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Ejercicio 2: Junio de 2025

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) - 𝑎 𝑥 + 2 - 2 c o s (𝑥) 𝑒 𝑥 - 𝑥 c o s (𝑥) - 1$ es finito, calcula $𝑎$ y el valor del límite.

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) - 𝑎 𝑥 + 2 - 2 c o s (𝑥) 𝑒 𝑥 - 𝑥 c o s (𝑥) - 1 = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) - 𝑎 𝑥 + 2 - 2 c o s (𝑥) 𝑒 𝑥 - 𝑥 c o s (𝑥) - 1 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 c o s (𝑥) - 𝑎 + 2 s e n (𝑥) 𝑒 𝑥 - 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) + 𝑥 s e n (𝑥) = 1 - 𝑎 0 .$ Si $𝑎 \neq 1$ este límite será infinito, así que necesariamente $𝑎 = 1$ .

Continuamos resolviendo el límite para $𝑎 = 1$ . $l í m 𝑥 \to 0 c o s (𝑥) - 1 + 2 s e n (𝑥) 𝑒 𝑥 - 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) + 𝑥 s e n (𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 - s e n (𝑥) + 2 c o s (𝑥) 𝑒 𝑥 + s e n (𝑥) + s e n (𝑥) - 𝑥 c o s (𝑥) = 2 .$

Ejercicio 6: Julio de 2025

Calcula $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 s e n (𝑥) + 𝑎 (𝑒 𝑥 - 1) + s e n (𝑥) 𝑏 𝑥 2 + 𝑥 - s e n (𝑥) = 1 .$

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 s e n (𝑥) + 𝑎 (𝑒 𝑥 - 1) + s e n (𝑥) 𝑏 𝑥 2 + 𝑥 - s e n (𝑥) = 00 .$ Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 s e n (𝑥) + 𝑎 (𝑒 𝑥 - 1) + s e n (𝑥) 𝑏 𝑥 2 + 𝑥 - s e n (𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) + 𝑥 c o s (𝑥) + 𝑎 𝑒 𝑥 + c o s (𝑥) 2 𝑏 𝑥 + 1 - c o s (𝑥) = 𝑎 + 1 0 .$ Si $𝑎 \neq - 1$ este límite será infinito, así que necesariamente $𝑎 = - 1$ .

Continuamos resolviendo el límite para $𝑎 = - 1$ . $l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) + 𝑥 c o s (𝑥) - 𝑒 𝑥 + c o s (𝑥) 2 𝑏 𝑥 + 1 - c o s (𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 c o s (𝑥) + c o s (𝑥) - 𝑥 s e n (𝑥) - 𝑒 𝑥 - s e n (𝑥) 2 𝑏 + s e n (𝑥) = 1 2 𝑏 .$

Por tanto, $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 s e n (𝑥) + 𝑎 (𝑒 𝑥 - 1) + s e n (𝑥) 𝑏 𝑥 2 + 𝑥 - s e n (𝑥) = 1 \Leftrightarrow 1 2 𝑏 = 1 \Leftrightarrow 2 𝑏 = 1 \Leftrightarrow 𝑏 = 12 .$

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2024

Calcula $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (l n (1 + 𝑥) - 𝑥) + 𝑏 (𝑒 𝑥 - 1) + 1 - c o s (𝑥) s e n 2 (𝑥) = 5 .$

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (l n (1 + 𝑥) - 𝑥) + 𝑏 (𝑒 𝑥 - 1) + 1 - c o s (𝑥) s e n 2 (𝑥) = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (l n (1 + 𝑥) - 𝑥) + 𝑏 (𝑒 𝑥 - 1) + 1 - c o s (𝑥) s e n 2 (𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (1 1 + 𝑥 - 1) + 𝑏 𝑒 𝑥 + s e n (𝑥) 2 s e n (𝑥) c o s (𝑥) = 𝑏 0 .$ Si $𝑏 \neq 0$ este límite será infinito, así que necesariamente $𝑏 = 0 .$

