Matemáticas de Selectividad

Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥cos⁡(𝑥)−𝑎sen⁡(𝑥)𝑥3=00,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑏cos⁡(𝑥)−1)=𝑏−1,𝑓(0)=𝑏−1.

Para resolver la indeterminación del primer límite, aplicamos la regla de l'Hôpital. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥cos⁡(𝑥)−𝑎sen⁡(𝑥)𝑥3L’H=lím𝑥→0−⁡cos⁡(𝑥)−𝑥sen⁡(𝑥)−𝑎cos⁡(𝑥)3𝑥2=1−𝑎0. Si 𝑎 ≠1 este límite será infinito, así que necesariamente 𝑎 =1.

Continuamos resolviendo el límite para 𝑎 =1. lím𝑥→0−⁡−𝑥sen⁡(𝑥)3𝑥2L’H=lím𝑥→0−⁡−sen⁡(𝑥)−𝑥cos⁡(𝑥)6𝑥L’H=−2cos⁡(𝑥)+𝑥sen⁡(𝑥)6=−13.

Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔𝑏−1=−13⇔𝑏=23. Por tanto, 𝑎 =1 y 𝑏 =23.

1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 = −1 y 𝑥 =1.
   • Si 𝑥 = −1, lím𝑥→−1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1−⁡1𝑥=−1,lím𝑥→−1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1+⁡(𝑎𝑥+𝑏)=−𝑎+𝑏,𝑓(−1)=−𝑎+𝑏. Como 𝑓 es continua en 𝑥 = −1, lím𝑥→−1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(−1)⇔−𝑎+𝑏=−1.
   • Si 𝑥 =1, lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥+𝑏)=𝑎+𝑏,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑥2𝑥+1=12,𝑓(1)=12. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =1, lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1)⇔𝑎+𝑏=12.
   Por tanto, {−𝑎+𝑏=−1,𝑎+𝑏=12. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝑏=−12⇔𝑏=−14. Luego −𝑎+𝑏=−1𝑏=−1/4←←←←←←←←←→−𝑎−14=−1⇔𝑎=34. Así que 𝑎 =34 y 𝑏 = −14.
2. La función 𝑓 es continua en ℝ, así que su gráfica no tiene ninguna asíntota vertical. Falta estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.
   • Estudiamos las asíntotas por la izquierda. lím𝑥→−∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−∞⁡1𝑥=0. Por tanto, 𝑦 =0 es una asíntota horizontal de la gráfica de 𝑓 por la izquierda.
   • Estudiamos las asíntotas por la derecha. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑥2𝑥+1=+∞. Así que no tiene una asíntota horizontal. Veamos si en su lugar tiene una asíntota oblicua. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=lím𝑥→+∞⁡𝑥𝑥+1=1. Así que 𝑓 tiene una asíntota oblicua con pendiente 𝑚 =1. Calculamos su ordenada en el origen. lím𝑥→+∞⁡(𝑓(𝑥)−𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑥2𝑥+1−𝑥)=lím𝑥→+∞⁡−𝑥𝑥+1=−1. Por tanto, 𝑦 =𝑥 −1 es una asíntota oblicua de la gráfica de 𝑓 por la derecha.

1. En primer lugar, estudiamos la continuidad de la función.
   • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua.
   • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥2+1𝑥−1=−1,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑎𝑥+𝑏(𝑥+1)2=𝑏,𝑓(0)=−1. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que 𝑏 = −1.
   Por otro lado, si 𝑥 >0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)2−2(𝑎𝑥+𝑏)(𝑥+1)(𝑥+1)4𝑏=−1←←←←←←←→𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)2−2(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+1)4. Si la función tiene un extremo en 𝑥 =2, entonces 𝑓′(2) =0. 𝑓′(2)=0⇔9𝑎−6(2𝑎−1)81=0⇔9𝑎−6(2𝑎−1)=0⇔9𝑎−12𝑎+6=0⇔3𝑎=6⇔𝑎=2. Por tanto, 𝑎 =2 y 𝑏 = −1.
2. Si 𝑎 =2 y 𝑏 = −1, por el apartado anterior 𝑓 es continua. Estudiamos la derivabilidad de la función.
   • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥(𝑥−1)−(𝑥2+1)(𝑥−1)2,si 𝑥<0,2(𝑥+1)2−2(2𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+1)4,si 𝑥>0=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2−2𝑥−1(𝑥−1)2,si 𝑥<0,−2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4,si 𝑥>0.
   • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥2−2𝑥−1(𝑥−1)2=−1,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡−2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4=4. Observamos que 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
   Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{0}.

