Ejercicios de ciencias

Ejercicio 6: Junio de 2025

Halla la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ que pasa por los puntos $(2, 𝑒 - 2 - 2 l n (2))$ y $(1, 0)$ , y verifica que: $𝑓 ″ (𝑥) = 𝑒 𝑥 - 1 - 1 𝑥 .$

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2025

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = (𝑥 - 1) 2$ .

Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 𝑎$ con $𝑎 > 0$ .
Calcula $𝑎 > 0$ para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 𝑎$ sea $43$ unidades cuadradas.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2025

Considera la función $𝑓 (𝑥) = {𝑥 s e n (2 𝑥), s i 𝑥 \leq 0, c o s (𝜋 𝑥) - 1, s i 𝑥 > 0 .$ Calcula $\int 1 𝜋 4 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥$ .

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2025

Calcula $\int 2 \sqrt 3 4 𝑥 𝑥 4 - 6 𝑥 2 + 10 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = 𝑥 2 - 3$ ).

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2025

Sean las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 1$ .

Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ . Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ .

Ejercicio 2: Julio de 2025

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 𝑥 2 + 2 𝑥 + 2 .$ Calcula una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 𝜋 4)$ .

Ejercicio 3: Julio de 2025

Calcula el valor de $𝑘$ para que $\int 31 𝑒 𝑥 - 𝑘 (𝑥 - 2) 𝑑 𝑥 = 2 .$

Ejercicio 3: Junio de 2024

Considera la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 1,$ para $𝑥 \neq - 1$ y $𝑥 \neq 1 .$ Calcula una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1) .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 .$ Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 1 = 𝑥 + 𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 .$ Así que: $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 𝑑 𝑥 + \int 𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = 12 𝑥 2 + \int 𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 .$ Expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son -1 y 1, así que la función se puede escribir como $𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 = 𝐴 𝑥 - 1 + 𝐵 𝑥 + 1 = 𝐴 (𝑥 + 1) + 𝐵 (𝑥 - 1) 𝑥 2 - 1 = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 + 𝐴 - 𝐵 𝑥 2 - 1 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 1, 𝐴 - 𝐵 = 2 .$ Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que $2 𝐴 = 3 \Leftrightarrow 𝐴 = 32 .$ Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que $𝐴 + 𝐵 = 1 \Leftrightarrow 𝐵 = 1 - 𝐴 𝐴 = 3 / 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐵 = - 12 .$ Por tanto, $𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 = 3 2 (𝑥 - 1) - 1 2 (𝑥 + 1) .$ Resolvemos la integral. $𝐹 (𝑥) = 12 𝑥 2 + \int 𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = 12 𝑥 2 + 32 \int 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 - 12 \int 1 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 = 12 𝑥 2 + 32 l n | 𝑥 - 1 | - 12 l n | 𝑥 + 1 | + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(0, 1)$ ha de verificar que $𝐹 (0) = 1 .$ Por tanto, $𝐹 (0) = 1 \Leftrightarrow 𝐶 = 1 .$ Luego la primitiva es $𝐹 (𝑥) = 12 𝑥 2 + 32 l n | 𝑥 - 1 | - 12 l n | 𝑥 + 1 | + 1 .$

Ejercicio 4: Junio de 2024

Halla la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ tal que $𝑓 ″ (𝑥) = 𝑥 c o s (𝑥)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $(0, 𝜋 2)$ y $(𝜋, 2 𝜋) .$

Resolución

Como $𝑓 ″$ es la derivada de $𝑓'$ , entonces $𝑓' (𝑥) = \int 𝑓 ″ (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = c o s (𝑥) \Rightarrow 𝑣 = s e n (𝑥) .$ Entonces: $𝑓' (𝑥) = \int 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑥 s e n (𝑥) - \int s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑥 s e n (𝑥) + c o s (𝑥) + 𝐶 .$

De igual forma, $𝑓'$ es la derivada de $𝑓$ , así que $𝑓 (𝑥) = \int 𝑓' (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int (𝑥 s e n (𝑥) + c o s (𝑥) + 𝐶) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 + s e n (𝑥) + 𝐶 𝑥 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = s e n (𝑥) \Rightarrow 𝑣 = - c o s (𝑥) .$ Entonces: $𝑓 (𝑥) = \int 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 + s e n (𝑥) + 𝐶 𝑥 = - 𝑥 c o s (𝑥) + \int c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 + s e n (𝑥) + 𝐶 𝑥 + 𝐾 = = - 𝑥 c o s (𝑥) + 2 s e n (𝑥) + 𝐶 𝑥 + 𝐾 .$

Si la gráfica de $𝑓$ pasa por el punto $(0, 𝜋 2)$ , ha de verificarse que $𝑓 (0) = 𝜋 2 .$ Así que $𝑓 (0) = 𝜋 2 \Leftrightarrow 𝐾 = 𝜋 2 .$

De igual forma, si la gráfica pasa por el punto $(𝜋, 2 𝜋)$ , ha de verificarse que $𝑓 (𝜋) = 2 𝜋 .$ Por tanto, $𝑓 (𝜋) = 2 𝜋 \Leftrightarrow 𝜋 + 𝐶 𝜋 + 𝜋 2 = 2 𝜋 \Leftrightarrow 1 + 𝐶 + 12 = 2 \Leftrightarrow 𝐶 = 12 .$

Así que la función es $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 c o s (𝑥) + 2 s e n (𝑥) + 12 𝑥 + 𝜋 2 .$

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2024

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = \int 𝑥 0 c o s (𝑡) s e n 2 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 𝜋 4 .$

Resolución

La función $𝑔 (𝑥) = c o s (𝑥) s e n 2 (𝑥)$ es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función $𝑓 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑔 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝑥 0 c o s (𝑡) s e n 2 (𝑡) 𝑑 𝑡$ es derivable, con $𝑓' (𝑥) = 𝑔 (𝑥) .$

Hallamos el valor de la función y la derivada en $𝜋 4 .$ $𝑓 (𝜋 4) = \int 𝜋 4 0 𝑔 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝜋 4 0 c o s (𝑡) s e n 2 (𝑡) 𝑑 𝑡 = [13 s e n 3 (𝑡)] 𝜋 4 0 = 13 \cdot \sqrt 2 4 = \sqrt 2 12, 𝑓' (𝜋 4) = 𝑔 (𝜋 4) = c o s (𝜋 4) s e n 2 (𝜋 4) = \sqrt 2 4 .$

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en $𝑥 = 𝜋 4$ viene dada por: $𝑦 - 𝑓 (𝜋 4) = 𝑓' (𝜋 4) (𝑥 - 𝜋 4) \Leftrightarrow 𝑦 - \sqrt 2 12 = \sqrt 2 4 (𝑥 - 𝜋 4) \Leftrightarrow 𝑦 = \sqrt 2 4 𝑥 + \sqrt 2 12 - \sqrt 2 𝜋 16 .$
La ecuación de la recta normal a la gráfica de $𝑓$ en $𝑥 = 𝜋 4$ viene dada por: $𝑦 - 𝑓 (𝜋 4) = - 1 𝑓' (𝜋 4) (𝑥 - 𝜋 4) \Leftrightarrow 𝑦 - \sqrt 2 12 = - 4 \sqrt 2 (𝑥 - 𝜋 4) \Leftrightarrow 𝑦 = - 2 \sqrt 2 𝑥 + \sqrt 2 12 + 𝜋 \sqrt 2 .$

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2024

Calcula $\int 𝑑 𝑥 \sqrt 4 + 4 𝑒 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑒 𝑥$ ).

Resolución

Calculamos la integral indefinida. $\int 𝑑 𝑥 \sqrt 4 + 4 𝑒 𝑥 = 12 \int 1 \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable: $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑥 = l n (𝑡 2 - 1), 𝑑 𝑥 = 2 𝑡 𝑡 2 - 1 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $12 \int 1 \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = 12 \int 1 𝑡 \cdot 2 𝑡 𝑡 2 - 1 𝑑 𝑡 = \int 1 𝑡 2 - 1 𝑑 𝑡 .$

Expresamos el integrando como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son -1 y 1, así que el integrando se puede escribir como $1 𝑡 2 - 1 = 𝐴 𝑡 - 1 + 𝐵 𝑡 + 1 = 𝐴 (𝑡 + 1) + 𝐵 (𝑡 - 1) 𝑡 2 - 1 = (𝐴 + 𝐵) 𝑡 + 𝐴 - 𝐵 𝑡 2 - 1 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 0, 𝐴 - 𝐵 = 1 .$ Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que $2 𝐴 = 1 \Leftrightarrow 𝐴 = 12 .$ Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que $𝐴 + 𝐵 = 0 \Leftrightarrow 𝐵 = - 𝐴 𝐴 = 1 / 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐵 = - 12 .$ Así que $1 𝑡 2 - 1 = 1 2 (𝑡 - 1) - 1 2 (𝑡 + 1) .$

Resolvemos la integral. $\int 1 𝑡 2 - 1 𝑑 𝑡 = 12 \int 1 𝑡 - 1 𝑑 𝑡 - 12 \int 1 𝑡 + 1 𝑑 𝑡 = 12 (l n | 𝑡 - 1 | - l n | 𝑡 + 1 |) + 𝐶 = = 12 (l n | \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 - 1 | - l n | \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 + 1 |) + 𝐶 .$ Por tanto, $\int 𝑑 𝑥 \sqrt 4 + 4 𝑒 𝑥 = 12 (l n | \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 - 1 | - l n | \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 + 1 |) + 𝐶 .$

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2024

Considera la función $𝑓 (𝑥) = {1 - 𝑒 𝑥, s i 𝑥 \leq 0, 𝑥 c o s (𝑥), s i 𝑥 > 0 .$ Calcula $\int 𝜋 - 𝜋 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Calculamos la integral: $\int 𝜋 - 𝜋 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 0 - 𝜋 (1 - 𝑒 𝑥) 𝑑 𝑥 + \int 𝜋 0 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función $𝑓 (𝑥) = 𝑥 c o s (𝑥)$ integrando por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = c o s (𝑥) \Rightarrow 𝑣 = s e n (𝑥) .$ De esta forma, $\int 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑥 s e n (𝑥) - \int s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑥 s e n (𝑥) + c o s (𝑥) .$

Por tanto, $\int 𝜋 - 𝜋 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 0 - 𝜋 (1 - 𝑒 𝑥) 𝑑 𝑥 + \int 𝜋 0 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = [𝑥 - 𝑒 𝑥] 0 - 𝜋 + [𝑥 s e n (𝑥) + c o s (𝑥)] 𝜋 0 = = - 1 - (- 𝜋 - 𝑒 - 𝜋) + (- 1) - 1 = 𝑒 - 𝜋 + 𝜋 - 3 .$

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2024

Calcula una primitiva de la función $𝑓 : (1, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = (𝑥 - 1) 2 l n (\sqrt 𝑥 - 1 2)$ cuya gráfica pase por el punto $(5, - 72) .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑥 - 1 = 𝑡 2$ ).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓$ usando el cambio de variable: $𝑥 - 1 = 𝑡 2 \Rightarrow 𝑡 = \sqrt 𝑥 - 1, 𝑑 𝑥 = 2 𝑡 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $𝐹 (𝑥) = \int (𝑥 - 1) 2 l n (\sqrt 𝑥 - 1 2) 𝑑 𝑥 = \int 𝑡 4 l n (𝑡 2) \cdot 2 𝑡 𝑑 𝑡 = \int 2 𝑡 5 l n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = l n (𝑡 2) \Rightarrow 𝑢' = 1 𝑡, 𝑣' = 2 𝑡 5 \Rightarrow 𝑣 = 13 𝑡 6 .$ Entonces: $𝐹 (𝑥) = \int 2 𝑡 5 l n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 = 13 𝑡 6 l n (𝑡 2) - \int 13 𝑡 5 𝑑 𝑡 = 13 𝑡 6 l n (𝑡 2) - 118 𝑡 6 + 𝐶 = = 13 (𝑥 - 1) 3 l n (\sqrt 𝑥 - 1 2) - 118 (𝑥 - 1) 3 + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(5, - 72)$ ha de verificar: $𝐹 (5) = - 72 \Leftrightarrow - 329 + 𝐶 = - 72 \Leftrightarrow 𝐶 = 118 .$ Por tanto, la primitiva es: $𝐹 (𝑥) = 13 (𝑥 - 1) 3 l n (\sqrt 𝑥 - 1 2) - 118 (𝑥 - 1) 3 + 118 .$

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2024

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 6 𝑥 2 + 8 𝑥 .$

Calcula los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.
Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de $𝑓$ y el eje de abscisas.

Resolución

- Hallamos los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con el eje $𝑋 .$ $𝑓 (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 𝑥 3 - 6 𝑥 2 + 8 𝑥 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 (𝑥 2 - 6 𝑥 + 8) = 0 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 4 .$ Por tanto, $(0, 0)$ , $(2, 0)$ y $(4, 0)$ son los puntos de corte con el eje de abscisas. Además, $(0, 0)$ es también el punto de corte con el eje $𝑌 .$
- Para representar correctamente la gráfica de función, estudiamos su monotonía. Hallamos en primer lugar la derivada de la función $f.$ $f'(x) = 3x^2 - 12x + 8.$ Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de $f$ a cero. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$ Estudiamos el signo de $f'.$
  - Si $𝑥 < 2 - 2 \sqrt 3 3$ , $𝑓' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es creciente.
  - Si $2 - 2 \sqrt 3 3 < 𝑥 < 2 + 2 \sqrt 3 3$ , $𝑓' (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es decreciente.
  - Si $𝑥 > 2 + 2 \sqrt 3 3$ , $𝑓' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es creciente.
  Por tanto, $f$ es creciente en $\left(-\infty, 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)$ y decreciente en $\left(2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\right).$ Además, el punto $\left(2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9}\right)$ es un máximo relativo y el punto $\left(2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9}\right)$ es un mínimo relativo.
Representamos gráficamente la función usando esta información.
Podemos representar los recintos limitados por la gráfica de $𝑓$ y el eje de abscisas. Calculamos el área de los recintos. $\int 20 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 - \int 42 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 20 (𝑥 3 - 6 𝑥 2 + 8 𝑥) 𝑑 𝑥 - \int 42 (𝑥 3 - 6 𝑥 2 + 8 𝑥) 𝑑 𝑥 = = [14 𝑥 4 - 2 𝑥 3 + 4 𝑥 2] 20 - [14 𝑥 4 - 2 𝑥 3 + 4 𝑥 2] 42 = 4 - 16 + 16 - (64 - 128 + 64 - (4 - 16 + 16)) = 8 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2024

Calcula $\int 𝑒 3 𝑥 - 1 𝑒 𝑥 - 3 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = 𝑒 𝑥$ ).

