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Ejercicio 2: Reserva 3 de 2025

Considera la función 𝑓 :( 1,1) definida por 𝑓(𝑥)=1(1|𝑥|)2.

  1. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2: Junio de 2024

Considera la función continua 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)={ {{ {𝑥cos(𝑥)𝑎sen(𝑥)𝑥3,si 𝑥<0,𝑏cos(𝑥)1,si 𝑥0. Calcula 𝑎 y 𝑏.

Resolución

Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0𝑥cos(𝑥)𝑎sen(𝑥)𝑥3=00,lím𝑥0+𝑓(𝑥)=lím𝑥0+(𝑏cos(𝑥)1)=𝑏1,𝑓(0)=𝑏1.

Para resolver la indeterminación del primer límite, aplicamos la regla de l'Hôpital. lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0𝑥cos(𝑥)𝑎sen(𝑥)𝑥3LH=lím𝑥0cos(𝑥)𝑥sen(𝑥)𝑎cos(𝑥)3𝑥2=1𝑎0. Si 𝑎 1 este límite será infinito, así que necesariamente 𝑎 =1.

Continuamos resolviendo el límite para 𝑎 =1. lím𝑥0𝑥sen(𝑥)3𝑥2LH=lím𝑥0sen(𝑥)𝑥cos(𝑥)6𝑥LH=2cos(𝑥)+𝑥sen(𝑥)6=13.

Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0+𝑓(𝑥)=𝑓(0)𝑏1=13𝑏=23. Por tanto, 𝑎 =1 y 𝑏 =23.

Ejercicio 1: Junio de 2022

Considera la función continua 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)={ { {{ { {1𝑥,si 𝑥<1,𝑎𝑥+𝑏,si1𝑥<1,𝑥2𝑥+1,si 𝑥1.

  1. Calcula 𝑎 y 𝑏.
  2. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 = 1 y 𝑥 =1.
    • Si 𝑥 = 1, lím𝑥1𝑓(𝑥)=lím𝑥11𝑥=1,lím𝑥1+𝑓(𝑥)=lím𝑥1+(𝑎𝑥+𝑏)=𝑎+𝑏,𝑓(1)=𝑎+𝑏. Como 𝑓 es continua en 𝑥 = 1, lím𝑥1𝑓(𝑥)=lím𝑥1+𝑓(𝑥)=𝑓(1)𝑎+𝑏=1.
    • Si 𝑥 =1, lím𝑥1𝑓(𝑥)=lím𝑥1(𝑎𝑥+𝑏)=𝑎+𝑏,lím𝑥1+𝑓(𝑥)=lím𝑥1+𝑥2𝑥+1=12,𝑓(1)=12. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =1, lím𝑥1𝑓(𝑥)=lím𝑥1+𝑓(𝑥)=𝑓(1)𝑎+𝑏=12.
    Por tanto, {𝑎+𝑏=1,𝑎+𝑏=12. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝑏=12𝑏=14. Luego 𝑎+𝑏=1𝑏=1/4←←←←←←←←←𝑎14=1𝑎=34. Así que 𝑎 =34 y 𝑏 = 14.
  2. La función 𝑓 es continua en , así que su gráfica no tiene ninguna asíntota vertical. Falta estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.
    • Estudiamos las asíntotas por la izquierda. lím𝑥𝑓(𝑥)=lím𝑥1𝑥=0. Por tanto, 𝑦 =0 es una asíntota horizontal de la gráfica de 𝑓 por la izquierda.
    • Estudiamos las asíntotas por la derecha. lím𝑥+𝑓(𝑥)=lím𝑥+𝑥2𝑥+1=+. Así que no tiene una asíntota horizontal. Veamos si en su lugar tiene una asíntota oblicua. lím𝑥+𝑓(𝑥)𝑥=lím𝑥+𝑥𝑥+1=1. Así que 𝑓 tiene una asíntota oblicua con pendiente 𝑚 =1. Calculamos su ordenada en el origen. lím𝑥+(𝑓(𝑥)𝑥)=lím𝑥+(𝑥2𝑥+1𝑥)=lím𝑥+𝑥𝑥+1=1. Por tanto, 𝑦 =𝑥 1 es una asíntota oblicua de la gráfica de 𝑓 por la derecha.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2022

Sea 𝑓 la función continua definida por 𝑓(𝑥)={ { {{ { {𝑥2+1𝑥1,si 𝑥0,𝑎𝑥+𝑏(𝑥+1)2,si 𝑥>0.

