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Ejercicio 1: Junio de 2025

Juan ha gastado 80€ por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.

  1. ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta.
  2. Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57€, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30%, del 40% y del 20%, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.

Resolución

Llamamos 𝑥 al precio del jersey, 𝑦 al precio de la camisa y 𝑧 al precio del pantalón.

Planteamos el sistema de ecuaciones. {𝑥+𝑦+𝑧=80,𝑥=𝑦+𝑧3⇔{𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que: 4𝑥=80⇔𝑥=20. El sistema queda: {𝑦+𝑧=60,−𝑦−𝑧=−60⇔𝑦+𝑧=60. Por tanto, el jersey cuesta 20€ pero no se puede determinar de forma única el precio de la camisa.

Completamos el sistema de ecuaciones con la nueva ecuación. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0,0,7𝑥+0,6𝑦+0,8𝑧=57⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0,7𝑥+6𝑦+8𝑧=570. Como sabemos que 𝑥 =20 por el apartado anterior, el sistema queda: {𝑦+𝑧=60,6𝑦+8𝑧=430⇔{𝑦+𝑧=60,3𝑦+4𝑧=215. Resolvemos el sistema por sustitución. Como 𝑧 =60 −𝑦, entonces: 3𝑦+240−4𝑦=215⇔𝑦=25⇒𝑧=60−𝑦=60−25=35. Por tanto, el jersey cuesta 20€, la camisa cuesta 25€ y el pantalón cuesta 35€.

Ejercicio 1: Julio de 2025

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Resolución

Llamamos 𝑥, 𝑦 y 𝑧 a los tres números en orden. Planteamos el sistema de ecuaciones. {𝑥+𝑦+𝑧=22,4𝑥+3𝑦+2𝑧=61.

Consideramos los tres casos en los que algún número es 15.

  • Si 𝑥 =15, el sistema queda: {15+𝑦+𝑧=22,60+3𝑦+2𝑧=61⇔{𝑦+𝑧=7,3𝑦+2𝑧=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −2𝐹1, obtenemos que 𝑦 = −13. Como no es un número natural, este caso no es posible.
  • Si 𝑦 =15, el sistema queda: {𝑥+15+𝑧=22,4𝑥+45+2𝑧=61⇔{𝑥+𝑧=7,4𝑥+2𝑧=16⇔{𝑥+𝑧=7,2𝑥+𝑧=8. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −𝐹1, obtenemos que 𝑥 =1. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥+𝑧=7⇔𝑧=7−𝑥=6. Por tanto, los números son 1, 15 y 6.
  • Si 𝑧 =15, el sistema queda: {𝑥+𝑦+15=22,4𝑥+3𝑦+30=61⇔{𝑥+𝑦=7,4𝑥+3𝑦=31. Resolvemos el sistema por reducción. Si realizamos 𝐹2 −3𝐹1, obtenemos que 𝑥 =10. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑥+𝑦=7⇔𝑦=7−𝑥=−3. Como no es un número natural, este caso no es posible.

Por tanto, el único caso posible es que los números sean 1, 15 y 6.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2024

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Resolución

Llamamos 𝑥 al dígito de las centenas, 𝑦 al de las decenas y 𝑧 al de las unidades. De esta forma, el número se escribe 𝑥𝑦𝑧 y se calcula como 100𝑥 +10𝑦 +𝑧.

En primer lugar, como la suma de sus cifras es 9, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=9. Por otro lado, el número que se obtiene al intercambiar las cifra de las centenas por la de las unidades se escribe 𝑧𝑦𝑥 y se calcula como 100𝑧 +10𝑦 +𝑥. Como la diferencia entre los dos números es 198, entonces 100𝑥+10𝑦+𝑧−(100𝑧+10𝑦+𝑥)=198⇔99𝑥−99𝑧=198⇔𝑥−𝑧=2. Además, como la suma ebtre ambos números es 828, entonces 100𝑥+10𝑦+𝑧+100𝑧+10𝑦+𝑥=828⇔101𝑥+20𝑦+101𝑧=828. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=9,𝑥−𝑧=2,101𝑥+20𝑦+101𝑧=828.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111910−1210120101828⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−101𝐹1←←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111910−120−810−81⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝012710−120−810−81⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑦+2𝑧=7,𝑥−𝑧=2,−81𝑦=−81. Por tanto, −81𝑦=−81⇔𝑦=1,𝑦+2𝑧=7⇔𝑧=7−𝑦2𝑦=1←←←←←→𝑧=3,𝑥−𝑧=2⇔𝑥=2+𝑧𝑧=3←←←←←→𝑥=5. Así que el número es 513.

