Ejercicios de ciencias

Ejercicio 6: Junio de 2025

Halla la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ que pasa por los puntos $(2, 𝑒 - 2 - 2 l n (2))$ y $(1, 0)$ , y verifica que: $𝑓 ″ (𝑥) = 𝑒 𝑥 - 1 - 1 𝑥 .$

Resolución

Como $𝑓 ″$ es la derivada de $𝑓'$ , entonces: $𝑓' (𝑥) = \int 𝑓 ″ (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int (𝑒 𝑥 - 1 - 1 𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 - 1 - l n (𝑥) + 𝐶 .$ De igual forma, $𝑓'$ es la derivada de $𝑓$ , así que: $𝑓 (𝑥) = \int 𝑓' (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int (𝑒 𝑥 - 1 - l n (𝑥) + 𝐶) 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 - 1 - 𝑥 l n (𝑥) + 𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝐾 .$

Si la gráfica de $𝑓$ pasa por el punto $(1, 0)$ , ha de verificarse que: $𝑓 (1) = 0 \Leftrightarrow 1 + 1 + 𝐶 + 𝐾 = 0 \Leftrightarrow 𝐶 + 𝐾 = - 2 .$
Si la gráfica de $𝑓$ para por el punto $(2, 𝑒 - 2 - 2 l n (2))$ , ha de verificarse que: $𝑓 (2) = 𝑒 - 2 - 2 l n (2) \Leftrightarrow 𝑒 - 2 l n (2) + 2 + 2 𝐶 + 𝐾 = 𝑒 - 2 - 2 l n (2) \Leftrightarrow 2 𝐶 + 𝐾 = - 4 .$

Planteamos un sistema de ecuaciones con las dos condiciones. ${𝐶 + 𝐾 = - 2, 2 𝐶 + 𝐾 = - 4 .$ Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que: $𝐶 = - 2 \Rightarrow 𝐾 = - 2 - 𝐶 = - 2 + 2 = 0 .$

Por tanto, $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 - 1 - 𝑥 l n (𝑥) + 𝑥 - 2 𝑥 = 𝑒 𝑥 - 1 - 𝑥 l n (𝑥) - 𝑥 .$

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2025

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = (𝑥 - 1) 2$ .

Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 𝑎$ con $𝑎 > 0$ .
Calcula $𝑎 > 0$ para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 𝑎$ sea $43$ unidades cuadradas.

Resolución

Representamos el recinto.
En primer lugar, hallamos los puntos de corte entre la función y la recta. $𝑓 (𝑥) = 𝑎 \Leftrightarrow (𝑥 - 1) 2 = 𝑎 \Leftrightarrow | 𝑥 - 1 | = \sqrt 𝑎 \Leftrightarrow {𝑥 - 1 = \sqrt 𝑎 \Leftrightarrow 𝑥 = 1 + \sqrt 𝑎, 𝑥 - 1 = - \sqrt 𝑎 \Leftrightarrow 𝑥 = 1 - \sqrt 𝑎 .$ Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como: $𝑆 = 2 \int 1 + \sqrt 𝑎 0 (𝑥 2 - 2 𝑥 + 1) 𝑑 𝑥 = 2 [𝑥 3 3 - 𝑥 2 + 𝑥] 1 + \sqrt 𝑎 0 = 2 ((1 + \sqrt 𝑎) 3 3 - (1 + \sqrt 𝑎) 2 + 1 + \sqrt 𝑎) .$ Para que el área sea de $43$ unidades cuadradas, ha de verificarse: $𝑆 = 43 \Leftrightarrow 2 ((1 + \sqrt 𝑎) 3 3 - (1 + \sqrt 𝑎) 2 + 1 + \sqrt 𝑎) = 43 .$ Por comodidad, realizamos el cambio de variable $𝑡 = 1 + \sqrt 𝑎$ . De esta forma, la ecuación se puede escribir como: $2 (𝑡 3 3 - 𝑡 2 + 𝑡) = 43 \Leftrightarrow 𝑡 3 3 - 𝑡 2 + 𝑡 = 23 \Leftrightarrow 𝑡 3 - 3 𝑡 2 + 3 𝑡 - 2 = 0 \Leftrightarrow (𝑡 - 2) (𝑡 2 - 𝑡 + 1) = 0 \Leftrightarrow 𝑡 = 2 .$ Deshaciendo el cambio de variable, $1 + \sqrt 𝑎 = 2 \Leftrightarrow \sqrt 𝑎 = 1 \Leftrightarrow 𝑎 = 1 .$

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2025

Considera la función $𝑓 (𝑥) = {𝑥 s e n (2 𝑥), s i 𝑥 \leq 0, c o s (𝜋 𝑥) - 1, s i 𝑥 > 0 .$ Calcula $\int 1 - 𝜋 4 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥$ .

