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📋 Junio de 2019

Ejercicio A1

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥+42𝑥+2 para 𝑥 ≠ −1.

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Resolución
  1. El único candidato para ser asíntota vertical es 𝑥 = −1, que es el valor que anula el denominador. Observamos que lím𝑥→−1−⁡𝑥2+3𝑥+42𝑥+2=20−=−∞,lím𝑥→−1+⁡𝑥2+3𝑥+42𝑥+2=20+=+∞. Por tanto, 𝑥 = −1 es un asíntota vertical. Veamos ahora si 𝑓 tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑥2+3𝑥+42𝑥+2=+∞. Así que 𝑓 no tiene ninguna asíntota horizontal. Veamos si en su lugar tiene una asíntota oblicua. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=lím𝑥→+∞⁡𝑥2+3𝑥+42𝑥2+2𝑥=12. Así que 𝑓 tiene una asíntota oblicua con pendiente 𝑚 =12. Calculamos su ordenada en el origen. lím𝑥→+∞⁡(𝑓(𝑥)−12𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑥2+3𝑥+42𝑥+2−12𝑥)=lím𝑥→+∞⁡2𝑥+42𝑥+2=1. Por tanto, la recta 𝑦 =12𝑥 +1 es una asíntota oblicua.
  2. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=(2𝑥+3)(2𝑥+2)−2(𝑥2+3𝑥+4)(2𝑥+2)2=2𝑥2+4𝑥−2(2𝑥+2)2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥2+4𝑥−2(2𝑥+2)2=0⇔2𝑥2+4𝑥−2=0⇔𝑥2+2𝑥−1=0⇔𝑥=−1±√2. Así que 𝑥 = −1 −√2 y 𝑥 = −1 +√2 son los puntos críticos. También consideraremos 𝑥 = −1 por ser un punto que no pertenece al dominio. Estudiemos el signo de la derivada.
    ( −∞, −1 −√2) ( −1 −√2, −1) ( −1, −1 +√2) ( −1 +√2, +∞)
    signo de 𝑓′ + − − +
    monotonía de 𝑓 → → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞, −1 −√2) ∪( −1 +√2, +∞) y es decreciente en ( −1 −√2, −1) ∪( −1, −1 +√2).

Ejercicio A2

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1+𝑒𝑥1−𝑒𝑥. Halla la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (1,1). (Sugerencia: cambio de variable 𝑡 =𝑒𝑥).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función 𝑓. 𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫1+𝑒𝑥1−𝑒𝑥𝑑𝑥.

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable 𝑡=𝑒𝑥⇒𝑥=ln⁡(𝑡),𝑑𝑥=1𝑡𝑑𝑡. De esta forma, 𝐹(𝑥)=∫1+𝑒𝑥1−𝑒𝑥𝑑𝑥=∫1+𝑡𝑡(1−𝑡)𝑑𝑡. Expresamos la función como suma de fracciones simples. 1+𝑡𝑡(1−𝑡)=𝐴𝑡+𝐵1−𝑡=𝐴−𝐴𝑡+𝐵𝑡𝑡(1−𝑡)=(−𝐴+𝐵)𝑡+𝐴𝑡(1−𝑡). Igualando ambas expresiones, obtenemos que {−𝐴+𝐵=1,𝐴=1⇔{𝐴=1,𝐵=2. Por tanto, 1+𝑡𝑡(1−𝑡)=1𝑡+21−𝑡. Resolvemos la integral. 𝐹(𝑥)=∫1+𝑡𝑡(1−𝑡)𝑑𝑡=∫1𝑡𝑑𝑡+2∫11−𝑡𝑑𝑡=ln⁡|𝑡|−2ln⁡|1−𝑡|+𝐶=𝑥−2ln⁡|1−𝑒𝑥|+𝐶.

La primitiva que pasa por el punto (1,1) ha de verificar 𝐹(1) =1. Por tanto, 𝐹(1)=1⇔1−2ln⁡|1−𝑒|+𝐶=1⇔𝐶=2ln⁡(𝑒−1). Luego la primitiva es 𝐹(𝑥)=𝑥−2ln⁡|1−𝑒𝑥|+2ln⁡(𝑒−1).

Ejercicio A3

Calcula todas las matrices 𝑋=(𝑎𝑏𝑐𝑑) tales que 𝑎 +𝑑 =1, tienen determinante 1 y cumplen 𝐴𝑋 =𝑋𝐴, siendo 𝐴=(0−110).