Resolución

Para resolver la integral, usamos el cambio de variable: $𝑡 = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑥 = l n (𝑡), 𝑑 𝑥 = 1 𝑡 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $\int 𝑒 3 𝑥 - 1 𝑒 𝑥 - 3 𝑑 𝑥 = \int 𝑡 3 - 1 𝑡 - 3 \cdot 1 𝑡 𝑑 𝑡 = \int 𝑡 3 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 𝑑 𝑡 .$

Hacemos la división de polinomios del integrando. $𝑡 3 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 = 𝑡 + 3 + 9 𝑡 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 .$ Así que: $\int 𝑡 3 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 𝑑 𝑡 = \int (𝑡 + 3) 𝑑 𝑡 + \int 9 𝑡 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 𝑑 𝑡 = 12 𝑡 2 + 3 𝑡 + \int 9 𝑡 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 𝑑 𝑡 .$

Expresamos el integrando como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son 0 y 3, así que el integrando se puede escribir como: $9 𝑡 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 = 𝐴 𝑡 + 𝐵 𝑡 - 3 = 𝐴 𝑡 - 3 𝐴 + 𝐵 𝑡 𝑡 2 - 3 𝑡 = (𝐴 + 𝐵) 𝑡 - 3 𝐴 𝑡 2 - 3 𝑡 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que: ${𝐴 + 𝐵 = 9, - 3 𝐴 = - 1 \Leftrightarrow 𝐴 = 13 .$ Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que: $𝐴 + 𝐵 = 9 \Leftrightarrow 𝐵 = 9 - 𝐴 𝐴 = 1 / 3 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐵 = 263 .$ Por tanto, $9 𝑡 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 = 1 3 𝑡 + 26 3 (𝑡 - 3) .$

Resolvemos la integral. $12 𝑡 2 + 3 𝑡 + \int 9 𝑡 - 1 𝑡 2 - 3 𝑡 𝑑 𝑡 = 12 𝑡 2 + 3 𝑡 + 13 \int 1 𝑡 𝑑 𝑡 + 263 \int 1 𝑡 - 3 𝑑 𝑡 = = 12 𝑡 2 + 3 𝑡 + 13 l n | 𝑡 | + 263 l n | 𝑡 - 3 | + 𝐶 = 12 𝑒 2 𝑥 + 3 𝑒 𝑥 + 13 𝑥 + 263 l n | 𝑒 𝑥 - 3 | + 𝐶 .$

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2024

Halla la función $𝑓 : (2, + \infty) \to ℝ$ que pasa por el punto $(3, - 4 l n (5))$ y verifica $𝑓' (𝑥) = 3 𝑥 2 + 4 𝑥 + 12 𝑥 2 - 4 .$

Resolución

Como $𝑓'$ es la derivada de $𝑓$ , entonces $𝑓 (𝑥) = \int 𝑓' (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 3 𝑥 2 + 4 𝑥 + 12 𝑥 2 - 4 𝑑 𝑥 .$ Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $3 𝑥 2 + 4 𝑥 + 12 𝑥 2 - 4 = 3 + 4 𝑥 + 24 𝑥 2 - 4 .$ Así que: $𝑓 (𝑥) = \int 3 𝑥 2 + 4 𝑥 + 12 𝑥 2 - 4 𝑑 𝑥 = \int 3 𝑑 𝑥 + \int 4 𝑥 + 24 𝑥 2 - 4 𝑑 𝑥 = 3 𝑥 + \int 4 𝑥 + 24 𝑥 2 - 4 𝑑 𝑥 .$ Expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son -2 y 2, así que la función se puede escribir como $4 𝑥 + 24 𝑥 2 - 4 = 𝐴 𝑥 - 2 + 𝐵 𝑥 + 2 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵 (𝑥 - 2) 𝑥 2 - 4 = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 + 2 𝐴 - 2 𝐵 𝑥 2 - 4 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 4, 2 𝐴 - 2 𝐵 = 24 \Leftrightarrow {𝐴 + 𝐵 = 4, 𝐴 - 𝐵 = 12 .$ Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que $2 𝐴 = 16 \Leftrightarrow 𝐴 = 8 .$ Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que $𝐴 + 𝐵 = 4 \Leftrightarrow 𝐵 = 4 - 𝐴 𝐴 = 8 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐵 = - 4 .$ Por tanto, $4 𝑥 + 24 𝑥 2 - 4 = 8 𝑥 - 2 - 4 𝑥 + 2 .$ Resolvemos la integral. $𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 + \int 4 𝑥 + 24 𝑥 2 - 4 𝑑 𝑥 = 3 𝑥 + 8 \int 1 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 - 4 \int 1 𝑥 + 2 𝑑 𝑥 = 3 𝑥 + 8 l n | 𝑥 - 2 | - 4 l n | 𝑥 + 2 | + 𝐶 .$

Si la función $𝑓$ pasa por el punto $(3, - 4 l n (5))$ , ha de verificar que $𝑓 (3) = - 4 l n (5) .$ Por tanto, $𝑓 (3) = - 4 l n (5) \Leftrightarrow 9 - 4 l n (5) + 𝐶 = - 4 l n (5) \Leftrightarrow 𝐶 = - 9 .$ Luego la función es $𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 + 8 l n | 𝑥 - 2 | - 4 l n | 𝑥 + 2 | - 9 .$

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2024

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = (𝑥 2 - 3 𝑥 + 5) 𝑒 𝑥 .$ Halla una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5) .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int (𝑥 2 - 3 𝑥 + 5) 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑥 2 - 3 𝑥 + 5 \Rightarrow 𝑢' = 2 𝑥 - 3, 𝑣' = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 .$ Entonces: $𝐹 (𝑥) = \int (𝑥 2 - 3 𝑥 + 5) 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = (𝑥 2 - 3 𝑥 + 5) 𝑒 𝑥 - \int (2 𝑥 - 3) 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$ Integramos de nuevo por partes. $𝑢 = 2 𝑥 - 3 \Rightarrow 𝑢' = 2, 𝑣' = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 .$ Luego $𝐹 (𝑥) = (𝑥 2 - 3 𝑥 + 5) 𝑒 𝑥 - \int (2 𝑥 - 3) 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = (𝑥 2 - 3 𝑥 + 5) 𝑒 𝑥 - (2 𝑥 - 3) 𝑒 𝑥 + 2 \int 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = = (𝑥 2 - 3 𝑥 + 5) 𝑒 𝑥 - (2 𝑥 - 3) 𝑒 𝑥 + 2 𝑒 𝑥 + 𝐶 = (𝑥 2 - 5 𝑥 + 10) 𝑒 𝑥 + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(0, 5)$ ha de verificar que $𝐹 (0) = 5 .$ Por tanto, $𝐹 (0) = 5 \Leftrightarrow 10 + 𝐶 = 5 \Leftrightarrow 𝐶 = - 5 .$ Luego la primitiva es $𝐹 (𝑥) = (𝑥 2 - 5 𝑥 + 10) 𝑒 𝑥 - 5 .$

Ejercicio 3: Julio de 2024

Sean $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 2 + 7$ y $𝑔 (𝑥) = | 𝑥 2 - 1 | .$

Halla los puntos de intersección de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
Calcula el área de dicho recinto.

Resolución

Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow - 𝑥 2 + 7 = | 𝑥 2 - 1 | \Leftrightarrow {- 𝑥 2 + 7 = 𝑥 2 - 1 \Leftrightarrow 2 𝑥 2 = 8 \Leftrightarrow 𝑥 = \pm 2, - 𝑥 2 + 7 = - 𝑥 2 + 1 \Leftrightarrow 6 = 0 .$ Por tanto, los puntos de corte son $(- 2, 3)$ y $(2, 3) .$ Representamos el recinto determinado por ambas funciones.
En primer lugar, podemos expresar la función $𝑔$ como función a trozos. $𝑔 (𝑥) = ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 2 - 1, s i 𝑥 \leq - 1, - 𝑥 2 + 1, s i - 1 < 𝑥 < 1, 𝑥 2 - 1, s i 𝑥 \geq 1 .$ Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como $2 (\int 10 (- 𝑥 2 + 7 - (- 𝑥 2 + 1)) 𝑑 𝑥 + \int 21 (- 𝑥 2 + 7 - (𝑥 2 - 1)) 𝑑 𝑥) = 2 \int 10 6 𝑑 𝑥 + 2 \int 21 (- 2 𝑥 2 + 8) 𝑑 𝑥 = = 2 [6 𝑥] 10 + 2 [- 23 𝑥 3 + 8 𝑥] 21 = 2 \cdot 6 + 2 \cdot (- 163 + 16 - (- 23 + 8)) = 563 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Julio de 2024

Halla $\int 𝜋 2 0 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = c o s (𝑥) \Rightarrow 𝑢' = - s e n (𝑥), 𝑣' = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 .$ Entonces $\int 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) + \int 𝑒 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Integramos de nuevo por partes. $𝑢 = s e n (𝑥) \Rightarrow 𝑢' = c o s (𝑥), 𝑣' = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 .$ Luego $\int 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) + \int 𝑒 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) + 𝑒 𝑥 s e n (𝑥) - \int 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Despejando la integral en la expresión anterior, obtenemos que $2 \int 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 (c o s (𝑥) + s e n (𝑥)) \Leftrightarrow \int 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 12 𝑒 𝑥 (c o s (𝑥) + s e n (𝑥)) .$

Por último, calculamos la integral definida. $\int 𝜋 2 0 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 12 [𝑒 𝑥 (c o s (𝑥) + s e n (𝑥))] 𝜋 2 0 = 12 (𝑒 𝜋 2 - 1) .$

Ejercicio 3: Junio de 2023

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ , definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 | 𝑥 - 1 | .$ Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $𝑥 = 0 .$

Resolución

En primer lugar, expresamos la función $𝑓$ como función a trozos. $𝑓 (𝑥) = 𝑥 | 𝑥 - 1 | = {- 𝑥 (𝑥 - 1) = - 𝑥 2 + 𝑥, s i 𝑥 < 1, 𝑥 (𝑥 - 1) = 𝑥 2 - 𝑥, s i 𝑥 \geq 1 .$

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 0$ viene dada por el valor de $𝑓' (0) .$ Si $𝑥 > 1$ , la derivada de $𝑓$ es $𝑓' (𝑥) = 2 𝑥 - 1 .$ Por tanto, la ecuación de la recta tangente es $𝑦 - 𝑓 (0) = 𝑓' (0) (𝑥 - 0) \Leftrightarrow 𝑦 = 𝑥 .$

Calculamos los puntos de corte de la función con la recta. ${𝑦 = 𝑥 2 - 𝑥 𝑦 = 𝑥 \Rightarrow 𝑥 2 - 𝑥 = 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 (𝑥 - 2) = 0 \Leftrightarrow {𝑥 1 = 0, 𝑥 2 = 2 .$

Representamos la función $𝑓$ y la recta $𝑦 = 𝑥$ para visualizar el área del recinto.

Por último, calculamos el área del recinto. $\int 20 (𝑥 - 𝑓 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = \int 10 (𝑥 - (- 𝑥 2 + 𝑥)) 𝑑 𝑥 + \int 21 (𝑥 - (𝑥 2 - 𝑥)) 𝑑 𝑥 = \int 10 𝑥 2 𝑑 𝑥 + \int 21 (- 𝑥 2 + 2 𝑥) 𝑑 𝑥 = = [𝑥 3 3] 10 + [- 𝑥 3 3 + 𝑥 2] 21 = 1 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Junio de 2023

Considera la función $𝐹 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 s e n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 .$ Calcula $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝐹 (𝑥) s e n (𝑥 2) .$

Resolución

La función $𝑓 (𝑥) = s e n (𝑥 2)$ es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝑥 0 s e n (𝑡 2) 𝑑 𝑡$ es derivable, con $𝐹' (𝑥) = 𝑓 (𝑥) .$

Además, $𝐹 (0) = \int 00 s e n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 = 0,$ así que $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝐹 (𝑥) s e n (𝑥 2) = 00 .$

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝐹 (𝑥) s e n (𝑥 2) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝐹 (𝑥) + 𝑥 𝐹' (𝑥) 2 𝑥 c o s (𝑥 2) L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝐹' (𝑥) + 𝐹' (𝑥) + 𝑥 𝐹 ″ (𝑥) 2 c o s (𝑥 2) - 4 𝑥 2 s e n (𝑥 2) = l í m 𝑥 \to 0 2 s e n (𝑥 2) + 2 𝑥 2 c o s (𝑥 2) 2 c o s (𝑥 2) - 4 𝑥 2 s e n (𝑥 2) = 0 .$ Hemos usado que $𝐹 ″ (𝑥) = 𝑓' (𝑥) = 2 𝑥 c o s (𝑥 2) .$

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2023

Calcula $\int 126 1 9 - 𝑥 2 𝑑 𝑥 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función $𝑓 (𝑥) = 1 9 - 𝑥 2 .$

Para resolver esta integral, expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son -3 y 3, así que la función se puede escribir como $1 9 - 𝑥 2 = 𝐴 𝑥 + 3 + 𝐵 𝑥 - 3 = 𝐴 𝑥 - 3 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 3 𝐵 𝑥 2 - 9 = (- 𝐴 - 𝐵) 𝑥 + 3 𝐴 - 3 𝐵 9 - 𝑥 2 .$ Igualdando ambas expresiones, obtenemos que ${- 𝐴 - 𝐵 = 0, 3 𝐴 - 3 𝐵 = 1 \Leftrightarrow {𝐴 = 16, 𝐵 = - 16 .$ Por tanto, $1 9 - 𝑥 2 = 1 6 (𝑥 + 3) - 1 6 (𝑥 - 3) .$

Resolvemos la integral. $\int 1 9 - 𝑥 2 𝑑 𝑥 = 16 \int 1 𝑥 + 3 𝑑 𝑥 - 16 \int 1 𝑥 - 3 𝑑 𝑥 = 16 l n | 𝑥 + 3 | - 16 l n | 𝑥 - 3 | = 16 (l n | 𝑥 + 3 | - l n | 𝑥 - 3 |) .$

Por último, calculamos la integral definida. $\int 126 1 9 - 𝑥 2 𝑑 𝑥 = 16 [l n | 𝑥 + 3 | - l n | 𝑥 - 3 |] 126 = 16 (l n (15) - l n (9) - l n (9) + l n (3)) = 16 l n (15 \cdot 3 9 \cdot 9) = 16 l n (59) .$

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2023

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + 1 .$

Determina el punto de la gráfica de $𝑓$ en el que la recta tangente es $𝑦 = 4 𝑥 - 3 .$
Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑦 = 4 𝑥 - 3$ y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Resolución

En primer lugar, calculamos la derivada de $𝑓 .$ $𝑓' (𝑥) = 2 𝑥 .$ La pendiente de la recta tangente viene dada por el valor de la derivada. Veamos en qué punto es igual a 4. $𝑓' (𝑥) = 4 \Leftrightarrow 2 𝑥 = 4 \Leftrightarrow 𝑥 = 2 .$ Luego el único candidato es el punto $(2, 5) .$ Podemos comprobar que, efectivamente, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en $𝑥 = 2$ es $𝑦 - 𝑓 (2) = 𝑓' (2) (𝑥 - 2) \to 𝑦 - 5 = 4 (𝑥 - 2) \Leftrightarrow 𝑦 = 4 𝑥 - 3 .$
Sabemos por el apartado anterior que la función y la recta se cortan en $𝑥 = 2 .$ Representamos el recinto. Calculamos el área del recinto. $\int 20 ((𝑥 2 + 1) - (4 𝑥 - 3)) 𝑑 𝑥 = \int 20 (𝑥 2 - 4 𝑥 + 4) 𝑑 𝑥 = [𝑥 3 3 - 2 𝑥 2 + 4 𝑥] 20 = 83 𝑢 2 .$

