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Ejercicio 3: Junio de 2026

Considera el sistema ⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥−𝑦=𝑎2,(1−𝑎)𝑦+2𝑧=0,4𝑦+(3−𝑎)𝑧=𝑎−5.

  1. Discútelo según los valores de 𝑎.
  2. Para 𝑎 =0 resuelve el sistema, si es posible.

Ejercicio 6: Junio de 2024

Considera el sistema ⎧{ {⎨{ {⎩𝑦+𝑧=1,(𝑘−1)𝑥+𝑦+𝑧=𝑘,𝑥+(𝑘−1)𝑦+𝑧=0.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑘.
  2. Para 𝑘 =1 resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que 𝑦 =0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝011𝑘−1111𝑘−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣0111∣=−1≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑘, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣011𝑘−1111𝑘−11∣=1+(𝑘−1)2−1−(𝑘−1)=𝑘2−3𝑘+2. Observamos que |𝐴|=0⇔𝑘2−3𝑘+2=0⇔{𝑘=1,𝑘=2. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑘 ≠1 y 𝑘 ≠2. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2.
    • Si 𝑘 ≠1 y 𝑘 ≠2, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑘 =1, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝011101111010⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que las dos primeras filas son iguales, así que rang⁡(𝐴∗) =2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑘 =2, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝011111121110⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣011112110∣=2≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑘 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a {𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑧=0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces 𝑦+𝑧=1⇔𝑦=1−𝑧𝑧=𝜆←←←←←←←→𝑦=1−𝜆,𝑥+𝑧=0⇔𝑥=−𝑧𝑧=𝜆←←←←←←←→𝑥=−𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜆,𝑦=1−𝜆,𝑧=𝜆. Para 𝜆 =1, una solución es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1,𝑦=0,𝑧=1.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2023

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧𝑦𝑥𝑥𝑧𝑧𝑦⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(𝛼11)y𝐶=(111).

  1. Discute el sistema 𝐵𝐴 =𝐶, según los valores de 𝛼.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝛼 =0 y para 𝛼 =1.

Resolución
  1. En primer lugar, escribimos la expresión 𝐵𝐴 =𝐶 en forma de sistema. 𝐵𝐴=𝐶⇔(𝛼11)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧𝑦𝑥𝑥𝑧𝑧𝑦⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(111)⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝛼𝑥+𝑦+𝑧=1,𝛼𝑦+𝑥+𝑧=1,𝛼𝑧+𝑥+𝑦=1⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝛼𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝛼𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑦+𝛼𝑧=1. Luego la matriz de coeficientes del sistema es 𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼111𝛼111𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝛼, estudiamos su determinante. |𝐷|=∣𝛼111𝛼111𝛼∣=𝛼3+2−3𝛼=𝛼3−3𝛼+2. Observamos que |𝐷|=0⇔𝛼3−3𝛼+2=0⇔{𝛼=−2,𝛼=1. Es decir, rang⁡(𝐷) =3 si y solo si 𝛼 ≠ −2 y 𝛼 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐷) ≤2.
    • Si 𝛼 = −2, 𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2111−2111−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−211∣=3≠0⇒rang⁡(𝐷)=2.
    • Si 𝛼 =1, 𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111111111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇒rang⁡(𝐷)=1.
    Por tanto,
    • Si 𝛼 ≠ −2 y 𝛼 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝛼 = −2, la matriz de coeficientes ampliada es (𝐷|𝐸)=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−21111−21111−21⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣−2111−21111∣=9≠0⇒rang⁡(𝐷|𝐸)=3. Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.
    • Si 𝛼 =1, la matriz de coeficientes ampliada es (𝐷|𝐸)=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111111111111⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠⇒rang⁡(𝐷|𝐸)=1. Como rang⁡(𝐷) =rang⁡(𝐷|𝐸) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝛼 =0, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior y tiene la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑧=1,𝑥+𝑦=1. Resolvemos el sistema mediante reducción. Si restamos las dos primeras ecuaciones, obtenemos que 𝑦−𝑥=0⇔𝑥=𝑦. Sustituyendo en la última ecuación, 𝑥+𝑦=1𝑥=𝑦←←←←←←←→2𝑥=1⇔𝑥=12⇒𝑦=12. Por último, sustituyendo en la primera ecuación, 𝑦+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑦𝑦=1/2←←←←←←←←←→𝑧=1−12=12. Por tanto, la solución es 𝑥=𝑦=𝑧=12.
    • Si 𝛼 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior y tiene rango 1, así que se puede reducir a 𝑥+𝑦+𝑧=1. Si tomamos 𝑦 =𝜆 y 𝑧 =𝜇, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=1⇔𝑥=1−𝑦−𝑧𝑦=𝜆←←←←←←←→𝑧=𝜇𝑥=1−𝜆−𝜇. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1−𝜆−𝜇,𝑦=𝜆,𝑧=𝜇,𝜆,𝜇∈ℝ.

