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📋 Julio de 2025

Ejercicio 1

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Resolución

Llamamos 𝑥, 𝑦 y 𝑧 a los tres números en orden. Planteamos el sistema de ecuaciones. {𝑥+𝑦+𝑧=22,4𝑥+3𝑦+2𝑧=61.

Consideramos los tres casos en los que algún número es 15.

  • Si 𝑥 =15, el sistema queda: {15+𝑦+𝑧=22,60+3𝑦+2𝑧=61⇔{𝑦+𝑧=7,3𝑦+2𝑧=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −2𝐹1, obtenemos que 𝑦 = −13. Como no es un número natural, este caso no es posible.
  • Si 𝑦 =15, el sistema queda: {𝑥+15+𝑧=22,4𝑥+45+2𝑧=61⇔{𝑥+𝑧=7,4𝑥+2𝑧=16⇔{𝑥+𝑧=7,2𝑥+𝑧=8. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −𝐹1, obtenemos que 𝑥 =1. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥+𝑧=7⇔𝑧=7−𝑥=6. Por tanto, los números son 1, 15 y 6.
  • Si 𝑧 =15, el sistema queda: {𝑥+𝑦+15=22,4𝑥+3𝑦+30=61⇔{𝑥+𝑦=7,4𝑥+3𝑦=31. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −3𝐹1, obtenemos que 𝑥 =10. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥+𝑦=7⇔𝑦=7−𝑥=−3. Como no es un número natural, este caso no es posible.

Por tanto, el único caso posible es que los números sean 1, 15 y 6.

Ejercicio 2

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1𝑥2+2𝑥+2. Calcula una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,𝜋4).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función realizando el cambio de variable: 𝑥2+2𝑥+2=𝑡2+1⇔𝑡2=𝑥2+2𝑥+1=(𝑥+1)2⇒𝑡=𝑥+1,𝑑𝑡=𝑑𝑥. De esta forma, 𝐹(𝑥)=∫1𝑥2+2𝑥+2𝑑𝑥=∫1𝑡2+1𝑑𝑡=arctg⁡(𝑡)+𝐶=arctg⁡(𝑥+1)+𝐶.

La primitiva que pasa por el punto (0,𝜋4) ha de verificar: 𝐹(0)=𝜋4⇔𝜋4+𝐶=𝜋4⇔𝐶=0. Por tanto, la primitiva es: 𝐹(𝑥)=arctg⁡(𝑥+1).

Ejercicio 3

Calcula el valor de 𝑘 para que ∫31𝑒𝑥−𝑘(𝑥−2)𝑑𝑥=2.

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función integrando por partes. 𝑢=𝑥−2⇒𝑢′=1,𝑣′=𝑒𝑥−𝑘⇒𝑣=𝑒𝑥−𝑘. De esta forma, ∫𝑒𝑥−𝑘(𝑥−2)𝑑𝑥=(𝑥−2)𝑒𝑥−𝑘−∫𝑒𝑥−𝑘𝑑𝑥=(𝑥−2)𝑒𝑥−𝑘−𝑒𝑥−𝑘=(𝑥−3)𝑒𝑥−𝑘.

Calculamos la integral definida. ∫31𝑒𝑥−𝑘(𝑥−2)𝑑𝑥=[(𝑥−3)𝑒𝑥−𝑘]31=−(−2𝑒1−𝑘)=2𝑒1−𝑘. Ha de verificarse que: ∫31𝑒𝑥−𝑘(𝑥−2)𝑑𝑥=2⇔2𝑒1−𝑘=2⇔𝑒1−𝑘=1⇔𝑘=1. Por tanto, 𝑘 =1.

Ejercicio 4

Considera la recta 𝑟≡{𝑥−𝑦+𝑧=3,𝑥+2𝑦−𝑧=4 y el plano 𝜋 ≡𝑚𝑥 −𝑦 −2𝑧 =5.

  1. Halla 𝑚 para que 𝑟 y 𝜋 sean paralelos.
  2. Para 𝑚 = −8, calcula la distancia de la recta 𝑟 al plano 𝜋.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos el vector director de la recta 𝑟. ⃗𝑑𝑟=(1,−1,1)×(1,2,−1)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1−1112−1∣=(−1,2,3). La recta 𝑟 y el plano 𝜋 son paralelos si el vector director ⃗𝑑𝑟 y el vector normal ⃗𝑛𝜋 =(𝑚, −1, −2) son perpendiculares. Ha de verificarse que: ⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑛𝜋=0⇔−𝑚−2−6=0⇔𝑚=−8.
  2. Si 𝑚 = −8, por el apartado anterior sabemos que 𝑟 y 𝜋 son paralelos. Para calcular la distancia, hallamos en primer lugar un punto de la recta 𝑟. Si 𝑥 =0, entonces el sistema queda: {−𝑦+𝑧=3,2𝑦−𝑧=4. Si realizamos 𝐹1 +𝐹2, obtenemos que 𝑦 =7. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, −𝑦+𝑧=3⇔𝑧=3+𝑦=10. Luego 𝑃(0,7,10) es un punto de la recta 𝑟. Por tanto: dist⁡(𝑟,𝜋)=dist⁡(𝑃,𝜋)=|−8⋅0−7−2⋅10−5|√82+12+22=32√69𝑢.