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2023

Sabiendo que $𝐹 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = 𝑒 𝑥 2$ es una primitiva de $𝑓 .$

Comprueba que $𝑓$ es creciente.
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $𝑓$ , el eje de abscisas y la recta $𝑥 = 1 .$

Resolución

Como $𝐹$ es una primitiva de $𝑓$ , entonces $𝑓 (𝑥) = 𝐹' (𝑥) = 2 𝑥 𝑒 𝑥 2 .$ Calculamos en primer lugar la derivada de la función $𝑓 .$ $𝑓' (𝑥) = 2 𝑒 𝑥 2 + 2 𝑥 \cdot 2 𝑥 𝑒 𝑥 2 = 2 𝑒 𝑥 2 (2 𝑥 2 + 1) .$ Observamos que la derivada no se anula en ningún punto, así la función no tiene ningún punto crítico. Como $𝑓' (𝑥) > 0$ para todo $𝑥$ , $𝑓$ es creciente en $ℝ .$
Calculamos los puntos de corte de la función con el eje $𝑋 .$ $𝑓 (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 2 𝑥 𝑒 𝑥 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = 0 .$ Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje $𝑋$ y la recta $𝑥 = 1 .$ Calculamos el área del recinto. $\int 10 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = [𝐹 (𝑥)] 10 = [𝑒 𝑥 2] 10 = 𝑒 - 1 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2023

Considera la función $𝑓 : [0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = c o s (\sqrt 𝑥) .$ Calcula, si es posible, una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5) .$ Sugerencia: haz el cambio $𝑡 = \sqrt 𝑥 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓$ usando el cambio de variable: $𝑡 = \sqrt 𝑥 \Rightarrow 𝑡 2 = 𝑥, 2 𝑡 𝑑 𝑡 = 𝑑 𝑥 .$ De esta forma, $𝐹 (𝑥) = \int c o s (\sqrt 𝑥) 𝑑 𝑥 = 2 \int 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑡 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = c o s (𝑡) \Rightarrow 𝑣 = s e n (𝑡) .$ Entonces: $𝐹 (𝑥) = 2 \int 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡 = 2 𝑡 s e n (𝑡) - 2 \int s e n (𝑡) 𝑑 𝑡 = 2 𝑡 s e n (𝑡) + 2 c o s (𝑡) + 𝐶 = 2 \sqrt 𝑥 s e n (\sqrt 𝑥) + 2 c o s (\sqrt 𝑥) + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(0, 5)$ ha de verificar: $𝐹 (0) = 5 \Leftrightarrow 2 + 𝐶 = 5 \Leftrightarrow 𝐶 = 3 .$ Por tanto, la primitiva es: $𝐹 (𝑥) = 2 𝑡 s e n (\sqrt 𝑥) + 2 c o s (\sqrt 𝑥) + 3 .$

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2023

Determina la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ , sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(1, 0)$ , $𝑓' (𝑒) = 𝑒$ y $𝑓 ″ (𝑥) = 2 l n (𝑥) + 1$ , para todo $𝑥 > 0 .$

Resolución

Como $𝑓 ″$ es la derivada de $𝑓'$ , entonces $𝑓' (𝑥) = \int 𝑓 ″ (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int (2 l n (𝑥) + 1) 𝑑 𝑥 = 2 \int l n (𝑥) 𝑑 𝑥 + \int 1 𝑑 𝑥 = 2 (𝑥 l n (𝑥) - 𝑥) + 𝑥 + 𝐶 = 2 𝑥 l n (𝑥) - 𝑥 + 𝐶 .$ Además, $𝑓' (𝑒) = 𝑒 \Leftrightarrow 2 𝑒 l n (𝑒) - 𝑒 + 𝐶 = 𝑒 \Leftrightarrow 𝐶 = 0 .$ Por tanto, $𝑓' (𝑥) = 2 𝑥 l n (𝑥) - 𝑥 .$

De igual forma, $𝑓'$ es la derivada de $𝑓$ , así que $𝑓 (𝑥) = \int 𝑓' (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int (2 𝑥 l n (𝑥) - 𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 2 𝑥 l n (𝑥) 𝑑 𝑥 - \int 𝑥 𝑑 𝑥 = \int 2 𝑥 l n (𝑥) 𝑑 𝑥 - 𝑥 2 2 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = l n (𝑥) \Rightarrow 𝑢' = 1 𝑥, 𝑣' = 2 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑥 2 .$ Entonces: $𝑓 (𝑥) = \int 2 𝑥 l n (𝑥) 𝑑 𝑥 - 𝑥 2 2 = 𝑥 2 l n (𝑥) - \int 𝑥 𝑑 𝑥 - 𝑥 2 2 = 𝑥 2 l n (𝑥) - 𝑥 2 + 𝐾 .$ Si la gráfica de $𝑓$ pasa por el punto $(1, 0)$ , ha de verificar que $𝑓 (1) = 0 .$ Por tanto, $𝑓 (1) = 0 \Leftrightarrow 1 l n (1) - 1 + 𝐾 = 0 \Leftrightarrow 𝐾 = 1 .$ Así que la función es $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 l n (𝑥) - 𝑥 2 + 1 .$

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2023

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 2 - 1 |$ y $𝑔 (𝑥) = 𝑥 + 5 .$

Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow | 𝑥 2 - 1 | = 𝑥 + 5 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 2 - 1 = 𝑥 + 5 \Leftrightarrow 𝑥 2 - 𝑥 - 6 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 2, 𝑥 = 3, 𝑥 2 - 1 = - 𝑥 - 5 \Leftrightarrow 𝑥 2 + 𝑥 + 4 = 0 .$ Por tanto, los puntos de corte son $(- 2, 3)$ y $(3, 8) .$ Representamos el recinto determinado por ambas funciones.
En primer lugar, podemos expresar la función $𝑓$ como función a trozos. $𝑓 (𝑥) = ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 2 - 1, s i 𝑥 \leq - 1, - 𝑥 2 + 1, s i - 1 < 𝑥 \leq 1, 𝑥 2 - 1, s i 𝑥 > 1 .$ Calculamos el área del recinto. $\int 3 - 2 (𝑔 (𝑥) - 𝑓 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = \int - 1 - 2 (𝑥 + 5 - 𝑥 2 + 1) 𝑑 𝑥 + \int 1 - 1 (𝑥 + 5 + 𝑥 2 - 1) 𝑑 𝑥 + \int 31 (𝑥 + 5 - 𝑥 2 + 1) 𝑑 𝑥 = = \int - 1 - 2 (- 𝑥 2 + 𝑥 + 6) 𝑑 𝑥 + \int 1 - 1 (𝑥 2 + 𝑥 + 4) 𝑑 𝑥 + \int 31 (- 𝑥 2 + 𝑥 + 6) 𝑑 𝑥 = = [- 13 𝑥 3 + 12 𝑥 2 + 6 𝑥] - 1 - 2 + [13 𝑥 3 + 12 𝑥 2 + 4 𝑥] 1 - 1 + [- 13 𝑥 3 + 12 𝑥 2 + 6 𝑥] 31 = = 13 + 12 - 6 - (83 + 2 - 12) + 13 + 12 + 4 - (- 13 + 12 - 4) - 9 + 92 + 18 - (- 13 + 12 + 6) = 1096 𝑢 2 .$

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2023

Calcula una primitiva de la función $𝑓 : [0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = a r c t g (\sqrt 𝑥)$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1) .$ Sugerencia: efectúa el cambio $𝑥 = 𝑡 2 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int a r c t g (\sqrt 𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable $𝑥 = 𝑡 2 \Rightarrow \sqrt 𝑥 = 𝑡, 𝑑 𝑥 = 2 𝑡 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $𝐹 (𝑥) = \int a r c t g (\sqrt 𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 2 𝑡 a r c t g (𝑡) 𝑑 𝑡 .$

Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = a r c t g (𝑡) \Rightarrow 𝑢' = 1 1 + 𝑡 2, 𝑣' = 2 𝑡 \Rightarrow 𝑣 = 𝑡 2 .$ Entonces: $𝐹 (𝑥) = \int 2 𝑡 a r c t g (𝑡) 𝑑 𝑡 = 𝑡 2 a r c t g (𝑡) - \int 𝑡 2 1 + 𝑡 2 𝑑 𝑡 .$

Hacemos la división de polinomios del integrando. $𝑡 2 1 + 𝑡 2 = 1 - 1 1 + 𝑡 2 .$ Así que: $𝐹 (𝑥) = 𝑡 2 a r c t g (𝑡) - \int 1 𝑑 𝑡 + \int 1 1 + 𝑡 2 𝑑 𝑡 = 𝑡 2 a r c t g (𝑡) - 𝑡 + a r c t g (𝑡) + 𝐶 = (𝑥 + 1) a r c t g (\sqrt 𝑥) - \sqrt 𝑥 + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(0, 1)$ ha de verificar $𝐹 (0) = 1 .$ Por tanto, $𝐹 (0) = 1 \Leftrightarrow 𝐶 = 1 .$ Luego la primitiva es $𝐹 (𝑥) = (𝑥 + 1) a r c t g (\sqrt 𝑥) - \sqrt 𝑥 + 1 .$

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2023

Considera la función $𝑓 : (- 1, + \infty) \to ℝ$ , definida por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥 + 1) .$ Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje de abscisas y la recta $𝑥 = 𝑒 - 1 .$

Resolución

Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑥 = 𝑒 - 1$ y el eje de abscisas. Figura

Calculamos el área. $\int 𝑒 - 1 0 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑒 - 1 0 l n (𝑥 + 1) 𝑑 𝑥 = [(𝑥 + 1) l n (𝑥 + 1) - (𝑥 + 1)] 𝑒 - 1 0 = 𝑒 - 𝑒 - (- 1) = 1 𝑢 2 .$

Ejercicio 3: Julio de 2023

Calcula $𝑎$ con $0 < 𝑎 < 1$ , tal que $\int 1 𝑎 l n (𝑥) 𝑥 𝑑 𝑥 + 2 = 0 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥) 𝑥 = 1 𝑥 l n (𝑥) .$

Como $1 𝑥$ es la derivada de $l n (𝑥)$ , $\int 1 𝑥 l n (𝑥) = 12 l n 2 (𝑥) .$

Calculamos la integral definida. $\int 1 𝑎 l n (𝑥) 𝑥 𝑑 𝑥 = 12 [l n 2 (𝑥)] 1 𝑎 = - 12 l n 2 (𝑎) .$

Por tanto, $\int 1 𝑎 l n (𝑥) 𝑥 𝑑 𝑥 + 2 = 0 \Leftrightarrow - 12 l n 2 (𝑎) + 2 = 0 \Leftrightarrow l n 2 (𝑎) = 4 .$ Como $0 < 𝑎 < 1$ , entonces $l n (𝑎) < 0 .$ Así que $l n 2 (𝑎) = 4 \Rightarrow l n (𝑎) = - 2 \Leftrightarrow 𝑎 = 𝑒 - 2 .$

Ejercicio 4: Julio de 2023

Considera las funciones $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ ∖ {0} \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 5 - 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = 4 𝑥 2 .$

Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.
Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Resolución

Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow 5 - 𝑥 2 = 4 𝑥 2 \Leftrightarrow - 𝑥 4 + 5 𝑥 2 - 4 = 0 .$ Para resolver esta ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable $𝑡 = 𝑥 2 .$ De esta forma, $- 𝑥 4 + 5 𝑥 2 - 4 = 0 \Leftrightarrow - 𝑡 2 + 5 𝑡 - 4 = 0 \Leftrightarrow {𝑡 = 1 \Leftrightarrow 𝑥 2 = 1 \Leftrightarrow 𝑥 = \pm 1, 𝑡 = 4 \Leftrightarrow 𝑥 2 = 4 \Leftrightarrow 𝑥 = \pm 2 .$ Por tanto, los puntos de corte son $(- 2, 1)$ , $(- 1, 4)$ , $(1, 4)$ y $(2, 1) .$
Representamos gráficamente las dos funciones. Observamos que ambas funciones tienen simetría par y la parábola tiene vértice $(0, 5) .$
Podemos representar los recintos limitados por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como $2 \int 21 (𝑓 (𝑥) - 𝑔 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 2 \int 21 (5 - 𝑥 2 - 4 𝑥 2) 𝑑 𝑥 = 2 [5 𝑥 - 13 𝑥 3 + 4 𝑥] 21 = = 2 [10 - 83 + 2 - (5 - 13 + 4)] = 43 𝑢 2 .$

Ejercicio 3: Junio de 2022

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = {2 𝑥 + 4, s i 𝑥 < 0, (𝑥 - 2) 2, s i 𝑥 \geq 0 .$

Calcula los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función.
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y por el eje de abscisas.

Resolución

Hallamos los puntos de corte de la gráfica de $f$ con el eje $X.$
- Si $𝑥 < 0$ , $𝑓 (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 2 𝑥 + 4 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = - 2 .$ Por tanto, $(- 2, 0)$ es un punto de corte con el eje.
- Si $𝑥 \geq 0$ , $𝑓 (𝑥) = 0 \Leftrightarrow (𝑥 - 2) 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 - 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = 2 .$ Por tanto, $(2, 0)$ es un punto de corte con el eje.
Así que la gráfica de $f$ tiene dos puntos de corte con el eje de abscisas: $(-2, 0)$ y $(2, 0).$ Además, corta al eje $Y$ en el punto $(0, 4).$ La primera rama es una recta, mientras que la segunda es una parábola con vértice $(2, 0).$
Calculamos el área del recinto. $\int 2 - 2 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 0 - 2 (2 𝑥 + 4) 𝑑 𝑥 + \int 20 (𝑥 - 2) 2 𝑑 𝑥 = [𝑥 2 + 4 𝑥] 0 - 2 + [(𝑥 - 2) 3 3] 20 = 4 + 83 = 203 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Junio de 2022

Considera la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1$ para $𝑥 \neq 1 .$ Halla una primitiva de $𝑓$ que pase por el punto $(2, 6) .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 3 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 .$

Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $𝑥 3 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 = 𝑥 + 2 + 3 𝑥 - 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 .$ Así que: $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 3 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 = \int (𝑥 + 2) 𝑑 𝑥 + \int 3 𝑥 - 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 = 𝑥 2 2 + 2 𝑥 + \int 3 𝑥 - 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 .$

Expresamos la función como suma de fracciones simples. La raíz doble del denominador es 1, así que la función se puede escribir como $3 𝑥 - 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 = 𝐴 𝑥 - 1 + 𝐵 (𝑥 - 1) 2 = 𝐴 (𝑥 - 1) + 𝐵 (𝑥 - 1) 2 = 𝐴 𝑥 - 𝐴 + 𝐵 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 = 3, - 𝐴 + 𝐵 = - 2 \Leftrightarrow {𝐴 = 3, 𝐵 = 1 .$ Por tanto, $3 𝑥 - 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 = 3 𝑥 - 1 + 1 (𝑥 - 1) 2 .$