  1. Determina 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = 1, estudia la derivabilidad de 𝑓.

Resolución
  1. En primer lugar, estudiamos la continuidad de la función.
    • Si 𝑥 0, 𝑓 es continua.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0𝑥2+1𝑥1=1,lím𝑥0+𝑓(𝑥)=lím𝑥0+𝑎𝑥+𝑏(𝑥+1)2=𝑏,𝑓(0)=1. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que 𝑏 = 1.
    Por otro lado, si 𝑥 >0, 𝑓 es derivable con 𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥+1)22(𝑎𝑥+𝑏)(𝑥+1)(𝑥+1)4𝑏=1←←←←←←←𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥+1)22(𝑎𝑥1)(𝑥+1)(𝑥+1)4. Si la función tiene un extremo en 𝑥 =2, entonces 𝑓(2) =0. 𝑓(2)=09𝑎6(2𝑎1)81=09𝑎6(2𝑎1)=09𝑎12𝑎+6=03𝑎=6𝑎=2. Por tanto, 𝑎 =2 y 𝑏 = 1.
  2. Si 𝑎 =2 y 𝑏 = 1, por el apartado anterior 𝑓 es continua. Estudiamos la derivabilidad de la función.
    • Si 𝑥 0, 𝑓 es derivable con 𝑓(𝑥)={ { {{ { {2𝑥(𝑥1)(𝑥2+1)(𝑥1)2,si 𝑥<0,2(𝑥+1)22(2𝑥1)(𝑥+1)(𝑥+1)4,si 𝑥>0={ { {{ { {𝑥22𝑥1(𝑥1)2,si 𝑥<0,2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4,si 𝑥>0.
    • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. 𝑓(0)=lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0𝑥22𝑥1(𝑥1)2=1,𝑓+(0)=lím𝑥0+𝑓(𝑥)=lím𝑥0+2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4=4. Observamos que 𝑓(0) 𝑓+(0), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en {0}.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2022

Sea 𝑓 la función continua definida por 𝑓(𝑥)={ { {{ { {𝑥2+2,si 𝑥0,𝑎𝑥+𝑏,si 0<𝑥2,𝑥22+32,si 2<𝑥.

  1. Calcula 𝑎 y 𝑏.
  2. Para 𝑎 = 1 y 𝑏 =4, estudia si existe la derivada de 𝑓 en 𝑥 =2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en dicho punto.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0 y 𝑥 =2.
    • Si 𝑥 =0, lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0(𝑥2+2)=2,lím𝑥0+𝑓(𝑥)=lím𝑥0+𝑎𝑥+𝑏=𝑏,𝑓(0)=2. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0+𝑓(𝑥)=𝑓(0)𝑏=2𝑏=4.
    • Si 𝑥 =2, lím𝑥2𝑓(𝑥)=lím𝑥2𝑎𝑥+4=2𝑎+4,lím𝑥2+𝑓(𝑥)=lím𝑥2+(𝑥22+32)=22=2,𝑓(2)=2𝑎+4. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =2, lím𝑥2𝑓(𝑥)=lím𝑥2+𝑓(𝑥)=𝑓(2)2𝑎+4=22𝑎+4=2𝑎=1.
    Así que 𝑎 = 1 y 𝑏 =4.
  2. La función 𝑓 es derivable en cada una de sus ramas y su derivada es 𝑓(𝑥)={ { { {{ { { {2𝑥,si 𝑥<0,12𝑥+4,si 0<𝑥<2,122,si 𝑥>2. Veamos si 𝑓 es derivable en 𝑥 =2 comprobando si sus derivadas laterales coinciden. 𝑓(2)=lím𝑥2𝑓(𝑥)=lím𝑥212𝑥+4=122,𝑓+(2)=lím𝑥2+𝑓(𝑥)=lím𝑥2+122=122. Por tanto, 𝑓 es derivable en 𝑥 =2 con 𝑓(2) = 122. Así que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦𝑓(2)=𝑓(2)(𝑥2)𝑦2=122(𝑥2)𝑦=𝑥22+22.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2022

Sea 𝑓 la función continua definida por 𝑓(𝑥)={ {{ {𝑒𝜆𝑥𝑒𝑥𝑥𝑥2,si 𝑥0,𝜇,si 𝑥=0.

  1. Calcula 𝜆 y 𝜇.
  2. Para 𝜆 =2, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua si 𝑥 0 para cualquier valor de 𝜆 y 𝜇. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0𝑒𝜆𝑥𝑒𝑥𝑥𝑥2=00lím𝑥0𝑒𝜆𝑥𝑒𝑥𝑥𝑥2LH=lím𝑥0𝜆𝑒𝜆𝑥𝑒𝑥12𝑥=𝜆20,𝑓(0)=𝜇. Si 𝜆 2 este límite será infinito y la función no será continua en 𝑥 =0, así que necesariamente 𝜆 =2. Continuamos resolviendo el límite para 𝜆 =2. lím𝑥02𝑒2𝑥𝑒𝑥12𝑥LH=lím𝑥04𝑒2𝑥𝑒𝑥2=32. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥0𝑓(𝑥)=𝑓(0)𝜇=32.
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 viene dada por 𝑦𝑓(1)=𝑓(1)(𝑥1). Para 𝑥 0, 𝑓(𝑥)=(2𝑒2𝑥𝑒𝑥1)𝑥2(𝑒2𝑥𝑒𝑥1)2𝑥𝑥4𝑓(1)=𝑒+1. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 =1 es 𝑦(𝑒2𝑒1)=(𝑒+1)(𝑥1)𝑦=(𝑒+1)𝑥+𝑒22𝑒2.

