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Ejercicio 2: Reserva 1 de 2025

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)2.

  1. Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑎 con 𝑎 >0.
  2. Calcula 𝑎 >0 para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑎 sea 43 unidades cuadradas.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2025

Sean las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −𝑥 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +1.

  1. Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
  2. Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2024

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −6𝑥2 +8𝑥.

  1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.
  2. Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Resolución
    • Hallamos los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con el eje 𝑋. 𝑓(𝑥)=0⇔𝑥3−6𝑥2+8𝑥=0⇔𝑥(𝑥2−6𝑥+8)=0⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑥=2,𝑥=4. Por tanto, (0,0), (2,0) y (4,0) son los puntos de corte con el eje de abscisas. Además, (0,0) es también el punto de corte con el eje 𝑌.
    • Para representar correctamente la gráfica de función, estudiamos su monotonía. Hallamos en primer lugar la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12𝑥+8. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔3𝑥2−12𝑥+8=0⇔𝑥=2±2√33. Estudiamos el signo de 𝑓′.
      • Si 𝑥 <2 −2√33, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
      • Si 2 −2√33 <𝑥 <2 +2√33, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
      • Si 𝑥 >2 +2√33, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
      Por tanto, 𝑓 es creciente en (−∞,2−2√33) ∪(2+2√33,+∞) y decreciente en (2−2√33,2+2√33). Además, el punto (2−2√33,16√39) es un máximo relativo y el punto (2+2√33,−16√39) es un mínimo relativo.
    Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura
  2. Podemos representar los recintos limitados por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas. Figura Calculamos el área de los recintos. ∫20𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∫42𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫20(𝑥3−6𝑥2+8𝑥)𝑑𝑥−∫42(𝑥3−6𝑥2+8𝑥)𝑑𝑥==[14𝑥4−2𝑥3+4𝑥2]20−[14𝑥4−2𝑥3+4𝑥2]42=4−16+16−(64−128+64−(4−16+16))=8𝑢2.

Ejercicio 3: Julio de 2024

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +7 y 𝑔(𝑥) =|𝑥2 −1|.

  1. Halla los puntos de intersección de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
  2. Calcula el área de dicho recinto.

Resolución
  1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔−𝑥2+7=|𝑥2−1|⇔{−𝑥2+7=𝑥2−1⇔2𝑥2=8⇔𝑥=±2,−𝑥2+7=−𝑥2+1⇔6=0. Por tanto, los puntos de corte son ( −2,3) y (2,3). Representamos el recinto determinado por ambas funciones. Figura
  2. En primer lugar, podemos expresar la función 𝑔 como función a trozos. 𝑔(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−1,si 𝑥≤−1,−𝑥2+1,si −1<𝑥<1,𝑥2−1,si 𝑥≥1. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como 2(∫10(−𝑥2+7−(−𝑥2+1))𝑑𝑥+∫21(−𝑥2+7−(𝑥2−1))𝑑𝑥)=2∫106𝑑𝑥+2∫21(−2𝑥2+8)𝑑𝑥==2[6𝑥]10+2[−23𝑥3+8𝑥]21=2⋅6+2⋅(−163+16−(−23+8))=563𝑢2.

Ejercicio 3: Junio de 2023

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =𝑥|𝑥 −1|. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución

En primer lugar, expresamos la función 𝑓 como función a trozos. 𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥−1|={−𝑥(𝑥−1)=−𝑥2+𝑥,si 𝑥<1,𝑥(𝑥−1)=𝑥2−𝑥,si 𝑥≥1.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 viene dada por el valor de 𝑓′(0). Si 𝑥 >1, la derivada de 𝑓 es 𝑓′(𝑥) =2𝑥 −1. Por tanto, la ecuación de la recta tangente es 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=𝑥.

Calculamos los puntos de corte de la función con la recta. {𝑦=𝑥2−𝑥𝑦=𝑥⇒𝑥2−𝑥=𝑥⇔𝑥(𝑥−2)=0⇔{𝑥1=0,𝑥2=2.

Representamos la función 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑥 para visualizar el área del recinto.