Resolvemos la integral. $𝐹 (𝑥) = 𝑥 2 2 + 2 𝑥 + \int 3 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 + \int 1 (𝑥 - 1) 2 𝑑 𝑥 = 𝑥 2 2 + 2 𝑥 + 3 l n | 𝑥 - 1 | - 1 𝑥 - 1 + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(2, 6)$ ha de verificar $𝐹 (2) = 6 .$ Por tanto, $𝐹 (2) = 6 \Leftrightarrow 2 + 4 - 1 + 𝐶 = 6 \Leftrightarrow 𝐶 = 1 .$ Luego la primitiva es $𝐹 (𝑥) = 𝑥 2 2 + 2 𝑥 + 3 l n | 𝑥 - 1 | - 1 𝑥 - 1 + 1 .$

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2022

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 s e n (2 𝑥) .$ Halla la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 0) .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑒 𝑥 s e n (2 𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = s e n (2 𝑥) \Rightarrow 𝑢' = 2 c o s (2 𝑥), 𝑣' = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 .$ Entonces: $𝐹 (𝑥) = \int 𝑒 𝑥 s e n (2 𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 s e n (2 𝑥) - 2 \int 𝑒 𝑥 c o s (2 𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Integramos de nuevo por partes. $𝑢 = c o s (2 𝑥) \Rightarrow 𝑢' = - 2 s e n (2 𝑥), 𝑣' = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 .$ Luego $𝐹 (𝑥) = 𝑒 𝑥 s e n (2 𝑥) - 2 \int 𝑒 𝑥 c o s (2 𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 s e n (2 𝑥) - 2 𝑒 𝑥 c o s (2 𝑥) - 4 \int 𝑒 𝑥 s e n (2 𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Así que $𝐹 (𝑥) = 15 𝑒 𝑥 (s e n (2 𝑥) - 2 c o s (2 𝑥)) + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(0, 0)$ ha de verificar $𝐹 (0) = 0 .$ Por tanto, $𝐹 (0) = 0 \Leftrightarrow - 25 + 𝐶 = 0 \Leftrightarrow 𝐶 = 25 .$ Luego la primitiva es $𝐹 (𝑥) = 15 𝑒 𝑥 (s e n (2 𝑥) - 2 c o s (2 𝑥)) + 25 .$

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2022

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 1 - 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = 2 𝑥 2 .$

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Esboza el recinto que delimitan.
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow 1 - 𝑥 2 = 2 𝑥 2 \Leftrightarrow 3 𝑥 2 = 1 \Leftrightarrow 𝑥 = \pm 1 \sqrt 3 .$ Por tanto, los puntos de corte son $(- 1 \sqrt 3, 23)$ y $(1 \sqrt 3, 23) .$ Representamos el recinto determinado por ambas funciones.
Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como $2 \int 1 \sqrt 3 0 (𝑓 (𝑥) - 𝑔 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 2 \int 1 \sqrt 3 0 (1 - 𝑥 2 - 2 𝑥 2) 𝑑 𝑥 = 2 \int 1 \sqrt 3 0 (1 - 3 𝑥 2) 𝑑 𝑥 = 2 [𝑥 - 𝑥 3] 1 \sqrt 3 0 = = 2 (1 \sqrt 3 - 1 \sqrt 27) = 2 \sqrt 3 \cdot 23 = 4 3 \sqrt 3 𝑢 2 .$

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2022

Considera la función $𝐹 : [0, 2 𝜋] \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 2 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡 .$

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $𝐹 .$
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝐹$ en el punto de abscisa $𝑥 = 𝜋 .$

Resolución

La función $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 c o s (𝑥)$ es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝑥 0 2 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡$ es derivable, con $𝐹' (𝑥) = 𝑓 (𝑥) .$

Hallamos los puntos críticos de $F.$ $F'(x) = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow 2x\cos(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0, \\ \cos(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{o} \quad x = \dfrac{3\pi}{2}. \end{cases}$ Así que los puntos críticos son $x = 0$ , $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{3\pi}{2}.$ Estudiamos el signo de $F' = f$ para determinar si $F$ es creciente o decreciente.
- Si $𝑥 \in (0, 𝜋 2)$ , $𝐹' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝐹$ es creciente.
- Si $𝑥 \in (𝜋 2, 3 𝜋 2)$ , $𝐹' (𝑥) < 0 .$ Así que $𝐹$ es decreciente.
- Si $𝑥 \in (3 𝜋 2, 2 𝜋)$ , $𝐹' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝐹$ es creciente.
Por tanto, $F$ es creciente en $\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ y es decreciente en $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right).$
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝐹$ en $𝑥 = 𝜋$ viene dada por $𝑦 - 𝐹 (𝜋) = 𝐹' (𝜋) (𝑥 - 𝜋) .$ Por un lado, $𝐹' (𝜋) = 𝑓 (𝜋) = - 2 𝜋 .$ Por otro lado, $𝐹 (𝜋) = \int 𝜋 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝜋 0 2 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ En primer lugar, hallamos una primitiva de $𝑓 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑡 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = c o s (𝑡) \Rightarrow 𝑣 = s e n (𝑡) .$ Entonces: $\int 2 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡 = 2 \int 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡 = 2 𝑡 s e n (𝑡) - 2 \int s e n (𝑡) 𝑑 𝑡 = 2 𝑡 s e n (𝑡) + 2 c o s (𝑡) .$ Calculamos la integral definida. $𝐹 (𝜋) = \int 𝜋 0 2 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡 = 2 [𝑡 s e n (𝑡) + c o s (𝑡)] 𝜋 0 = - 2 - 2 = - 4 .$ Por tanto, la ecuación de la recta tangente en $𝑥 = 𝜋$ es $𝑦 + 4 = - 2 𝜋 (𝑥 - 𝜋) \Leftrightarrow 𝑦 = - 2 𝜋 𝑥 + 2 𝜋 2 - 4 .$

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2022

Calcula $\int 10 𝑥 a r c t g (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función $𝑓 (𝑥) = 𝑥 a r c t g (𝑥) .$

Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = a r c t g (𝑥) \Rightarrow 𝑢' = 1 1 + 𝑥 2, 𝑣' = 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑥 2 2 .$ Entonces: $\int 𝑥 a r c t g (𝑥) 𝑑 𝑥 = 12 𝑥 2 a r c t g (𝑥) - 12 \int 𝑥 2 1 + 𝑥 2 𝑑 𝑥 .$

Hacemos la división de polinomios del integrando. $𝑥 2 1 + 𝑥 2 = 1 - 1 1 + 𝑥 2 .$ Así que: $12 𝑥 2 a r c t g (𝑥) - 12 \int 𝑥 2 1 + 𝑥 2 𝑑 𝑥 = 12 𝑥 2 a r c t g (𝑥) - 12 \int 1 𝑑 𝑥 + 12 \int 1 1 + 𝑥 2 𝑑 𝑥 = = 12 𝑥 2 a r c t g (𝑥) - 12 𝑥 + 12 a r c t g (𝑥) = 12 (𝑥 2 + 1) a r c t g (𝑥) - 12 𝑥 .$

Por último, calculamos la integral definida. $\int 10 𝑥 a r c t g (𝑥) 𝑑 𝑥 = 12 [(𝑥 2 + 1) a r c t g (𝑥) - 𝑥] 10 = 12 (2 a r c t g (1) - 1) = 𝜋 2 - 1 2 = 𝜋 - 2 4 .$

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2022

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 𝑥 .$ Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función $𝑓$ y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa $𝑥 = 0 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos la recta normal a la gráfica de $𝑓$ en $𝑥 = 0 .$ Calculamos la derivada de la función. $𝑓' (𝑥) = 3 𝑥 2 - 1 .$ La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 0$ es $𝑚 𝑡 = 𝑓' (0) = - 1 .$ Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, su pendiente $𝑚 𝑛$ ha de verificar $𝑚 𝑡 \cdot 𝑚 𝑛 = - 1 \Leftrightarrow 𝑚 𝑛 = - 1 𝑚 𝑡 𝑚 𝑡 = - 1 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑚 𝑛 = 1 .$ Así que la recta normal a la gráfica de $𝑓$ en $𝑥 = 0$ se puede hallar usando la ecuación punto-pendiente como $𝑦 - 𝑓 (0) = 𝑚 𝑛 (𝑥 - 0) \Leftrightarrow 𝑦 = 𝑥 .$

Calculamos los puntos de corte de la función con la recta. $𝑓 (𝑥) = 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 3 - 𝑥 = 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 3 - 2 𝑥 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 (𝑥 2 - 2) = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = 0, 𝑥 2 - 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 2 = 2 \Leftrightarrow 𝑥 = \pm \sqrt 2 .$ Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 𝑥 .$ Figura

Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como $2 \int \sqrt 2 0 (𝑥 - (𝑥 3 - 𝑥)) 𝑑 𝑥 = 2 \int \sqrt 2 0 (2 𝑥 - 𝑥 3) 𝑑 𝑥 = 2 [𝑥 2 - 14 𝑥 4] \sqrt 2 0 = 2 (2 - 1) = 2 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2022

Calcula $\int 30 𝑥 \sqrt 1 + 𝑥 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑥$ ).

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función $𝑓 (𝑥) = 𝑥 \sqrt 1 + 𝑥 .$

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑥 \Rightarrow 𝑡 2 = 1 + 𝑥 \Rightarrow 𝑥 = 𝑡 2 - 1, 𝑑 𝑥 = 2 𝑡 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $\int 𝑥 \sqrt 1 + 𝑥 𝑑 𝑥 = \int 𝑡 2 - 1 𝑡 2 𝑡 𝑑 𝑡 = 2 \int (𝑡 2 - 1) 𝑑 𝑡 = 23 𝑡 3 - 2 𝑡 = 23 (1 + 𝑥) 3 / 2 - 2 \sqrt 1 + 𝑥 = 23 (𝑥 - 2) \sqrt 1 + 𝑥 .$

Por último, calculamos la integral definida. $\int 30 𝑥 \sqrt 1 + 𝑥 𝑑 𝑥 = 23 [(𝑥 - 2) \sqrt 1 + 𝑥] 30 = 23 (2 + 2) = 83 .$

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2022

Calcula $\int 2 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $2 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 = 2 𝑥 + 2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 .$ Así que $\int 2 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 = \int 2 𝑥 𝑑 𝑥 + \int 2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 = 𝑥 2 + \int 2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 .$

Expresamos la función como suma de fracciones simples. $𝑥 2 + 𝑥 - 2 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 2, 𝑥 = 1 .$ Las raíces del denominador son -2 y 1, así que la función se puede escribir como $2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 = 𝐴 𝑥 - 1 + 𝐵 𝑥 + 2 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵 (𝑥 - 1) (𝑥 - 1) (𝑥 + 2) = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 + 2 𝐴 - 𝐵 𝑥 2 + 𝑥 - 2 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 2, 2 𝐴 - 𝐵 = 7 .$ Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que $3 𝐴 = 9 \Leftrightarrow 𝐴 = 3 .$ Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que $𝐴 + 𝐵 = 2 𝐴 = 3 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 3 + 𝐵 = 2 \Leftrightarrow 𝐵 = - 1 .$ Por tanto, $2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 = 3 𝑥 - 1 - 1 𝑥 + 2 .$

Resolvemos la integral. $𝑥 2 + \int 2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 = 𝑥 2 + 3 \int 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 - \int 1 𝑥 + 2 𝑑 𝑥 = 𝑥 2 + 3 l n | 𝑥 - 1 | - l n | 𝑥 + 2 | + 𝐶 .$

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2022

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = 𝑎 | 𝑥 |$ , con $𝑎 > 0 .$ Determina el valor de $𝑎$ para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Resolución

En primer lugar, hallamos los puntos de corte de $𝑓$ y $𝑔 .$ $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow 𝑥 2 = 𝑎 | 𝑥 | \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 2 = 𝑎 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 (𝑥 - 𝑎) = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑎,, 𝑥 2 = - 𝑎 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 (𝑥 + 𝑎) = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = 0, 𝑥 = - 𝑎 .$ Así que los puntos de corte son $(- 𝑎, 𝑎 2)$ , $(0, 0)$ y $(𝑎, 𝑎 2) .$

Podemos representar los recintos delimitados por las gráficas de ambas funciones. Figura

Como los dos recintos tienen la misma superficie, el área viene dada por $2 \int 𝑎 0 (𝑔 (𝑥) - 𝑓 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 2 \int 𝑎 0 (𝑎 𝑥 - 𝑥 2) 𝑑 𝑥 = 2 [𝑎 2 𝑥 2 - 13 𝑥 3] 𝑎 0 = 2 (𝑎 3 2 - 𝑎 3 3) = 𝑎 3 3 .$ Para que el área total de los recintos sea de 9 $𝑢 2$ , ha de verificarse que $𝑎 3 3 = 9 \Leftrightarrow 𝑎 3 = 27 \Leftrightarrow 𝑎 = 3 .$

Ejercicio 3: Julio de 2022

Calcula $\int 83 1 \sqrt 1 + 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑥 - 1$ ).

Resolución

Hacemos el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑥 - 1 \Leftrightarrow (𝑡 + 1) 2 = 1 + 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 = (𝑡 + 1) 2 - 1 .$ Derivando, $𝑑 𝑥 = 2 (𝑡 + 1) 𝑑 𝑡 .$

Hallamos en primer lugar una primitiva de la función aplicando el cambio de variable. $\int 1 \sqrt 1 + 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 = \int 1 𝑡 2 (𝑡 + 1) 𝑑 𝑡 = 2 \int 1 𝑑 𝑡 + 2 \int 1 𝑡 𝑑 𝑡 = 2 𝑡 + 2 l n (𝑡) .$ Deshaciendo el cambio de variable, $\int 1 \sqrt 1 + 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 = 2 (𝑡 + l n (𝑡)) = 2 (\sqrt 1 + 𝑥 - 1 + l n (\sqrt 1 + 𝑥 - 1)) .$

Por último, calculamos la integral definida mediante la regla de Barrow. $\int 83 1 \sqrt 1 + 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 = [2 (\sqrt 1 + 𝑥 - 1 + l n (\sqrt 1 + 𝑥 - 1))] 83 = = 2 (\sqrt 9 - 1 + l n (\sqrt 9 - 1)) - 2 (\sqrt 4 - 1 + l n (\sqrt 4 - 1)) = 2 (2 + l n (2)) - 2 = 2 (1 + l n (2)) .$

Ejercicio 4: Julio de 2022

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 2$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 2 𝑥 + 2 .$

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Esboza sus gráficas.
Determina el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ en el primer cuadrante.