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la primera rama integrando por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = s e n (2 𝑥) \Rightarrow 𝑣 = - 12 c o s (𝑥) .$ De esta forma, $\int 𝑥 s e n (2 𝑥) 𝑑 𝑥 = - 12 𝑥 c o s (2 𝑥) + 12 \int c o s (2 𝑥) 𝑑 𝑥 = - 12 𝑥 c o s (2 𝑥) + 14 s e n (2 𝑥) .$

Calculamos la integral definida. $\int 1 - 𝜋 4 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 0 - 𝜋 4 𝑥 s e n (2 𝑥) 𝑑 𝑥 + \int 10 (c o s (𝜋 𝑥) - 1) 𝑑 𝑥 = [- 12 𝑥 c o s (2 𝑥) + 14 s e n (2 𝑥)] 0 - 𝜋 4 + [1 𝜋 s e n (𝜋 𝑥) - 𝑥] 10 = = - (- 14) + (- 1) = - 34 .$

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2025

Calcula $\int 2 \sqrt 3 4 𝑥 𝑥 4 - 6 𝑥 2 + 10 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = 𝑥 2 - 3$ ).

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2025

Sean las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 1$ .

Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ . Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ .

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2025

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 1 𝑥 2 + 1 .$ Calcula una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$ .

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2025

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = - 𝑒 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑒 - 𝑥$ .

Esboza las gráficas de dichas funciones.
Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas $𝑥 = - 1$ y $𝑥 = 1$ .

Ejercicio 2: Julio de 2025

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 𝑥 2 + 2 𝑥 + 2 .$ Calcula una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 𝜋 4)$ .

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función realizando el cambio de variable: $𝑥 2 + 2 𝑥 + 2 = 𝑡 2 + 1 \Leftrightarrow 𝑡 2 = 𝑥 2 + 2 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1) 2 \Rightarrow 𝑡 = 𝑥 + 1, 𝑑 𝑡 = 𝑑 𝑥 .$ De esta forma, $𝐹 (𝑥) = \int 1 𝑥 2 + 2 𝑥 + 2 𝑑 𝑥 = \int 1 𝑡 2 + 1 𝑑 𝑡 = a r c t g (𝑡) + 𝐶 = a r c t g (𝑥 + 1) + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(0, 𝜋 4)$ ha de verificar: $𝐹 (0) = 𝜋 4 \Leftrightarrow 𝜋 4 + 𝐶 = 𝜋 4 \Leftrightarrow 𝐶 = 0 .$ Por tanto, la primitiva es: $𝐹 (𝑥) = a r c t g (𝑥 + 1) .$

Ejercicio 3: Julio de 2025

Calcula el valor de $𝑘$ para que $\int 31 𝑒 𝑥 - 𝑘 (𝑥 - 2) 𝑑 𝑥 = 2 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función integrando por partes. $𝑢 = 𝑥 - 2 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = 𝑒 𝑥 - 𝑘 \Rightarrow 𝑣 = 𝑒 𝑥 - 𝑘 .$ De esta forma, $\int 𝑒 𝑥 - 𝑘 (𝑥 - 2) 𝑑 𝑥 = (𝑥 - 2) 𝑒 𝑥 - 𝑘 - \int 𝑒 𝑥 - 𝑘 𝑑 𝑥 = (𝑥 - 2) 𝑒 𝑥 - 𝑘 - 𝑒 𝑥 - 𝑘 = (𝑥 - 3) 𝑒 𝑥 - 𝑘 .$

Calculamos la integral definida. $\int 31 𝑒 𝑥 - 𝑘 (𝑥 - 2) 𝑑 𝑥 = [(𝑥 - 3) 𝑒 𝑥 - 𝑘] 31 = - (- 2 𝑒 1 - 𝑘) = 2 𝑒 1 - 𝑘 .$ Ha de verificarse que: $\int 31 𝑒 𝑥 - 𝑘 (𝑥 - 2) 𝑑 𝑥 = 2 \Leftrightarrow 2 𝑒 1 - 𝑘 = 2 \Leftrightarrow 𝑒 1 - 𝑘 = 1 \Leftrightarrow 𝑘 = 1 .$ Por tanto, $𝑘 = 1$ .

