Matemáticas de Selectividad

Calcula ∫ln⁡(𝑥2+1𝑥)𝑑𝑥.

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝑚1𝑚−1𝑚0111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−12001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Calcula los valores de 𝑚 para los cuales 𝐴 tiene inversa.
2. Para 𝑚 =2, encuentra la matriz 𝑋 que cumple 𝐴𝑋 −𝐵𝐵𝑡 =𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3.

Considera el punto 𝐴(2,1,0) y los planos 𝜋1 ≡𝑥 +𝑦 +𝑧 =0 y 𝜋2 ≡𝑥 −𝑦 +𝑧 =0.

1. Calcula la recta que pasa por 𝐴 y es paralela a 𝜋1 y 𝜋2.
2. Calcula los puntos de la recta 𝑠≡𝑥−12=𝑦−23=𝑧2 que equidistan de 𝜋1 y 𝜋2.

Se sabe que la función 𝑓 :ℝ →ℝ, dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−𝑎𝑥+2𝑏,si 𝑥≤0,ln⁡(𝑥+1)𝑥,si 𝑥>0 es derivable. Calcula 𝑎 y 𝑏.

Sean las funciones 𝑓,𝑔 :[0,𝜋] →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =sen⁡(𝑥) y 𝑔(𝑥) =sen⁡(2𝑥).

1. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
2. Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =𝜋3.

Dado el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥−𝑦+13𝑧=0,2𝑥−𝑚𝑦+4𝑧=0,𝑥+𝑦+7𝑧=0.

1. Encuentra los valores de 𝑚 para los que el sistema tiene infinitas soluciones.
2. Resuelve el sistema para 𝑚 =3. En este caso, ¿hay alguna solución en la que 𝑥 =10? Razona tu respuesta.

Considera los puntos 𝐴(0,3, −1) y 𝐵(0,1,𝑎) y el plano 𝜋 de ecuación 𝑥 −𝑦 +𝑧 =0.

1. Determina 𝑎 sabiendo que la recta que pasa por 𝐴 y por 𝐵 es paralela al plano 𝜋.
2. Halla el punto de corte del plano 𝜋 con la recta que pasa por 𝐴 y es perpendicular a dicho plano.
3. Para 𝑎 =2, halla el plano que contiene a los puntos 𝐴 y 𝐵 y es perpendicular al plano 𝜋.