Resolución

Calculemos los puntos de corte de las dos funciones. $𝑥 3 + 2 = - 𝑥 2 + 2 𝑥 + 2 \Leftrightarrow 𝑥 3 + 𝑥 2 - 2 𝑥 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 (𝑥 2 + 𝑥 - 2) = 0 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 = 0, 𝑥 2 + 𝑥 - 2 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 2, 𝑥 = 1 .$ Por tanto, evaluando obtenemos que los puntos de corte son $(- 2, - 6)$ , $(0, 2)$ y $(1, 3) .$ Representamos las funciones $𝑓$ y $𝑔 .$
Calculamos el área del recinto. $\int 10 (𝑔 (𝑥) - 𝑓 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = \int 10 ((- 𝑥 2 + 2 𝑥 + 2) - (𝑥 3 - 2)) 𝑑 𝑥 = \int 10 (- 𝑥 3 - 𝑥 2 + 2 𝑥) 𝑑 𝑥 = = [- 𝑥 4 4 - 𝑥 3 3 + 𝑥 2] 10 = (- 14 - 13 + 1) = 512 𝑢 2 .$

Ejercicio 3: Junio de 2021

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 4 𝑥 3 - 𝑥 4 .$

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $𝑓 .$
Esboza la gráfica de $𝑓$ y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Resolución

En primer lugar, calculamos la derivada de $f.$ $f'(x) = 12x^2 - 4x^3.$ Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de $f$ a cero. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 12x^2 - 4x^3 = 0 \Leftrightarrow 4x^2(3 - x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0, \\ 3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3. \end{cases}$ Estudiamos el signo de $f'.$
- Si $𝑥 < 0$ , $𝑓' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es creciente.
- Si $0 < 𝑥 < 3$ , $𝑓' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es creciente.
- Si $𝑥 > 3$ , $𝑓' (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es decreciente.
Por tanto, $f$ es creciente en $(-\infty, 3)$ y es decreciente en $(3, +\infty).$
En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función $𝑓$ con el eje $𝑋 .$ $𝑓 (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 4 𝑥 3 - 𝑥 4 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 3 (4 - 𝑥) = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = 0, 4 - 𝑥 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = 4 .$ Así que los puntos de corte con $(0, 0)$ y $(4, 0) .$ Representamos gráficamente la función. Podemos representar gráficamente el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y el eje $𝑋 .$ Calculamos el área. $\int 40 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 40 (4 𝑥 3 - 𝑥 4) 𝑑 𝑥 = [𝑥 4 - 15 𝑥 5] 40 = 2565 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Junio de 2021

Considera la función $𝐹 : [0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 (2 𝑡 + \sqrt 𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝐹$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1 .$

Resolución

La función $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 + \sqrt 𝑥$ es continua si $𝑥 \geq 0 .$ Por el teorema fundamental del cálculo, la función $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝑥 0 (2 𝑡 + \sqrt 𝑡) 𝑑 𝑡$ es derivable, con $𝐹' (𝑥) = 𝑓 (𝑥) .$ $

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝐹$ en $𝑥 = 1$ viene dada por $𝑦 - 𝐹 (1) = 𝐹' (1) (𝑥 - 1) .$ Por un lado, $𝐹' (1) = 𝑓 (1) = 3 .$ Por otro lado, $𝐹 (1) = \int 10 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 10 (2 𝑡 + \sqrt 𝑡) 𝑑 𝑡 = [𝑡 2 + 23 𝑡 32] 10 = 1 + 23 = 53 .$

Por tanto, la ecuación de la recta tangente en $𝑥 = 1$ es $𝑦 - 53 = 3 (𝑥 - 1) \Leftrightarrow 𝑦 = 3 𝑥 - 3 + 53 \Leftrightarrow 𝑦 = 3 𝑥 - 43 .$

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2021

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 .$

Calcula $𝑎$ para que la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto $(𝑎, 𝑓 (𝑎))$ pase por el origen de coordenadas.
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta tangente a la misma en el punto $(1, 𝑓 (1))$ y el eje de ordenadas.

Resolución

En primer lugar, sabemos que la derivada de la función $𝑓$ es $𝑓' (𝑥) = 𝑒 𝑥 .$ La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en $𝑥 = 𝑎$ es $𝑦 - 𝑓 (𝑎) = 𝑓' (𝑎) (𝑥 - 𝑎) \Leftrightarrow 𝑦 - 𝑒 𝑎 = 𝑒 𝑎 (𝑥 - 𝑎) \Leftrightarrow 𝑦 = 𝑒 𝑎 𝑥 + 𝑒 𝑎 - 𝑎 𝑒 𝑎 .$ Si la recta tangente pasa por el origen de coordenadas, su ordenada en el origen debe ser 0. Así que $𝑒 𝑎 - 𝑎 𝑒 𝑎 = 0 \Leftrightarrow 𝑒 𝑎 (1 - 𝑎) = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = 1 .$ Podemos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en $𝑥 = 1$ para comprobar que, efectivamente, pasa por el origen. $𝑦 - 𝑓 (1) = 𝑓' (1) (𝑥 - 1) \Leftrightarrow 𝑦 - 𝑒 = 𝑒 (𝑥 - 1) \Leftrightarrow 𝑦 = 𝑒 𝑥 .$
Sabemos por el apartado anterior que la función y la recta se cortan en $𝑥 = 1 .$ Podemos representar el recinto la función, la recta tangente y el eje de ordenadas. Calculamos el área. $\int 10 (𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥) 𝑑 𝑥 = [𝑒 𝑥 - 𝑒 2 𝑥 2] 10 = 𝑒 - 𝑒 2 - 1 = 𝑒 2 - 1 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2021

Calcula $\int 31 | 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2 | 𝑑 𝑥 .$

Resolución

En primer lugar, expresamos $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2 |$ como una función a trozos. Observamos que $𝑥 2 - 3 𝑥 + 2 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = 1, 𝑥 = 2 .$ Por tanto, $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2 | = ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2, s i 𝑥 \leq 1, - 𝑥 2 + 3 𝑥 - 2, s i 1 < 𝑥 < 2, 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2, s i 𝑥 \geq 2 .$

Calculamos la integral. $\int 31 | 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2 | 𝑑 𝑥 = \int 21 (- 𝑥 2 + 3 𝑥 - 2) 𝑑 𝑥 + \int 32 (𝑥 2 - 3 𝑥 + 2) 𝑑 𝑥 = = [- 13 𝑥 3 + 32 𝑥 2 - 2 𝑥] 21 + [13 𝑥 3 - 32 𝑥 2 + 2 𝑥] 32 = = - 83 + 6 - 4 - (- 13 + 32 - 2) + 9 - 272 + 6 - (83 - 6 + 4) = 1 .$

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2021

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + | 𝑥 - 1 | .$

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $𝑓 .$
Calcula $\int 20 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

En primer lugar, expresamos $f(x) = x^2 + |x-1|$ como una función a trozos. $f(x) = x^2 + |x-1| = \begin{cases} x^2 - x + 1, & \text{si } x < 1, \\ x^2 + x - 1, & \text{si } x \geq 1. \end{cases}$ Si $x \neq 1$ , $f$ es derivable con $f'(x) = \begin{cases} 2x - 1, & \text{si } x < 1, \\ 2x + 1, & \text{si } x > 1. \end{cases}$ Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada de $f$ a cero.
- Si $𝑥 < 1$ , $𝑓' (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 2 𝑥 - 1 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = 12 .$
- Si $𝑥 > 1$ , $𝑓' (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 2 𝑥 + 1 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = - 12 < 1 .$
Así que el único punto crítico es $x = \frac{1}{2}.$ También consideramos $x = 1$ por ser el punto de ruptura. Estudiamos el signo $f'.$
- Si $𝑥 < 12$ , $𝑓' (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es decreciente.
- Si $12 < 𝑥 < 1$ , $𝑓' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es creciente.
- Si $𝑥 > 1$ , $𝑓' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es creciente.
Por tanto, $f$ es creciente en $\left(\frac{1}{2}, 1\right) \cup (1, +\infty)$ y decreciente en $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right).$
Calculamos la integral. $\int 20 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 10 (𝑥 2 - 𝑥 + 1) 𝑑 𝑥 + \int 21 (𝑥 2 + 𝑥 - 1) 𝑑 𝑥 = [13 𝑥 3 - 12 𝑥 2 + 𝑥] 10 + [13 𝑥 3 + 12 𝑥 2 - 𝑥] 21 = = 13 - 12 + 1 + 83 + 2 - 2 - (13 + 12 - 1) = 113 .$

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2021

Considera la función $𝑓 : [0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑥 .$

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y las rectas $𝑥 = 2$ , $𝑦 = 𝑥 .$
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Hallamos los puntos de corte de la función $𝑓$ y la recta $𝑦 = 𝑥 .$ $𝑓 (𝑥) = 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 𝑒 𝑥 = 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 𝑒 𝑥 - 𝑥 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 (𝑒 𝑥 - 1) = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = 0 .$ Por tanto, el punto de corte es $(0, 0) .$ Representamos el recinto determinado por la gráfica de $𝑓$ y las rectas $𝑦 = 𝑥$ y $𝑥 = 2 .$
El área del recinto viene dada por $\int 20 (𝑓 (𝑥) - 𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 20 (𝑥 𝑒 𝑥 - 𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Hallamos en primer lugar una primitiva de esta función. $\int (𝑥 𝑒 𝑥 - 𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 - 12 𝑥 2 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 .$ Entonces: $\int 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 - 12 𝑥 2 = 𝑥 𝑒 𝑥 - \int 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 - 12 𝑥 2 = 𝑥 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 - 12 𝑒 𝑥 = (𝑥 - 1) 𝑒 𝑥 - 12 𝑥 2 .$ Por último, hallamos el área del recinto. $\int 20 (𝑥 𝑒 𝑥 - 𝑥) 𝑑 𝑥 = [(𝑥 - 1) 𝑒 𝑥 - 12 𝑥 2] 20 = 𝑒 2 - 2 - (- 1) = 𝑒 2 - 1 𝑢 2 .$

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2021

Considera la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = l n 2 (𝑥) .$

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $𝑓$ , así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $𝑓$ y las rectas $𝑦 = 0$ , $𝑥 = 1$ , $𝑥 = 𝑒 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos la derivada de la función $f.$ $f'(x) = 2\ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x}.$ Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de $f$ a cero. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{2\ln(x)}{x} = 0 \Leftrightarrow \ln(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Estudiamos el signo de $f'.$
- Si $0 < 𝑥 < 1$ , $𝑓' (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es decreciente.
- Si $𝑥 > 1$ , $𝑓' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es creciente.
Por tanto, $f$ es creciente en $(1, +\infty)$ y decreciente en $(0, 1).$ Además, el punto $(1, 0)$ es un mínimo relativo.
Podemos representar la región limitada por la gráfica de $𝑓$ , el eje de abscisas y las rectas $𝑥 = 1$ y $𝑥 = 𝑒 .$ El área de la región viene dada por $\int 𝑒 1 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑒 1 l n 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$ En primer lugar, hallamos una primitiva de $𝑓$ por partes. $𝑢 = l n 2 (𝑥) \Rightarrow 𝑢' = 2 l n (𝑥) 𝑥, 𝑣' = 1 \Rightarrow 𝑣 = 𝑥 .$ Entonces $\int l n 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑥 l n 2 (𝑥) - \int 2 l n (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑥 l n 2 (𝑥) - 2 𝑥 l n (𝑥) + 2 𝑥 .$ Por último, calculamos el área de la región. $\int 𝑒 1 l n 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 = [𝑥 l n 2 (𝑥) - 2 𝑥 l n (𝑥) + 2 𝑥] 𝑒 1 = 𝑒 - 2 𝑒 + 2 𝑒 - 2 = 𝑒 - 2 𝑢 2 .$

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2021

Calcula $\int 20 1 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑒 𝑥$ ).

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función $𝑓 (𝑥) = 1 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 .$

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑥 = 2 l n (𝑡), 𝑑 𝑥 = 2 𝑡 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $\int 1 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = 2 \int 1 𝑡 (1 + 𝑡) 𝑑 𝑡 .$

Expresamos el integrando como suma de fracciones simples. Se puede escribir como $1 𝑡 (1 + 𝑡) = 𝐴 𝑡 + 𝐵 1 + 𝑡 = 𝐴 + 𝐴 𝑡 + 𝐵 𝑡 𝑡 (1 + 𝑡) = (𝐴 + 𝐵) 𝑡 + 𝐴 𝑡 (1 + 𝑡) .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 0, 𝐴 = 1 \Rightarrow {𝐴 = 1, 𝐵 = - 1 .$ Por tanto, $1 𝑡 (1 + 𝑡) = 1 𝑡 - 1 1 + 𝑡 .$

Resolvemos la integral. $2 \int 1 𝑡 (1 + 𝑡) 𝑑 𝑡 = 2 \int 1 𝑡 𝑑 𝑡 - 2 \int 1 1 + 𝑡 𝑑 𝑡 = 2 l n | 𝑡 | - 2 l n | 1 + 𝑡 | = 𝑥 - 2 l n | 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 | .$

Por último, calculamos la integral definida. $\int 20 1 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = [𝑥 - 2 l n | 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 |] 20 = 2 - 2 l n (1 + 𝑒) + 2 l n (2) = 2 + 2 l n (2 1 + 𝑒) .$

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2021

Calcula $\int 𝜋 / 2 0 (2 s e n 2 (𝑥) - c o s 2 (𝑥)) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. $\int (2 s e n 2 (𝑥) - c o s 2 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = \int (2 s e n 2 (𝑥) - (1 - s e n 2 (𝑥))) 𝑑 𝑥 = \int (3 s e n 2 (𝑥) - 1) 𝑑 𝑥 = 3 \int s e n 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 - 𝑥 .$ Para integrar $s e n 2 (𝑥)$ , hacemos uso de las siguientes identidades trigonométricas: $1 = c o s 2 (𝑥) + s e n 2 (𝑥), c o s (2 𝑥) = c o s 2 (𝑥) - s e n 2 (𝑥) .$ Si restamos las dos expresiones, obtenemos que $1 - c o s (2 𝑥) = 2 s e n 2 (𝑥) \Leftrightarrow s e n 2 (𝑥) = 1 - c o s (2 𝑥) 2 .$ Así que: $3 \int s e n 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 - 𝑥 = 32 \int (1 - c o s (2 𝑥)) 𝑑 𝑥 - 𝑥 = 32 𝑥 - 34 s e n (2 𝑥) - 𝑥 = 12 𝑥 - 34 s e n (2 𝑥) .$

Por último, calculamos la integral definida. $\int 𝜋 2 0 (2 s e n 2 (𝑥) - c o s 2 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = [12 𝑥 - 34 s e n (2 𝑥)] 𝜋 2 0 = 𝜋 4 .$

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2021

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 | - 2$ y por $𝑔 (𝑥) = 4 - 𝑥 2 .$

Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow | 𝑥 | - 2 = 4 - 𝑥 2 \Leftrightarrow | 𝑥 | = 6 - 𝑥 2 \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 = 6 - 𝑥 2 \Leftrightarrow 𝑥 2 + 𝑥 - 6 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 3 (n o v á l i d a), 𝑥 = 2, - 𝑥 = 6 - 𝑥 2 \Leftrightarrow 𝑥 2 - 𝑥 - 6 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 2, 𝑥 = 3 (n o v á l i d a) .$ Por tanto, los puntos de corte son $(- 2, 0)$ y $(2, 0) .$ Representamos el recinto delimitado por ambas funciones.
En primer lugar, podemos expresar la función $𝑓$ como una función a trozos. $𝑓 (𝑥) = {- 𝑥 - 2, s i 𝑥 < 0, 𝑥 - 2, s i 𝑥 \geq 0 .$ Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como $2 \int 20 (𝑔 (𝑥) - 𝑓 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 2 \int 20 (4 - 𝑥 2 - (𝑥 - 2)) 𝑑 𝑥 = 2 \int 20 (- 𝑥 2 - 𝑥 + 6) 𝑑 𝑥 = 2 [- 13 𝑥 3 - 12 𝑥 2 + 6 𝑥] 20 = = 2 \cdot (- 83 - 2 + 12) = 443 𝑢 2 .$

Ejercicio 3: Julio de 2021

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 + \int 𝑥 0 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 .$ Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $𝑓$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Resolución

La función $𝑔 (𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑥$ es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función $𝐺 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑔 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝑥 0 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡$ es derivable, con $𝐺' (𝑥) = 𝑔 (𝑥) .$ De esta forma, podemos escribir $𝑓 (𝑥) = 1 + \int 𝑥 0 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = 1 + 𝐺 (𝑥) .$

Para estudiar la curvatura de la función $𝑓$ tenemos que hallar su segunda derivada. $𝑓' (𝑥) = 𝐺' (𝑥) = 𝑔 (𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑥, 𝑓 ″ (𝑥) = 𝑔' (𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1) .$ Hallamos los candidatos a puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero. $𝑓 ″ (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1) = 0 \Leftrightarrow 𝑥 + 1 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = - 1 .$ Así que el único candidato a punto de inflexión tiene abscisa $𝑥 = - 1 .$ Estudiamos el signo de $𝑓 ″$ para determinar si $𝑓$ es cóncava o convexa.