Ejercicio 3: Junio de 2024

Considera la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 1,$ para $𝑥 \neq - 1$ y $𝑥 \neq 1 .$ Calcula una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1) .$

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓 .$ $𝐹 (𝑥) = \int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 .$ Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. $𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 1 = 𝑥 + 𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 .$ Así que: $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 𝑑 𝑥 + \int 𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = 12 𝑥 2 + \int 𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 .$ Expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son -1 y 1, así que la función se puede escribir como $𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 = 𝐴 𝑥 - 1 + 𝐵 𝑥 + 1 = 𝐴 (𝑥 + 1) + 𝐵 (𝑥 - 1) 𝑥 2 - 1 = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 + 𝐴 - 𝐵 𝑥 2 - 1 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 1, 𝐴 - 𝐵 = 2 .$ Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que $2 𝐴 = 3 \Leftrightarrow 𝐴 = 32 .$ Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que $𝐴 + 𝐵 = 1 \Leftrightarrow 𝐵 = 1 - 𝐴 𝐴 = 3 / 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐵 = - 12 .$ Por tanto, $𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 = 3 2 (𝑥 - 1) - 1 2 (𝑥 + 1) .$ Resolvemos la integral. $𝐹 (𝑥) = 12 𝑥 2 + \int 𝑥 + 2 𝑥 2 - 1 𝑑 𝑥 = 12 𝑥 2 + 32 \int 1 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 - 12 \int 1 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 = 12 𝑥 2 + 32 l n | 𝑥 - 1 | - 12 l n | 𝑥 + 1 | + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(0, 1)$ ha de verificar que $𝐹 (0) = 1 .$ Por tanto, $𝐹 (0) = 1 \Leftrightarrow 𝐶 = 1 .$ Luego la primitiva es $𝐹 (𝑥) = 12 𝑥 2 + 32 l n | 𝑥 - 1 | - 12 l n | 𝑥 + 1 | + 1 .$

Ejercicio 4: Junio de 2024

Halla la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ tal que $𝑓 ″ (𝑥) = 𝑥 c o s (𝑥)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $(0, 𝜋 2)$ y $(𝜋, 2 𝜋) .$

Resolución

Como $𝑓 ″$ es la derivada de $𝑓'$ , entonces $𝑓' (𝑥) = \int 𝑓 ″ (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = c o s (𝑥) \Rightarrow 𝑣 = s e n (𝑥) .$ Entonces: $𝑓' (𝑥) = \int 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑥 s e n (𝑥) - \int s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑥 s e n (𝑥) + c o s (𝑥) + 𝐶 .$

De igual forma, $𝑓'$ es la derivada de $𝑓$ , así que $𝑓 (𝑥) = \int 𝑓' (𝑥) 𝑑 𝑥 = \int (𝑥 s e n (𝑥) + c o s (𝑥) + 𝐶) 𝑑 𝑥 = \int 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 + s e n (𝑥) + 𝐶 𝑥 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = 𝑥 \Rightarrow 𝑢' = 1, 𝑣' = s e n (𝑥) \Rightarrow 𝑣 = - c o s (𝑥) .$ Entonces: $𝑓 (𝑥) = \int 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 + s e n (𝑥) + 𝐶 𝑥 = - 𝑥 c o s (𝑥) + \int c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 + s e n (𝑥) + 𝐶 𝑥 + 𝐾 = = - 𝑥 c o s (𝑥) + 2 s e n (𝑥) + 𝐶 𝑥 + 𝐾 .$

Si la gráfica de $𝑓$ pasa por el punto $(0, 𝜋 2)$ , ha de verificarse que $𝑓 (0) = 𝜋 2 .$ Así que $𝑓 (0) = 𝜋 2 \Leftrightarrow 𝐾 = 𝜋 2 .$

