Matemáticas de Selectividad

Sea la función continua 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑘,si 𝑥≤0,𝑒𝑥2−1𝑥2,si 𝑥>0.

1. Calcula el valor de 𝑘.
2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Sea 𝐼=∫10𝑥1+√1−𝑥𝑑𝑥.

1. Expresa la integral 𝐼 aplicando el cambio de variable 𝑡 =√1−𝑥.
2. Calcula el valor de 𝐼.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑘𝑥+2𝑦=2,2𝑥+𝑘𝑦=𝑘,𝑥−𝑦=−1.

1. Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro 𝑘.
2. Especifica para qué valores del parámetro 𝑘 es determinado y para cuáles indeterminado.
3. Halla las soluciones en cada caso.

Sean los puntos 𝐴(0,0,1), 𝐵(1,0, −1), 𝐶(0,1, −2) y 𝐷(1,2,0).

1. Halla la ecuación del plano 𝜋 determinado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
2. Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.
3. Calcula la distancia del punto 𝐷 al plano 𝜋.

Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑒−𝑥1−𝑥 para 𝑥 ≠1.

1. Estudia las asíntotas de la gráfica de la función 𝑓.
2. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=9−𝑥24.

1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 +2𝑦 =5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦=𝜆,2𝜆𝑦+𝜆𝑧=𝜆,−𝑥−𝑦+𝜆𝑧=0.

1. Clasifícalo según los distintos valores del parámetro 𝜆.
2. Resuélvelo para 𝜆 =0 y 𝜆 = −1.

Halla el punto simétrico de 𝑃(2,1, −5) respecto de la recta 𝑟 definida por {𝑥−𝑧=0,𝑥+𝑦+2=0.