Figura

Por último, calculamos el área del recinto. ∫20(𝑥−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫10(𝑥−(−𝑥2+𝑥))𝑑𝑥+∫21(𝑥−(𝑥2−𝑥))𝑑𝑥=∫10𝑥2𝑑𝑥+∫21(−𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥==[𝑥33]10+[−𝑥33+𝑥2]21=1𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2023

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 +1.

  1. Determina el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 =4𝑥 −3.
  2. Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 =4𝑥 −3 y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥. La pendiente de la recta tangente viene dada por el valor de la derivada. Veamos en qué punto es igual a 4. 𝑓′(𝑥)=4⇔2𝑥=4⇔𝑥=2. Luego el único candidato es el punto (2,5). Podemos comprobar que, efectivamente, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)→𝑦−5=4(𝑥−2)⇔𝑦=4𝑥−3.
  2. Sabemos por el apartado anterior que la función y la recta se cortan en 𝑥 =2. Representamos el recinto. Figura Calculamos el área del recinto. ∫20((𝑥2+1)−(4𝑥−3))𝑑𝑥=∫20(𝑥2−4𝑥+4)𝑑𝑥=[𝑥33−2𝑥2+4𝑥]20=83𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2023

Sabiendo que 𝐹 :ℝ →ℝ definida por 𝐹(𝑥) =𝑒𝑥2 es una primitiva de 𝑓.

  1. Comprueba que 𝑓 es creciente.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =1.

Resolución
  1. Como 𝐹 es una primitiva de 𝑓, entonces 𝑓(𝑥)=𝐹′(𝑥)=2𝑥𝑒𝑥2. Calculamos en primer lugar la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑒𝑥2+2𝑥⋅2𝑥𝑒𝑥2=2𝑒𝑥2(2𝑥2+1). Observamos que la derivada no se anula en ningún punto, así la función no tiene ningún punto crítico. Como 𝑓′(𝑥) >0 para todo 𝑥, 𝑓 es creciente en ℝ.
  2. Calculamos los puntos de corte de la función con el eje 𝑋. 𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥𝑒𝑥2=0⇔𝑥=0. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y la recta 𝑥 =1. Figura Calculamos el área del recinto. ∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥=[𝐹(𝑥)]10=[𝑒𝑥2]10=𝑒−1𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2023

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =|𝑥2 −1| y 𝑔(𝑥) =𝑥 +5.

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.
  2. Determina el área del recinto anterior.

Resolución
  1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔|𝑥2−1|=𝑥+5⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−1=𝑥+5⇔𝑥2−𝑥−6=0⇔{𝑥=−2,𝑥=3,𝑥2−1=−𝑥−5⇔𝑥2+𝑥+4=0. Por tanto, los puntos de corte son ( −2,3) y (3,8). Representamos el recinto determinado por ambas funciones. Figura
  2. En primer lugar, podemos expresar la función 𝑓 como función a trozos. 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−1,si 𝑥≤−1,−𝑥2+1,si −1<𝑥≤1,𝑥2−1,si 𝑥>1. Calculamos el área del recinto. ∫3−2(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫−1−2(𝑥+5−𝑥2+1)𝑑𝑥+∫1−1(𝑥+5+𝑥2−1)𝑑𝑥+∫31(𝑥+5−𝑥2+1)𝑑𝑥==∫−1−2(−𝑥2+𝑥+6)𝑑𝑥+∫1−1(𝑥2+𝑥+4)𝑑𝑥+∫31(−𝑥2+𝑥+6)𝑑𝑥==[−13𝑥3+12𝑥2+6𝑥]−1−2+[13𝑥3+12𝑥2+4𝑥]1−1+[−13𝑥3+12𝑥2+6𝑥]31==13+12−6−(83+2−12)+13+12+4−(−13+12−4)−9+92+18−(−13+12+6)=1096𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2023

Considera la función 𝑓 :( −1, +∞) →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥 +1). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =𝑒 −1.

Resolución

Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 =𝑒 −1 y el eje de abscisas. Figura

Calculamos el área. ∫𝑒−10𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑒−10ln⁡(𝑥+1)𝑑𝑥=[(𝑥+1)ln⁡(𝑥+1)−(𝑥+1)]𝑒−10=𝑒−𝑒−(−1)=1𝑢2.

Ejercicio 4: Julio de 2023

Considera las funciones 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :ℝ ∖{0} →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =5 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) =4𝑥2.