Ejercicio 6: Julio de 2024

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2.200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1.250 euros.

  1. ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C?
  2. Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es 25 del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?

Resolución

Llamamos 𝑥 al precio de un perfume de tipo A, 𝑦 al de tipo B y 𝑧 al de tipo C.

Un pedido de 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C tiene un coste de 2.200 euros, así que 20𝑥+30𝑦+15𝑧=2.200⇔4𝑥+6𝑦+3𝑧=440. Además, como otro pedido de 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C cuesta 1.250 euros, 15𝑥+10𝑦+10𝑧=1.250⇔3𝑥+2𝑦+2𝑧=250.

  1. Podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales {4𝑥+6𝑦+3𝑧=440,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. (463440322250)2𝐹1−3𝐹2←←←←←←←←←←→(−160130322250). El sistema resultante es {−𝑥+6𝑦=130,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250. Si 𝑦 =𝜆, entonces −𝑥+6𝑦=130⇔𝑥=6𝑦−130𝑦=𝜆←←←←←←→𝑥=6𝜆−130,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250⇔𝑧=250−3𝑥−2𝑦2𝑥=6𝜆−130←←←←←←←←←←←←→𝑧=𝜆𝑧=250−18𝜆+390−2𝜆2=320−10𝜆. Así que el precio de un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C se puede calcular como 25𝑥+10𝑦+16𝑧=25⋅(6𝜆−130)+10𝜆+16⋅(320−10𝜆)=150𝜆−3.250+10𝜆+5.120−160𝜆=1.870. Por tanto, el precio total es de 1.870€.
  2. Si el precio de un perfume de tipo C es 25 del precio de uno de tipo A, entonces 𝑧=25𝑥⇔2𝑥=5𝑧. Así que 2⋅(6𝜆−130)=5⋅(320−10𝜆)⇔12𝜆−260=1.600−50𝜆⇔𝜆=30. Así que 𝑥=6⋅30−130=50,𝑦=30,𝑧=320−10⋅30=20. Por tanto, el precio de un perfume de tipo A es de 50€, el de uno de tipo B de 30€ y el de uno de tipo C de 20€.

Ejercicio 5: Junio de 2023

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos.

  • El 60% de los coches blancos más el 50% de los coches negros representan el 30% de los coches vendidos.
  • El 20% de los coches blancos junto con el 60% de los coches negros y el 60% de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos.
  • Se han vendido 100 coches negros más que blancos.
Determina el número de coches vendidos de cada color.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de coches blancos vendidos, 𝑦 al número de coches negros y 𝑧 al número de coches rojos.

En primer lugar, si el 60% de los coches blancos más el 50% de los coches negros representan el 30% de los coches vendidos, entonces 0,6𝑥+0,5𝑦=0,3(𝑥+𝑦+𝑧)⇒6𝑥+5𝑦=3(𝑥+𝑦+𝑧).

Además, si el 20% de los coches blancos junto con el 60% de los coches negros y el 60% de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos, 0,2𝑥+0,6𝑦+0,6𝑧=0,5(𝑥+𝑦+𝑧)⇒2𝑥+6𝑦+6𝑧=5(𝑥+𝑦+𝑧).