Ejercicio 5: Junio de 2022

Considera el sistema: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+𝑚𝑧=−3,−𝑚𝑥+3𝑦−𝑧=1,𝑥−4𝑦+𝑚𝑧=−6.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =2 resuelve el sistema, si es posible.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1𝑚−𝑚3−11−4𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−11−4∣=−3≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑚, estudiamos su determinante. det(𝐴)=3𝑚+1+4𝑚2−3𝑚−𝑚2−4=3𝑚2−3. Podemos ver que det(𝐴)=0⇔3𝑚2−3=0⇔𝑚2=1⇔{𝑚=−1,𝑚=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠ −1 y 𝑚 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2. Por tanto,
    • Si 𝑚 ≠ −1 y 𝑚 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −1, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−1−1−313−111−4−1−6⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−1−31311−4−6∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =1, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−3−13−111−41−6⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−1−3−1311−4−6∣=−12≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 =2, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior, así que tiene solución única. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−12−3−23−111−42−6⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+2𝐹1←←←←←←←←←←←→𝐹3−𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−12−3013−50−30−3⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+2𝑧=−3,𝑦+3𝑧=−5,−3𝑦=−3. Por tanto, la solución es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2,𝑦=1,𝑧=−2.

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2022

Considera el sistema: ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+3𝑦+𝑚𝑧=3,𝑥+𝑚𝑦−𝑧=−1,3𝑥+𝑦−3𝑧=−𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 = −2 encuentra, si es posible, 𝑦0 para que la solución del sistema sea 𝑥 =𝜆, 𝑦 =𝑦0, 𝑧 =𝜆 −37.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝23𝑚1𝑚−131−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣23𝑚1𝑚−131−3∣=−6𝑚−9+𝑚−3𝑚2+9+2=−3𝑚2−5𝑚+2. Obervamos que |𝐴|=0⇔−3𝑚2−5𝑚+2=0⇔{𝑚=−2,𝑚=13. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠13. En otro caso, rang⁡(𝐴) ≤2.
    • Si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠13, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −2, la matrices de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝23−21−2−131−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣231−2∣=−7≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝23−231−2−1−131−32⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣2331−2−1312∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =13, la matrices de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2313113−131−3⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣23113∣=−73≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝23133113−1−131−3−13⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣ ∣ ∣ ∣233113−131−13∣ ∣ ∣ ∣=−569≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 = −2, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝23−231−2−1−131−32⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−2𝐹2←←←←←←←←←←←→𝐹3−3𝐹2⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝07051−2−1−10705⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠→(07051−2−1−1). El sistema resultante es {7𝑦=5,𝑥−2𝑦−𝑧=−1. Si tomamos 𝑥 =𝜆, entonces 7𝑦=5⇔𝑦=57,𝑥−2𝑦−𝑧=−1⇔𝑧=𝑥−2𝑦+1𝑥=𝜆←←←←←←←←←→𝑦=5/7𝑧=𝜆−107+1=𝜆−37. En efecto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=57,𝑧=𝜆−37,𝜆∈ℝ.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2022

Considera el sistema de ecuaciones lineales: ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼11𝛼−11𝛼0𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝛼.
  2. Para 𝛼 =1 resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible.