Continuamos resolviendo el límite para $𝑏 = 0 .$ $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (1 1 + 𝑥 - 1) + s e n (𝑥) 2 s e n (𝑥) c o s (𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 - 𝑎 (1 + 𝑥) 2 + c o s (𝑥) 2 (c o s 2 (𝑥) - s e n 2 (𝑥)) = - 𝑎 + 1 2 .$

Por tanto, $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (l n (1 + 𝑥) - 𝑥) + 𝑏 (𝑒 𝑥 - 1) + 1 - c o s (𝑥) s e n 2 (𝑥) = 5 \Leftrightarrow - 𝑎 + 1 2 = 5 \Leftrightarrow - 𝑎 + 1 = 10 \Leftrightarrow 𝑎 = - 9 .$

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2024

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = a r c t g (𝑥 + 𝜋) .$

Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de $𝑓 .$ Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de $𝑓$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Calcula $l í m 𝑥 \to - 𝜋 a r c t g (𝑥 + 𝜋) s e n (𝑥) .$

Resolución

En primer lugar, calculamos la primera y la segunda derivada de

𝑓 .

𝑓' (𝑥) = 1 1 + (𝑥 + 𝜋) 2 y 𝑓 ″ (𝑥) = - 2 (𝑥 + 𝜋) (1 + (𝑥 + 𝜋) 2) 2 .

Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero.

𝑓 ″ (𝑥) = 0 \Leftrightarrow - 2 (𝑥 + 𝜋) (1 + (𝑥 + 𝜋) 2) 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 + 𝜋 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = - 𝜋 .

Estudiamos el signo de la segunda derivada.

	$(- \infty, - 𝜋)$	$(- 𝜋, + \infty)$
signo de $𝑓 ″$	$+$	$-$
curvatura de $𝑓$	$⌣$	$⌢$

Por tanto,

𝑓

es convexa en

(- \infty, - 𝜋)

y es cóncava en

(- 𝜋, + \infty) .

Además,

(- 𝜋, 0)

es el único punto de inflexión.

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to - 𝜋 a r c t g (𝑥 + 𝜋) s e n (𝑥) = 00 .$ Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital. $l í m 𝑥 \to - 𝜋 a r c t g (𝑥 + 𝜋) s e n (𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to - 𝜋 1 1 + (𝑥 + 𝜋) 2 c o s (𝑥) = 1 - 1 = - 1 .$

Ejercicio 1: Junio de 2023

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 𝑒 𝑥 + 𝑒 - 𝑥 .$

Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de $𝑓$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Calcula $l í m 𝑥 \to + \infty 𝑥 2 𝑓 (𝑥) .$

Resolución

En primer lugar, calculamos la derivada de

𝑓 .

𝑓' (𝑥) = - (𝑒 𝑥 - 𝑒 - 𝑥) (𝑒 𝑥 + 𝑒 - 𝑥) 2 = 𝑒 - 𝑥 - 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 + 𝑒 - 𝑥) 2 .

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de

𝑓

a cero.

𝑓' (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 𝑒 𝑥 = 𝑒 - 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 = 0 .

Así que

𝑥 = 0

es el único punto crítico. Estudiemos el signo de la derivada para determinar si en

𝑥 = 0

hay un extremo.

	$(- \infty, 0)$	$(0, + \infty)$
signo de $𝑓'$	$+$	$-$
monotonía de $𝑓$	$\to$	$\to$

Por tanto,

𝑓

tiene un máximo absoluto en

𝑥 = 0 .

Es decir, el punto

(0, 12)

es un máximo absoluto de

𝑓 .

Observamos también que

l í m 𝑥 \to + \infty 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to - \infty 𝑓 (𝑥) = 0,

así que

𝑓

tiene la asíntota horizontal

𝑦 = 0 .

Por tanto, no tiene ningún mínimo absoluto.