  1. Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.
  2. Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Resolución
  1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔5−𝑥2=4𝑥2⇔−𝑥4+5𝑥2−4=0. Para resolver esta ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable 𝑡 =𝑥2. De esta forma, −𝑥4+5𝑥2−4=0⇔−𝑡2+5𝑡−4=0⇔{𝑡=1⇔𝑥2=1⇔𝑥=±1,𝑡=4⇔𝑥2=4⇔𝑥=±2. Por tanto, los puntos de corte son ( −2,1), ( −1,4), (1,4) y (2,1).
    Representamos gráficamente las dos funciones. Observamos que ambas funciones tienen simetría par y la parábola tiene vértice (0,5). Figura
  2. Podemos representar los recintos limitados por las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Figura Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como 2∫21(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫21(5−𝑥2−4𝑥2)𝑑𝑥=2[5𝑥−13𝑥3+4𝑥]21==2[10−83+2−(5−13+4)]=43𝑢2.

Ejercicio 3: Junio de 2022

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)={2𝑥+4,si 𝑥<0,(𝑥−2)2,si 𝑥≥0.

  1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función.
  2. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y por el eje de abscisas.

Resolución
  1. Hallamos los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con el eje 𝑋.
    • Si 𝑥 <0, 𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥+4=0⇔𝑥=−2. Por tanto, ( −2,0) es un punto de corte con el eje.
    • Si 𝑥 ≥0, 𝑓(𝑥)=0⇔(𝑥−2)2=0⇔𝑥−2=0⇔𝑥=2. Por tanto, (2,0) es un punto de corte con el eje.
    Así que la gráfica de 𝑓 tiene dos puntos de corte con el eje de abscisas: ( −2,0) y (2,0). Además, corta al eje 𝑌 en el punto (0,4). La primera rama es una recta, mientras que la segunda es una parábola con vértice (2,0). Figura
  2. Calculamos el área del recinto. ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫0−2(2𝑥+4)𝑑𝑥+∫20(𝑥−2)2𝑑𝑥=[𝑥2+4𝑥]0−2+[(𝑥−2)33]20=4+83=203𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2022

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =1 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) =2𝑥2.

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Esboza el recinto que delimitan.
  2. Determina el área del recinto anterior.

Resolución
  1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔1−𝑥2=2𝑥2⇔3𝑥2=1⇔𝑥=±1√3. Por tanto, los puntos de corte son (−1√3,23) y (1√3,23). Representamos el recinto determinado por ambas funciones. Figura
  2. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como 2∫1√30(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫1√30(1−𝑥2−2𝑥2)𝑑𝑥=2∫1√30(1−3𝑥2)𝑑𝑥=2[𝑥−𝑥3]1√30==2(1√3−1√27)=2√3⋅23=43√3𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2022

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −𝑥. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función 𝑓 y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución

En primer lugar, hallamos la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0. Calculamos la derivada de la función. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 es 𝑚𝑡 =𝑓′(0) = −1. Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, su pendiente 𝑚𝑛 ha de verificar 𝑚𝑡⋅𝑚𝑛=−1⇔𝑚𝑛=−1𝑚𝑡𝑚𝑡=−1←←←←←←←←←→𝑚𝑛=1. Así que la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 se puede hallar usando la ecuación punto-pendiente como 𝑦−𝑓(0)=𝑚𝑛(𝑥−0)⇔𝑦=𝑥.

Calculamos los puntos de corte de la función con la recta. 𝑓(𝑥)=𝑥⇔𝑥3−𝑥=𝑥⇔𝑥3−2𝑥=0⇔𝑥(𝑥2−2)=0⇔{𝑥=0,𝑥2−2=0⇔𝑥2=2⇔𝑥=±√2. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑥. Figura

Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como 2∫√20(𝑥−(𝑥3−𝑥))𝑑𝑥=2∫√20(2𝑥−𝑥3)𝑑𝑥=2[𝑥2−14𝑥4]√20=2(2−1)=2𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2022

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥2 y 𝑔(𝑥) =𝑎|𝑥|, con 𝑎 >0. Determina el valor de 𝑎 para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Resolución

En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔𝑥2=𝑎|𝑥|⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2=𝑎𝑥⇔𝑥(𝑥−𝑎)=0⇔{𝑥=0,𝑥=𝑎,,𝑥2=−𝑎𝑥⇔𝑥(𝑥+𝑎)=0⇔{𝑥=0,𝑥=−𝑎. Así que los puntos de corte son ( −𝑎,𝑎2), (0,0) y (𝑎,𝑎2).