Resolución
  1. Como se trata de un sistema homogéneo, sabemos que es compatible para cualquier valor de 𝛼. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼11𝛼−11𝛼0𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣11−11∣=2≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝛼, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣𝛼11𝛼−11𝛼0𝛼∣=−𝛼2+𝛼+𝛼−𝛼2=−2𝛼2+2𝛼. Observamos que |𝐴|=0⇔−2𝛼2+2𝛼⇔−2𝛼(𝛼−1)=0⇔{𝛼=0,𝛼=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝛼 ≠0 y 𝛼 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2.
    • Si 𝛼 ≠0 y 𝛼 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝛼 =0 o 𝛼 =1, rang⁡(𝐴) =2 <3. Por tanto, el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝛼 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a {𝑥+𝑦+𝑧=0,𝑥−𝑦+𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝑦=0⇔𝑦=0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=0⇔𝑥=−𝑧−𝑦𝑦=0←←←←←←←→𝑧=𝜆𝑥=−𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜆,𝑦=0,𝑧=𝜆. Para 𝜆 =1, una solución no trivial es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1,𝑦=0,𝑧=1.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2022

Considera el sistema: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑚𝑦−2𝑧=𝑚,𝑥+𝑦+𝑧=2𝑚,𝑥+2𝑦+𝑚𝑧=3𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =1 resuelve el sistema, si es posible.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−𝑚−211112𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1112∣=1≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣1−𝑚−211112𝑚∣=𝑚−𝑚−4+2−2+𝑚2=𝑚2−4. Podemos ver que |𝐴|=0⇔𝑚2−4=0⇔𝑚=±2. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠2. En otro caso, rang⁡(𝐴) =2.
    • Si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠2, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −2, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝12−2−2111−412−2−6⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣12−211−412−6∣=4≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
    • Si 𝑚 =2, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−2−2211141226⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣1−22114126∣=4≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 =1, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−1−2111121213⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←←←→𝐹3−𝐹2⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝0−2−3−111120101⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑦−3𝑧=−1,𝑥+𝑦+𝑧=2,𝑦=1. Por tanto, −2𝑦−3𝑧=−1⇔𝑧=1−2𝑦3𝑦=−1←←←←←←←←←→𝑧=−13,𝑥+𝑦+𝑧=2⇔𝑥=2−𝑦−𝑧𝑦=1←←←←←←←←←←←→𝑧=−1/3𝑥=43.

Ejercicio 5: Junio de 2021

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥+2𝑦−𝑧=1,5𝑥−4𝑦+2𝑧=0,𝑥+3𝑚𝑦=𝑚+25.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema para 𝑚 =0. ¿Hay alguna solución en la que 𝑥 =0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑚2−15−4213𝑚0⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣5210∣=−2≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣𝑚2−15−4213𝑚0∣=4−15𝑚−4−6𝑚2=−6𝑚2−15𝑚. Podemos ver que |𝐴|=0⇔−6𝑚2−15𝑚=0⇔𝑚(6𝑚+15)=0⇔{𝑚=0,6𝑚+15=0⇔𝑚=−156=−52. Así que, si 𝑚 ≠ −52 y 𝑚 ≠0, entonces rang⁡(𝐴) =3. En caso contrario, rang⁡(𝐴) =2. Por tanto,
    • Si 𝑚 ≠ −52 y 𝑚 ≠0, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −52, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−522−115−4201−1520−2110⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣ ∣ ∣ ∣2−11−420−1520−2110∣ ∣ ∣ ∣=15≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.
    • Si 𝑚 =0, la matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝02−115−42010025⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣ ∣ ∣ ∣2−11−4200025∣ ∣ ∣ ∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝑚 =0, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior, así que tiene infinitas soluciones. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝02−115−42010025⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−5𝐹3←←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝02−110−42−210025⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+2𝐹1←←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝02−11000010025⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠→(02−1110025). El sistema resultante es {2𝑦−𝑧=1,𝑥=25. Si tomamos 𝑦 =𝜆, entonces 2𝑦−𝑧=1⇔𝑧=2𝑦−1𝑦=𝜆←←←←←←←→𝑧=2𝜆−1. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=25,𝑦=𝜆,𝑧=2𝜆−1,𝜆∈ℝ. Observamos que no existe ninguna solución con 𝑥 =0.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2021