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to \infty 𝑥 2 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to \infty 𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝑒 - 𝑥 = 0 .$

Ejercicio 4: Junio de 2023

Considera la función $𝐹 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 s e n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 .$ Calcula $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝐹 (𝑥) s e n (𝑥 2) .$

Resolución

La función $𝑓 (𝑥) = s e n (𝑥 2)$ es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝑥 0 s e n (𝑡 2) 𝑑 𝑡$ es derivable, con $𝐹' (𝑥) = 𝑓 (𝑥) .$

Además, $𝐹 (0) = \int 00 s e n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 = 0,$ así que $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝐹 (𝑥) s e n (𝑥 2) = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝐹 (𝑥) s e n (𝑥 2) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝐹 (𝑥) + 𝑥 𝐹' (𝑥) 2 𝑥 c o s (𝑥 2) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝐹' (𝑥) + 𝐹' (𝑥) + 𝑥 𝐹 ″ (𝑥) 2 c o s (𝑥 2) - 4 𝑥 2 s e n (𝑥 2) = l í m 𝑥 \to 0 2 s e n (𝑥 2) + 2 𝑥 2 c o s (𝑥 2) 2 c o s (𝑥 2) - 4 𝑥 2 s e n (𝑥 2) = 0 .$ Hemos usado que $𝐹 ″ (𝑥) = 𝑓' (𝑥) = 2 𝑥 c o s (𝑥 2) .$

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2023

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) - l n (1 + 𝑥) 𝑎 𝑥 2 - 𝑥 + 𝑒 𝑥 - c o s (2 𝑥) = - 17,$ calcula $𝑎 .$

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) - l n (1 + 𝑥) 𝑎 𝑥 2 - 𝑥 + 𝑒 𝑥 - c o s (2 𝑥) = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) - l n (1 + 𝑥) 𝑎 𝑥 2 - 𝑥 + 𝑒 𝑥 - c o s (2 𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 c o s (𝑥) - 1 1 + 𝑥 2 𝑎 𝑥 - 1 + 𝑒 𝑥 + 2 s e n (2 𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 - s e n (𝑥) + 1 (1 + 𝑥) 2 2 𝑎 + 𝑒 𝑥 + 4 c o s (2 𝑥) = 1 2 𝑎 + 5 .$

Por tanto, $l í m 𝑥 \to 0 s e n (𝑥) - l n (1 + 𝑥) 𝑎 𝑥 2 - 𝑥 + 𝑒 𝑥 - c o s (2 𝑥) = - 17 \Leftrightarrow 1 2 𝑎 + 5 = - 17 \Leftrightarrow 2 𝑎 + 5 = - 7 \Leftrightarrow 𝑎 = - 6 .$

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2022

Calcula $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 s e n (𝑥) + 𝑥 l n (𝑥 + 1) + 𝑏 𝑥 2 𝑥 3 + 𝑥 2 = 2 .$

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 s e n (𝑥) + 𝑥 l n (𝑥 + 1) + 𝑏 𝑥 2 𝑥 3 + 𝑥 2 = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 s e n (𝑥) + 𝑥 l n (𝑥 + 1) + 𝑏 𝑥 2 𝑥 3 + 𝑥 2 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝑎 c o s (𝑥) + l n (𝑥 + 1) + 𝑥 𝑥 + 1 + 2 𝑏 𝑥 3 𝑥 2 + 2 𝑥 = 𝑎 0 .$ Si $𝑎 \neq 0$ este límite será infinito, así que necesariamente $𝑎 = 0 .$

Continuamos resolviendo el límite para $𝑎 = 0 .$ $l í m 𝑥 \to 0 l n (𝑥 + 1) + 𝑥 𝑥 + 1 + 2 𝑏 𝑥 3 𝑥 2 + 2 𝑥 L ’ H = 1 𝑥 + 1 + 1 (𝑥 + 1) 2 + 2 𝑏 6 𝑥 + 2 = 2 + 2 𝑏 2 = 1 + 𝑏 .$

