Matemáticas de Selectividad

1. El volumen del tetraedro determinado por los puntos 𝑂, 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es un sexto del volumen del paralelepípedo formado por los vectores ⃗𝑂𝐴 =(0,2, −2), ⃗𝑂𝐵 =(1,2,𝑚) y ⃗𝑂𝐶 =(2,3,2). Este viene dado por el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores. [⃗𝑂𝐴,⃗𝑂𝐵,⃗𝑂𝐶]=∣02−212𝑚232∣=4𝑚−6+8−4=4𝑚−2⇒𝑉=|4𝑚−2|6. Si el volumen es de 3 unidades cúbicas, ha de verificarse: |4𝑚−2|6=3⇔|4𝑚−2|=18⇔{4𝑚−2=18⇔4𝑚=20⇔𝑚=5,4𝑚−2=−18⇔4𝑚=−16⇔𝑚=−4.
2. El plano 𝜋 determinado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 tiene como vectores directores ⃗𝐴𝐵 =(1,0,2) y ⃗𝐴𝐶 =(2,1,4). El vector normal al plano viene dado por: ⃗𝑛𝜋=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧102214∣=(−2,0,1). Como 𝐴 pertenece al plano, la ecuación del plano 𝜋 es: 𝜋≡−2𝑥+𝑧+2=0⇔2𝑥−𝑧−2=0. Por tanto, la distancia del punto 𝑂 al plano 𝜋 viene dada por: dist⁡(𝑂,𝜋)=|−2|√5=2√5𝑢.

1. En primer lugar, calculamos el producto vectorial de los vectores ⃗𝐴𝐵 =( −2,4, −4) y ⃗𝐴𝐶 =( −5, −1,0). ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧−24−4−5−10∣=(−4,20,22). El área del triángulo determinado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 viene dada por: 𝑆=|⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|2=√42+202+2222=15𝑢2.

2. Los puntos del eje 𝑂𝑍 son de la forma 𝐷 =(0,0,𝑎).

   En primer lugar, hallamos el producto mixto de los vectores ⃗𝐴𝐵, ⃗𝐴𝐶 y ⃗𝐴𝐷 =( −3,1,𝑎 −1). [⃗𝐴𝐵,⃗𝐴𝐶,⃗𝐴𝐷]=∣−24−4−5−10−31𝑎−1∣=2𝑎−2+20+12+20𝑎−20=22𝑎+10. El volumen del tetraedro determinado por los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 viene dado por: 𝑉=|22𝑎+10|6=|11𝑎+5|3. Para que el volumen sea de 20 unidades cúbicas, ha de verificarse: 𝑉=20⇔|11𝑎+5|3=20⇔{11𝑎+53=20⇔11𝑎+5=60⇔11𝑎=55⇔𝑎=5,11𝑎+53=−20⇔11𝑎+5=−60⇔11𝑎=−65⇔𝑎=−6511. Por tanto, los puntos son 𝐷1(0,0,5) y 𝐷2(0,0,−6511).

Los vectores son ⃗𝑂𝐴 =(2, −1,0), ⃗𝑂𝐵 =(3,0,𝑥) y ⃗𝑂𝐶 =( −𝑥,1, −1).

1. El volumen del paralelepípedo formado por los vectores viene dado por el valor absoluto de su producto mixto. [⃗𝑂𝐴,⃗𝑂𝐵,⃗𝑂𝐶]=∣2−1030𝑥−𝑥1−1∣=𝑥2−2𝑥−3⇒𝑉=|𝑥2−2𝑥−3| Si el volumen es de 5 unidades cúbicas, entonces 𝑉=5⇔|𝑥2−2𝑥−3|=5⇒{𝑥2−2𝑥−3=5⇔𝑥2−2𝑥−8=0⇔𝑥=−2o𝑥=4,𝑥2−2𝑥−3=−5⇔𝑥2−2𝑥+2=0no tiene solución. Por tanto, los posibles valores son 𝑥 = −2 y 𝑥 =4.
2. Si 𝑥 =1, entonces ⃗𝑂𝐵 =(3,0,1). Cada cara del paralelepípedo es un paralelogramo. El área del paralelogramo formado por los vectores ⃗𝑂𝐴 y ⃗𝑂𝐵 viene dado por el módulo de su producto vectorial. ⃗𝑂𝐴×⃗𝑂𝐵=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧2−10301∣=(−1,−2,3). Por tanto, el área de la cara es |⃗𝑂𝐴×⃗𝑂𝐵|=|(−1,−2,3)|=√12+22+32=√14𝑢2.

El plano 𝜋 determinado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 tiene como vectores directores ⃗𝐴𝐵=(3,0,3)∥(1,0,1)𝑦⃗𝐴𝐶=(2,1,4). El vector normal al plano es perpendicular a ambos, así que ⃗𝑛=(1,0,1)×(2,1,4)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧101214∣=(−1,−2,1). Como 𝐴 pertenece al plano, la ecuación de 𝜋 es 𝜋≡−𝑥−2(𝑦−2)+𝑧+2=0⇔−𝑥−2𝑦+𝑧+6=0.

Hallamos los puntos de corte de 𝜋 con los ejes de coordenadas.

