Matemáticas de Selectividad

1. Calculamos en primer lugar la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥+4𝑥+1−3(ln⁡(𝑥+1)+𝑎)(3𝑥+4)2. Como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 es 1, entonces 𝑓′(0) =1. 𝑓′(0)=1⇔4−3𝑎16=1⇔4−3𝑎=16⇔𝑎=−4.
2. Si 𝑎 =0, 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥+1)3𝑥+4. Para determinar si la gráfica de 𝑓 tiene asíntotas verticales, analizamos los puntos que anulan el logaritmo o el denominador.
   • El denominador se anula si 𝑥 = −43. Sin embargo, la función no está definida en un entorno cercano.
   • El logaritmo se anula si 𝑥 = −1. Además, lím𝑥→−1+⁡ln⁡(𝑥+1)3𝑥+4=−∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −1 es una asíntota vertical.
   Veamos si 𝑓 tiene alguna asíntota horizontal. Como Dom⁡(𝑓) =( −1, +∞), solo podría tener una asíntota horizontal por la derecha. lím𝑥→+∞⁡ln⁡(𝑥+1)3𝑥+4=0. Por tanto, la recta 𝑦 =0 es una asíntota horizontal y 𝑓 no tiene asíntotas oblicuas.

Las dimensiones de un cilindro vienen dadas por el radio de su base y la altura. Llamamos 𝑟 y ℎ al radio y la altura en centímetros de la lata, respectivamente. Como 𝑟 y ℎ son distancias, 𝑟,ℎ ≥0.

Como las latas tienen una capacidad de 20 litros, es decir, 20.000 cm³, entonces 𝜋𝑟2ℎ=20.000⇔ℎ=20.000𝜋𝑟2. Así que la función a minimizar es 𝑓(𝑟)=2𝜋𝑟2+2𝜋𝑟ℎ=2𝜋𝑟2+2𝜋20.000𝑟𝜋𝑟2=2𝜋𝑟2+40.000𝑟.

En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑟)=4𝜋𝑟−40.000𝑟2. Hallamos los puntos críticos de 𝑓 igualando su derivada a cero. 𝑓′(𝑟)=0⇔4𝜋𝑟−40.000𝑟2=0⇔4𝜋𝑟=40.000𝑟2⇔𝑟3=10.000𝜋⇔𝑟=3√10.000𝜋≈14,71. Comprobamos que en el punto de abscisa 𝑟 =3√10.000𝜋 se alcanza el mínimo de la función.

Luego 𝑓 tiene un mínimo en 𝑟 =3√10.000𝜋. Por tanto, ℎ=20.000𝜋𝑟2=20.000𝜋(𝜋10.000)2/3≈29,42.

Así que las latas deben tener un radio de 14,71 cm y una altura de 29,42 cm.

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función 𝑓. 𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫arctg⁡(√𝑥)𝑑𝑥.

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable 𝑥=𝑡2⇒√𝑥=𝑡,𝑑𝑥=2𝑡𝑑𝑡. De esta forma, 𝐹(𝑥)=∫arctg⁡(√𝑥)𝑑𝑥=∫2𝑡arctg⁡(𝑡)𝑑𝑡.

Resolvemos la integral por partes. 𝑢=arctg⁡(𝑡)⇒𝑢′=11+𝑡2,𝑣′=2𝑡⇒𝑣=𝑡2. Entonces: 𝐹(𝑥)=∫2𝑡arctg⁡(𝑡)𝑑𝑡=𝑡2arctg⁡(𝑡)−∫𝑡21+𝑡2𝑑𝑡.

Hacemos la división de polinomios del integrando. 𝑡21+𝑡2=1−11+𝑡2. Así que: 𝐹(𝑥)=𝑡2arctg⁡(𝑡)−∫1𝑑𝑡+∫11+𝑡2𝑑𝑡=𝑡2arctg⁡(𝑡)−𝑡+arctg⁡(𝑡)+𝐶=(𝑥+1)arctg⁡(√𝑥)−√𝑥+𝐶.

La primitiva que pasa por el punto (0,1) ha de verificar 𝐹(0) =1. Por tanto, 𝐹(0)=1⇔𝐶=1. Luego la primitiva es 𝐹(𝑥)=(𝑥+1)arctg⁡(√𝑥)−√𝑥+1.

Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 =𝑒 −1 y el eje de abscisas.

Calculamos el área. ∫𝑒−10𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑒−10ln⁡(𝑥+1)𝑑𝑥=[(𝑥+1)ln⁡(𝑥+1)−(𝑥+1)]𝑒−10=𝑒−𝑒−(−1)=1𝑢2.

Resolvemos la ecuación matricial. 3𝑋−𝐵𝑡=𝐴𝑋⇔3𝑋−𝐴𝑋=𝐵𝑡⇔(3𝐼−𝐴)𝑋=𝐵𝑡⇔𝑋=(3𝐼−𝐴)−1𝐵𝑡.

