Matemáticas de Selectividad

1. Representamos el recinto.
2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte entre la función y la recta. 𝑓(𝑥)=𝑎⇔(𝑥−1)2=𝑎⇔|𝑥−1|=√𝑎⇔{𝑥−1=√𝑎⇔𝑥=1+√𝑎,𝑥−1=−√𝑎⇔𝑥=1−√𝑎. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como: 𝑆=2∫1+√𝑎0(𝑥2−2𝑥+1)𝑑𝑥=2[𝑥33−𝑥2+𝑥]1+√𝑎0=2((1+√𝑎)33−(1+√𝑎)2+1+√𝑎). Para que el área sea de 43 unidades cuadradas, ha de verificarse: 𝑆=43⇔2((1+√𝑎)33−(1+√𝑎)2+1+√𝑎)=43. Por comodidad, realizamos el cambio de variable 𝑡 =1 +√𝑎. De esta forma, la ecuación se puede escribir como: 2(𝑡33−𝑡2+𝑡)=43⇔𝑡33−𝑡2+𝑡=23⇔𝑡3−3𝑡2+3𝑡−2=0⇔(𝑡−2)(𝑡2−𝑡+1)=0⇔𝑡=2. Deshaciendo el cambio de variable, 1+√𝑎=2⇔√𝑎=1⇔𝑎=1.

1. • Hallamos los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con el eje 𝑋. 𝑓(𝑥)=0⇔𝑥3−6𝑥2+8𝑥=0⇔𝑥(𝑥2−6𝑥+8)=0⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑥=2,𝑥=4. Por tanto, (0,0), (2,0) y (4,0) son los puntos de corte con el eje de abscisas. Además, (0,0) es también el punto de corte con el eje 𝑌.
   • Para representar correctamente la gráfica de función, estudiamos su monotonía. Hallamos en primer lugar la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12𝑥+8. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔3𝑥2−12𝑥+8=0⇔𝑥=2±2√33. Estudiamos el signo de la derivada.

     	(−∞,2−2√33)	(2−2√33,2+2√33)	(2+2√33,+∞)
     signo de 𝑓′	+	−	+
     monotonía de 𝑓	→	→	→

     Por tanto, 𝑓 es creciente en (−∞,2−2√33) ∪(2+2√33,+∞) y decreciente en (2−2√33,2+2√33). Además, el punto (2−2√33,16√39) es un máximo relativo y el punto (2+2√33,−16√39) es un mínimo relativo.
   Representamos gráficamente la función usando esta información.
2. Podemos representar los recintos limitados por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas. Calculamos el área de los recintos. ∫20𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∫42𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫20(𝑥3−6𝑥2+8𝑥)𝑑𝑥−∫42(𝑥3−6𝑥2+8𝑥)𝑑𝑥==[14𝑥4−2𝑥3+4𝑥2]20−[14𝑥4−2𝑥3+4𝑥2]42=4−16+16−(64−128+64−(4−16+16))=8𝑢2.

1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔−𝑥2+7=|𝑥2−1|⇔{−𝑥2+7=𝑥2−1⇔2𝑥2=8⇔𝑥=±2,−𝑥2+7=−𝑥2+1⇔6=0. Por tanto, los puntos de corte son ( −2,3) y (2,3). Representamos el recinto determinado por ambas funciones.
2. En primer lugar, podemos expresar la función 𝑔 como función a trozos. 𝑔(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−1,si 𝑥≤−1,−𝑥2+1,si −1<𝑥<1,𝑥2−1,si 𝑥≥1. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como 2(∫10(−𝑥2+7−(−𝑥2+1))𝑑𝑥+∫21(−𝑥2+7−(𝑥2−1))𝑑𝑥)=2∫106𝑑𝑥+2∫21(−2𝑥2+8)𝑑𝑥==2[6𝑥]10+2[−23𝑥3+8𝑥]21=2⋅6+2⋅(−163+16−(−23+8))=563𝑢2.

En primer lugar, expresamos la función 𝑓 como función a trozos. 𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥−1|={−𝑥(𝑥−1)=−𝑥2+𝑥,si 𝑥<1,𝑥(𝑥−1)=𝑥2−𝑥,si 𝑥≥1.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 viene dada por el valor de 𝑓′(0). Si 𝑥 >1, la derivada de 𝑓 es 𝑓′(𝑥) =2𝑥 −1. Por tanto, la ecuación de la recta tangente es 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=𝑥.

Calculamos los puntos de corte de la función con la recta. {𝑦=𝑥2−𝑥𝑦=𝑥⇒𝑥2−𝑥=𝑥⇔𝑥(𝑥−2)=0⇔{𝑥1=0,𝑥2=2.

Representamos la función 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑥 para visualizar el área del recinto.

Por último, calculamos el área del recinto. ∫20(𝑥−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫10(𝑥−(−𝑥2+𝑥))𝑑𝑥+∫21(𝑥−(𝑥2−𝑥))𝑑𝑥=∫10𝑥2𝑑𝑥+∫21(−𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥==[𝑥33]10+[−𝑥33+𝑥2]21=1𝑢2.

1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥. La pendiente de la recta tangente viene dada por el valor de la derivada. Veamos en qué punto es igual a 4. 𝑓′(𝑥)=4⇔2𝑥=4⇔𝑥=2. Luego el único candidato es el punto (2,5). Podemos comprobar que, efectivamente, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)→𝑦−5=4(𝑥−2)⇔𝑦=4𝑥−3.
2. Sabemos por el apartado anterior que la función y la recta se cortan en 𝑥 =2. Representamos el recinto. Calculamos el área del recinto. ∫20((𝑥2+1)−(4𝑥−3))𝑑𝑥=∫20(𝑥2−4𝑥+4)𝑑𝑥=[𝑥33−2𝑥2+4𝑥]20=83𝑢2.