• El eje 𝑋 tiene de ecuaciones 𝑦 =0 y 𝑧 =0. Sustituyendo en la ecuación del plano, −𝑥+6=0⇔𝑥=6. Por tanto, el punto de corte es 𝐷(6,0,0).
• El eje 𝑌 tiene de ecuaciones 𝑥 =0 y 𝑧 =0. Sustituyendo en la ecuación del plano, −2𝑦+6=0⇔𝑦=3. Por tanto, el punto de corte es 𝐸(0,3,0).
• El eje 𝑍 tiene de ecuaciones 𝑥 =0 e 𝑦 =0. Sustituyendo en la ecuación del plano, 𝑧+6=0⇔𝑧=−6. Por tanto, el punto de corte es 𝐹(0,0, −6).

El volumen del tetraedro delimitado por el plano 𝜋 y los planos cartesianos es un sexto del volumen del paralelepípedo formado por los vectores ⃗𝑂𝐷 =(6,0,0), ⃗𝑂𝐸 =(0,3,0) y ⃗𝑂𝐹 =(0,0, −6). Este viene dado por el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores. [⃗𝑂𝐷,⃗𝑂𝐸,⃗𝑂𝐹]=∣60003000−6∣=−108⇒𝑉=108𝑢3. Por tanto, el volumen del tetraedro es 16 ⋅108 =18 𝑢3.

1. Llamamos 𝜏 al plano que nos piden. Como 𝜏 es un plano paralelo a 𝜋, tiene el mismo vector normal. Luego su ecuación será de la forma 𝜏≡2𝑥+𝑦−2𝑧+𝑑=0. El punto 𝑃(0,2,0) pertenece al plano 𝜋, así que la distancia entre 𝜋 y 𝜏 viene dada por dist⁡(𝜋,𝜏)=dist⁡(𝑃,𝜏)=|2+𝑑||⃗𝑛|=|2+𝑑|3. Como queremos que la distancia sea de dos unidades, dist⁡(𝜋,𝜏)=2⇔|2+𝑑|3=2⇔|2+𝑑|=6⇔{2+𝑑=6⇔𝑑=4,2+𝑑=−6⇔𝑑=−8. Por tanto, las ecuaciones de los planos son 𝜏1≡2𝑥+𝑦−2𝑧+4=0y𝜏2≡2𝑥+𝑦−2𝑧−8=0.
2. Calculamos los puntos de corte del plano 𝜋 con los ejes coordenados.
   • Si 𝑦 =𝑧 =0, obtenemos el punto 𝐴(1,0,0).
   • Si 𝑥 =𝑧 =0, obtenemos el punto 𝐵(0,2,0).
   • Si 𝑥 =𝑦 =0, obtenemos el punto 𝐶(0,0, −1).

1. El volumen del tetraedro de vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 es un sexto del volumen del paralelepípedo formado por los vectores ⃗𝐴𝐵 =(1,1,0), ⃗𝐴𝐶 =(0,1,3) y ⃗𝐴𝐷 =(1,0,3). Este viene dado por el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores. [⃗𝐴𝐵,⃗𝐴𝐶,⃗𝐴𝐷]=∣110013103∣=6⇒𝑉=6𝑢3. Por tanto, el volumen del tetraedro es 16 ⋅6 =1 𝑢3.
2. En primer lugar, hallamos la ecuación general del plano 𝜋 formado por los puntos 𝐵, 𝐶 y 𝐷. Los vectores ⃗𝐵𝐶 =( −1,0,3) y ⃗𝐵𝐷 =(0, −1,3) son dos vectores directores del plano. Así que el vector normal de 𝜋 viene dado por: ⃗𝑛𝜋=⃗𝐵𝐶×⃗𝐵𝐷=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧−1030−13∣=(3,3,1). Además, 𝐵 es un punto del plano. Por tanto, la ecuación general del plano 𝜋 es: 𝜋≡3(𝑥−1)+3(𝑦−1)+𝑧=0⇔3𝑥+3𝑦+𝑧−6=0. De esta forma, podemos calcular la altura del vértice 𝐴 de la forma: ℎ=dist⁡(𝐴,𝜋)=|−6||⃗𝑛𝜋|=6√32+32+12=6√19𝑢2.

1. Por un lado, si los tres vectores son linealmente dependientes entonces el determinante formado por sus componentes es nulo. ∣21010−1𝑎𝑏1∣=0⇔−𝑎+2𝑏−1=0. Por otro lado, si ⃗𝑢 y ⃗𝑤 son ortogonales, su producto escalar es nulo. ⃗𝑢⋅⃗𝑤=0⇔2𝑎+𝑏=0. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones {−𝑎+2𝑏=1,2𝑎+𝑏=0 Si sumamos el doble de la primera ecuación con la segunda ecuación, obtenemos que 5𝑏=2⇔𝑏=25. Luego −𝑎+2𝑏=1𝑏=2/5←←←←←←←→−𝑎+2⋅25=1⇔𝑎=−15. Así que 𝑎 = −15 y 𝑏 =25.
2. Si 𝑎 =1, entonces ⃗𝑤 =(1,𝑏,1). El volumen del paralelepípedo formado por los vectores viene dado por el valor absoluto de su producto mixto. [⃗𝑢,⃗𝑣,⃗𝑤]=∣21010−11𝑏1∣=2𝑏−2⇒𝑉=|2𝑏−2|. Si el volumen es de 6 unidades cúbicas, entonces 𝑉=6⇔|2𝑏−2|=6⇔|𝑏−1|=3⇔{𝑏−1=3⇔𝑏=4,𝑏−1=−3⇔𝑏=−2. Por tanto, los posibles valores son 𝑏 = −2 y 𝑏 =4.