Por último, si se han vendido 100 coches negros más que blancos, 𝑦=𝑥+100.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩6𝑥+5𝑦=3(𝑥+𝑦+𝑧),2𝑥+6𝑦+6𝑧=5(𝑥+𝑦+𝑧),𝑦=𝑥+100⇒⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥+2𝑦−3𝑧=0,−3𝑥+𝑦+𝑧=0,−𝑥+𝑦=100.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝32−30−3110−110100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1+3𝐹2←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−6500−3110−110100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−5𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−100−500−3110−110100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥=−500,−3𝑥+𝑦+𝑧=0,−𝑥+𝑦=100.

Por tanto, −𝑥=−500⇔𝑥=500,−𝑥+𝑦=100𝑥=500←←←←←←←←→−500+𝑦=100⇔𝑦=600,−3𝑥+𝑦+𝑧=0𝑥=500←←←←←←←←→𝑦=600−3⋅500+600+𝑧=0⇔𝑧=900.

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2023

Una fábrica dispone de tres líquidos 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro de líquido 𝐿1 contiene 120 mg de sodio y 90 mg de magnesio, cada litro del líquido 𝐿2 contiene 100 mg de sodio y 90 mg de magnesio y cada litro del líquido 𝐿3 contiene 60 mg de sodio y 180 mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3 en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de 100 mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de litros del líquido 𝐿1, 𝑦 al número de litros de 𝐿2 y 𝑧 al número de litros de 𝐿3.

Se quiere obtener un litro de mezcla de 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3, así que 𝑥+𝑦+𝑧=1. Como se pide que la cantidad de sodio en la mezcla sea de 100 mg y cada litro de 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3 contiene 120 mg, 100 mg y 60 mg de sodio, respectivamente, entonces 120𝑥+100𝑦+60𝑧=100. Como también se pretende que la cantidad de magnesio en la mezcla sea de 100 mg y cada litro de 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3 contiene 90 mg, 90 mg y 180 mg de magnesio, respectivamente, entonces 90𝑥+90𝑦+180𝑧=100.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=1,120𝑥+100𝑦+60𝑧=100,90𝑥+90𝑦+180𝑧=100⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=1,6𝑥+5𝑦+3𝑧=5,9𝑥+9𝑦+18𝑧=10.

La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1116539918⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su determinante: |𝐴|=∣1116539918∣=90+27+54−45−27−108=−9. Como det(𝐴) ≠0, entonces rang⁡(𝐴) =3. El rango de la matriz de coeficientes es máximo, así que por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado. Por tanto, sí es posible obtener dicha mezcla.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝11116535991810⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−6𝐹1←←←←←←←←←→𝐹3−9𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝11110−1−3−10091⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.

El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=1,−𝑦−3𝑧=−1,9𝑧=1. Por tanto, 9𝑧=1⇔𝑧=19,−𝑦−3𝑧=−1𝑧=1/9←←←←←←←←→−𝑦−3⋅19=−1⇔𝑦=23,𝑥+𝑦+𝑧=1𝑦=2/3←←←←←←←←→𝑧=1/9𝑥+23+19=1⇔𝑥=29. Así que la mezcla ha de estar formada por 29 litros de 𝐿1, 23 litros de 𝐿2 y 19 litros de 𝐿3.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2023

Una plataforma de streaming se especializa en series de tres géneros: animación, ciencia ficción y comedia. Se sabe que el 30% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción coincide con el 20% del total de series. El 25% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción más el 60% de las de comedia representan la mitad del total de series. Hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción. Halla el número de series de cada género.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de series de animación de la plataforma, 𝑦 al de series de ciencia ficción y 𝑧 al de series de comedia.

En primer lugar, si el 30% de las series de animación junto con el 50% de las de ciencia ficción son el 20% del total de series, entonces 0,3𝑥+0,5𝑦=0,2(𝑥+𝑦+𝑧).

Además, si el 25% de las series de animación junto con el 50% de las de ciencia ficción y el 60% de las de comedia son la mitad del total de series, 0,25𝑥+0,5𝑦+0,6𝑧=𝑥+𝑦+𝑧2.