1. Como 𝐹 es una primitiva de 𝑓, entonces 𝑓(𝑥)=𝐹′(𝑥)=2𝑥𝑒𝑥2. Calculamos en primer lugar la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑒𝑥2+2𝑥⋅2𝑥𝑒𝑥2=2𝑒𝑥2(2𝑥2+1). Observamos que la derivada no se anula en ningún punto, así la función no tiene ningún punto crítico. Como 𝑓′(𝑥) >0 para todo 𝑥, 𝑓 es creciente en ℝ.
2. Calculamos los puntos de corte de la función con el eje 𝑋. 𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥𝑒𝑥2=0⇔𝑥=0. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y la recta 𝑥 =1. Calculamos el área del recinto. ∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥=[𝐹(𝑥)]10=[𝑒𝑥2]10=𝑒−1𝑢2.

1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔|𝑥2−1|=𝑥+5⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−1=𝑥+5⇔𝑥2−𝑥−6=0⇔{𝑥=−2,𝑥=3,𝑥2−1=−𝑥−5⇔𝑥2+𝑥+4=0. Por tanto, los puntos de corte son ( −2,3) y (3,8). Representamos el recinto determinado por ambas funciones.
2. En primer lugar, podemos expresar la función 𝑓 como función a trozos. 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−1,si 𝑥≤−1,−𝑥2+1,si −1<𝑥≤1,𝑥2−1,si 𝑥>1. Calculamos el área del recinto. ∫3−2(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫−1−2(𝑥+5−𝑥2+1)𝑑𝑥+∫1−1(𝑥+5+𝑥2−1)𝑑𝑥+∫31(𝑥+5−𝑥2+1)𝑑𝑥==∫−1−2(−𝑥2+𝑥+6)𝑑𝑥+∫1−1(𝑥2+𝑥+4)𝑑𝑥+∫31(−𝑥2+𝑥+6)𝑑𝑥==[−13𝑥3+12𝑥2+6𝑥]−1−2+[13𝑥3+12𝑥2+4𝑥]1−1+[−13𝑥3+12𝑥2+6𝑥]31==13+12−6−(83+2−12)+13+12+4−(−13+12−4)−9+92+18−(−13+12+6)=1096𝑢2.

Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 =𝑒 −1 y el eje de abscisas.

Calculamos el área. ∫𝑒−10𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑒−10ln⁡(𝑥+1)𝑑𝑥=[(𝑥+1)ln⁡(𝑥+1)−(𝑥+1)]𝑒−10=𝑒−𝑒−(−1)=1𝑢2.

1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔5−𝑥2=4𝑥2⇔−𝑥4+5𝑥2−4=0. Para resolver esta ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable 𝑡 =𝑥2. De esta forma, −𝑥4+5𝑥2−4=0⇔−𝑡2+5𝑡−4=0⇔{𝑡=1⇔𝑥2=1⇔𝑥=±1,𝑡=4⇔𝑥2=4⇔𝑥=±2. Por tanto, los puntos de corte son ( −2,1), ( −1,4), (1,4) y (2,1).
   Representamos gráficamente las dos funciones. Observamos que ambas funciones tienen simetría par y la parábola tiene vértice (0,5).
2. Podemos representar los recintos limitados por las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como 2∫21(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫21(5−𝑥2−4𝑥2)𝑑𝑥=2[5𝑥−13𝑥3+4𝑥]21==2[10−83+2−(5−13+4)]=43𝑢2.

1. Hallamos los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con el eje 𝑋.
   • Si 𝑥 <0, 𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥+4=0⇔𝑥=−2. Por tanto, ( −2,0) es un punto de corte con el eje.
   • Si 𝑥 ≥0, 𝑓(𝑥)=0⇔(𝑥−2)2=0⇔𝑥−2=0⇔𝑥=2. Por tanto, (2,0) es un punto de corte con el eje.
   Así que la gráfica de 𝑓 tiene dos puntos de corte con el eje de abscisas: ( −2,0) y (2,0). Además, corta al eje 𝑌 en el punto (0,4). La primera rama es una recta, mientras que la segunda es una parábola con vértice (2,0).
2. Calculamos el área del recinto. ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫0−2(2𝑥+4)𝑑𝑥+∫20(𝑥−2)2𝑑𝑥=[𝑥2+4𝑥]0−2+[(𝑥−2)33]20=4+83=203𝑢2.

1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔1−𝑥2=2𝑥2⇔3𝑥2=1⇔𝑥=±1√3. Por tanto, los puntos de corte son (−1√3,23) y (1√3,23). Representamos el recinto determinado por ambas funciones.
2. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como 2∫1√30(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫1√30(1−𝑥2−2𝑥2)𝑑𝑥=2∫1√30(1−3𝑥2)𝑑𝑥=2[𝑥−𝑥3]1√30==2(1√3−1√27)=2√3⋅23=43√3𝑢2.

En primer lugar, hallamos la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0. Calculamos la derivada de la función. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 es 𝑚𝑡 =𝑓′(0) = −1. Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, su pendiente 𝑚𝑛 ha de verificar 𝑚𝑡⋅𝑚𝑛=−1⇔𝑚𝑛=−1𝑚𝑡𝑚𝑡=−1←←←←←←←←←→𝑚𝑛=1. Así que la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 se puede hallar usando la ecuación punto-pendiente como 𝑦−𝑓(0)=𝑚𝑛(𝑥−0)⇔𝑦=𝑥.