Operando, 3𝐼−𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝300030003⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−1−2−231613⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11220−1−6−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Como det(3𝐼 −𝐴) =1 ≠0, la matriz es invertible.

Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(3𝐼−𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−16−2−212−5−15−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como (3𝐼−𝐴)−1=1|3𝐼−𝐴|Adj⁡(3𝐼−𝐴)𝑡=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−2−16125−2−5−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=(3𝐼−𝐴)−1𝐵𝑡=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−2−16125−2−5−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−30−1−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20−11−541⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Llamamos 𝑥 al número de series de animación de la plataforma, 𝑦 al de series de ciencia ficción y 𝑧 al de series de comedia.

En primer lugar, si el 30% de las series de animación junto con el 50% de las de ciencia ficción son el 20% del total de series, entonces 0,3𝑥+0,5𝑦=0,2(𝑥+𝑦+𝑧).

Además, si el 25% de las series de animación junto con el 50% de las de ciencia ficción y el 60% de las de comedia son la mitad del total de series, 0,25𝑥+0,5𝑦+0,6𝑧=𝑥+𝑦+𝑧2.

Por último, si hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción, 𝑥=𝑦−100.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩0,3𝑥+0,5𝑦=0,2(𝑥+𝑦+𝑧),0,25𝑥+0,5𝑦+0,6𝑧=𝑥+𝑦+𝑧2,𝑥=𝑦−100⇒⎧{ {⎨{ {⎩0,1𝑥+0,3𝑦−0,2𝑧=0,−0,25𝑥+0,1𝑧=0,𝑥−𝑦=−100⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+3𝑦−2𝑧=0,−5𝑥+2𝑧=0,𝑥−𝑦=−100.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝13−20−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1+𝐹2←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−4300−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1+3𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−100−300−50201−10−100⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥=−300,−5𝑥+2𝑧=0,𝑥−𝑦=−100.

Por tanto, −𝑥=−300⇔𝑥=300,−5𝑥+2𝑧=0𝑥=300←←←←←←←←→−1500+2𝑧=0⇔𝑧=750,𝑥−𝑦=−100𝑥=300←←←←←←←←→300−𝑦=−100⇔𝑦=400. Así que esta plataforma tiene 300 series de animación, 400 series de ciencia ficción y 750 series de comedia.

En primer lugar, pasamos la recta 𝑟 a ecuaciones paramétricas. Su vector director viene dado por el producto vectorial ⃗𝑑=(1,−1,1)×(1,3,0)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1−11130∣=(−3,1,4). Como el punto (1,0, −1) pertenece a la recta 𝑟, sus ecuaciones paramétricas son 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1−3𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=−1+4𝜆.

• El plano 𝑂𝑌𝑍 tiene de ecuación 𝜋1 ≡𝑥 =0. La distancia entre este plano y un punto genérico 𝑅 de la recta 𝑟 viene dada por dist⁡(𝑅,𝜋1)=|1−3𝜆|√1=|1−3𝜆|.
• El plano 𝑂𝑋𝑍 tiene de ecuación 𝜋2 ≡𝑦 =0. La distancia entre este plano y un punto genérico 𝑅 de la recta 𝑟 viene dada por dist⁡(𝑅,𝜋2)=|𝜆|√1=|𝜆|.

Como queremos hallar los puntos de 𝑟 equidistantes de los planos 𝜋1 y 𝜋2, dist⁡(𝑅,𝜋1)=dist⁡(𝑅,𝜋2)⇔|1−3𝜆|=|𝜆|⇔{1−3𝜆=𝜆⇔4𝜆=1⇔𝜆=14⇒𝑅1(14,14,0),1−3𝜆=−𝜆⇔2𝜆=1⇔𝜆=12⇒𝑅2(−12,12,1). Por tanto, los puntos son 𝑅1(14,14,0) y 𝑅2(−12,12,1).

1. En primer lugar hallamos el vector director de la recta 𝑟, que viene dado por el producto vectorial ⃗𝑑𝑟=(1,−1,1)×(3,0,−2)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1−1130−2∣=(2,5,3). Llamamos 𝜋 al plano que nos piden y 𝑠 a la recta −𝑥+1=𝑦=𝑧−32⇔𝑥−1−1=𝑦1=𝑧−32. Como 𝜋 es paralelo a 𝑟 y contiene a 𝑠, ⃗𝑑𝑟 =(2,5,3) y 𝑑𝑠 =( −1,1,2) son dos vectores directores del plano. Además, el punto (1,0,3) pertenece al plano por ser un punto de 𝑠. Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano 𝜋 son 𝜋≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+2𝜆−𝜇,𝑦=5𝜆+𝜇,𝑧=3+3𝜆+2𝜇.
2. Llamamos 𝜏 al plano 2𝑥+5𝑦+3𝑧=41. Observamos que el vector normal al plano 𝜏 coincide con el vector director de la recta 𝑟, así que son secantes. Por tanto, la distancia entre ellos es cero.