Matemáticas de Selectividad

Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje 𝑂𝑋, un vértice está en la recta 𝑦 =𝑥 y el otro, en la recta 𝑦 =4 −𝑥. Se pide:

1. Halla la altura del rectángulo en función de 𝑎.
2. Halla la base del rectángulo en función de 𝑎.
3. Encuentra el valor de 𝑎 que hace máximo el área del rectángulo.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑒2−𝑥.

1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.
2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje de ordenadas y la recta 𝑥 +𝑦 =3.
3. Calcula el área del recinto indicado.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−1𝜆2−𝜆12𝜆−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Discute el rango de 𝐴 según los valores del parámetro 𝜆.
2. Para 𝜆 = −2, estudia y resuelve el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵.

Considera el plano 𝜋 de ecuación 𝑥 +2𝑦 +𝑧 =6.

1. Determina la recta perpendicular a 𝜋 que pasa por el origen de coordenadas.
2. Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto a 𝜋.
3. Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de 𝜋 con los ejes coordenados.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥𝑒𝑥−1,si 𝑥≤0,𝑥𝑒𝑥−1,si 0<𝑥≤1,𝑥𝑒1−𝑥,si 1<𝑥.

1. Estudia la derivabilidad de 𝑓 en 𝑥 =0 y en 𝑥 =1.
2. Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de 𝑓.

Considera la función 𝑓 :(−𝑒2,+∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(2𝑥 +𝑒).

1. Haz un esbozo de la gráfica de 𝑓 calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.
2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y los ejes de coordenadas.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−10000−10−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−22−1101−12−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐷=(4−56). Determina, si existe, la matriz 𝑋 que verifica que 𝐴2𝑋 −𝐵𝐴 +𝑋 =𝐶𝐷.

Considera las rectas 𝑟 y 𝑠 dadas por 𝑟≡𝑥−2=𝑦−2=𝑧y𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=4+𝑡,𝑦=4+𝑡,𝑧=𝑚𝑡.

1. Determina 𝑚 para que 𝑟 y 𝑠 sean paralelas.
2. Halla, si existe, un valor de 𝑚 para el que ambas rectas sean la misma.
3. Para 𝑚 =1, calcula la ecuación del plano que contiene a 𝑟 y a 𝑠.