1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0 y 𝑥 =2.
   • Si 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(𝑥2+2)=2,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡√𝑎𝑥+𝑏=√𝑏,𝑓(0)=2. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔√𝑏=2⇔𝑏=4.
   • Si 𝑥 =2, lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡√𝑎𝑥+4=√2𝑎+4,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(−𝑥2√2+3√2)=2√2=√2,𝑓(2)=√2𝑎+4. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =2, lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2)⇔√2𝑎+4=√2⇔2𝑎+4=2⇔𝑎=−1.
   Así que 𝑎 = −1 y 𝑏 =4.
2. La función 𝑓 es derivable en cada una de sus ramas y su derivada es 𝑓′(𝑥)=⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥,si 𝑥<0,−12√−𝑥+4,si 0<𝑥<2,−12√2,si 𝑥>2. Veamos si 𝑓 es derivable en 𝑥 =2 comprobando si sus derivadas laterales coinciden. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−12√−𝑥+4=−12√2,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−12√2=−12√2. Por tanto, 𝑓 es derivable en 𝑥 =2 con 𝑓′(2) = −12√2. Así que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)→𝑦−√2=−12√2(𝑥−2)⇔𝑦=−𝑥2√2+2√2.

1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua si 𝑥 ≠0 para cualquier valor de 𝜆 y 𝜇. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0⁡𝑒𝜆𝑥−𝑒𝑥−𝑥𝑥2=00→lím𝑥→0⁡𝑒𝜆𝑥−𝑒𝑥−𝑥𝑥2L’H=lím𝑥→0⁡𝜆𝑒𝜆𝑥−𝑒𝑥−12𝑥=𝜆−20,𝑓(0)=𝜇. Si 𝜆 ≠2 este límite será infinito y la función no será continua en 𝑥 =0, así que necesariamente 𝜆 =2. Continuamos resolviendo el límite para 𝜆 =2. lím𝑥→0⁡2𝑒2𝑥−𝑒𝑥−12𝑥L’H=lím𝑥→0⁡4𝑒2𝑥−𝑒𝑥2=32. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔𝜇=32.
2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 viene dada por 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1). Para 𝑥 ≠0, 𝑓′(𝑥)=(2𝑒2𝑥−𝑒𝑥−1)𝑥2−(𝑒2𝑥−𝑒𝑥−1)2𝑥𝑥4⇒𝑓′(1)=𝑒+1. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 =1 es 𝑦−(𝑒2−𝑒−1)=(𝑒+1)(𝑥−1)⇔𝑦=(𝑒+1)𝑥+𝑒2−2𝑒−2.

1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(3𝑥−6)𝑒𝑥=−6,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡36(sen⁡(𝑥)−𝑎𝑥)𝑥3=00→lím𝑥→0+⁡36(sen⁡(𝑥)−𝑎𝑥)𝑥3L’H=lím𝑥→0+⁡36(cos⁡(𝑥)−𝑎)3𝑥2=36(1−𝑎)0,𝑓(0)=−6. Si 𝑎 ≠1 el segundo límite será infinito y la función no será continua en 𝑥 =0, así que necesariamente 𝑎 =1. Continuamos resolviendo el límite para 𝑎 =1. lím𝑥→0+⁡36(cos⁡(𝑥)−1)3𝑥2L’H=lím𝑥→0+⁡−36sen⁡(𝑥)6𝑥L’H=lím𝑥→0+⁡−36cos⁡(𝑥)6=−366=−6. Observamos que para este valor de 𝑎 se verifica que lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0).
2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 = −1 viene dada por 𝑦−𝑓(−1)=𝑓′(−1)(𝑥+1). Como para 𝑥 ≤0 la derivada de la función es 𝑓′(𝑥)=3𝑒𝑥+(3𝑥−6)𝑒𝑥=(3𝑥−3)𝑒𝑥, entonces 𝑓′( −1) = −6𝑒. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 = −1 es 𝑦+9𝑒=−6𝑒(𝑥+1)⇔𝑦=−6𝑒𝑥−15𝑒.