Matemáticas de Selectividad

1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua y derivable en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏, con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑎𝑒−𝑥−𝑏1−𝑥,si 𝑥<0,1+11+𝑥,si 𝑥≥0. Pasamos a estudiar su continuidad y derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =0.
   • Estudiamos la continuidad. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(𝑎𝑒−𝑥+𝑏ln⁡(1−𝑥))=𝑎,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥+ln⁡(1+𝑥))=0,𝑓(0)=0. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔𝑎=0.
   • Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−−𝑏1−𝑥=−𝑏,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡1+11+𝑥=2. Como 𝑓 es derivable en 𝑥 =0, 𝑓′−(0)=𝑓′+(0)⇔−𝑏=2⇔𝑏=−2.
   Así que 𝑎 =0 y 𝑏 = −2.
2. • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 es: 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=2𝑥.
   • La recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 tiene como pendiente −1𝑓′(0). Por tanto, su ecuación es: 𝑦−𝑓(0)=−1𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=−12𝑥.

1. En primer lugar, estudiamos la continuidad de la función.
   • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua.
   • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥2+1𝑥−1=−1,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑎𝑥+𝑏(𝑥+1)2=𝑏,𝑓(0)=−1. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que 𝑏 = −1.
   Por otro lado, si 𝑥 >0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)2−2(𝑎𝑥+𝑏)(𝑥+1)(𝑥+1)4𝑏=−1←←←←←←←→𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)2−2(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+1)4. Si la función tiene un extremo en 𝑥 =2, entonces 𝑓′(2) =0. 𝑓′(2)=0⇔9𝑎−6(2𝑎−1)81=0⇔9𝑎−6(2𝑎−1)=0⇔9𝑎−12𝑎+6=0⇔3𝑎=6⇔𝑎=2. Por tanto, 𝑎 =2 y 𝑏 = −1.
2. Si 𝑎 =2 y 𝑏 = −1, por el apartado anterior 𝑓 es continua. Estudiamos la derivabilidad de la función.
   • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥(𝑥−1)−(𝑥2+1)(𝑥−1)2,si 𝑥<0,2(𝑥+1)2−2(2𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+1)4,si 𝑥>0=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2−2𝑥−1(𝑥−1)2,si 𝑥<0,−2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4,si 𝑥>0.
   • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥2−2𝑥−1(𝑥−1)2=−1,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡−2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4=4. Observamos que 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
   Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{0}.

1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0 y 𝑥 =2.
   • Si 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(𝑥2+2)=2,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡√𝑎𝑥+𝑏=√𝑏,𝑓(0)=2. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔√𝑏=2⇔𝑏=4.
   • Si 𝑥 =2, lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡√𝑎𝑥+4=√2𝑎+4,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(−𝑥2√2+3√2)=2√2=√2,𝑓(2)=√2𝑎+4. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =2, lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2)⇔√2𝑎+4=√2⇔2𝑎+4=2⇔𝑎=−1.
   Así que 𝑎 = −1 y 𝑏 =4.
2. La función 𝑓 es derivable en cada una de sus ramas y su derivada es 𝑓′(𝑥)=⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥,si 𝑥<0,−12√−𝑥+4,si 0<𝑥<2,−12√2,si 𝑥>2. Veamos si 𝑓 es derivable en 𝑥 =2 comprobando si sus derivadas laterales coinciden. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−12√−𝑥+4=−12√2,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−12√2=−12√2. Por tanto, 𝑓 es derivable en 𝑥 =2 con 𝑓′(2) = −12√2. Así que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)→𝑦−√2=−12√2(𝑥−2)⇔𝑦=−𝑥2√2+2√2.

1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua y derivable en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏, con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑎+𝑏(𝑥−1)2,si 𝑥<0,11+𝑥,si 𝑥≥0. Pasamos a estudiar su continuidad y derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =0.
   • Estudiamos la continuidad. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑎𝑥+𝑏𝑥−1=−𝑏,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡ln⁡(1+𝑥)=0,𝑓(0)=0. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔−𝑏=0⇔𝑏=0.
   • Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡−𝑎(𝑥−1)2=−𝑎,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡11+𝑥=1. Como 𝑓 es derivable en 𝑥 =0, 𝑓′−(0)=𝑓′+(0)⇔−𝑎=1⇔𝑎=−1.
   Así que 𝑎 = −1 y 𝑏 =0.
2. • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−ln⁡(3)=13(𝑥−2)⇔𝑦=13𝑥−23+ln⁡(3).
   • La recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 tiene como pendiente −1𝑓′(2). Por tanto, su ecuación es 𝑦−𝑓(2)=−1𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−ln⁡(3)=−3(𝑥−2)⇔𝑦=−3𝑥+6+ln⁡(3).

En primer lugar, escribimos 𝑓 como una función a trozos. 𝑓(𝑥)=|𝑥|2−𝑥=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥2−𝑥,si 𝑥<0,𝑥2−𝑥,si 𝑥≥0.

1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
   • Si 𝑥 ≠0 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−2(2−𝑥)2,si 𝑥<0,2(2−𝑥)2,si 𝑥>0.
   • Estudiamos la continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0⁡|𝑥|2−𝑥=0,𝑓(0)=0. Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =0. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−−2(2−𝑥)2=−12,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡2(2−𝑥)2=12. Como 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
   Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{0,2}.
2. Estudiamos la monotonía de 𝑓. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
   • Si 𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=−2(2−𝑥)2≠0.
   • Si 𝑥 >0, 𝑓′(𝑥)=2(2−𝑥)2≠0.
   Así que 𝑓 no tiene puntos críticos. Consideramos 𝑥 =0 y 𝑥 =2 por no ser derivable y no pertenecer al dominio, respectivamente. Estudiamos el signo de 𝑓′.
   • Si 𝑥 <0, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
   • Si 0 <𝑥 <2, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
   • Si 𝑥 >2, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
   Por tanto, la función es creciente en (0,2) ∪(2, +∞) y decreciente en ( −∞,0).

1. • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏 con: 𝑓′(𝑥)={2𝑎𝑒2𝑎𝑥−4𝑏,si 𝑥<1,−ln⁡(𝑥)−1,si 𝑥>1.
   • Estudiamos la continuidad y la derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1.
     • Estudiamos la continuidad. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑒2𝑎𝑥−4𝑏=𝑒2𝑎−4𝑏,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(1−𝑥ln⁡(𝑥))=1,𝑓(1)=1. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que: lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1)⇔𝑒2𝑎−4𝑏=1⇔2𝑎−4𝑏=0⇔𝑎=2𝑏.
     • Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡2𝑎𝑒2𝑎𝑥−4𝑏=2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(−ln⁡(𝑥)−1)=−1. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse que: 𝑓′−(1)=𝑓′+(1)⇔2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏=−1.
   Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones: {𝑎=2𝑏,2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏=−1. Sustituyendo en la segunda ecuación, 4𝑏=−1⇔𝑏=−14⇒𝑎=−12. Por tanto, 𝑎 = −12 y 𝑏 = −14.
2. La ecuación de la recta tangente en 𝑥 =2 viene dada por: 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−1+2ln⁡(2)=(−ln⁡(2)−1)(𝑥−2)⇔⇔𝑦=−(ln⁡(2)+1)𝑥+2ln⁡(2)+2−2ln⁡(2)+1⇔𝑦=−(ln⁡(2)+1)𝑥+3.