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑚𝑦+𝑚𝑧=1,𝑥+2𝑚𝑦+(𝑚+1)𝑧=1,2𝑥+𝑚𝑦+𝑚𝑧=2.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝑚 =1.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝑚𝑚12𝑚𝑚+12𝑚𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣1𝑚𝑚12𝑚𝑚+12𝑚𝑚∣=2𝑚2+2𝑚(𝑚+1)+𝑚2−4𝑚2−𝑚(𝑚+1)−𝑚2=−𝑚2+𝑚. Observamos que |𝐴|=0⇔−𝑚2+𝑚=0⇔𝑚(−𝑚+1)=0⇔{𝑚=0,−𝑚+1=0⇔𝑚=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠0 y 𝑚 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) ≤2.
    • Si 𝑚 ≠0 y 𝑚 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 =0, la matriz de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100101200⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Podemos ver que ∣1120∣=−2≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝100110112002⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣101111202∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =1, la matriz de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111122211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Podemos ver que ∣1121∣=−1≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111112212112⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣111121212∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝑚 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a {𝑥+𝑦+𝑧=1,2𝑥+𝑦+𝑧=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos ambas ecuaciones, obtenemos que −𝑥=−1⇔𝑥=1. Si tomamos 𝑦 =𝜆, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑥−𝑦𝑥=1←←←←←←←→𝑦=𝜆𝑧=−𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1,𝑦=𝜆,𝑧=−𝜆.

Ejercicio 7: Julio de 2020

Considera 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111101414⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎2𝑎3𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵, según los valores de 𝑎.
  2. Para 𝑎 =0, resuelve el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵. Calcula, si es posible, una solución en la que 𝑦 +𝑧 =4.

Resolución
  1. Observamos que: |𝐴|=∣111101414∣=0,∣1110∣=−1≠0. Así que rang⁡(𝐴) =2. Por otro lado, la matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111𝑎1012𝑎4143𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar su rango según el valor de 𝑎, estudiamos el determinante: ∣11𝑎102𝑎413𝑎∣=8𝑎+𝑎−2𝑎−3𝑎=4𝑎. Observamos que: 4𝑎=0⇔𝑎=0. Es decir, rang⁡(𝐴∗) =3 cuando 𝑎 ≠0. En otro caso, rang⁡(𝐴∗) =2.
    • Si 𝑎 ≠0, rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), así que el sistema es incompatible.
    • Si 𝑎 =0, rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, así que el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝑎 =0, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a: {𝑥+𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 𝑦 =0. Así que, si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces 𝑥 = −𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜆,𝑦=0,𝑧=𝜆. Para 𝜆 =4, una solución es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−4,𝑦=0,𝑧=4. Esta solución verifica que 𝑦 +𝑧 =4.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2020

Siendo 𝜆 un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝜆𝑦=2,2𝑥+4𝑦=1,𝜆𝑥+𝑦=2𝜆. Discútelo según los valores de 𝜆 y resuélvelo cuando sea posible.

Resolución

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema son: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝜆24𝜆1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1𝜆2241𝜆12𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. En primer lugar, observamos que: ∣1221∣=−3≠0⇒rang⁡(𝐴∗)≥2. Para determinar el rango de 𝐴∗ en función del valor de 𝜆, estudiamos su determinante. |𝐴∗|=∣1𝜆2241𝜆12𝜆∣=8𝜆+𝜆2+4−8𝜆−4𝜆2−1=−3𝜆2+3. Observamos que: |𝐴∗|=0⇔−3𝜆2+3=0⇔𝜆2=1⇔𝜆=±1. Es decir, rang⁡(𝐴∗) =3 si y solo si 𝜆 ≠ ±1. En otro caso, rang⁡(𝐴∗) =2.