Ejercicio 2: Junio de 2021

Considera la función continua 𝑓 : definida por 𝑓(𝑥)={ {{ {(3𝑥6)𝑒𝑥,si 𝑥0,36(sen(𝑥)𝑎𝑥)𝑥3,si 𝑥>0.

  1. Calcula 𝑎.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = 1.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0(3𝑥6)𝑒𝑥=6,lím𝑥0+𝑓(𝑥)=lím𝑥0+36(sen(𝑥)𝑎𝑥)𝑥3=00lím𝑥0+36(sen(𝑥)𝑎𝑥)𝑥3LH=lím𝑥0+36(cos(𝑥)𝑎)3𝑥2=36(1𝑎)0,𝑓(0)=6. Si 𝑎 1 el segundo límite será infinito y la función no será continua en 𝑥 =0, así que necesariamente 𝑎 =1. Continuamos resolviendo el límite para 𝑎 =1. lím𝑥0+36(cos(𝑥)1)3𝑥2LH=lím𝑥0+36sen(𝑥)6𝑥LH=lím𝑥0+36cos(𝑥)6=366=6. Observamos que para este valor de 𝑎 se verifica que lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0+𝑓(𝑥)=𝑓(0).
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 = 1 viene dada por 𝑦𝑓(1)=𝑓(1)(𝑥+1). Como para 𝑥 0 la derivada de la función es 𝑓(𝑥)=3𝑒𝑥+(3𝑥6)𝑒𝑥=(3𝑥3)𝑒𝑥, entonces 𝑓( 1) = 6𝑒. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 = 1 es 𝑦+9𝑒=6𝑒(𝑥+1)𝑦=6𝑒𝑥15𝑒.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2021

Sea la función continua 𝑓 : definida por 𝑓(𝑥)={ { {{ { {ln(𝑒𝑥+𝑥3)𝑥,si 𝑥<0,4𝑥2+𝑎,si 0𝑥<1,𝑏+sen(𝜋𝑥),si 1𝑥. Determina 𝑎 y 𝑏.

Resolución

En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0 y 𝑥 =1.

  • Si 𝑥 =0, lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0ln(𝑒𝑥+𝑥3)𝑥=00lím𝑥0ln(𝑒𝑥+𝑥3)𝑥LH=lím𝑥0𝑒𝑥+3𝑥2𝑒𝑥+𝑥3=1,lím𝑥0+𝑓(𝑥)=lím𝑥0+(4𝑥2+𝑎)=𝑎,𝑓(0)=𝑎. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥0𝑓(𝑥)=lím𝑥0+𝑓(𝑥)=𝑓(0)𝑎=1.
  • Si 𝑥 =1, lím𝑥1𝑓(𝑥)=lím𝑥1(4𝑥2+1)=5,lím𝑥1+𝑓(𝑥)=lím𝑥1+(𝑏+sen(𝜋𝑥))=𝑏,𝑓(1)=𝑏. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =1, lím𝑥1𝑓(𝑥)=lím𝑥1+𝑓(𝑥)=𝑓(1)𝑏=5.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2018

Se sabe que la función 𝑓 :[0, +) dada por 𝑓(𝑥)={ {{ {𝑎𝑥,si 0𝑥0,𝑥232𝑥4,si 𝑥>8 es continua.

  1. Determina 𝑎.
  2. Para 𝑎 =8, calcula 100𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio A1: Septiembre de 2018

Considera la función 𝑓 : definida por 𝑓(𝑥)={ {{ {𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,si 𝑥0,𝑒𝑥𝑒𝑥2𝑥𝑥sen(𝑥),si 𝑥>0. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que 𝑓 es continua, alcanza un máximo relativo en 𝑥 = 1 y la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = 2 tiene pendiente 2.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2017

Se sabe que la función 𝑓 : dada por 𝑓(𝑥)={ {{ {3𝑥+2,si 𝑥<0,𝑥2+2𝑎cos(𝑥),si 0𝑥<𝜋,𝑎𝑥2+𝑏,si 𝑥𝜋 es continua.

  1. Determina 𝑎 y 𝑏.
  2. Estudia la derivabilidad de 𝑓.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2015

Halla 𝑎 y 𝑏 sabiendo que es continua la función 𝑓 : definida como 𝑓(𝑥)={ {{ {𝑥+cos(𝑥)𝑎𝑒𝑥𝑥2,si 𝑥0,𝑏,si 𝑥=0.

Ejercicio A1: Septiembre de 2012

Sea la función continua 𝑓 : definida por 𝑓(𝑥)={ {{ {𝑥+𝑘,si 𝑥0,𝑒𝑥21𝑥2,si 𝑥>0.

  1. Calcula el valor de 𝑘.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.