Matemáticas de Selectividad

Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima.

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas 𝑦 =4𝑥, 𝑦 =8 −4𝑥 y la curva 𝑦 =2𝑥 −𝑥2.

1. Realiza un esbozo de dicho recinto.
2. Calcula su área.

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑘𝑦+2𝑧=𝑘+1,𝑥+2𝑦+𝑘𝑧=3,(𝑘+1)𝑥+𝑦+𝑧=𝑘+2.

1. Determina los valores de 𝑘 para los que el sistema tiene más de una solución.
2. ¿Existe algún valor de 𝑘 para el cual el sistema no tiene solución?
3. Resuelve el sistema para 𝑘 =0.

Se consideran los vectores ⃗𝑢 =(𝑘,1,1), ⃗𝑣 =(2,1, −2) y ⃗𝑤 =(1,1,𝑘), donde 𝑘 es un número real.

1. Determina los valores de 𝑘 para los que ⃗𝑢, ⃗𝑣 y ⃗𝑤 son linealmente dependientes.
2. Determina los valores de 𝑘 para los que ⃗𝑢 +⃗𝑣 y ⃗𝑣 −⃗𝑤 son ortogonales.
3. Para 𝑘 = −1, determina aquellos vectores que son ortogonales a ⃗𝑣 y ⃗𝑤 y tienen módulo 1.

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥2 +3𝑥 +3) −𝑥.

1. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
2. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Calcula los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2 +𝑏ln⁡(𝑥) tiene un extremo relativo en 𝑥 =1 y que ∫41𝑓(𝑥)𝑑𝑥=27−8ln⁡(4).

Dada la matriz 𝐴=(3−251), sean 𝐵 la matriz que verifica que 𝐴𝐵=(−2173).

1. Comprueba que las matrices 𝐴 y 𝐵 poseen inversas.
2. Resuelve la ecuación matricial 𝐴−1𝑋 −𝐵 =𝐵𝐴.

Encuentra los puntos de la recta 𝑟≡𝑥−14=2−𝑦2=𝑧−3 cuya distancia al plano 𝜋 ≡𝑥 −2𝑦 +2𝑧 =1 vale cuatro unidades.