Podemos representar los recintos delimitados por las gráficas de ambas funciones. Figura

Como los dos recintos tienen la misma superficie, el área viene dada por 2∫𝑎0(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=2∫𝑎0(𝑎𝑥−𝑥2)𝑑𝑥=2[𝑎2𝑥2−13𝑥3]𝑎0=2(𝑎32−𝑎33)=𝑎33. Para que el área total de los recintos sea de 9 𝑢2, ha de verificarse que 𝑎33=9⇔𝑎3=27⇔𝑎=3.

Ejercicio 4: Julio de 2022

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +2 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +2.

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Esboza sus gráficas.
  2. Determina el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 en el primer cuadrante.

Resolución
  1. Calculemos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑥3+2=−𝑥2+2𝑥+2⇔𝑥3+𝑥2−2𝑥=0⇔𝑥(𝑥2+𝑥−2)=0⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑥2+𝑥−2=0⇔{𝑥=−2,𝑥=1. Por tanto, evaluando obtenemos que los puntos de corte son ( −2, −6), (0,2) y (1,3). Representamos las funciones 𝑓 y 𝑔. Figura
  2. Calculamos el área del recinto. ∫10(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫10((−𝑥2+2𝑥+2)−(𝑥3−2))𝑑𝑥=∫10(−𝑥3−𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥==[−𝑥44−𝑥33+𝑥2]10=(−14−13+1)=512𝑢2.

Ejercicio 3: Junio de 2021

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =4𝑥3 −𝑥4.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓.
  2. Esboza la gráfica de 𝑓 y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=12𝑥2−4𝑥3. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔12𝑥2−4𝑥3=0⇔4𝑥2(3−𝑥)=0⇔{𝑥=0,3−𝑥=0⇔𝑥=3. Estudiamos el signo de 𝑓′.
    • Si 𝑥 <0, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    • Si 0 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    • Si 𝑥 >3, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,3) y es decreciente en (3, +∞).
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝑓 con el eje 𝑋. 𝑓(𝑥)=0⇔4𝑥3−𝑥4=0⇔𝑥3(4−𝑥)=0⇔{𝑥=0,4−𝑥=0⇔𝑥=4. Así que los puntos de corte con (0,0) y (4,0). Representamos gráficamente la función. Figura Podemos representar gráficamente el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫40𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫40(4𝑥3−𝑥4)𝑑𝑥=[𝑥4−15𝑥5]40=2565𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2021

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥.

  1. Calcula 𝑎 para que la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto (𝑎,𝑓(𝑎)) pase por el origen de coordenadas.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta tangente a la misma en el punto (1,𝑓(1)) y el eje de ordenadas.

Resolución
  1. En primer lugar, sabemos que la derivada de la función 𝑓 es 𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝑎 es 𝑦−𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(𝑥−𝑎)⇔𝑦−𝑒𝑎=𝑒𝑎(𝑥−𝑎)⇔𝑦=𝑒𝑎𝑥+𝑒𝑎−𝑎𝑒𝑎. Si la recta tangente pasa por el origen de coordenadas, su ordenada en el origen debe ser 0. Así que 𝑒𝑎−𝑎𝑒𝑎=0⇔𝑒𝑎(1−𝑎)=0⇔𝑎=1. Podemos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 para comprobar que, efectivamente, pasa por el origen. 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1)⇔𝑦−𝑒=𝑒(𝑥−1)⇔𝑦=𝑒𝑥.
  2. Sabemos por el apartado anterior que la función y la recta se cortan en 𝑥 =1. Podemos representar el recinto la función, la recta tangente y el eje de ordenadas. Figura Calculamos el área. ∫10(𝑒𝑥−𝑒𝑥)𝑑𝑥=[𝑒𝑥−𝑒2𝑥2]10=𝑒−𝑒2−1=𝑒2−1𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2021

Considera la función 𝑓 :[0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥𝑒𝑥.

  1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y las rectas 𝑥 =2, 𝑦 =𝑥.
  2. Determina el área del recinto anterior.

