, +∞) y decreciente en ( −∞,0).

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2020

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = −4𝑥 +2 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +𝑐.

  1. Halla el valor de 𝑐 sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que 𝑔 alcanza su máximo.
  2. Para 𝑐 = −3, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que la gráfica de la función 𝑔 es una parábola cóncava con vértice en 𝑥 =1, así que alcanza su máximo en este punto. Para que las funciones se corten en 𝑥 =1, ha de verificarse que: 𝑓(1)=𝑔(1)⇔−2=1+𝑐⇔𝑐=−3.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte entre las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔−4𝑥+2=−𝑥2+2𝑥−3⇔𝑥2−6𝑥+5=0⇔{𝑥=1,𝑥=5. Podemos representar la región. Figura Calculamos el área. 𝑆=∫51(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫51(−𝑥2+2𝑥−3+4𝑥−2)𝑑𝑥=∫51(−𝑥2+6𝑥−5)𝑑𝑥=[−13𝑥3+3𝑥2−5𝑥]51==−1253+75−25−(−13+3−5)=323𝑢2.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2020

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3𝑥2−1 para 𝑥 ≠ −1,1.

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓.

Ejercicio A1: Junio de 2019

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥+42𝑥+2 para 𝑥 ≠ −1.

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Resolución
  1. El único candidato para ser asíntota vertical es 𝑥 = −1, que es el valor que anula el denominador. Observamos que lím𝑥→−1−⁡𝑥2+3𝑥+42𝑥+2=20−=−∞,lím𝑥→−1+⁡𝑥2+3𝑥+42𝑥+2=20+=+∞. Por tanto, 𝑥 = −1 es un asíntota vertical. Veamos ahora si 𝑓 tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑥2+3𝑥+42𝑥+2=+∞. Así que 𝑓 no tiene ninguna asíntota horizontal. Veamos si en su lugar tiene una asíntota oblicua. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=lím𝑥→+∞⁡𝑥2+3𝑥+42𝑥2+2𝑥=12. Así que 𝑓 tiene una asíntota oblicua con pendiente 𝑚 =12. Calculamos su ordenada en el origen. lím𝑥→+∞⁡(𝑓(𝑥)−12𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑥2+3𝑥+42𝑥+2−12𝑥)=lím𝑥→+∞⁡2𝑥+42𝑥+2=1. Por tanto, la recta 𝑦 =12𝑥 +1 es una asíntota oblicua.
  2. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=(2𝑥+3)(2𝑥+2)−2(𝑥2+3𝑥+4)(2𝑥+2)2=2𝑥2+4𝑥−2(2𝑥+2)2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥2+4𝑥−2(2𝑥+2)2=0⇔2𝑥2+4𝑥−2=0⇔𝑥2+2𝑥−1=0⇔𝑥=−1±√2. Así que 𝑥 = −1 −√2 y 𝑥 = −1 +√2 son los puntos críticos. También consideraremos 𝑥 = −1 por ser un punto que no pertenece al dominio. Estudiemos el signo de la derivada.
    ( −∞, −1 −√2) ( −1 −√2, −1) ( −1, −1 +√2) ( −1 +√2, +∞)
    signo de 𝑓′ + − − +
    monotonía de 𝑓 → → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞, −1 −√2) ∪( −1 +√2, +∞) y es decreciente en ( −1 −√2, −1) ∪( −1, −1 +√2).

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2019

Se considera la función 𝑓 :( −2𝜋,2𝜋) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=cos⁡(𝑥)2+cos⁡(𝑥).

  1. Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
  2. Halla sus máximos y sus mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2019

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función 𝐶(𝑡) =𝑡𝑒−𝑡/2 mg/ml, siendo 𝑡 el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.

  1. Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza.
  2. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es 1 mg/ml, señala si en algún momento del tratamiento hay riesgo para el paciente.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2019

Dada la función 𝑓 :(0,2𝜋) →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =sen⁡(𝑥) +cos⁡(𝑥), calcula sus máximos y mímimos relativos y los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓 (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio B2: Septiembre de 2019

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑥𝑒−𝑥2.