De igual forma, si la gráfica pasa por el punto $(𝜋, 2 𝜋)$ , ha de verificarse que $𝑓 (𝜋) = 2 𝜋 .$ Por tanto, $𝑓 (𝜋) = 2 𝜋 \Leftrightarrow 𝜋 + 𝐶 𝜋 + 𝜋 2 = 2 𝜋 \Leftrightarrow 1 + 𝐶 + 12 = 2 \Leftrightarrow 𝐶 = 12 .$

Así que la función es $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 c o s (𝑥) + 2 s e n (𝑥) + 12 𝑥 + 𝜋 2 .$

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2024

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = \int 𝑥 0 c o s (𝑡) s e n 2 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 𝜋 4 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2024

Calcula $\int 𝑑 𝑥 \sqrt 4 + 4 𝑒 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑒 𝑥$ ).

Resolución

Calculamos la integral indefinida. $\int 𝑑 𝑥 \sqrt 4 + 4 𝑒 𝑥 = 12 \int 1 \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable: $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 \Rightarrow 𝑥 = l n (𝑡 2 - 1), 𝑑 𝑥 = 2 𝑡 𝑡 2 - 1 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $12 \int 1 \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 = 12 \int 1 𝑡 \cdot 2 𝑡 𝑡 2 - 1 𝑑 𝑡 = \int 1 𝑡 2 - 1 𝑑 𝑡 .$

Expresamos el integrando como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son -1 y 1, así que el integrando se puede escribir como $1 𝑡 2 - 1 = 𝐴 𝑡 - 1 + 𝐵 𝑡 + 1 = 𝐴 (𝑡 + 1) + 𝐵 (𝑡 - 1) 𝑡 2 - 1 = (𝐴 + 𝐵) 𝑡 + 𝐴 - 𝐵 𝑡 2 - 1 .$ Igualando ambas expresiones, obtenemos que ${𝐴 + 𝐵 = 0, 𝐴 - 𝐵 = 1 .$ Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que $2 𝐴 = 1 \Leftrightarrow 𝐴 = 12 .$ Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que $𝐴 + 𝐵 = 0 \Leftrightarrow 𝐵 = - 𝐴 𝐴 = 1 / 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐵 = - 12 .$ Así que $1 𝑡 2 - 1 = 1 2 (𝑡 - 1) - 1 2 (𝑡 + 1) .$

Resolvemos la integral. $\int 1 𝑡 2 - 1 𝑑 𝑡 = 12 \int 1 𝑡 - 1 𝑑 𝑡 - 12 \int 1 𝑡 + 1 𝑑 𝑡 = 12 (l n | 𝑡 - 1 | - l n | 𝑡 + 1 |) + 𝐶 = = 12 (l n | \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 - 1 | - l n | \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 + 1 |) + 𝐶 .$ Por tanto, $\int 𝑑 𝑥 \sqrt 4 + 4 𝑒 𝑥 = 12 (l n | \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 - 1 | - l n | \sqrt 1 + 𝑒 𝑥 + 1 |) + 𝐶 .$

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2024

Considera la función $𝑓 (𝑥) = {1 - 𝑒 𝑥, s i 𝑥 \leq 0, 𝑥 c o s (𝑥), s i 𝑥 > 0 .$ Calcula $\int 𝜋 - 𝜋 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2024

Calcula una primitiva de la función $𝑓 : (1, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = (𝑥 - 1) 2 l n (\sqrt 𝑥 - 1 2)$ cuya gráfica pase por el punto $(5, - 72) .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑥 - 1 = 𝑡 2$ ).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función $𝑓$ usando el cambio de variable: $𝑥 - 1 = 𝑡 2 \Rightarrow 𝑡 = \sqrt 𝑥 - 1, 𝑑 𝑥 = 2 𝑡 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $𝐹 (𝑥) = \int (𝑥 - 1) 2 l n (\sqrt 𝑥 - 1 2) 𝑑 𝑥 = \int 𝑡 4 l n (𝑡 2) \cdot 2 𝑡 𝑑 𝑡 = \int 2 𝑡 5 l n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 .$ Resolvemos la integral por partes. $𝑢 = l n (𝑡 2) \Rightarrow 𝑢' = 1 𝑡, 𝑣' = 2 𝑡 5 \Rightarrow 𝑣 = 13 𝑡 6 .$ Entonces: $𝐹 (𝑥) = \int 2 𝑡 5 l n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 = 13 𝑡 6 l n (𝑡 2) - \int 13 𝑡 5 𝑑 𝑡 = 13 𝑡 6 l n (𝑡 2) - 118 𝑡 6 + 𝐶 = = 13 (𝑥 - 1) 3 l n (\sqrt 𝑥 - 1 2) - 118 (𝑥 - 1) 3 + 𝐶 .$