Resolución
  1. Hallamos los puntos de corte de la función 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑥. 𝑓(𝑥)=𝑥⇔𝑥𝑒𝑥=𝑥⇔𝑥𝑒𝑥−𝑥=0⇔𝑥(𝑒𝑥−1)=0⇔𝑥=0. Por tanto, el punto de corte es (0,0). Representamos el recinto determinado por la gráfica de 𝑓 y las rectas 𝑦 =𝑥 y 𝑥 =2. Figura
  2. El área del recinto viene dada por ∫20(𝑓(𝑥)−𝑥)𝑑𝑥=∫20(𝑥𝑒𝑥−𝑥)𝑑𝑥. Hallamos en primer lugar una primitiva de esta función. ∫(𝑥𝑒𝑥−𝑥)𝑑𝑥=∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥−12𝑥2. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑥⇒𝑢′=1,𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Entonces: ∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥−12𝑥2=𝑥𝑒𝑥−∫𝑒𝑥𝑑𝑥−12𝑥2=𝑥𝑒𝑥−𝑒𝑥−12𝑒𝑥=(𝑥−1)𝑒𝑥−12𝑥2. Por último, hallamos el área del recinto. ∫20(𝑥𝑒𝑥−𝑥)𝑑𝑥=[(𝑥−1)𝑒𝑥−12𝑥2]20=𝑒2−2−(−1)=𝑒2−1𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2021

Considera la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln2⁡(𝑥).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓 y las rectas 𝑦 =0, 𝑥 =1, 𝑥 =𝑒.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2ln⁡(𝑥)⋅1𝑥=2ln⁡(𝑥)𝑥. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2ln⁡(𝑥)𝑥=0⇔ln⁡(𝑥)=0⇔𝑥=1. Estudiamos el signo de 𝑓′.
    • Si 0 <𝑥 <1, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (1, +∞) y decreciente en (0,1). Además, el punto (1,0) es un mínimo relativo.
  2. Podemos representar la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =1 y 𝑥 =𝑒. Figura El área de la región viene dada por ∫𝑒1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑒1ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥. En primer lugar, hallamos una primitiva de 𝑓 por partes. 𝑢=ln2⁡(𝑥)⇒𝑢′=2ln⁡(𝑥)𝑥,𝑣′=1⇒𝑣=𝑥. Entonces ∫ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑥ln2⁡(𝑥)−∫2ln⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑥ln2⁡(𝑥)−2𝑥ln⁡(𝑥)+2𝑥. Por último, calculamos el área de la región. ∫𝑒1ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥=[𝑥ln2⁡(𝑥)−2𝑥ln⁡(𝑥)+2𝑥]𝑒1=𝑒−2𝑒+2𝑒−2=𝑒−2𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2021

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =|𝑥| −2 y por 𝑔(𝑥) =4 −𝑥2.

  1. Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.
  2. Determina el área del recinto anterior.

Resolución
  1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔|𝑥|−2=4−𝑥2⇔|𝑥|=6−𝑥2⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥=6−𝑥2⇔𝑥2+𝑥−6=0⇔{𝑥=−3 (no válida),𝑥=2,−𝑥=6−𝑥2⇔𝑥2−𝑥−6=0⇔{𝑥=−2,𝑥=3 (no válida). Por tanto, los puntos de corte son ( −2,0) y (2,0). Representamos el recinto delimitado por ambas funciones. Figura
  2. En primer lugar, podemos expresar la función 𝑓 como una función a trozos. 𝑓(𝑥)={−𝑥−2,si 𝑥<0,𝑥−2,si 𝑥≥0. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como 2∫20(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=2∫20(4−𝑥2−(𝑥−2))𝑑𝑥=2∫20(−𝑥2−𝑥+6)𝑑𝑥=2[−13𝑥3−12𝑥2+6𝑥]20==2⋅(−83−2+12)=443𝑢2.

Ejercicio 2: Junio de 2020

Calcula 𝑎 >0 sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =𝑥𝑒3𝑥, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =𝑎 vale 19.