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝑋. |𝑋|=∣𝑎𝑏𝑐𝑑∣=𝑎𝑑−𝑏𝑐. Como su determinante es 1, entonces 𝑎𝑑−𝑏𝑐=1. Por otro lado, como 𝐴𝑋 =𝑋𝐴, (0−110)(𝑎𝑏𝑐𝑑)=(𝑎𝑏𝑐𝑑)(0−110)⇔(−𝑐−𝑑𝑎𝑏)=(𝑏−𝑎𝑑−𝑐)⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑐=𝑏,−𝑑=−𝑎,𝑑=𝑎,𝑏=−𝑐⇔{𝑎=𝑑,𝑐=−𝑏.

Podemos montar el sistema de ecuaciones ⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑎+𝑑=1,𝑎𝑑−𝑏𝑐=1,𝑎=𝑑,𝑐=−𝑏. Sustituyendo, 𝑎+𝑑=1𝑑=𝑎←←←←←←→2𝑎=1⇔𝑎=12⇒𝑑=12,𝑎𝑑−𝑏𝑐=1𝑐=−𝑏←←←←←←←←←←→𝑎=𝑑=1/214+𝑏2=1⇔𝑏2=34⇔𝑏=±√32⇒𝑐=∓√32. Por tanto, las matrices que cumplen estas condiciones son 𝑋1=(12√32−√3212)y𝑋2=(12−√32√3212).

Ejercicio A4

Considera la recta 𝑟≡𝑥−2−1=𝑦−23=𝑧−11 y los planos 𝜋1 ≡𝑥 =0 y 𝜋2 ≡𝑦 =0.

  1. Halla los puntos de la recta 𝑟 que equidistan de los planos 𝜋1 y 𝜋2.
  2. Determina la posición relativa de la recta 𝑟 y la recta intersección de los planos 𝜋1 y 𝜋2.

Ejercicio B1

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥 −𝑎)𝑒𝑥.

  1. Determina 𝑎 sabiendo que la función tiene un punto crítico en 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =1, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥+(𝑥−𝑎)𝑒𝑥=(𝑥−𝑎+1)𝑒𝑥. Como 𝑓 tiene un punto crítico en 𝑥 =0, entonces 𝑓′(0) =0. 𝑓′(0)=0⇔−𝑎+1=0⇔𝑎=1.
  2. Si 𝑎 =1, entonces 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)𝑒𝑥 y 𝑓′(𝑥) =𝑥𝑒𝑥. Calculamos su segunda derivada. 𝑓″(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥=(𝑥+1)𝑒𝑥. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión igualamos la segunda derivada de 𝑓 a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔(𝑥+1)𝑒𝑥=0⇔𝑥+1=0⇔𝑥=−1. Estudiemos el signo de la segunda derivada.
    ( −∞, −1) ( −1, +∞)
    signo de 𝑓″ − +
    curvatura de 𝑓 ⌢ ⌣
    Como en 𝑥 = −1 se produce un cambio de curvatura, (−1,−2𝑒) es el punto de inflexión de 𝑓.

Ejercicio B2

Considera las funciones 𝑓 :( −2, +∞) →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥 +2) y 𝑔 :ℝ →ℝ, definida por 𝑔(𝑥) =12(𝑥 −3).

  1. Esboza el recinto que determinan la gráfica de 𝑓, la gráfica de 𝑔, la recta 𝑥 =1 y la recta 𝑥 =3. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).
  2. Determina el área del recinto anterior.

Ejercicio B3

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−𝑚12𝑚−11𝑚1𝑚11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑚2−1𝑚1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝑋𝑡𝐴 =𝐵𝑡. Discútelo según los distintos valores de 𝑚.

Ejercicio B4

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos 𝐴(1,1,0), 𝐵(1,0,2) y 𝐶(0,2,1).

  1. Halla el área de dicho triángulo.
  2. Calcula el coseno del ángulo en el vértice 𝐴.

Resolución
  1. El área del triángulo formado por 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es la mitad del área del paralelogramo determinado por dichos puntos, es decir, el paralelogramo formado por los vectores ⃗𝐴𝐵 =(0, −1,2) y ⃗𝐴𝐶 =( −1,1,1). Esta viene dada por el módulo del producto vectorial de los vectores. ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧0−12−111∣=(−3,−2,−1). Así que el área del paralelogramo es |⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|=|(−3,−2,−1)|=√32+22+12=√14𝑢2. Por tanto, el área del triángulo es √142 𝑢2.
  2. El ángulo en el vértice 𝐴 viene dado por el ángulo 𝛼 que forman los vectores ⃗𝐴𝐵 y ⃗𝐴𝐶. Por tanto, cos⁡(𝛼)=⃗𝐴𝐵⋅⃗𝐴𝐶|⃗𝐴𝐵||⃗𝐴𝐶|=1√5√3=1√15.