Por tanto, $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 s e n (𝑥) + 𝑥 l n (𝑥 + 1) + 𝑏 𝑥 2 𝑥 3 + 𝑥 2 = 2 \Leftrightarrow 1 + 𝑏 = 2 \Leftrightarrow 𝑏 = 1 .$

Ejercicio 1: Julio de 2022

Calcula $𝑎$ sabiendo que $l í m 𝑥 \to \infty 𝑎 𝑥 l n 3 (𝑥) + 2 𝑥 = 1 .$

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to + \infty 𝑎 𝑥 l n 3 (𝑥) + 2 𝑥 = 𝑎 2 .$ Por tanto, $l í m 𝑥 \to + \infty 𝑎 𝑥 l n 3 (𝑥) + 2 𝑥 = 1 \Leftrightarrow 𝑎 2 = 1 \Leftrightarrow 𝑎 = 2 .$

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2021

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 (𝑥 + 1 l n (𝑥 + 1) - 𝑎 𝑥)$ es finito, calcula $𝑎$ y el valor del límite.

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 (𝑥 + 1 l n (𝑥 + 1) - 𝑎 𝑥) = l í m 𝑥 \to 0 𝑥 (𝑥 + 1) - 𝑎 l n (𝑥 + 1) 𝑥 l n (𝑥 + 1) = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 (𝑥 + 1) - 𝑎 l n (𝑥 + 1) 𝑥 l n (𝑥 + 1) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 2 𝑥 + 1 - 𝑎 𝑥 + 1 l n (𝑥 + 1) + 𝑥 𝑥 + 1 = 1 - 𝑎 0 .$ Si $𝑎 \neq 1$ este límite será infinito, así que necesariamente $𝑎 = 1 .$

Continuamos resolviendo el límite para $𝑎 = 1 .$ $l í m 𝑥 \to 0 2 𝑥 + 1 - 1 𝑥 + 1 l n (𝑥 + 1) + 𝑥 𝑥 + 1 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 2 + 1 (𝑥 + 1) 2 1 𝑥 + 1 + 1 (𝑥 + 1) 2 = 32 .$

Ejercicio 1: Julio de 2021

Calcula $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (1 - c o s (𝑥)) + 𝑏 s e n (𝑥) - 2 (𝑒 𝑥 - 1) 𝑥 2 = 7 .$

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (1 - c o s (𝑥)) + 𝑏 s e n (𝑥) - 2 (𝑒 𝑥 - 1) 𝑥 2 = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (1 - c o s (𝑥)) + 𝑏 s e n (𝑥) - 2 (𝑒 𝑥 - 1) 𝑥 2 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝑎 s e n (𝑥) + 𝑏 c o s (𝑥) - 2 𝑒 𝑥 2 𝑥 = 𝑏 - 2 0 .$ Si $𝑏 \neq 2$ este límite será infinito, así que necesariamente $𝑏 = 2 .$

Continuamos resolviendo el límite para $𝑏 = 2 .$ $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 s e n (𝑥) + 2 c o s (𝑥) - 2 𝑒 𝑥 2 𝑥 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝑎 c o s (𝑥) - 2 s e n (𝑥) - 2 𝑒 𝑥 2 = 𝑎 - 2 2 .$

Por tanto, $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 (1 - c o s (𝑥)) + 𝑏 s e n (𝑥) - 2 (𝑒 𝑥 - 1) 𝑥 2 = 7 \Leftrightarrow 𝑎 - 2 2 = 7 \Leftrightarrow 𝑎 = 16 .$

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2020

Calcula $𝑎$ sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 (1 l n (1 - 𝑥) - 𝑎 𝑥 - 1 𝑥) = 72 .$