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑥⇒𝑢′=1,𝑣′=𝑒3𝑥⇒𝑣=13𝑒3𝑥. Así que: ∫𝑥𝑒3𝑥𝑑𝑥=13𝑥𝑒3𝑥−13∫𝑒3𝑥𝑑𝑥=13𝑥𝑒3𝑥−19𝑒3𝑥=19𝑒3𝑥(3𝑥−1).

De esta forma, el área de la región viene dada por: ∫𝑎0𝑒3𝑥𝑑𝑥=19[𝑒3𝑥(3𝑥−1)]𝑎0=19(𝑒3𝑎(3𝑎−1)+1).

Como la región tiene un área de 19 𝑢2, ha de verificarse que: ∫𝑎0𝑒3𝑥𝑑𝑥=19⇔19(𝑒3𝑎(3𝑎−1)+1)=19⇔𝑒3𝑎(3𝑎−1)+1=1⇔𝑒3𝑎(3𝑎−1)=0⇔3𝑎−1=0⇔𝑎=13.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2020

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = −4𝑥 +2 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +𝑐.

  1. Halla el valor de 𝑐 sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que 𝑔 alcanza su máximo.
  2. Para 𝑐 = −3, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que la gráfica de la función 𝑔 es una parábola cóncava con vértice en 𝑥 =1, así que alcanza su máximo en este punto. Para que las funciones se corten en 𝑥 =1, ha de verificarse que: 𝑓(1)=𝑔(1)⇔−2=1+𝑐⇔𝑐=−3.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte entre las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔−4𝑥+2=−𝑥2+2𝑥−3⇔𝑥2−6𝑥+5=0⇔{𝑥=1,𝑥=5. Podemos representar la región. Figura Calculamos el área. 𝑆=∫51(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫51(−𝑥2+2𝑥−3+4𝑥−2)𝑑𝑥=∫51(−𝑥2+6𝑥−5)𝑑𝑥=[−13𝑥3+3𝑥2−5𝑥]51==−1253+75−25−(−13+3−5)=323𝑢2.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2020

Calcula el valor de 𝑎 >0 para que el área comprendida entre la parábola 𝑦 =3𝑥2 −2𝑎𝑥 y el eje de abscisas sea 4 unidades cuadradas.

Ejercicio 6: Septiembre de 2020

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =|𝑥| y 𝑔(𝑥) =𝑥2 −2.

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Esboza el recinto que determinan.
  2. Determina el área del recinto anterior.

Resolución
  1. Hallamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔|𝑥|=𝑥2−2⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥=𝑥2−2⇔𝑥2−𝑥−2=0⇔{𝑥=−1 (no válida),𝑥=2,−𝑥=𝑥2−2⇔𝑥2+𝑥−2=0⇔{𝑥=−2,𝑥=1 (no válida). Por tanto, los puntos de corte son ( −2,2) y (2,2). Representamos el recinto delimitado por ambas funciones. Figura
  2. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como: 2∫20(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫20(𝑥−(𝑥2−2))𝑑𝑥=2∫20(−𝑥2+𝑥+2)𝑑𝑥=2[−13𝑥3+12𝑥2+2𝑥]20==2(−83+2+4)=203𝑢2.

Ejercicio B2: Junio de 2019

Considera las funciones 𝑓 :( −2, +∞) →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥 +2) y 𝑔 :ℝ →ℝ, definida por 𝑔(𝑥) =12(𝑥 −3).

  1. Esboza el recinto que determinan la gráfica de 𝑓, la gráfica de 𝑔, la recta 𝑥 =1 y la recta 𝑥 =3. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).
  2. Determina el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2019

Sean las funciones 𝑓,𝑔 :[0,𝜋] →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =sen⁡(𝑥) y 𝑔(𝑥) =sen⁡(2𝑥).

  1. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
  2. Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =𝜋3.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2019

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :[ −𝜋,𝜋] →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =cos⁡(𝑥) y 𝑔(𝑥) =sen⁡(𝑥).

  1. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
  2. Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de 𝑓 y de 𝑔 en el intervalo [−3𝜋4,𝜋4].

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2019

Dado un número real 𝑎 >0, considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ, dada por 𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑎𝑥, y la recta 𝑦 =2𝑎𝑥. Determina 𝑎 sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta anterior es 36.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2019

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥)={−𝑥2+6𝑥−8,si 𝑥≤4,𝑥2−6𝑥+8,si 𝑥>4.