Por último, si hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción, 𝑥=𝑦−100.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩0,3𝑥+0,5𝑦=0,2(𝑥+𝑦+𝑧),0,25𝑥+0,5𝑦+0,6𝑧=𝑥+𝑦+𝑧2,𝑥=𝑦−100⇒⎧{ {⎨{ {⎩0,1𝑥+0,3𝑦−0,2𝑧=0,−0,25𝑥+0,1𝑧=0,𝑥−𝑦=−100⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+3𝑦−2𝑧=0,−5𝑥+2𝑧=0,𝑥−𝑦=−100.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝13−20−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1+𝐹2←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−4300−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1+3𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−100−300−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥=−300,−5𝑥+2𝑧=0,𝑥−𝑦=−100.

Por tanto, −𝑥=−300⇔𝑥=300,−5𝑥+2𝑧=0𝑥=300←←←←←←←←→−1500+2𝑧=0⇔𝑧=750,𝑥−𝑦=−100𝑥=300←←←←←←←←→300−𝑦=−100⇔𝑦=400. Así que esta plataforma tiene 300 series de animación, 400 series de ciencia ficción y 750 series de comedia.

Ejercicio 6: Julio de 2023

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es de 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6%, el 12% y el 30%, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

Resolución

Llamamos 𝑥 al importe sin impuestos de refrescos, 𝑦 al de cerveza y 𝑧 al de vino.

En primer lugar, si el importe total sin impuestos es de 500€, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=500.

Además, si el gasto en vino es de 60€ menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente y sin impuestos, 𝑧=𝑥+𝑦−60.

Por último, si los impuestos son del 6%, 12% y 30% respectivamente y el importe total con impuestos es de 592,4€, 1,06𝑥+1,12𝑦+1,3𝑧=592,4.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=500,𝑧=𝑥+𝑦−60,1,06𝑥+1,12𝑦+1,3𝑧=592,4⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=500,𝑥+𝑦−𝑧=60,106𝑥+112𝑦+130𝑧=59240.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝11150011−16010611213059240⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←←←←→𝐹3−106𝐹2⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝00244011−1600623652880⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑧=440,𝑥+𝑦−𝑧=60,6𝑦+236𝑧=52880⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑧=220,𝑥+𝑦−𝑧=60,3𝑦+118𝑧=26440.

Por tanto, 𝑧=220,3𝑦+118𝑧=26440𝑧=220←←←←←←←←→3𝑦+25960=26440⇔3𝑦=480⇔𝑦=160,𝑥+𝑦−𝑧=60𝑦=160←←←←←←←←→𝑧=220𝑥+160−220=60⇔𝑥=120. Así que el importe de cada una de las bebidas con impuestos es

  • Refrescos: 1,06 ⋅120 =127,20€.
  • Cerveza: 1,12 ⋅160 =179,20€.
  • Vino: 1,3 ⋅220 =286€.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2022

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75% de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de minutos de la Fase I, 𝑦 al de la Fase II y 𝑧 al de la Fase III.

En primer lugar, si se dedica el 75% de las 8 horas de sueño a la fase NO-REM, es decir, 360 minutos, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=360.

Además, si el tiempo dedicado a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas, 𝑦=2(𝑥+𝑦).

Por último, si el tiempo dedicado a la Fase III es el cuádruple que el de la Fase I, 𝑧=4𝑥.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,𝑦=2(𝑥+𝑦),𝑧=4𝑥.⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,2𝑥−𝑦+2𝑧=0,4𝑥−𝑧=0.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113602−12040−10⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−2𝐹1←←←←←←←←←→𝐹3+𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113600−30−720510360⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,−3𝑦=−720,5𝑥+𝑦=360.

Por tanto, −3𝑦=−720⇔𝑦=240,5𝑥+𝑦=360𝑦=240←←←←←←←←→5𝑥+240=360𝑥→=24,𝑥+𝑦+𝑧=360𝑥=24←←←←←←←←→𝑦=24024+240+𝑧=360⇔𝑧=96. Así que se dedican 24 minutos a la Fase I, 240 minutos a la Fase II y 96 minutos a la Fase III.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2022

La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de 13000 personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tienen cada uno.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de seguidores de Alberto, 𝑦 al de Begoña y 𝑧 al de Carlos.