  • Si 𝜆 ≠ ±1, entonces rang⁡(𝐴∗) =3 y rang⁡(𝐴) ≤2. Por tanto, el sistema es incompatible.
  • Si 𝜆 = −1, la matriz de coeficientes es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−124−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1−124∣=6≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) =2, el sistema es compatible determinado. Podemos reducir el sistema a: {𝑥−𝑦=2,2𝑥+4𝑦=1𝐹1⋅(−2)←←←←←←←←←←←→{−2𝑥+2𝑦=−4,2𝑥+4𝑦=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que: 6𝑦=−3⇔𝑦=−12. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥−𝑦=2⇔𝑥=2+𝑦𝑦=−1/2←←←←←←←←←←←→𝑥=32. Por tanto, la solución es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=32,𝑦=−12.
  • Si 𝜆 =1, la matriz de coeficientes es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112411⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1124∣=2≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) =2, el sistema es compatible determinado. Podemos reducir el sistema a: {𝑥+𝑦=2,2𝑥+4𝑦=1𝐹1⋅(−2)←←←←←←←←←←←→{−2𝑥−2𝑦=−4,2𝑥+4𝑦=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que: 2𝑦=−3⇔𝑦=−32. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥+𝑦=2⇔𝑥=2−𝑦𝑦=−3/2←←←←←←←←←←←→𝑥=72. Por tanto, la solución es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=72,𝑦=−32.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2020

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑎𝑦+𝑧=𝑎,𝑥+𝑦+𝑎𝑧=𝑎2.

  1. Discútelo según los valores de 𝑎.
  2. Resuelve, si es posible, el sistema para 𝑎 =1 y 𝑎 = −2.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎111𝑎111𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 según el valor de 𝑎, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣𝑎111𝑎111𝑎∣=𝑎3−3𝑎+2. Observamos que: |𝐴|=0⇔𝑎3−3𝑎+2=0⇔(𝑎−1)2(𝑎+2)=0⇔{𝑎=−2,𝑎=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑎 ≠ −2 y 𝑎 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) ≤2.
    • Si 𝑎 ≠ −2 y 𝑎 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑎 = −2, la matriz de coeficientes es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2111−2111−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣−211−2∣=3≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−21111−21−211−24⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣−2111−2−2114∣=9≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
    • Si 𝑎 =1, la matrices de coeficientes y ampliada son: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111111111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111111111111⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que las tres filas son iguales en las dos matrices, así que rang⁡(𝐴) =1 y rang⁡(𝐴∗) =1. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑎 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior y se puede reducir a: 𝑥+𝑦+𝑧=1. Si tomamos 𝑥 =𝜆 e 𝑦 =𝜇, entonces: 𝑥+𝑦+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑥−𝑦=1−𝜆−𝜇. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=𝜇,𝑧=1−𝜆−𝜇,𝜆,𝜇∈ℝ.
    • Si 𝑎 = −2, el sistema es incompatible por el apartado anterior, así que no tiene solución.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2020

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑚𝑦+𝑧=1,5𝑥+2𝑦+𝑚𝑧=0,𝑚𝑦+(𝑚−3)𝑧=−3.

  1. Discute el sistema en función de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =0, resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que 𝑦 =5.

Ejercicio 3: Septiembre de 2020

Considera el sistema de ecuaciones dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−21𝑚4−20𝑚+2−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝22𝑚1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 = −2, ¿existe alguna solución con 𝑧 =0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que: ∣110−3∣=−3≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣1−21𝑚4−20𝑚+2−3∣=−12+𝑚2+2𝑚−6𝑚+2𝑚+4=𝑚2−2𝑚−8. Observamos que: |𝐴|=0⇔𝑚2−2𝑚−8=0⇔{𝑚=−2,𝑚=4.
    • Si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠4, entonces rang⁡(𝐴) =3. Como el rango de la matriz de coeficientes es máximo, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −2, entonces rang⁡(𝐴) =2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−212−24−2−400−31⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que las dos primeras filas son proporcionales, así que rang⁡(𝐴∗) =2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) =2 <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =4, entonces rang⁡(𝐴) =2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−21244−2806−31⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1124−280−31∣=−6≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 = −2, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a: {𝑥−2𝑦+𝑧=2,−3𝑧=1. Si tomamos 𝑦 =𝜆, entonces: −3𝑧=1⇔𝑧=−13,𝑥−2𝑦+𝑧=2⇔𝑥=2+2𝑦−𝑧𝑦=𝜆←←←←←←←←←←←→𝑧=−1/3𝑥=73+2𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=73+2𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=−13,𝜆∈ℝ. Observamos que no existe ninguna solución con 𝑧 =0.