  1. Calcula los puntos de corte entre la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =2𝑥 −4. Esboza el recinto que delimitan la gráfica de 𝑓 y la recta.
  2. Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2019

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) = −4𝑥2 +𝑎, siendo 𝑎 >0 un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =0. Calcula 𝑎 sabiendo que el área del recinto es 18.

Ejercicio B2: Septiembre de 2019

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑥𝑒−𝑥2.

  1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes coordenados y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina 𝑎 >0 de manera que sea 14 el área del recinto determinado por la gráfica de 𝑓 en el intervalo [0,𝑎] y el eje de abscisas.

Ejercicio A2: Junio de 2018

Considera las funciones 𝑓 y 𝑔 :ℝ →ℝ dadas por 𝑓(𝑥) =6𝑥 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) =|𝑥2 −2𝑥|.

  1. Esboza el recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.
  2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Ejercicio B2: Junio de 2018

Considera las funciones 𝑓 y 𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =3 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) = −𝑥24.

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1 y comprueba que también es tangente a la gráfica de 𝑔. Determina el punto de tangencia con la gráfica de 𝑔.
  2. Esboza el recinto limitado por la recta 𝑦 =4 −2𝑥 y las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).
  3. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2018

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑒2−𝑥.

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje de ordenadas y la recta 𝑥 +𝑦 =3.
  3. Calcula el área del recinto indicado.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2018

Considera la función 𝑓 :(−𝑒2,+∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(2𝑥 +𝑒).

  1. Haz un esbozo de la gráfica de 𝑓 calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y los ejes de coordenadas.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2018

Siendo 𝑎 >1, considera el rectángulo de vértices 𝐴(1,0), 𝐵(1,1), 𝐶(𝑎,1) y 𝐷(𝑎,0). La gráfica de la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) =1𝑥2 para 𝑥 ≠0 divide al rectángulo anterior en dos recintos.

  1. Haz un esbozo de la gráfica de 𝑓 y del rectángulo descrito.
  2. Determina el valor de 𝑎 para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2018

Considera las funciones 𝑓 y 𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 −𝑥 +3 y 𝑔(𝑥) =|𝑥|.

  1. Esboza el recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
  2. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio B2: Septiembre de 2018

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒−2𝑥.

  1. Determina el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 = −2𝑒𝑥.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 = −2𝑒𝑥 y el eje de ordenadas.
  3. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Junio de 2017

Considera la región limitada por las curvas 𝑦 =𝑥2 e 𝑦 = −𝑥2 +4𝑥.

  1. Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.
  2. Expresa el área como una integral.
  3. Calcula el área.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2017

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por 𝑓(𝑥) =√2𝑥−2 para 𝑥 ≥1, la recta 𝑦 =𝑥 −5 y el eje de abscisas.

  1. Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de 𝑓 y las rectas.
  2. Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.
  3. Calcula el área.

Ejercicio B2: Septiembre de 2017

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje 𝑂𝑋, la recta 𝑦 =𝑥, la gráfica 𝑦 =1𝑥3 y la recta 𝑥 =3.

  1. Haz un esbozo del recinto descrito.
  2. Calcula el área del recinto.
  3. Si consideras la gráfica 𝑦 =1𝑥 en lugar de 𝑦 =1𝑥3, el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿Por qué?

Ejercicio B2: Junio de 2016

Sea 𝑓 :(0, +∞) →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥).

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 =𝑥 −1 y la recta 𝑥 =3. Calcula su área.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2016

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥)=2𝑥(𝑥2+1)2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2016

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=3𝑥(2𝑚−𝑥)𝑚3, con 𝑚 >0. Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑂𝑋.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2016

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada for 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +𝑚𝑥 siendo 𝑚 >0. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 = −𝑚𝑥 y calcula el valor de 𝑚 para que el área de dicho recinto sea 36.

Ejercicio A2: Septiembre de 2016

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥4. Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de 𝑓 formando con ella un recinto con área 85.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2015

Sea 𝑔 la función definida por 𝑔(𝑥) =ln⁡(𝑥) para 𝑥 >0. Calcula el valor de 𝑎 >1 para que el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑔, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =𝑎 es 1.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2015

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) =|ln⁡(𝑥)| para 𝑥 >0.