  1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes coordenados y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina 𝑎 >0 de manera que sea 14 el área del recinto determinado por la gráfica de 𝑓 en el intervalo [0,𝑎] y el eje de abscisas.

Ejercicio A1: Junio de 2018

Halla los coeficientes 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐 tiene en 𝑥 =1 un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (1,1).

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2018

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥−1 para 𝑥 ≠1.

  1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
  3. Esboza la gráfica de 𝑓 indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Ejercicio A1: Septiembre de 2018

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,si 𝑥≤0,𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥𝑥−sen⁡(𝑥),si 𝑥>0. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que 𝑓 es continua, alcanza un máximo relativo en 𝑥 = −1 y la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2 tiene pendiente 2.

Ejercicio A2: Septiembre de 2018

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥ln⁡(𝑥) −𝑏𝑥 para 𝑥 >0. Determina 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en 𝑥 =1 y que ∫21𝑓(𝑥)𝑑𝑥=8ln⁡(2)−9.

Ejercicio B1: Septiembre de 2018

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) =𝑎ln⁡(𝑥) +𝑏𝑥2 +𝑥 para 𝑥 >0.

  1. Halla 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene extremos relativos en 𝑥 =1 y en 𝑥 =2.
  2. ¿Qué tipo de extremos tiene 𝑓 en 𝑥 =1 y en 𝑥 =2?

Ejercicio B1: Junio de 2017

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥−1 para 𝑥 ≠1.

  1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de 𝑓. Calcula los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2017

Se considera la función 𝑓 dada por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥−1 para 𝑥 ≠1.

  1. Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2017

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑. Calcula 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en (0,1) y su gráfica un punto de inflexión en (1, −1).

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2017

Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto (0,2) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =1 es la recta 𝑥 +𝑦 =3.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2017

Considera la función definida por 𝑓(𝑥)=−𝑥+4𝑥2 para 𝑥 ≠0.

  1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  3. Esboza la gráfica de 𝑓.

Ejercicio A2: Septiembre de 2017

Determina la función 𝑓 :ℝ →ℝ tal que 𝑓″(𝑥) =𝑥𝑒𝑥, cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en 𝑥 =1.

Ejercicio B1: Septiembre de 2017

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥2.

  1. Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de 𝑓. Calcula los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio B1: Junio de 2016

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥2+1.

  1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de 𝑓.
  2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  3. Esboza la gráfica de 𝑓.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2016

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥)𝑥.

  1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2016

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =(𝑒𝑎𝑥 +𝑏)𝑥, con 𝑎 ≠0. Calcula 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en 𝑥 =0 y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es 𝑥 =1.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2016

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =|𝑥2 −4|.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Ejercicio B1: Septiembre de 2016

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2𝑒−𝑥2.

  1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  3. Esboza la gráfica de 𝑓.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2015

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥−1 para 𝑥 ≠1.

  1. Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de 𝑓.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2015

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑. Halla los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 sabiendo que 𝑓 presenta un extremo local en el punto de abscisa 𝑥 =0, que (1,0) es punto de inflexión de la gráfica de 𝑓 y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es -3.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2015

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 −|𝑥|.

  1. Estudia la derivabilidad de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  3. Calcula los extremos relativos de 𝑓 (extremos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio A1: Septiembre de 2015

Halla los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la gráfica de la función 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 tiene una asíntota vertical en 𝑥 =1, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de abscisa 𝑥 =3.

Ejercicio A1: Junio de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐.

  1. Halla 𝑎, 𝑏 y 𝑐 para que la gráfica de 𝑓 tenga un punto de inflexión de abscisa 𝑥 =12 y que la recta tangente en el punto de abscisa 𝑥 =0 tenga por ecuación 𝑦 =5 −6𝑥.
  2. Para 𝑎 =3, 𝑏 = −9 y 𝑐 =8, calcula los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑. Halla 𝑏, 𝑐 y 𝑑 sabiendo que 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 = −1 y que lím𝑥→1⁡𝑓(𝑥)𝑥−1=4.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2014

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2𝑒−𝑥2.

