Matemáticas de Selectividad

1. El coseno del ángulo 𝛼 que forman los vectores ⃗𝑢 y ⃗𝑣 viene dado por: cos⁡(𝛼)=|⃗𝑢⋅⃗𝑣||⃗𝑢|⋅|⃗𝑣|=|−2+3𝑎|√5+𝑎2⋅√5+𝑎2=|−2+3𝑎|5+𝑎2. Para que formen un ángulo de 𝜋3, ha de verificarse: 12=|−2+3𝑎|5+𝑎2⇔{12=−2+3𝑎5+𝑎2⇔−4+6𝑎=5+𝑎2⇔𝑎2−6𝑎+9=0⇔𝑎=3,12=2−3𝑎5+𝑎2⇔4−6𝑎=5+𝑎2⇔𝑎2+6𝑎+1=0⇔𝑎=−3±2√2.
2. En primer lugar, calculamos el vector (⃗𝑢 ×⃗𝑣) −⃗𝑣. (⃗𝑢×⃗𝑣)−⃗𝑣=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1𝑎2−21𝑎∣−(−2,1,𝑎)=(𝑎2−2,−𝑎−5,1+𝑎)−(−2,1,𝑎)=(𝑎2,−𝑎−5,1+𝑎). Para que este vector y ⃗𝑢 sean ortogonales, ha de verificarse: ((⃗𝑢×⃗𝑣)−⃗𝑣)⋅⃗𝑢=0⇔𝑎2+𝑎(−𝑎−5)+2(1+𝑎)=0⇔𝑎2−𝑎2−5𝑎+2+2𝑎=0⇔3𝑎=2⇔𝑎=23.

Los vectores son ⃗𝑂𝐴 =(2, −1,0), ⃗𝑂𝐵 =(3,0,𝑥) y ⃗𝑂𝐶 =( −𝑥,1, −1).

1. El volumen del paralelepípedo formado por los vectores viene dado por el valor absoluto de su producto mixto. [⃗𝑂𝐴,⃗𝑂𝐵,⃗𝑂𝐶]=∣2−1030𝑥−𝑥1−1∣=𝑥2−2𝑥−3⇒𝑉=|𝑥2−2𝑥−3| Si el volumen es de 5 unidades cúbicas, entonces 𝑉=5⇔|𝑥2−2𝑥−3|=5⇒{𝑥2−2𝑥−3=5⇔𝑥2−2𝑥−8=0⇔𝑥=−2o𝑥=4,𝑥2−2𝑥−3=−5⇔𝑥2−2𝑥+2=0no tiene solución. Por tanto, los posibles valores son 𝑥 = −2 y 𝑥 =4.
2. Si 𝑥 =1, entonces ⃗𝑂𝐵 =(3,0,1). Cada cara del paralelepípedo es un paralelogramo. El área del paralelogramo formado por los vectores ⃗𝑂𝐴 y ⃗𝑂𝐵 viene dado por el módulo de su producto vectorial. ⃗𝑂𝐴×⃗𝑂𝐵=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧2−10301∣=(−1,−2,3). Por tanto, el área de la cara es |⃗𝑂𝐴×⃗𝑂𝐵|=|(−1,−2,3)|=√12+22+32=√14𝑢2.

1. Por un lado, si los tres vectores son linealmente dependientes entonces el determinante formado por sus componentes es nulo. ∣21010−1𝑎𝑏1∣=0⇔−𝑎+2𝑏−1=0. Por otro lado, si ⃗𝑢 y ⃗𝑤 son ortogonales, su producto escalar es nulo. ⃗𝑢⋅⃗𝑤=0⇔2𝑎+𝑏=0. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones {−𝑎+2𝑏=1,2𝑎+𝑏=0 Si sumamos el doble de la primera ecuación con la segunda ecuación, obtenemos que 5𝑏=2⇔𝑏=25. Luego −𝑎+2𝑏=1𝑏=2/5←←←←←←←←←→−𝑎+2⋅25=1⇔𝑎=−15. Así que 𝑎 = −15 y 𝑏 =25.
2. Si 𝑎 =1, entonces ⃗𝑤 =(1,𝑏,1). El volumen del paralelepípedo formado por los vectores viene dado por el valor absoluto de su producto mixto. [⃗𝑢,⃗𝑣,⃗𝑤]=∣21010−11𝑏1∣=2𝑏−2⇒𝑉=|2𝑏−2|. Si el volumen es de 6 unidades cúbicas, entonces 𝑉=6⇔|2𝑏−2|=6⇔|𝑏−1|=3⇔{𝑏−1=3⇔𝑏=4,𝑏−1=−3⇔𝑏=−2. Por tanto, los posibles valores son 𝑏 = −2 y 𝑏 =4.

1. Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero. Por un lado, si ⃗𝑢 y ⃗𝑤 son ortogonales, ⃗𝑢⋅⃗𝑤=0⇔2+2𝛼+3𝛽. Por otro lado, si ⃗𝑣 y ⃗𝑤 son ortogonales, ⃗𝑣⋅⃗𝑤=0⇔2−2𝛼−𝛽=0. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones {2𝛼+3𝛽=−2,2𝛼+𝛽=2. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que 2𝛽=−4⇔𝛽=−2. Luego 2𝛼+𝛽=2𝛽=−2←←←←←←←←←→2𝛼−2=2⇔𝛼=2. Así que 𝛼 =2 y 𝛽 = −2.
2. Dos vectores tienen la misma dirección si sus componentes son proporcionales. Si ⃗𝑣 y ⃗𝑤 tienen la misma dirección, 12=−2𝛼=−1𝛽. Por tanto, 𝛼 = −4 y 𝛽 = −2.
3. Si 𝛼 =8, ⃗𝑤 =(2,8,𝛽). Un vector es combinación lineal de otros dos si el determinante formado por las componentes de los tres vectores es nulo. Si ⃗𝑤 es combinación lineal de ⃗𝑢 y ⃗𝑣, ∣1231−2−128𝛽∣=0⇔−4𝛽+40=0⇔𝛽=−10.