La primitiva que pasa por el punto $(5, - 72)$ ha de verificar: $𝐹 (5) = - 72 \Leftrightarrow - 329 + 𝐶 = - 72 \Leftrightarrow 𝐶 = 118 .$ Por tanto, la primitiva es: $𝐹 (𝑥) = 13 (𝑥 - 1) 3 l n (\sqrt 𝑥 - 1 2) - 118 (𝑥 - 1) 3 + 118 .$

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2024

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 6 𝑥 2 + 8 𝑥 .$

Calcula los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.
Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de $𝑓$ y el eje de abscisas.

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2024

Calcula $\int 𝑒 3 𝑥 - 1 𝑒 𝑥 - 3 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = 𝑒 𝑥$ ).

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2024

Halla la función $𝑓 : (2, + \infty) \to ℝ$ que pasa por el punto $(3, - 4 l n (5))$ y verifica $𝑓' (𝑥) = 3 𝑥 2 + 4 𝑥 + 12 𝑥 2 - 4 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2024

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = (𝑥 2 - 3 𝑥 + 5) 𝑒 𝑥 .$ Halla una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5) .$

Resolución

Ejercicio 3: Julio de 2024

Sean $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 2 + 7$ y $𝑔 (𝑥) = | 𝑥 2 - 1 | .$

Halla los puntos de intersección de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
Calcula el área de dicho recinto.

Resolución

Ejercicio 4: Julio de 2024

Halla $\int 𝜋 2 0 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 3: Junio de 2023

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ , definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 | 𝑥 - 1 | .$ Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $𝑥 = 0 .$

Resolución

Ejercicio 4: Junio de 2023

Considera la función $𝐹 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 s e n (𝑡 2) 𝑑 𝑡 .$ Calcula $l í m 𝑥 \to 0 𝑥 𝐹 (𝑥) s e n (𝑥 2) .$

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2023

Calcula $\int 126 1 9 - 𝑥 2 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2023

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + 1 .$

Determina el punto de la gráfica de $𝑓$ en el que la recta tangente es $𝑦 = 4 𝑥 - 3 .$
Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑦 = 4 𝑥 - 3$ y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2023

Sabiendo que $𝐹 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = 𝑒 𝑥 2$ es una primitiva de $𝑓 .$

Comprueba que $𝑓$ es creciente.
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $𝑓$ , el eje de abscisas y la recta $𝑥 = 1 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2023

Considera la función $𝑓 : [0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = c o s (\sqrt 𝑥) .$ Calcula, si es posible, una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5) .$ Sugerencia: haz el cambio $𝑡 = \sqrt 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2023

Determina la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ , sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(1, 0)$ , $𝑓' (𝑒) = 𝑒$ y $𝑓 ″ (𝑥) = 2 l n (𝑥) + 1$ , para todo $𝑥 > 0 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2023

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 2 - 1 |$ y $𝑔 (𝑥) = 𝑥 + 5 .$

Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2023

Calcula una primitiva de la función $𝑓 : [0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = a r c t g (\sqrt 𝑥)$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1) .$ Sugerencia: efectúa el cambio $𝑥 = 𝑡 2 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2023

Considera la función $𝑓 : (- 1, + \infty) \to ℝ$ , definida por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥 + 1) .$ Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje de abscisas y la recta $𝑥 = 𝑒 - 1 .$

Resolución

Ejercicio 3: Julio de 2023

Calcula $𝑎$ con $0 < 𝑎 < 1$ , tal que $\int 1 𝑎 l n (𝑥) 𝑥 𝑑 𝑥 + 2 = 0 .$

Resolución

Ejercicio 4: Julio de 2023

Considera las funciones $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ ∖ {0} \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 5 - 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = 4 𝑥 2 .$

Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.
Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Resolución

Ejercicio 3: Junio de 2022

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = {2 𝑥 + 4, s i 𝑥 < 0, (𝑥 - 2) 2, s i 𝑥 \geq 0 .$

Calcula los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función.
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y por el eje de abscisas.