Ejercicio B3: Junio de 2019

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−𝑚12𝑚−11𝑚1𝑚11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑚2−1𝑚1⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠, considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝑋𝑡𝐴 =𝐵𝑡. Discútelo según los distintos valores de 𝑚.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2019

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝜆𝑦+𝑧=4,−𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑦+𝑧=𝜆+3.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝜆 =1.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2019

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥+(𝑚+1)𝑧=𝑚,𝑚𝑦+𝑧=𝑚,𝑦+𝑚𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuélvelo, si es posible, para 𝑚 =1.

Ejercicio A3: Septiembre de 2019

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+2𝑧=0,(𝑚+2)𝑥+𝑦−𝑧=𝑚,3𝑥+(𝑚+2)𝑦+𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝑚 =0.

Ejercicio A3: Junio de 2018

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑦+(𝑚+3)𝑧=3,𝑥+𝑦+𝑧=3𝑚,2𝑥+4𝑦+3(𝑚+1)𝑧=8.

  1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuelve el sistema para 𝑚 = −2.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2018

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−1𝜆2−𝜆12𝜆−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el rango de 𝐴 según los valores del parámetro 𝜆.
  2. Para 𝜆 = −2, estudia y resuelve el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2018

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑚𝑧=1,𝑥+𝑚𝑦+𝑧=1,𝑥+2𝑦+4𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema en función del parámetro 𝑚.
  2. Si es posible, resuelve el sistema para 𝑚 =1.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2018

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200121103⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝑚𝑋 según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.
  3. Para 𝑚 =3 resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que 𝑥 +𝑦 +𝑧 =3.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2018

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑧=𝑚,𝑚𝑦+3𝑧=1,4𝑥+𝑦−𝑚𝑧=5.

  1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Para 𝑚 =1 resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea 𝑥 =𝑧.

Ejercicio B3: Septiembre de 2018

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑚𝑧=𝑚2,𝑦−𝑧=𝑚,𝑥+𝑚𝑦+𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuélvelo para 𝑚 =1. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑧 =2.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2017

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−111𝑚𝑚𝑚13⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =2, si es posible, resuelve el sistema dado.

Ejercicio A3: Septiembre de 2017

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11120313𝑚−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑚2𝑚+1𝑚−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =2, calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para la que 𝑧 =17.

Ejercicio B3: Junio de 2016

Se considera el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩(3𝛼−1)𝑥+2𝑦=5−𝛼,𝛼𝑥+𝑦=2,3𝛼𝑥+3𝑦=𝛼+5.

  1. Discútelo según los valores del parámetro 𝛼.
  2. Resuélvelo para 𝛼 =1 y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde 𝑥 =4.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2016

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝜆+1)𝑦+𝑧=1,𝜆𝑦+𝑧=0,𝜆𝑦+𝜆𝑧=𝜆.

  1. Discútelo según los valores de 𝜆.
  2. Resuélvelo para 𝜆 =0.
  3. Determina, si existe, el valor de 𝜆 para el que hay una solución en la que 𝑧 =2. Calcula esa solución.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2016

Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−1𝑚+2𝑚11𝑚+2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−𝑚𝑚7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema para 𝑚 = −3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que 𝑥 =2.

Ejercicio A3: Septiembre de 2016

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−4𝑦+2𝑧=1,5𝑥−11𝑦+9𝑧=𝜆,𝑥−3𝑦+5𝑧=2.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Resuélvelo, si es posible, para 𝜆 =4.