  1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  3. Esboza la gráfica de 𝑓.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función derivable definida por 𝑓(𝑥)={𝑎−𝑥,si 𝑥≤1,𝑏𝑥+ln⁡(𝑥),si 𝑥>1.

  1. Calcula 𝑎 y 𝑏.
  2. Para 𝑎 =3 y 𝑏 =2 calcula los extremos absolutos de 𝑓 en el intervalo [0,𝑒] (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2013

De la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑 se sabe que alcanza un máximo relativo en 𝑥 =1, que la gráfica tiene un punto de inflexión en (0,0) y que ∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =54. Calcula 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2013

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐. Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de 𝑓 tiene abscisa 𝑥 =1 y que 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥 =2 de valor -9. Calcula 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2013

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑘(𝑥−𝑎)(2𝑥−1) para 𝑥 ≠𝑎 y 𝑥 ≠12.

  1. Halla 𝑎 y 𝑘 sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (0,2) y que la recta 𝑥 =2 es una asíntota de dicha gráfica.
  2. Para 𝑘 =4 y 𝑎 =2, halla los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Ejercicio B1: Septiembre de 2013

Sea 𝑓 :(0, +∞) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=2ln⁡(𝑥)𝑥2.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.

Ejercicio A1: Junio de 2012

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑒𝑥(𝑥 −2).

  1. Calcula las asíntotas de 𝑓.
  2. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  3. Determina, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2012

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =1𝑥 +ln⁡(𝑥).

  1. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo [1𝑒,𝑒].
  2. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝑒.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2012

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=2𝑥2(𝑥+1)(𝑥−2) para 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠2.

  1. Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  3. Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de 𝑓 donde esta corta a la asíntota horizontal.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2012

Sea la función 𝑓 :[1,𝑒] →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 −8ln⁡(𝑥).

  1. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  2. Calcula los extremos absolutos y relativos de la función 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  3. Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2012

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥(𝑥2 −𝑥 +1).

  1. Calcula lím𝑥→−∞⁡𝑓(𝑥)ylím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥).
  2. Halla los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
  3. Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2012

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥2 +3𝑥 +3) −𝑥.

  1. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2012

Calcula los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2 +𝑏ln⁡(𝑥) tiene un extremo relativo en 𝑥 =1 y que ∫41𝑓(𝑥)𝑑𝑥=27−8ln⁡(4).

Ejercicio B1: Septiembre de 2012

Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑒−𝑥1−𝑥 para 𝑥 ≠1.

  1. Estudia las asíntotas de la gráfica de la función 𝑓.
  2. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2011

Sea 𝑓 :[1𝑒,4] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)={𝑥−ln⁡(𝑥)+𝑎,si 1𝑒≤𝑥≤2,𝑏𝑥+1−ln⁡(2),si 2<𝑥≤4.

  1. Calcula los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea derivable en el intervalo (1𝑒,4).
  2. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =12, halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2011

En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, 𝑥, es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula −𝑥2 +70𝑥, mientras que para edades iguales o superiores a 50 anos los ingresos estan determinados por la expresión 400𝑥𝑥−30. Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

Ejercicio B1: Septiembre de 2011

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=3𝑥4+1𝑥3 para 𝑥 ≠0.

  1. Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.
  2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio B1: Septiembre de 2010

Considera la función 𝑓 :[0,4] →ℝ definida por: 𝑓(𝑥)={𝑥2+𝑎𝑥+𝑏,si 0≤𝑥≤2,𝑐𝑥,si 2<𝑥≤4.

  1. Sabiendo que 𝑓 es derivable en todo el dominio y que verifica 𝑓(0) =𝑓(4), determina los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
  2. Para 𝑎 = −3, 𝑏 =4 y 𝑐 =1 halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).