En primer lugar, si entre los tres tienen 13000, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=13000.

Además, si dos terceras partes de los seguidores de Carlos son tantos como el doble de los de Alberto, 23𝑧=2𝑥.

Por último, si los seguidores de Alberto junto con la quinta parte de los de Begoña son tantos como la mitad de los de Carlos, 𝑥+15𝑦=12𝑧.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=13000,23𝑧=2𝑥,𝑥+15𝑦=12𝑧⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=13000,3𝑥−𝑧=0,10𝑥+2𝑦−5𝑧=0.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1111300030−10102−50⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−2𝐹1←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1111300030−1080−7−26000⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−7𝐹2←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1111300030−10−1300−26000⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=13000,3𝑥−𝑧=0,−13𝑥=−26000.

Por tanto, −13𝑥=−26000⇔𝑥=2000,3𝑥−𝑧=0𝑥=2000←←←←←←←←←→6000−𝑧=0⇔𝑧=6000,𝑥+𝑦+𝑧=13000𝑥=2000←←←←←←←←←→𝑧=60002000+𝑦+6000=13000⇔𝑦=5000. Así que Alberto tiene 2000 seguidores, Begoña tiene 5000 y Carlos tiene 6000.

Ejercicio 6: Junio de 2021

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de botellas producidas por hora, 𝑦 al número de garrafas y 𝑧 al número de bidones.

En primer lugar, si se dispone de 10 kilos de polietileno y se necesitan 50 gramos, 100 gramos y 1 kilo para cada botella, garrafa y bidón, respectivamente, entonces 50𝑥+100𝑦+1000𝑧=10000. Además, si se produce el doble de botellas que de garrafas, 𝑥=2𝑦. Por último, si se producen un total de 52 productos por hora, 𝑥+𝑦+𝑧=52.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩50𝑥+100𝑦+1000𝑧=10000,𝑥=2𝑦,𝑥+𝑦+𝑧=52⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑦+20𝑧=200,𝑥−2𝑦=0,𝑥+𝑦+𝑧=52.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝12202001−20011152⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−20𝐹2←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−19−180−8401−20011152⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−9𝐹2←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−2800−8401−20011152⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−28𝑥=−840,𝑥−2𝑦=0,𝑥+𝑦+𝑧=52.

Por tanto, −28𝑥=−840⇔𝑥=30,𝑥−2𝑦=0𝑥=30←←←←←←←→30−2𝑦=0⇔𝑦=15,𝑥+𝑦+𝑧=52𝑥=30←←←←←←←→𝑦=1530+15+𝑧=52⇔𝑧=7. Así que se producen 30 botellas, 15 garrafas y 7 bidones por hora.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2021

En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7,50€. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7,20€.

  1. Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja.
  2. ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2€? Razona la respuesta.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al precio de un café, 𝑦 al de una tostada y 𝑧 al de un zumo de naranja. Por un lado, si tres cafés, una tostada y dos zumos cuestan 7,50€, entonces 3𝑥+𝑦+2𝑧=7,50. Por otro lado, si cuatro cafés, una tostada y un zumo cuestan 7,20€, 4𝑥+𝑦+𝑧=7,20. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales {3𝑥+𝑦+2𝑧=7,50,4𝑥+𝑦+𝑧=7,20. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. (3127,54117,2)𝐹1−𝐹2←←←←←←←←→(−1010,34117,2). El sistema resultante es {−𝑥+𝑧=0,3,4𝑥+𝑦+𝑧=7,2. Si 𝑥 =𝜆, entonces −𝑥+𝑧=0,3𝑥=𝜆←←←←←←→−𝜆+𝑧=0,3⇔𝑧=𝜆+0,3,4𝑥+𝑦+𝑧=7,2𝑥=𝜆←←←←←←←←←←→𝑧=𝜆+0,34𝜆+𝑦+𝜆+0,3=7,2⇔𝑦=6,9−5𝜆. Así que el precio de dos cafés, una tostada y tres zumos se puede calcular como 2𝑥+𝑦+3𝑧=2𝜆+6,9−5𝜆+3(𝜆+0,3)=7,8. Por tanto, el precio total es 7,80€.
  2. Si el precio del zumo de naranja es de 2€, entonces 𝑧=2⇔𝜆+0,3=2⇔𝜆=1,7. Así que 𝑥=1,7,𝑦=6,9−5⋅1,7=−1,6. El precio de la tostada no puede ser negativo, así que no es posible que el precio del zumo de naranja sea de 2€.