Ejercicio 5

Sean las rectas 𝑟≡𝑥+14=𝑦+23=𝑧−2−1y𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1−𝜆,𝑦=2+𝜆,𝑧=−3−2𝜆.

  1. Estudia la posición relativa de las rectas 𝑟 y 𝑠.
  2. Halla la ecuación de un plano que contiene a 𝑟 y a una recta perpendicular a las rectas 𝑟 y 𝑠.

Resolución

  1. En primer lugar, comparamos los vectores directores ⃗𝑑𝑟 =(4,3, −1) y ⃗𝑑𝑠 =( −1,1, −2). Observamos que sus coordenadas no son proporcionales, así que los vectores no son paralelos. En consecuencia, las rectas no son paralelas ni coincidentes.

    Para determinar si son perpendiculares o se cruzan, estudiamos si las rectas están contenidas en un mismo plano. Tomamos un punto 𝑅( −1, −2,2) de 𝑟 y un punto 𝑆(1,2, −3) de 𝑠 para comprobar si los vectores ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(2,4, −5) son linealmente dependientes. ∣43−1−11−224−5∣=−9≠0. Como los tres vectores son linealmente independientes, las rectas no están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzan.

  2. Llamamos 𝜋 al plano que nos piden.
    • El plano 𝜋 contiene a la recta 𝑟, así que ⃗𝑑𝑟 es un vector director del plano y 𝑅 es un punto de 𝜋.
    • El plano 𝜋 contiene a una recta perpendicular a 𝑟 y 𝑠, así que un vector director del plano es: ⃗𝑑𝑟×⃗𝑑𝑠=(4,3,−1)×(−1,1,−2)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧43−1−11−2∣=(−5,9,7).
    Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano 𝜋 son: 𝜋≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1+4𝜆−5𝜇,𝑦=−2+3𝜆+9𝜇,𝑧=2−𝜆+7𝜇,𝜆,𝜇∈ℝ.

Ejercicio 6

Calcula 𝑎 y 𝑏 sabiendo que lím𝑥→0⁡𝑥sen⁡(𝑥)+𝑎(𝑒𝑥−1)+sen⁡(𝑥)𝑏𝑥2+𝑥−sen⁡(𝑥)=1.

Resolución

Calculamos el límite. lím𝑥→0⁡𝑥sen⁡(𝑥)+𝑎(𝑒𝑥−1)+sen⁡(𝑥)𝑏𝑥2+𝑥−sen⁡(𝑥)=00. Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital. lím𝑥→0⁡𝑥sen⁡(𝑥)+𝑎(𝑒𝑥−1)+sen⁡(𝑥)𝑏𝑥2+𝑥−sen⁡(𝑥)L’H=lím𝑥→0⁡sen⁡(𝑥)+𝑥cos⁡(𝑥)+𝑎𝑒𝑥+cos⁡(𝑥)2𝑏𝑥+1−cos⁡(𝑥)=𝑎+10. Si 𝑎 ≠ −1 este límite será infinito, así que necesariamente 𝑎 = −1.

Continuamos resolviendo el límite para 𝑎 = −1. lím𝑥→0⁡sen⁡(𝑥)+𝑥cos⁡(𝑥)−𝑒𝑥+cos⁡(𝑥)2𝑏𝑥+1−cos⁡(𝑥)L’H=lím𝑥→0⁡cos⁡(𝑥)+cos⁡(𝑥)−𝑥sen⁡(𝑥)−𝑒𝑥−sen⁡(𝑥)2𝑏+sen⁡(𝑥)=12𝑏.

Por tanto, lím𝑥→0⁡𝑥sen⁡(𝑥)+𝑎(𝑒𝑥−1)+sen⁡(𝑥)𝑏𝑥2+𝑥−sen⁡(𝑥)=1⇔12𝑏=1⇔2𝑏=1⇔𝑏=12.

Ejercicio 7

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de 70 km/h.

  1. En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 64 km/h y desviación típica 4 km/h. Si el radar de control salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?
  2. En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h y que el 5,05% de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?

Resolución
  1. Llamamos 𝑋 a la velocidad de los vehículos, con 𝑋 ∼𝑁(64,4). La probabilidad de que un vehículo circule a una velocidad superior a 72 km/h es: 𝑃(𝑋>72)=𝑃(𝑍>72−644)=𝑃(𝑍>2)=1−𝑃(𝑍≤2)=1−0,9772=0,0228. Por tanto, son sancionados el 2,28% de los vehículos.
  2. Llamamos 𝑌 a la velocidad de los vehículos en sentido contrario, con 𝑌 ∼𝑁(63,6; 𝜎). Como el 5,05% de los vehículos viaja a más de 80 km/h, ha de verificarse que: 𝑃(𝑌>80)=0,0505⇔𝑃(𝑌≤80)=1−0,0505=0,9495. Observamos que: 𝑃(𝑌≤80)=𝑃(𝑍≤80−63,6𝜎)=𝑃(𝑍≤16,4𝜎). Así que: 𝑃(𝑌≤80)=0,9495⇔𝑃(𝑍≤16,4𝜎)=0,9495⇔16,4𝜎=1,64⇔𝜎=10. Por tanto, la desviación típica es de 10 km/h.