Si $𝑥 < - 1$ , $𝑓 ″ (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es cóncava en $(- \infty, - 1) .$
Si $𝑥 > - 1$ , $𝑓 ″ (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es convexa en $(- 1, + \infty) .$

Por tanto,

𝑓

tiene un punto de inflexión en

𝑥 = - 1 .

Su imagen viene dada por

𝑓 (- 1) = 1 + \int - 1 0 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = 1 + \int - 1 0 𝑔 (𝑡) 𝑑 𝑡 .

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función $𝑔 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑡 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 .$ Entonces: $\int 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = 𝑡 𝑒 𝑡 - \int 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = 𝑡 𝑒 𝑡 - 𝑒 𝑡 = 𝑒 𝑡 (𝑡 - 1) .$ Calculamos la integral definida. $\int - 1 0 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = [𝑒 𝑡 (𝑡 - 1)] - 1 0 = - 2 𝑒 - 1 + 1 .$ Por tanto, $𝑓 (- 1) = 1 + \int - 1 0 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = 1 - 2 𝑒 - 1 + 1 = 2 - 2 𝑒 .$ Así que el punto de inflexión es $(- 1, 2 - 2 𝑒) .$

Ejercicio 4: Julio de 2021

Considera la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑥 2 - 1$ (para $𝑥 \neq - 1$ , $𝑥 \neq 1$ ). Halla una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(2, 4) .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 2 + 1 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 .$

Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $𝑥 2 + 1 𝑥 2 - 1 = 1 + 2 𝑥 2 - 1 .$ Así que $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 2 + 1 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = \int 1 𝑑 𝑥 + \int 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = 𝑥 + \int 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 .$

Expresamos la función como suma de fracciones simples. $𝑥 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = \pm 1 .$ Las raíces del denominador son -1 y 1, así que la función se puede escribir como $2 𝑥 2 - 1 = 𝐴 𝑥 - 1 + 𝐵 𝑥 + 1 = 𝐴 (𝑥 + 1) + 𝐵 (𝑥 - 1) (𝑥 - 1) (𝑥 + 1) = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 + 𝐴 - 𝐵 𝑥 2 - 1 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 0, 𝐴 - 𝐵 = 2 .$ Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que $2 𝐴 = 2 \Leftrightarrow 𝐴 = 1 .$ Por otro lado, si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que $2 𝐵 = - 2 \Leftrightarrow 𝐵 = - 1 .$ Por tanto, $2 𝑥 2 - 1 = 1 𝑥 - 1 - 1 𝑥 + 1 .$

Resolvemos la integral. $𝐹 (𝑥) = 𝑥 + \int 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = 𝑥 + \int 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 - \int 1 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 = 𝑥 + l n | 𝑥 - 1 | - l n | 𝑥 + 1 | + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(2, 4)$ ha de verificar $𝐹 (2) = 4 .$ Por tanto, $𝐹 (2) = 4 \Leftrightarrow 2 - l n (3) + 𝐶 = 4 \Leftrightarrow 𝐶 = 2 + l n (3) .$ Luego la primitiva es $𝐹 (𝑥) = 𝑥 + l n | 𝑥 - 1 | - l n | 𝑥 + 1 | + 2 + l n (3) .$

Ejercicio 2: Junio de 2020

Calcula $𝑎 > 0$ sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función $𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑒 3 𝑥$ , el eje de abscisas y la recta $𝑥 = 𝑎$ vale $19 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = 𝑒 3 𝑥 \Rightarrow 𝑣 = 13 𝑒 3 𝑥 .$ Así que: $\int 𝑥 𝑒 3 𝑥 𝑑 𝑥 = 13 𝑥 𝑒 3 𝑥 - 13 \int 𝑒 3 𝑥 𝑑 𝑥 = 13 𝑥 𝑒 3 𝑥 - 19 𝑒 3 𝑥 = 19 𝑒 3 𝑥 (3 𝑥 - 1) .$

De esta forma, el área de la región viene dada por: $\int 𝑎 0 𝑒 3 𝑥 𝑑 𝑥 = 19 [𝑒 3 𝑥 (3 𝑥 - 1)] 𝑎 0 = 19 (𝑒 3 𝑎 (3 𝑎 - 1) + 1) .$

Como la región tiene un área de $19 𝑢 2$ , ha de verificarse que: $\int 𝑎 0 𝑒 3 𝑥 𝑑 𝑥 = 19 \Leftrightarrow 19 (𝑒 3 𝑎 (3 𝑎 - 1) + 1) = 19 \Leftrightarrow 𝑒 3 𝑎 (3 𝑎 - 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow 𝑒 3 𝑎 (3 𝑎 - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 𝑎 - 1 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = 13 .$

Ejercicio 6: Junio de 2020

Sea $𝑓$ la función dada por $𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 2 + 4 (𝑥 - 2) 2$ para $𝑥 \neq 2 .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
Calcula la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(3, 5) .$

Resolución

Para resolver la integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $3 𝑥 2 + 4 (𝑥 - 2) 2 = 3 𝑥 2 + 4 𝑥 2 - 4 𝑥 + 4 = 3 + 12 𝑥 - 8 𝑥 2 - 4 𝑥 + 4 .$ Así que: $𝐹 (𝑥) = \int 3 𝑥 2 + 4 (𝑥 - 2) 2 𝑑 𝑥 = \int 3 𝑑 𝑥 + \int 12 𝑥 - 8 𝑥 2 - 4 𝑥 + 4 𝑑 𝑥 = 3 𝑥 + \int 12 𝑥 - 8 𝑥 2 - 4 𝑥 + 4 𝑑 𝑥 .$ Expresamos la función como suma de fracciones simples. La raíz doble del denominador es 2, así que la función se puede escribir de la forma: $12 𝑥 - 8 𝑥 2 - 4 𝑥 + 4 = 𝐴 𝑥 - 2 + 𝐵 (𝑥 - 2) 2 = 𝐴 𝑥 - 2 𝐴 + 𝐵 (𝑥 - 2) 2 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que: ${𝐴 = 12, - 2 𝐴 + 𝐵 = - 8 \Rightarrow 𝐵 = 16 .$ Por tanto, $12 𝑥 - 8 𝑥 2 - 4 𝑥 + 4 = 12 𝑥 - 2 + 16 (𝑥 - 2) 2 .$ Resolvemos la integral. $𝐹 (𝑥) = 3 𝑥 + \int 12 𝑥 - 8 𝑥 2 - 4 𝑥 + 4 𝑑 𝑥 = 3 𝑥 + 12 \int 1 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 + 16 \int 1 (𝑥 - 2) 2 𝑑 𝑥 = 3 𝑥 + 12 l n | 𝑥 - 2 | - 16 𝑥 - 2 + 𝐾 .$
La primitiva que pasa por el punto $(3, 5)$ ha de verificar: $𝐹 (3) = 5 \Leftrightarrow 9 - 16 + 𝐾 = 5 \Leftrightarrow 𝐾 = 12 .$ Por tanto, la primitiva es: $𝐹 (𝑥) = 3 𝑥 + 12 l n | 𝑥 - 2 | - 16 𝑥 - 2 + 12 .$

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2020

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 3 + 2 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥$ para $𝑥 \neq 0$ , $𝑥 \neq 1 .$ Halla la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(2, 3 l n (2)) .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int - 𝑥 3 + 2 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 𝑑 𝑥 .$ Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $- 𝑥 3 + 2 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 = - 𝑥 - 1 + 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 .$ Así que: $𝐹 (𝑥) = \int - 𝑥 3 + 2 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 𝑑 𝑥 = \int (- 𝑥 - 1) 𝑑 𝑥 + \int 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 𝑑 𝑥 = - 12 𝑥 2 - 𝑥 + \int 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 𝑑 𝑥 .$ Expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son 0 y 1, así que la función se puede escribir como: $𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 - 1 = 𝐴 (𝑥 - 1) + 𝐵 𝑥 𝑥 2 - 𝑥 = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 - 𝐴 𝑥 2 - 𝑥 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que: ${𝐴 + 𝐵 = 1, 𝐴 = 3 \Leftrightarrow {𝐴 = 3, 𝐵 = - 2 .$ Por tanto, $𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 = 3 𝑥 - 2 𝑥 - 1 .$ Resolvemos la integral. $𝐹 (𝑥) = - 12 𝑥 2 - 𝑥 + \int 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥 𝑑 𝑥 = - 12 𝑥 2 - 𝑥 + 3 \int 1 𝑥 𝑑 𝑥 - 2 \int 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 = = - 12 𝑥 2 - 𝑥 + 3 l n | 𝑥 | - 2 l n | 𝑥 - 1 | + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(2, 3 l n (2))$ ha de verificar que: $𝐹 (2) = 3 l n (2) \Leftrightarrow - 4 + 3 l n (2) + 𝐶 = 3 l n (2) \Leftrightarrow 𝐶 = 4 .$ Por tanto, la primitiva es: $𝐹 (𝑥) = - 12 𝑥 2 - 𝑥 + 3 l n | 𝑥 | - 2 l n | 𝑥 - 1 | + 4 .$

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2020

Calcula $\int l n (𝑥 2 + 2 𝑥 + 2) 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = 𝑥 + 1$ ).

Resolución

En primer lugar, realizamos el cambio de variable: $𝑡 = 𝑥 + 1 \Rightarrow 𝑥 = 𝑡 - 1, 𝑑 𝑥 = 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, la integral queda de la forma: $\int l n (𝑥 2 + 2 𝑥 + 2) 𝑑 𝑥 = \int l n [(𝑡 - 1) 2 + 2 (𝑡 - 1) + 2] 𝑑 𝑡 = \int l n (𝑡 2 - 2 𝑡 + 1 + 2 𝑡 - 2 + 2) 𝑑 𝑡 = \int l n (𝑡 2 + 1) 𝑑 𝑡 .$

Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = l n (𝑡 2 + 1) \Rightarrow 𝑢' = 2 𝑡 𝑡 2 + 1, 𝑣' = 1 \Rightarrow 𝑣 = 𝑡 .$ Entonces: $\int l n (𝑡 2 + 1) 𝑑 𝑡 = 𝑡 l n (𝑡 2 + 1) - \int 2 𝑡 2 𝑡 2 + 1 𝑑 𝑡 .$ Para resolver la integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $2 𝑡 2 𝑡 2 + 1 = 2 - 2 𝑡 2 + 1 .$ Por tanto: $\int l n (𝑡 2 + 1) 𝑑 𝑡 = 𝑡 l n (𝑡 2 + 1) - \int 2 𝑡 2 𝑡 2 + 1 𝑑 𝑡 = 𝑡 l n (𝑡 2 + 1) - \int 2 𝑑 𝑡 + \int 2 𝑡 2 + 1 𝑑 𝑡 = = 𝑡 l n (𝑡 2 + 1) - 2 𝑡 + 2 a r c t g (𝑡) + 𝐶 = (𝑥 + 1) l n [(𝑥 + 1) 2 + 1] - 2 (𝑥 + 1) + 2 a r c t g (𝑥 + 1) + 𝐶 = = (𝑥 + 1) l n (𝑥 2 + 2 𝑥 + 2) + 2 a r c t g (𝑥 + 1) - 2 𝑥 - 2 + 𝐶 .$

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2020

Determina la función $𝑓 : (- 1, + \infty) \to ℝ$ , sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ , $𝑓' (0) = 0$ y $𝑓 ″ (𝑥) = 1 𝑥 + 1 .$

Resolución

Como $𝑓 ″$ es la derivada de $𝑓'$ , entonces: $𝑓' (𝑥) = \int 𝑓 ″ (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 1 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 = l n (𝑥 + 1) + 𝐶 .$ Además, ha de verificarse que: $𝑓' (0) = 0 \Leftrightarrow 𝐶 = 0 .$

De igual forma, como $𝑓'$ es la derivada de $𝑓$ , entonces: $𝑓 (𝑥) = \int 𝑓' (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int l n (𝑥 + 1) 𝑑 𝑥 = (𝑥 + 1) l n (𝑥 + 1) - (𝑥 + 1) + 𝐾 .$ Si su gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ , ha de verificarse que: $𝑓 (0) = 1 \Leftrightarrow - 1 + 𝐾 = 1 \Leftrightarrow 𝐾 = 2 .$ Por tanto, la función es: $𝑓 (𝑥) = (𝑥 + 1) l n (𝑥 + 1) - 𝑥 + 1 .$

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2020

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = - 4 𝑥 + 2$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 2 𝑥 + 𝑐 .$

Halla el valor de $𝑐$ sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que $𝑔$ alcanza su máximo.
Para $𝑐 = - 3$ , calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.