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 (1 l n (1 - 𝑥) - 𝑎 𝑥 - 1 𝑥) = l í m 𝑥 \to 0 𝑥 - (𝑎 𝑥 - 1) l n (1 - 𝑥) 𝑥 l n (1 - 𝑥) = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 - (𝑎 𝑥 - 1) l n (1 - 𝑥) 𝑥 l n (1 - 𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 1 - 𝑎 l n (1 - 𝑥) + 𝑎 𝑥 - 1 1 - 𝑥 l n (1 - 𝑥) - 𝑥 1 - 𝑥 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝑎 1 - 𝑥 + 𝑎 - 1 (1 - 𝑥) 2 - 1 1 - 𝑥 - 1 1 - 𝑥 = 2 𝑎 - 1 - 2 .$

Por tanto, $l í m 𝑥 \to 0 (1 l n (1 - 𝑥) - 𝑎 𝑥 - 1 𝑥) = 72 \Leftrightarrow 2 𝑎 - 1 - 2 = 72 \Leftrightarrow 1 - 2 𝑎 = 7 \Leftrightarrow 𝑎 = - 3 .$

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2020

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝑒 𝑥 - l n (1 + 𝑥) - (𝑎 + 1) 𝑥 𝑥 2$ es finito, calcula $𝑎$ y el valor del límite.

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝑒 𝑥 - l n (1 + 𝑥) - (𝑎 + 1) 𝑥 𝑥 2 = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝑒 𝑥 - l n (1 + 𝑥) - (𝑎 + 1) 𝑥 𝑥 2 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑒 𝑥 - 1 1 + 𝑥 - 𝑎 - 1 2 𝑥 = - 𝑎 - 1 0 .$ Si $𝑎 \neq - 1$ este límite será infinito, así que necesariamente $𝑎 = - 1 .$

Continuamos resolviendo el límite para $𝑎 = - 1 .$ $l í m 𝑥 \to 0 𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑒 𝑥 - 1 1 + 𝑥 2 𝑥 L ’ H = 2 𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑒 𝑥 + 1 (1 + 𝑥) 2 2 = 32 .$

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2020

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑡) = 1 1 + 𝑒 𝑡 .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑥 = 1 + 𝑒 𝑡$ ).
Se define $𝑔 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Calcula $l í m 𝑥 \to 0 𝑔 (𝑥) 𝑥 .$

Resolución

Calculamos todas las primitivas de $𝑓 .$ $\int 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 1 1 + 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 .$ Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable $𝑥 = 1 + 𝑒 𝑡 \Rightarrow 𝑡 = l n (𝑥 - 1), 𝑑 𝑡 = 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑡$ De esta forma, $\int 1 1 + 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = \int 1 𝑥 (𝑥 - 1) 𝑑 𝑥 .$ Para resolver esta nueva integral, expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son 0 y 1, así que la función se puede escribir como $1 𝑥 (𝑥 - 1) = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 - 1 = 𝐴 𝑥 - 𝐴 + 𝐵 𝑥 𝑥 (𝑥 - 1) = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 - 𝐴 𝑥 (𝑥 - 1) .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 0, - 𝐴 = 1 .$ Resolvemos: $- 𝐴 = 1 \Leftrightarrow 𝐴 = - 1, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 = - 1 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to - 1 + 𝐵 = 0 \Leftrightarrow 𝐵 = 1 .$ Por tanto, $1 𝑥 (𝑥 - 1) = - 1 𝑥 + 1 𝑥 - 1 .$ Resolvemos la integral. $\int 1 𝑥 (𝑥 - 1) 𝑑 𝑥 = \int 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 - \int 1 𝑥 𝑑 𝑥 = l n | 𝑥 - 1 | - l n | 𝑥 | + 𝐶 = 𝑡 - l n (1 + 𝑒 𝑡) + 𝐶 .$
La función $𝑓$ es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función $𝑔 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝑥 0 1 1 + 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡$ es derivable, con $𝑔' (𝑥) = 𝑓 (𝑥) .$ Además, $𝑔 (0) = \int 00 1 1 + 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = 0,$ así que $l í m 𝑥 \to 0 𝑔 (𝑥) 𝑥 = 00 .$ Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑔 (𝑥) 𝑥 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝑔' (𝑥) 1 = l í m 𝑥 \to 0 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to 0 1 1 + 𝑒 𝑥 = 12 .$

