Matemáticas de Selectividad

Halla la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ que pasa por los puntos (2,𝑒 −2 −2ln⁡(2)) y (1,0), y verifica que: 𝑓″(𝑥)=𝑒𝑥−1−1𝑥.

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)2.

1. Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑎 con 𝑎 >0.
2. Calcula 𝑎 >0 para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑎 sea 43 unidades cuadradas.

Considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥sen⁡(2𝑥),si 𝑥≤0,cos⁡(𝜋𝑥)−1,si 𝑥>0. Calcula ∫1−𝜋4𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1𝑥2+2𝑥+2. Calcula una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,𝜋4).

Calcula el valor de 𝑘 para que ∫31𝑒𝑥−𝑘(𝑥−2)𝑑𝑥=2.

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥2−1, para 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠1. Calcula una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,1).

Halla la función 𝑓 :ℝ →ℝ tal que 𝑓″(𝑥) =𝑥cos⁡(𝑥) y cuya gráfica pasa por los puntos (0,𝜋2) y (𝜋,2𝜋).

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=∫𝑥0cos⁡(𝑡)sen2⁡(𝑡)𝑑𝑡. Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋4.

Calcula ∫𝑑𝑥√4+4𝑒𝑥. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑡 =√1+𝑒𝑥).

Considera la función 𝑓(𝑥)={1−𝑒𝑥,si 𝑥≤0,𝑥cos⁡(𝑥),si 𝑥>0. Calcula ∫𝜋−𝜋𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Calcula una primitiva de la función 𝑓 :(1, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2ln⁡(√𝑥−12) cuya gráfica pase por el punto (5,−72). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑥 −1 =𝑡2).

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −6𝑥2 +8𝑥.

1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.
2. Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Calcula ∫𝑒3𝑥−1𝑒𝑥−3𝑑𝑥. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑡 =𝑒𝑥).

Halla la función 𝑓 :(2, +∞) →ℝ que pasa por el punto (3, −4ln⁡(5)) y verifica 𝑓′(𝑥)=3𝑥2+4𝑥+12𝑥2−4.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥2 −3𝑥 +5)𝑒𝑥. Halla una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,5).

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +7 y 𝑔(𝑥) =|𝑥2 −1|.

1. Halla los puntos de intersección de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
2. Calcula el área de dicho recinto.

Halla ∫𝜋20𝑒𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =𝑥|𝑥 −1|. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Considera la función 𝐹 :ℝ →ℝ definida por 𝐹(𝑥)=∫𝑥0sen⁡(𝑡2)𝑑𝑡. Calcula lím𝑥→0⁡𝑥𝐹(𝑥)sen⁡(𝑥2).

Calcula ∫12619−𝑥2𝑑𝑥.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 +1.

1. Determina el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 =4𝑥 −3.
2. Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 =4𝑥 −3 y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Sabiendo que 𝐹 :ℝ →ℝ definida por 𝐹(𝑥) =𝑒𝑥2 es una primitiva de 𝑓.

1. Comprueba que 𝑓 es creciente.
2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =1.

Considera la función 𝑓 :[0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =cos⁡(√𝑥). Calcula, si es posible, una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,5). Sugerencia: haz el cambio 𝑡 =√𝑥.

Determina la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto (1,0), 𝑓′(𝑒) =𝑒 y 𝑓″(𝑥) =2ln⁡(𝑥) +1, para todo 𝑥 >0.

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =|𝑥2 −1| y 𝑔(𝑥) =𝑥 +5.

1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.
2. Determina el área del recinto anterior.

Calcula una primitiva de la función 𝑓 :[0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =arctg⁡(√𝑥) cuya gráfica pase por el punto (0,1). Sugerencia: efectúa el cambio 𝑥 =𝑡2.

Considera la función 𝑓 :( −1, +∞) →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥 +1). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =𝑒 −1.

Calcula 𝑎 con 0 <𝑎 <1, tal que ∫1𝑎ln⁡(𝑥)𝑥𝑑𝑥+2=0.

Considera las funciones 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :ℝ ∖{0} →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =5 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) =4𝑥2.

1. Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.
2. Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)={2𝑥+4,si 𝑥<0,(𝑥−2)2,si 𝑥≥0.

1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función.
2. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y por el eje de abscisas.

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3𝑥2−2𝑥+1 para 𝑥 ≠1. Halla una primitiva de 𝑓 que pase por el punto (2,6).

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥sen⁡(2𝑥). Halla la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,0).

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =1 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) =2𝑥2.

1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Esboza el recinto que delimitan.
2. Determina el área del recinto anterior.

Considera la función 𝐹 :[0,2𝜋] →ℝ definida por 𝐹(𝑥)=∫𝑥02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡.

1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝐹.
2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋.

Calcula ∫10𝑥arctg⁡(𝑥)𝑑𝑥.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −𝑥. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función 𝑓 y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Calcula ∫30𝑥√1+𝑥𝑑𝑥. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑡 =√1+𝑥).

Calcula ∫2𝑥3+2𝑥2−2𝑥+7𝑥2+𝑥−2𝑑𝑥.

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥2 y 𝑔(𝑥) =𝑎|𝑥|, con 𝑎 >0. Determina el valor de 𝑎 para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Calcula ∫831√1+𝑥−1𝑑𝑥. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑡 =√1+𝑥 −1).

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +2 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +2.

1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Esboza sus gráficas.
2. Determina el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 en el primer cuadrante.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =4𝑥3 −𝑥4.

1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓.
2. Esboza la gráfica de 𝑓 y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Considera la función 𝐹 :[0, +∞) →ℝ definida por 𝐹(𝑥)=∫𝑥0(2𝑡+√𝑡)𝑑𝑡. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥.

1. Calcula 𝑎 para que la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto (𝑎,𝑓(𝑎)) pase por el origen de coordenadas.
2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta tangente a la misma en el punto (1,𝑓(1)) y el eje de ordenadas.

Calcula ∫31|𝑥2−3𝑥+2|𝑑𝑥.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 +|𝑥 −1|.

1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
2. Calcula ∫20𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Considera la función 𝑓 :[0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥𝑒𝑥.

1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y las rectas 𝑥 =2, 𝑦 =𝑥.
2. Determina el área del recinto anterior.

Considera la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln2⁡(𝑥).

1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
2. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓 y las rectas 𝑦 =0, 𝑥 =1, 𝑥 =𝑒.

Calcula ∫2011+√𝑒𝑥𝑑𝑥. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑡 =√𝑒𝑥).

Calcula ∫𝜋/20(2sen2⁡(𝑥)−cos2⁡(𝑥))𝑑𝑥.

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =|𝑥| −2 y por 𝑔(𝑥) =4 −𝑥2.

1. Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.
2. Determina el área del recinto anterior.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=1+∫𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de 𝑓 y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2+1𝑥2−1 (para 𝑥 ≠ −1, 𝑥 ≠1). Halla una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (2,4).

Calcula 𝑎 >0 sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =𝑥𝑒3𝑥, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =𝑎 vale 19.

Sea 𝑓 la función dada por 𝑓(𝑥)=3𝑥2+4(𝑥−2)2 para 𝑥 ≠2.

1. Calcula ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
2. Calcula la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (3,5).

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=−𝑥3+2𝑥−3𝑥2−𝑥 para 𝑥 ≠0, 𝑥 ≠1. Halla la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (2,3ln⁡(2)).