Resolución

En primer lugar, observamos que la gráfica de la función $𝑔$ es una parábola cóncava con vértice en $𝑥 = 1$ , así que alcanza su máximo en este punto. Para que las funciones se corten en $𝑥 = 1$ , ha de verificarse que: $𝑓 (1) = 𝑔 (1) \Leftrightarrow - 2 = 1 + 𝑐 \Leftrightarrow 𝑐 = - 3 .$
En primer lugar, hallamos los puntos de corte entre las dos funciones. $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow - 4 𝑥 + 2 = - 𝑥 2 + 2 𝑥 - 3 \Leftrightarrow 𝑥 2 - 6 𝑥 + 5 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = 1, 𝑥 = 5 .$ Podemos representar la región. Calculamos el área. $𝑆 = \int 51 (𝑔 (𝑥) - 𝑓 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = \int 51 (- 𝑥 2 + 2 𝑥 - 3 + 4 𝑥 - 2) 𝑑 𝑥 = \int 51 (- 𝑥 2 + 6 𝑥 - 5) 𝑑 𝑥 = [- 13 𝑥 3 + 3 𝑥 2 - 5 𝑥] 51 = = - 1253 + 75 - 25 - (- 13 + 3 - 5) = 323 𝑢 2 .$

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2020

Determina la única función derivable $𝑓 : ℝ \to ℝ$ que cumple que $𝑓 (0) = 1$ , $𝑓' (0) = 1$ y $𝑓 ″ (𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 2) .$

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2020

Calcula el valor de $𝑎 > 0$ para que el área comprendida entre la parábola $𝑦 = 3 𝑥 2 - 2 𝑎 𝑥$ y el eje de abscisas sea 4 unidades cuadradas.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2020

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑡) = 1 1 + 𝑒 𝑡 .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑥 = 1 + 𝑒 𝑡$ ).
Se define $𝑔 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Calcula $l í m 𝑥 \to 0 𝑔 (𝑥) 𝑥 .$

Resolución

Calculamos todas las primitivas de $𝑓 .$ $\int 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 1 1 + 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 .$ Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable $𝑥 = 1 + 𝑒 𝑡 \Rightarrow 𝑡 = l n (𝑥 - 1), 𝑑 𝑡 = 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑡$ De esta forma, $\int 1 1 + 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = \int 1 𝑥 (𝑥 - 1) 𝑑 𝑥 .$ Para resolver esta nueva integral, expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son 0 y 1, así que la función se puede escribir como $1 𝑥 (𝑥 - 1) = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 - 1 = 𝐴 𝑥 - 𝐴 + 𝐵 𝑥 𝑥 (𝑥 - 1) = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 - 𝐴 𝑥 (𝑥 - 1) .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 0, - 𝐴 = 1 .$ Resolvemos: $- 𝐴 = 1 \Leftrightarrow 𝐴 = - 1, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 = - 1 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to - 1 + 𝐵 = 0 \Leftrightarrow 𝐵 = 1 .$ Por tanto, $1 𝑥 (𝑥 - 1) = - 1 𝑥 + 1 𝑥 - 1 .$ Resolvemos la integral. $\int 1 𝑥 (𝑥 - 1) 𝑑 𝑥 = \int 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 - \int 1 𝑥 𝑑 𝑥 = l n | 𝑥 - 1 | - l n | 𝑥 | + 𝐶 = 𝑡 - l n (1 + 𝑒 𝑡) + 𝐶 .$
La función $𝑓$ es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función $𝑔 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 𝑥 0 1 1 + 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡$ es derivable, con $𝑔' (𝑥) = 𝑓 (𝑥) .$ Además, $𝑔 (0) = \int 00 1 1 + 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 = 0,$ así que $l í m 𝑥 \to 0 𝑔 (𝑥) 𝑥 = 00 .$ Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. $l í m 𝑥 \to 0 𝑔 (𝑥) 𝑥 L ’ H = l í m 𝑥 \to 0 𝑔' (𝑥) 1 = l í m 𝑥 \to 0 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to 0 1 1 + 𝑒 𝑥 = 12 .$

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2020

Calcula $\int c o s (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = c o s (l n (𝑥)) \Rightarrow 𝑢' = - s e n (l n (𝑥)) \cdot 1 𝑥, 𝑣' = 1 \Rightarrow 𝑣 = 𝑥 .$ De esta forma, $\int c o s (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 𝑥 c o s (l n (𝑥)) + \int s e n (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 .$ Integramos de nuevo por partes. $𝑢 = s e n (l n (𝑥)) \Rightarrow 𝑢' = c o s (l n (𝑥)) \cdot 1 𝑥, 𝑣' = 1 \Rightarrow 𝑣 = 𝑥 .$ Así que: $\int c o s (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 𝑥 c o s (l n (𝑥)) + \int s e n (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 𝑥 c o s (l n (𝑥)) + 𝑥 s e n (l n (𝑥)) - \int c o s (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 .$

Despejando la integral en la expresión anterior, obtenemos que: $2 \int c o s (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 𝑥 c o s (l n (𝑥)) + 𝑥 s e n (l n (𝑥)) \Leftrightarrow \int c o s (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 𝑥 c o s (l n (𝑥)) + 𝑥 s e n (l n (𝑥)) 2 + 𝐶 .$

Ejercicio 2: Septiembre de 2020

Calcula $\int 𝜋 0 𝑥 s e n 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. Para resolver esta integral, usamos las relaciones trigonométricas ${c o s 2 (𝑥) + s e n 2 (𝑥) = 1 \Leftrightarrow c o s 2 (𝑥) = 1 - s e n 2 (𝑥), c o s (2 𝑥) = c o s 2 (𝑥) - s e n 2 (𝑥) .$ Sustituyendo en la segunda identidad, $c o s (2 𝑥) = c o s 2 (𝑥) - s e n 2 (𝑥) \Leftrightarrow c o s (2 𝑥) = 1 - 2 s e n 2 (𝑥) \Leftrightarrow s e n 2 (𝑥) = 1 - c o s (2 𝑥) 2 .$ De esta forma, $\int 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 1 - c o s (2 𝑥) 2 𝑑 𝑥 = 12 \int 𝑥 𝑑 𝑥 - 12 \int 𝑥 c o s (2 𝑥) 𝑑 𝑥 = 14 𝑥 2 - 12 \int 𝑥 c o s (2 𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = c o s (2 𝑥) \Rightarrow 𝑣 = 12 s e n (2 𝑥) .$ Entonces: $14 𝑥 2 - 12 \int 𝑥 c o s (2 𝑥) 𝑑 𝑥 = 14 𝑥 2 - 12 (12 𝑥 s e n (2 𝑥) - 12 \int s e n (2 𝑥) 𝑑 𝑥) = 14 𝑥 2 - 14 𝑥 s e n (2 𝑥) - 18 c o s (2 𝑥) .$

Por último, calculamos la integral definida. $\int 𝜋 0 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 = [14 𝑥 2 - 14 𝑥 s e n (2 𝑥) - 18 c o s (2 𝑥)] 𝜋 0 = 𝜋 2 4 - 18 - (- 18) = 𝜋 2 4 .$

Ejercicio 6: Septiembre de 2020

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 |$ y $𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 - 2 .$

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Esboza el recinto que determinan.
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Hallamos los puntos de corte de las dos funciones. $𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow | 𝑥 | = 𝑥 2 - 2 \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 = 𝑥 2 - 2 \Leftrightarrow 𝑥 2 - 𝑥 - 2 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 1 (n o v á l i d a), 𝑥 = 2, - 𝑥 = 𝑥 2 - 2 \Leftrightarrow 𝑥 2 + 𝑥 - 2 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 2, 𝑥 = 1 (n o v á l i d a) .$ Por tanto, los puntos de corte son $(- 2, 2)$ y $(2, 2) .$ Representamos el recinto delimitado por ambas funciones.
Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como: $2 \int 20 (𝑓 (𝑥) - 𝑔 (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 2 \int 20 (𝑥 - (𝑥 2 - 2)) 𝑑 𝑥 = 2 \int 20 (- 𝑥 2 + 𝑥 + 2) 𝑑 𝑥 = 2 [- 13 𝑥 3 + 12 𝑥 2 + 2 𝑥] 20 = = 2 (- 83 + 2 + 4) = 203 𝑢 2 .$

Ejercicio A2: Junio de 2019

Sea la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 + 𝑒 𝑥 1 - 𝑒 𝑥 .$ Halla la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 1) .$ (Sugerencia: cambio de variable $𝑡 = 𝑒 𝑥$ ).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 1 + 𝑒 𝑥 1 - 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable $𝑡 = 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑥 = l n (𝑡), 𝑑 𝑥 = 1 𝑡 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $𝐹 (𝑥) = \int 1 + 𝑒 𝑥 1 - 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = \int 1 + 𝑡 𝑡 (1 - 𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Expresamos la función como suma de fracciones simples. $1 + 𝑡 𝑡 (1 - 𝑡) = 𝐴 𝑡 + 𝐵 1 - 𝑡 = 𝐴 - 𝐴 𝑡 + 𝐵 𝑡 𝑡 (1 - 𝑡) = (- 𝐴 + 𝐵) 𝑡 + 𝐴 𝑡 (1 - 𝑡) .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${- 𝐴 + 𝐵 = 1, 𝐴 = 1 \Leftrightarrow {𝐴 = 1, 𝐵 = 2 .$ Por tanto, $1 + 𝑡 𝑡 (1 - 𝑡) = 1 𝑡 + 2 1 - 𝑡 .$ Resolvemos la integral. $𝐹 (𝑥) = \int 1 + 𝑡 𝑡 (1 - 𝑡) 𝑑 𝑡 = \int 1 𝑡 𝑑 𝑡 + 2 \int 1 1 - 𝑡 𝑑 𝑡 = l n | 𝑡 | - 2 l n | 1 - 𝑡 | + 𝐶 = 𝑥 - 2 l n | 1 - 𝑒 𝑥 | + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(1, 1)$ ha de verificar $𝐹 (1) = 1 .$ Por tanto, $𝐹 (1) = 1 \Leftrightarrow 1 - 2 l n | 1 - 𝑒 | + 𝐶 = 1 \Leftrightarrow 𝐶 = 2 l n (𝑒 - 1) .$ Luego la primitiva es $𝐹 (𝑥) = 𝑥 - 2 l n | 1 - 𝑒 𝑥 | + 2 l n (𝑒 - 1) .$

Ejercicio B2: Junio de 2019

Considera las funciones $𝑓 : (- 2, + \infty) \to ℝ$ , definida por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥 + 2)$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ , definida por $𝑔 (𝑥) = 12 (𝑥 - 3) .$

Esboza el recinto que determinan la gráfica de $𝑓$ , la gráfica de $𝑔$ , la recta $𝑥 = 1$ y la recta $𝑥 = 3 .$ (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).
Determina el área del recinto anterior.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2019

Calcula $\int l n (𝑥 2 + 1 𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2019

Sean las funciones $𝑓, 𝑔 : [0, 𝜋] \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = s e n (𝑥)$ y $𝑔 (𝑥) = s e n (2 𝑥) .$

Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas $𝑥 = 0$ y $𝑥 = 𝜋 3 .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2019

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 4 𝑥 2 - 1$ para $𝑥 \neq - 1, 1 .$

Halla todas las funciones primitivas de $𝑓 .$
Calcula la primitiva que pasa por $(2, 0) .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2019

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : [- 𝜋, 𝜋] \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = c o s (𝑥)$ y $𝑔 (𝑥) = s e n (𝑥) .$

Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de $𝑓$ y de $𝑔$ en el intervalo $[- 3 𝜋 4, 𝜋 4] .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2019

Dado un número real $𝑎 > 0$ , considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ , dada por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 - 𝑎 𝑥$ , y la recta $𝑦 = 2 𝑎 𝑥 .$ Determina $𝑎$ sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta anterior es 36.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2019

Sea $𝑓 : [0, 𝜋 6] \to ℝ$ una función continua y sea $𝐹$ la primitiva de $𝑓$ que cumple $𝐹 (0) = 𝜋 3$ y $𝐹 (𝜋 6) = 𝜋 .$

Calcula $\int 𝜋 6 0 (3 𝑓 (𝑥) - c o s (𝑥)) 𝑑 𝑥 .$
Calcula $\int 𝜋 6 0 s e n (𝐹 (𝑥)) 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Calculamos la integral definida. $\int 𝜋 6 0 (3 𝑓 (𝑥) - c o s (𝑥)) 𝑑 𝑥 = 3 \int 𝜋 6 0 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 - \int 𝜋 6 0 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 3 [𝐹 (𝑥)] 𝜋 6 0 - [s e n (𝑥)] 𝜋 6 0 = = 3 (𝐹 (𝜋 6) - 𝐹 (0)) - s e n (𝜋 6) = 3 (𝜋 - 𝜋 3) - 12 = 2 𝜋 - 12 = 4 𝜋 - 1 2 .$
Como la función $𝑓$ es continua y $𝐹$ es su primitiva, por el teorema fundamental del cálculo $𝐹$ es derivable con $𝐹' (𝑥) = 𝑓 (𝑥) .$ Calculamos la integral definida. $\int 𝜋 6 0 s e n (𝐹 (𝑥)) 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = [- c o s (𝐹 (𝑥))] 𝜋 6 0 = - c o s (𝐹 (𝜋 6)) + c o s (𝐹 (0)) = - c o s (𝜋) + c o s (𝜋 3) = 1 + 12 = 32 .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2019

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función dada por $𝑓 (𝑥) = {- 𝑥 2 + 6 𝑥 - 8, s i 𝑥 \leq 4, 𝑥 2 - 6 𝑥 + 8, s i 𝑥 > 4 .$

Calcula los puntos de corte entre la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 2 𝑥 - 4 .$ Esboza el recinto que delimitan la gráfica de $𝑓$ y la recta.
Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2019

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ dada por $𝑓 (𝑥) = - 4 𝑥 2 + 𝑎$ , siendo $𝑎 > 0$ un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 0 .$ Calcula $𝑎$ sabiendo que el área del recinto es 18.

Ejercicio A2: Septiembre de 2019

Determina la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple $𝑓' (𝑥) = l n (𝑥) \sqrt 𝑥$ y que la gráfica de $𝑓$ pasa por el punto $(1, 0) .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2019

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ dada por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑒 - 𝑥 2 .$

Calcula los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con los ejes coordenados y los extremos relativos de $𝑓$ (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).
Determina $𝑎 > 0$ de manera que sea $14$ el área del recinto determinado por la gráfica de $𝑓$ en el intervalo $[0, 𝑎]$ y el eje de abscisas.

Ejercicio A2: Junio de 2018

Considera las funciones $𝑓$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ dadas por $𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 - 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = | 𝑥 2 - 2 𝑥 | .$

Esboza el recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Junio de 2018

Considera las funciones $𝑓$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 3 - 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 4 .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1$ y comprueba que también es tangente a la gráfica de $𝑔 .$ Determina el punto de tangencia con la gráfica de $𝑔 .$
Esboza el recinto limitado por la recta $𝑦 = 4 - 2 𝑥$ y las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2018

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 2 - 𝑥 .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 2 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje de ordenadas y la recta $𝑥 + 𝑦 = 3 .$
Calcula el área del recinto indicado.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2018

Considera la función $𝑓 : (- 𝑒 2, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = l n (2 𝑥 + 𝑒) .$

Haz un esbozo de la gráfica de $𝑓$ calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y los ejes de coordenadas.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2018

Determina la función $𝑓 : (1, + \infty) \to ℝ$ sabiendo que $𝑓 ″ (𝑥) = 1 (𝑥 - 1) 2$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 2$ es $𝑦 = 𝑥 + 2 .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2018

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 c o s (𝑥 2) .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
Encuentra la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1) .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2018

Siendo $𝑎 > 1$ , considera el rectángulo de vértices $𝐴 (1, 0)$ , $𝐵 (1, 1)$ , $𝐶 (𝑎, 1)$ y $𝐷 (𝑎, 0) .$ La gráfica de la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 𝑥 2$ para $𝑥 \neq 0$ divide al rectángulo anterior en dos recintos.