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2019

Calcula $l í m 𝑥 \to 0 c o s (𝑥) - 𝑒 - 2 𝑥 - 2 𝑥 s e n 2 (𝑥) .$

Resolución

Calculamos el límite. $l í m 𝑥 \to 0 c o s (𝑥) - 𝑒 - 2 𝑥 - 2 𝑥 s e n 2 (𝑥) = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 c o s (𝑥) - 𝑒 - 2 𝑥 - 2 𝑥 s e n 2 (𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 - s e n (𝑥) + 2 𝑒 - 2 𝑥 - 2 2 s e n (𝑥) c o s (𝑥) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 - c o s (𝑥) - 4 𝑒 - 2 𝑥 2 c o s 2 (𝑥) - 2 s e n 2 (𝑥) = - 52 .$

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2018

Calcula $l í m 𝑥 \to 0 t g (𝑥) - 𝑥 𝑥 - s e n (𝑥) .$

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2017

Calcula $l í m 𝑥 \to 0 (1 𝑥 - c o s (𝑥) s e n (𝑥)) .$

Ejercicio A1: Junio de 2016

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 l n (𝑥 + 1) - 𝑎 s e n (𝑥) + 𝑥 c o s (3 𝑥) 𝑥 2$ es finito, calcula $𝑎$ y el valor del límite.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2016

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 c o s (𝜋 𝑥) (1 + 𝑎 c o s (𝜋 𝑥)) s e n (𝑥 2)$ es finito, calcula $𝑎$ y el valor del límite.

Ejercicio A1: Septiembre de 2016

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 (1 𝑒 𝑥 - 1 - 𝑚 2 𝑥)$ es finito, calcula $𝑚$ y el valor del límite.

Ejercicio B1: Junio de 2015

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 1 - c o s (𝑥) s e n (𝑥 2)$ es finito e igual a uno, calcula los valores de $𝑎$ y $𝑏 .$

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2014

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 1 (𝑥 𝑥 - 1 - 𝑎 l n (𝑥))$ es finito, calcula $𝑎$ y el valor del límite.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2014

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 𝑏 𝑥 2 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 .$ Halla $𝑏$ , $𝑐$ y $𝑑$ sabiendo que $𝑓$ tiene un máximo relativo en $𝑥 = - 1$ y que $l í m 𝑥 \to 1 𝑓 (𝑥) 𝑥 - 1 = 4 .$

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2014

Calcula $l í m 𝑥 \to 0 t g (𝑥) - s e n (𝑥) 𝑥 - s e n (𝑥) .$

Ejercicio A1: Septiembre de 2014

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 c o s (3 𝑥) - 𝑒 𝑥 + 𝑎 𝑥 𝑥 s e n (𝑥)$ es finito, calcula $𝑎$ y el valor del límite.

Ejercicio A1: Junio de 2013

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 c o s (𝑥) + 𝑏 s e n (𝑥) 𝑥 3$ es finito, calcula $𝑏$ y el valor del límite.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2013

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑒 1 𝑥$ para $𝑥 \geq - 1$ , $𝑥 \neq 0 .$

Calcula los límites laterales de $𝑓$ en $𝑥 = 0 .$
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $𝑓 .$

Ejercicio B1: Junio de 2012

Sabiendo que $l í m 𝑥 \to 0 𝑎 s e n (𝑥) - 𝑥 𝑒 𝑥 𝑥 2$ es finito, calcula el valor de $𝑎$ y el de dicho límite.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2012

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 - 𝑥 + 1) .$

Calcula $l í m 𝑥 \to - \infty 𝑓 (𝑥) y l í m 𝑥 \to + \infty 𝑓 (𝑥) .$
Halla los extremos relativos de $𝑓$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $𝑓 .$

Ejercicio B1: Junio de 2010

Calcula $l í m 𝑥 \to 0 𝑒 𝑥 - 𝑒 s e n (𝑥) 𝑥 2 .$