Ejercicio A3: Junio de 2015

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝑦−𝑧=−1,𝜆𝑥+𝜆𝑧=𝜆,𝑥+𝑦−𝜆𝑧=0.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 =0.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2015

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝜆𝑦+𝜆𝑧=0,𝜆𝑥+2𝑦+2𝑧=0,𝜆𝑥+2𝑦+𝑧=0.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Determina, si existen, los valores de 𝜆 para los que el sistema tiene alguna solución en la que 𝑧 ≠0.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2015

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝛼𝑧=2,2𝑥+𝛼𝑦=𝛼+4,3𝑥+𝑦+(𝛼+4)𝑧=7.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝛼.
  2. Resuelve el sistema para 𝛼 =2.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2014

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝑚+1)𝑦+2𝑧=−1,𝑚𝑥+𝑦+𝑧=𝑚,(1−𝑚)𝑥+2𝑦+𝑧=−𝑚−1.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuélvelo para 𝑚 =2. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑧 =2.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2014

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧. ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑦+(𝜆+1)𝑧=𝜆,𝜆𝑥+𝑧=𝜆,𝑥+𝜆𝑧=𝜆.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝜆.
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 =1.
  3. Para 𝜆 =0, si es posible, da tres soluciones distintas.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2014

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥−2𝑦+𝑧=1,𝑥−2𝑚𝑦+𝑧=−2,𝑥−2𝑦+𝑚𝑧=1.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Si es posible, resuelve el sistema para 𝑚 = −2.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2013

Sean 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−21−3−1𝑚𝑚−2𝑚02⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina el rango de 𝐴 según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Discute el sistema 𝐴𝑋 =𝐵 según los valores del parámetro 𝑚.
  3. Resuelve el sistema 𝐴𝑋 =𝐵 para 𝑚 =1.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2013

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑦+𝑧=0,𝑥−𝑦+𝑚𝑧=𝑚−2,𝑚𝑥+𝑦+3𝑧=𝑚−2.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuélvelo, si es posible, para 𝑚 =2.

Ejercicio B3: Septiembre de 2013

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−4𝑦+6𝑧=6,𝑚𝑦+2𝑧=𝑚+1,−3𝑥+6𝑦−3𝑚𝑧=−9.

  1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
  2. Resuélvelo para 𝑚 =3. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑦 =0.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2012

Dado el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑘𝑥+2𝑦=3,−𝑥+2𝑘𝑧=−1,3𝑥−𝑦−7𝑧=𝑘+1.

  1. Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro 𝑘.
  2. Resuélvelo para 𝑘 =1.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2012

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝑘+1)𝑦+2𝑧=−1,𝑘𝑥+𝑦+𝑧=2,𝑥−2𝑦−𝑧=𝑘+1.

  1. Clasifícalo según los distintos valores de 𝑘.
  2. Resuélvelo para el caso 𝑘 =2.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2012

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑘𝑧=1,2𝑥+𝑘𝑦=1,𝑦+2𝑧=𝑘.

  1. Clasifica el sistema según los valores del parámetro 𝑘.
  2. Resuélvelo para 𝑘 =1.
  3. Resuélvelo para 𝑘 = −1.

Ejercicio B3: Septiembre de 2012

Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦=𝜆,2𝜆𝑦+𝜆𝑧=𝜆,−𝑥−𝑦+𝜆𝑧=0.

  1. Clasifícalo según los distintos valores del parámetro 𝜆.
  2. Resuélvelo para 𝜆 =0 y 𝜆 = −1.

Ejercicio A3: Junio de 2011

Dado el sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩−𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝜆𝑦+𝑧=2,𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1.

  1. Clasifica el sistema según los valores del parámetro 𝜆.
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 =0.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2011

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−2𝑦+4𝑧=4,2𝑥+𝑧=𝑎,−3𝑥−3𝑦+3𝑧=−3.

  1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑎.
  2. Resuélvelo cuando sea posible.

Ejercicio B3: Junio de 2010

Sea el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝑦+𝑧=𝜆+2,2𝑥−𝜆𝑦+𝑧=2,𝑥−𝑦+𝜆𝑧=𝜆.

  1. Discútelo según los valores de 𝜆. ¿Tiene siempre solución?
  2. Resuelve el sistema para 𝜆 = −1.

Ejercicio A3: Septiembre de 2010

  1. Discute, según los valores del parámetro 𝜆, el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+𝜆𝑦+𝑧=𝜆,𝜆𝑥+2𝑦+(𝜆+2)𝑧=4,𝑥+3𝑦+2𝑧=6−𝜆.
  2. Resuelve el sistema anterior para 𝜆 =0.