  1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =1.
  2. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con la recta 𝑦 =1.
  3. Calcula el área del recinto citado.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2015

Sea 𝑓 :[0,∞) →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =√2𝑥 y 𝑔(𝑥) =12𝑥2.

  1. Halla los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Haz un esbozo del recinto que limitan.
  2. Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2015

Calcula el valor de 𝑎 >1 sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola 𝑦 = −𝑥2 +𝑎𝑥 y la recta 𝑦 =𝑥 es 43.

Ejercicio B2: Septiembre de 2015

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =|𝑥2 −4|.

  1. Haz un esbozo de la gráfica de 𝑓.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =5.

Ejercicio A2: Junio de 2014

Sean 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas respectivamente por 𝑓(𝑥)=|𝑥|2y𝑔(𝑥)=11+𝑥2.

  1. Esboza las gráficas de 𝑓 y 𝑔 sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
  2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2014

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: 𝑦=𝑥2,𝑦=2−𝑥2,𝑦=4.

  1. Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.
  2. Calcula el área del recinto.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +3.

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 2𝑥 +𝑦 −7 =0 y el eje 𝑂𝑋, calculando los puntos de corte.
  3. Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 −𝑥 +3.

  1. Halla, si existe, el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 =3 −𝑥.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta del apartado anterior.

Ejercicio A2: Junio de 2013

Sean 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas mediante 𝑓(𝑥)=|𝑥(𝑥−2)|y𝑔(𝑥)=𝑥+4.

  1. Esboza las gráficas de 𝑓 y 𝑔 sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
  2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2013

Sea 𝑔 :(0, +∞) →ℝ la función definida por 𝑔(𝑥) =|ln⁡(𝑥)|.

  1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑔 y la recta 𝑦 =1. Calcula los puntos de corte entre ellas.
  2. Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2013

Sean 𝑓 y 𝑔 las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =2 −𝑥 y 𝑔(𝑥)=2𝑥+1 para 𝑥 ≠ −1.

  1. Calcula los puntos de corte entre las gráficas de 𝑓 y 𝑔.
  2. Esboza las gráficas de 𝑓 y 𝑔 sobre los mismos ejes.
  3. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Ejercicio B2: Septiembre de 2013

Sea 𝑔 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +6𝑥 −5.

  1. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑔 en el punto de abscisa 𝑥 =4.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑔 y la recta 𝑥 −2𝑦 +2 =0. Calcula el área de este recinto.

Ejercicio B2: Junio de 2012

Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=2𝑥2−1 para 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠1.

  1. Halla una primitiva de 𝑓.
  2. Calcula el valor de 𝑘 para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de 𝑓 en el intervalo [2,𝑘] sea ln⁡(2).

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2012

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =sen⁡(𝑥) y 𝑔(𝑥) =cos⁡(𝑥) respectivamente.

  1. Realiza un esbozo de las gráficas de 𝑓 y 𝑔 en el intervalo [0,𝜋2].
  2. Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =𝜋2.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2012

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −4𝑥.

  1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 = −𝑥 −2, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.
  3. Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2012

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥2 −2𝑥 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +4𝑥 respectivamente.

  1. Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.
  2. Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2012

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas 𝑦 =4𝑥, 𝑦 =8 −4𝑥 y la curva 𝑦 =2𝑥 −𝑥2.

  1. Realiza un esbozo de dicho recinto.
  2. Calcula su área.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2012

Sean las funciones 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :[0, +∞) →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥24 y 𝑔(𝑥) =2√𝑥 respectivamente.

  1. Halla los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Realiza un esbozo del recinto que limitan.
  2. Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio B2: Septiembre de 2012

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=9−𝑥24.

  1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 +2𝑦 =5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Junio de 2011

Sea 𝑓 :( −1, +∞) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥 +1).

  1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑌 y la recta 𝑦 =1. Calcula los puntos de corte de las gráficas.
  2. Halla el área del recinto anterior.

Ejercicio A2: Septiembre de 2011

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por: 𝑓(𝑥)=6𝑥−𝑥2,𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥.

  1. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
  2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Ejercicio B2: Septiembre de 2011

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥)=−14𝑥2+4y𝑔(𝑥)=𝑥2−1.

  1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  2. Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta 𝑦 =𝑥 +5. Calcula el área de este recinto.