Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3+1𝑥2+1. Calcula una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,5).

Considera la función 𝑓 :( −1,1) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1(1−|𝑥|)2.

1. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
2. Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sean las funciones 𝑓 :( −1,0) ∪(0,1) →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ, definidas por 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥2𝑒)y𝑔(𝑥)=𝑥3+2.

1. Calcula 𝑎 ≠0 de forma que en el punto (𝑎,𝑓(𝑎)) la recta normal a la gráfica de la función 𝑓 sea paralela a la recta tangente a la gráfica de 𝑔 en el punto (𝑎,𝑔(𝑎)).
2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función 𝑓.

Considera la matriz 𝐴=(0−110).

1. Calcula 𝐴4 y 𝐴31.
2. Halla razonadamente el determinante de la matriz 4𝐴25(𝐴𝑡)4.

Sean las matrices 𝐴=(2234)y𝐵=(3122).

1. Halla razonadamente el determinante de una matriz 𝑋 que verifica 𝑋3𝐴𝑋2 =𝐵2.
2. Determina, si existe, una matriz 𝑌 que verifique 𝐴3𝑌𝐵−1 =𝐴2.

Considera la recta 𝑟≡{𝑥+𝑦+𝑧=0,𝑦−𝑧=0 y el punto 𝑃(2,1,0).

1. Halla la distancia del punto 𝑃 a la recta 𝑟.
2. Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta 𝑟 y al punto 𝑃.

Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20%, 50% y 30%. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7%, 6% y 2%, respectivamente.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?
2. Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?