Haz un esbozo de la gráfica de $𝑓$ y del rectángulo descrito.
Determina el valor de $𝑎$ para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2018

Calcula $\int l n (2) 0 1 1 + 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2018

Considera las funciones $𝑓$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 2 - 𝑥 + 3$ y $𝑔 (𝑥) = | 𝑥 | .$

Esboza el recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2018

Se sabe que la función $𝑓 : [0, + \infty) \to ℝ$ dada por $𝑓 (𝑥) = ⎧ { {⎨ { {⎩ \sqrt 𝑎 𝑥, s i 0 \leq 𝑥 \leq 0, 𝑥 2 - 32 𝑥 - 4, s i 𝑥 > 8$ es continua.

Determina $𝑎 .$
Para $𝑎 = 8$ , calcula $\int 100 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2018

Considera la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 l n (𝑥) - 𝑏 𝑥$ para $𝑥 > 0 .$ Determina $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que $𝑓$ tiene un extremo relativo en $𝑥 = 1$ y que $\int 21 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 8 l n (2) - 9 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2018

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 - 2 𝑥 .$

Determina el punto de la gráfica de $𝑓$ en el que la recta tangente es $𝑦 = - 2 𝑒 𝑥 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑦 = - 2 𝑒 𝑥$ y el eje de ordenadas.
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Junio de 2017

Considera la región limitada por las curvas $𝑦 = 𝑥 2$ e $𝑦 = - 𝑥 2 + 4 𝑥 .$

Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.
Expresa el área como una integral.
Calcula el área.

Ejercicio B2: Junio de 2017

Calcula $\int 161 𝑑 𝑥 \sqrt 𝑥 + 4 \sqrt 𝑥 .$ (Sugerencia $𝑡 = 4 \sqrt 𝑥$ ).

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2017

Considera la función dada por $𝑓 (𝑥) = \sqrt 3 + | 𝑥 |$ para $𝑥 \in [- 3, 3] .$

Expresa la función $𝑓$ definida a trozos.
Halla $\int 3 - 3 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2017

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 a r c t g (𝑥) .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 𝜋) .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2017

Sea $𝑓$ la función definida como $𝑓 (𝑥) = (𝑥 + 2) l n (𝑥)$ para $𝑥 > 0 .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
Encuentra la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica para por el punto $(1, 0) .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2017

Halla $\int 𝑥 2 (1 + 𝑥 3) 3 / 2 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia $𝑡 = 1 + 𝑥 3$ ).
Halla la primitiva cuya gráfica para por $(2, 0) .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2017

Sea $𝐼 = \int 80 1 2 + \sqrt 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 .$

Expresa $𝐼$ aplicando el cambio de variable $𝑡 = 2 + \sqrt 𝑥 + 1 .$
Calcula el valor de $𝐼 .$

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2017

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por $𝑓 (𝑥) = \sqrt 2 𝑥 - 2$ para $𝑥 \geq 1$ , la recta $𝑦 = 𝑥 - 5$ y el eje de abscisas.

Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de $𝑓$ y las rectas.
Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.
Calcula el área.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2017

Calcula $\int 30 1 1 + 3 \sqrt 𝑥 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia $𝑡 = 3 \sqrt 𝑥$ ).

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2017

Calcula $\int 10 𝑥 2 + 1 (𝑥 + 1) 2 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2017

Determina la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ tal que $𝑓 ″ (𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑥$ , cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en $𝑥 = 1 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2017

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje $𝑂 𝑋$ , la recta $𝑦 = 𝑥$ , la gráfica $𝑦 = 1 𝑥 3$ y la recta $𝑥 = 3 .$

Haz un esbozo del recinto descrito.
Calcula el área del recinto.
Si consideras la gráfica $𝑦 = 1 𝑥$ en lugar de $𝑦 = 1 𝑥 3$ , el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿Por qué?

Ejercicio A2: Junio de 2016

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1$ sabiendo que $𝑓 (0) = 0$ y $𝑓' (𝑥) = (𝑥 - 1) 2 𝑥 + 1$ para $𝑥 > - 1 .$

Ejercicio B2: Junio de 2016

Sea $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ la función dada por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥) .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1 .$
Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑦 = 𝑥 - 1$ y la recta $𝑥 = 3 .$ Calcula su área.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2016

Considera la función $𝑓$ dada por $𝑓 (𝑥) = \sqrt 𝑥 + l n (𝑥) 𝑥$ para $𝑥 > 0 .$

Halla todas las primitivas de $𝑓 .$
Halla $\int 31 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
Determina la primitiva de $𝑓$ que toma el valor 3 para $𝑥 = 1 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2016

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función dada por $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 (𝑥 2 + 1) 2 .$ Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje de abscisas y las rectas $𝑥 = 0$ y $𝑥 = 1 .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2016

De la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑒 𝑥 - 𝑏 𝑥$ , donde $𝑎, 𝑏 \in ℝ$ , se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en $𝑥 = 0$ y que $\int 10 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 - 32 .$ Halla los valores de $𝑎$ y $𝑏 .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2016

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 (2 𝑚 - 𝑥) 𝑚 3,$ con $𝑚 > 0 .$ Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de $𝑓$ y el eje $𝑂 𝑋 .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2016

Calcula el valor de $𝑎 > 0$ para el que se verifica $\int 𝑎 0 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑑 𝑥 = 1 .$

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2016

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ dada for $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 2 + 𝑚 𝑥$ siendo $𝑚 > 0 .$ Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = - 𝑚 𝑥$ y calcula el valor de $𝑚$ para que el área de dicho recinto sea 36.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2016

Calcula $\int \sqrt 2 𝑥 + 1 2 𝑥 + 1 + \sqrt 2 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: $𝑡 = \sqrt 2 𝑥 + 1$ ).

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2016

Determina la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ tal que $𝑓 ″ (𝑥) = - 2 s e n (2 𝑥), 𝑓 (0) = 1 y 𝑓 (𝜋 2) = 0 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2016

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 4 .$ Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de $𝑓$ formando con ella un recinto con área $85 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2016

Calcula $\int 𝑥 1 + \sqrt 𝑥 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: $𝑡 = \sqrt 𝑥$ ).

Ejercicio A2: Junio de 2015

Calcula $\int - 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Junio de 2015

Determina la función $𝑓 : (0, \infty) \to ℝ$ sabiendo que $𝑓 ″ (𝑥) = l n (𝑥)$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $𝑃 (1, 2) .$

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2015

Calcula $\int 𝑑 𝑥 (𝑥 - 2) \sqrt 𝑥 + 2 .$ (Sugerencia: $\sqrt 𝑥 + 2 = 𝑡$ ).

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2015

Sea $𝑔$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = l n (𝑥)$ para $𝑥 > 0 .$ Calcula el valor de $𝑎 > 1$ para que el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑔$ , el eje de abscisas y la recta $𝑥 = 𝑎$ es 1.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2015

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = | l n (𝑥) |$ para $𝑥 > 0 .$

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 1 .$
Calcula los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con la recta $𝑦 = 1 .$
Calcula el área del recinto citado.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2015

Calcula $\int 𝑒 2 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2015

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥) 2 𝑥$ para $𝑥 > 0$ y sea $𝐹$ la primitiva de $𝑓$ tal que $𝐹 (1) = 2 .$

Calcula $𝐹' (𝑒) .$
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝐹$ en el punto de abscisa $𝑥 = 𝑒 .$

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2015

Sea $𝑓 : [0, \infty) \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = \sqrt 2 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = 12 𝑥 2 .$

Halla los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Haz un esbozo del recinto que limitan.
Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2015

Calcula el valor de $𝑎 > 1$ sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola $𝑦 = - 𝑥 2 + 𝑎 𝑥$ y la recta $𝑦 = 𝑥$ es $43 .$

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2015

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑥 2 (𝑥 - 1)$ para $𝑥 \neq 0$ y $𝑥 \neq 1$ y sea $𝐹$ la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $𝑃 (2, l n (2)) .$

Calcula la recta tangente a la gráfica $𝐹$ en el punto $𝑃 .$
Determina la función $𝐹 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2015

Calcula $\int 𝜋 0 𝑥 2 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2015

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 2 - 4 | .$

Haz un esbozo de la gráfica de $𝑓 .$
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 5 .$

Ejercicio A2: Junio de 2014

Sean $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas respectivamente por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 | 2 y 𝑔 (𝑥) = 1 1 + 𝑥 2 .$

Esboza las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Junio de 2014

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 l n (𝑥 + 1)$ para $𝑥 > - 1 .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 0) .$

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2014

Determina una función derivable $𝑓 : ℝ \to ℝ$ sabiendo que $𝑓 (1) = - 1$ y que $𝑓' (𝑥) = {𝑥 2 - 2 𝑥, s i 𝑥 < 0, 𝑒 𝑥 - 1, s i 𝑥 \geq 0 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2014

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: $𝑦 = 𝑥 2, 𝑦 = 2 - 𝑥 2, 𝑦 = 4 .$

Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.
Calcula el área del recinto.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2014

Calcula $\int 1 - 1 l n (4 - 𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2014

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 2 + 2 𝑥 + 3 .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 2 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $2 𝑥 + 𝑦 - 7 = 0$ y el eje $𝑂 𝑋$ , calculando los puntos de corte.
Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2014

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 3 𝑥 2 - 𝑥 + 3 .$

Halla, si existe, el punto de la gráfica de $𝑓$ en el que la recta tangente es $𝑦 = 3 - 𝑥 .$
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta del apartado anterior.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2014

Sea $𝑓 : (- 1, 3) \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 9 (𝑥 + 1) (𝑥 - 3) .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 0) .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2014

Calcula $\int 𝑑 𝑥 2 𝑥 (𝑥 + \sqrt 𝑥) .$ (Sugerencia: cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑥$ ).

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2014

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 0 .$
Calcula la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 0) .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2014

Calcula $\int 10 𝑥 2 2 𝑥 2 - 2 𝑥 - 4 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2014

Calcula $\int 𝜋 / 4 0 𝑥 c o s 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: integración por partes).

Ejercicio A2: Junio de 2013

Sean $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas mediante $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 (𝑥 - 2) | y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 + 4 .$

Esboza las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Junio de 2013

Sea $𝑔 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = l n (𝑥 2 + 1) .$ Calcula la primitiva de $𝑔$ cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2013

De la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 3 + 𝑏 𝑥 2 + 𝑐 𝑥 + 𝑑$ se sabe que alcanza un máximo relativo en $𝑥 = 1$ , que la gráfica tiene un punto de inflexión en $(0, 0)$ y que $\int 10 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 54 .$ Calcula $𝑎$ , $𝑏$ , $𝑐$ y $𝑑 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2013

Calcula $\int 42 𝑥 2 𝑥 2 - 6 𝑥 + 5 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2013

Halla $\int 𝑥 + 1 1 + \sqrt 𝑥 𝑑 𝑥 .$ Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2013

Sea $𝑔 : (0, + \infty) \to ℝ$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = | l n (𝑥) | .$

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑔$ y la recta $𝑦 = 1 .$ Calcula los puntos de corte entre ellas.
Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2013

Sea $𝑔 : (0, + \infty) \to ℝ$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = 1 𝑥 + \sqrt 𝑥 .$ Determina la primitiva de $𝑔$ cuya gráfica pasa por el punto $𝑃 (1, 0) .$ Sugerencia: se puede usar el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2013

Calcula $\int 𝜋 / 2 0 𝑥 s e n (2 𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2013

Sean $𝑓$ y $𝑔$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = 2 - 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = 2 𝑥 + 1$ para $𝑥 \neq - 1 .$

Calcula los puntos de corte entre las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$
Esboza las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ sobre los mismos ejes.
Halla el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2013

Calcula $\int 42 𝑒 𝑥 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$ Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑒 𝑥 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2013

Determina la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ tal que $𝑓' (𝑥) = (2 𝑥 + 1) 𝑒 - 𝑥$ y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.
Calcula la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 0 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2013

Sea $𝑔 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 6 𝑥 - 5 .$

Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $𝑔$ en el punto de abscisa $𝑥 = 4 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑔$ y la recta $𝑥 - 2 𝑦 + 2 = 0 .$ Calcula el área de este recinto.

Ejercicio A2: Junio de 2012

Sea $𝑓$ una función continua en el intervalo $[2, 3]$ y $𝐹$ una función primitiva de $𝑓$ tal que $𝐹 (2) = 1$ y $𝐹 (3) = 2 .$ Calcula:

$\int 32 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
$\int 32 (5 𝑓 (𝑥) - 7) 𝑑 𝑥 .$
$\int 32 (𝐹 (𝑥)) 2 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Junio de 2012

Sea la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 2 - 1$ para $𝑥 \neq - 1$ y $𝑥 \neq 1 .$

Halla una primitiva de $𝑓 .$
Calcula el valor de $𝑘$ para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de $𝑓$ en el intervalo $[2, 𝑘]$ sea $l n (2) .$

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2012

Sean $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = s e n (𝑥)$ y $𝑔 (𝑥) = c o s (𝑥)$ respectivamente.

Realiza un esbozo de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ en el intervalo $[0, 𝜋 2] .$
Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas $𝑥 = 0$ y $𝑥 = 𝜋 2 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2012

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 c o s (𝑥) .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(𝜋, 0) .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2012

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 4 𝑥 .$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = - 𝑥 - 2$ , determinando los puntos de corte de ambas gráficas.
Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2012

Sean $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 - 2 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 4 𝑥$ respectivamente.

Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.
Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2012

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas $𝑦 = 4 𝑥$ , $𝑦 = 8 - 4 𝑥$ y la curva $𝑦 = 2 𝑥 - 𝑥 2 .$

Realiza un esbozo de dicho recinto.
Calcula su área.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2012

Calcula los valores de $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 l n (𝑥)$ tiene un extremo relativo en $𝑥 = 1$ y que $\int 41 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 27 - 8 l n (4) .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2012

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = (1 - 𝑥 2) 𝑒 - 𝑥 .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(- 1, 0) .$

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2012

Sean las funciones $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : [0, + \infty) \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 4$ y $𝑔 (𝑥) = 2 \sqrt 𝑥$ respectivamente.

Halla los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Realiza un esbozo del recinto que limitan.
Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Septiembre de 2012

Sea $𝐼 = \int 10 𝑥 1 + \sqrt 1 - 𝑥 𝑑 𝑥 .$

Expresa la integral $𝐼$ aplicando el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 - 𝑥 .$
Calcula el valor de $𝐼 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2012

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 9 - 𝑥 2 4 .$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑥 + 2 𝑦 = 5$ y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Junio de 2011

Sea $𝑓 : (- 1, + \infty) \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥 + 1) .$

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje $𝑂 𝑌$ y la recta $𝑦 = 1 .$ Calcula los puntos de corte de las gráficas.
Halla el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Junio de 2011

Halla: $\int 𝑒 𝑥 (𝑒 2 𝑥 - 1) (𝑒 𝑥 + 1) 𝑑 𝑥 .$ Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = 𝑒 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2011

Determina la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ tal que $𝑓 ″ (𝑥) = 1 𝑥$ y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $𝑃 (1, 1)$ .

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2011

Calcula: $\int 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2011

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por: $𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 - 𝑥 2, 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 - 2 𝑥 .$

Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2011

Sean $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = - 14 𝑥 2 + 4 y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 - 1 .$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = - 2 .$
Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta $𝑦 = 𝑥 + 5 .$ Calcula el área de este recinto.