Ejercicio 6: Julio de 2021

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

  1. Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.
  2. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de viajes semanales por la ruta A, 𝑦 al de la ruta B y 𝑧 al de la ruta C.

Si hace un total de 70 viajes semanales, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=70. Además, si el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C, entonces 𝑦=𝑥+𝑧.

  1. Si el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, entonces 2(𝑥+𝑧)=70. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑦=𝑥+𝑧,2(𝑥+𝑧)=70⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,2𝑥+2𝑧=70⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑧=35. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1111−11101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su determinante. |𝐴|=∣1111−11101∣=0. Como det(𝐴) =0, entonces rang⁡(𝐴) <3. Por tanto, no se trata de un sistema compatible determinado, así que no se puede determinar el número de viajes por ruta.
  2. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, entonces 2𝑧=𝑦−5. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,2𝑧=𝑦−5⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,𝑦−2𝑧=5. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111701−11001−25⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−𝐹1←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111700−20−7001−25⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,−2𝑦=−70,𝑦−2𝑧=5. Por tanto, −2𝑦=−70⇔𝑦=35,𝑦−2𝑧=5⇔𝑧=𝑦−52𝑦=35←←←←←←←→𝑧=15,𝑥+𝑦+𝑧=70⇔𝑥=70−𝑦−𝑧𝑦=35←←←←←←←→𝑧=15𝑥=20. Así que se hacen 20 viajes semanales por la ruta A, 35 por la ruta B y 15 por la ruta C.

Ejercicio B3: Septiembre de 2019

Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

Resolución

Llamamos 𝑥 al ángulo menor del triángulo, 𝑦 al ángulo intermedio y 𝑧 al ángulo mayor.

En primer lugar, como el menor es la mitad del mayor, entonces 𝑥=𝑧2. Además, como la suma de los ángulos menor y mayor son el doble del intermedio, 𝑥+𝑧=2𝑦. Por último, la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, así que 𝑥+𝑦+𝑧=180. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝑧2,𝑥+𝑧=2𝑦,𝑥+𝑦+𝑧=180⇒⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−𝑧=0,𝑥−2𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑦+𝑧=180.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−101−210111180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+𝐹1←←←←←←←←→𝐹3+𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−103−200310180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+2𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−10900360310180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−𝑧=0,9𝑥=360,3𝑥+𝑦=180.

Por tanto, 9𝑥=360⇔𝑥=40,2𝑥−𝑧=0𝑥=40←←←←←←←→80−𝑧=0⇔𝑧=80,3𝑥+𝑦=180𝑥=40←←←←←←←→120+𝑦=180⇔𝑦=60. Así que los ángulos del triángulo son 40º, 60º y 80º, respectivamente.

Ejercicio B3: Junio de 2018

  1. Justifica que es posible hacer un pago de 34,50 euros cumpliendo las siguientes restricciones:
    • Utilizando únicamente monedas de 50 céntimos, de 1 euro y de 2 euros.
    • Se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas.
    • Tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.
    ¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?
  2. Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.

Ejercicio B3: Junio de 2017

Sabemos que el coste de 3 lápices, 1 rotulador y 2 carpetas es de 15 euros, mientras que el de 2 lápices, 4 rotuladores y 1 carpeta es de 20 euros.

  1. Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25 euros ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.
  2. Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2016

De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente:

  • La empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas.
  • El beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos.
  1. Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C.
  2. Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2012

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

  1. ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.
  2. Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.