Resolución

Ejercicio 4: Junio de 2022

Considera la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 𝑥 2 - 2 𝑥 + 1$ para $𝑥 \neq 1 .$ Halla una primitiva de $𝑓$ que pase por el punto $(2, 6) .$

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2022

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 s e n (2 𝑥) .$ Halla la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 0) .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2022

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 1 - 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = 2 𝑥 2 .$

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Esboza el recinto que delimitan.
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2022

Considera la función $𝐹 : [0, 2 𝜋] \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 2 𝑡 c o s (𝑡) 𝑑 𝑡 .$

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $𝐹 .$
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝐹$ en el punto de abscisa $𝑥 = 𝜋 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2022

Calcula $\int 10 𝑥 a r c t g (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2022

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 𝑥 .$ Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función $𝑓$ y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa $𝑥 = 0 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2022

Calcula $\int 30 𝑥 \sqrt 1 + 𝑥 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑥$ ).

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2022

Calcula $\int 2 𝑥 3 + 2 𝑥 2 - 2 𝑥 + 7 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2022

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = 𝑎 | 𝑥 |$ , con $𝑎 > 0 .$ Determina el valor de $𝑎$ para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Resolución

Ejercicio 3: Julio de 2022

Calcula $\int 83 1 \sqrt 1 + 𝑥 - 1 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 + 𝑥 - 1$ ).

Resolución

Ejercicio 4: Julio de 2022

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 2$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 2 𝑥 + 2 .$

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Esboza sus gráficas.
Determina el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ en el primer cuadrante.

Resolución

Ejercicio 3: Junio de 2021

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 4 𝑥 3 - 𝑥 4 .$

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $𝑓 .$
Esboza la gráfica de $𝑓$ y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Resolución

Ejercicio 4: Junio de 2021

Considera la función $𝐹 : [0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝐹 (𝑥) = \int 𝑥 0 (2 𝑡 + \sqrt 𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝐹$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1 .$

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2021

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 .$

Calcula $𝑎$ para que la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto $(𝑎, 𝑓 (𝑎))$ pase por el origen de coordenadas.
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta tangente a la misma en el punto $(1, 𝑓 (1))$ y el eje de ordenadas.

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2021

Calcula $\int 31 | 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2 | 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2021

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + | 𝑥 - 1 | .$

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $𝑓 .$
Calcula $\int 20 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2021

Considera la función $𝑓 : [0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑥 .$

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y las rectas $𝑥 = 2$ , $𝑦 = 𝑥 .$
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2021

Considera la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = l n 2 (𝑥) .$

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $𝑓$ , así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $𝑓$ y las rectas $𝑦 = 0$ , $𝑥 = 1$ , $𝑥 = 𝑒 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2021

Calcula $\int 20 1 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑒 𝑥$ ).

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2021

Calcula $\int 𝜋 / 2 0 (2 s e n 2 (𝑥) - c o s 2 (𝑥)) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2021

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 | - 2$ y por $𝑔 (𝑥) = 4 - 𝑥 2 .$

Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Ejercicio 3: Julio de 2021

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 + \int 𝑥 0 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑 𝑡 .$ Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $𝑓$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Resolución

Ejercicio 4: Julio de 2021

Considera la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑥 2 - 1$ (para $𝑥 \neq - 1$ , $𝑥 \neq 1$ ). Halla una primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pase por el punto $(2, 4) .$

Resolución

Ejercicio 2: Julio de 2020

Calcula $𝑎 > 0$ sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función $𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑒 3 𝑥$ , el eje de abscisas y la recta $𝑥 = 𝑎$ vale $19 .$

Resolución

Ejercicio 6: Julio de 2020

Sea $𝑓$ la función dada por $𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 2 + 4 (𝑥 - 2) 2$ para $𝑥 \neq 2 .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
Calcula la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(3, 5) .$

Resolución

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2020

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 3 + 2 𝑥 - 3 𝑥 2 - 𝑥$ para $𝑥 \neq 0$ , $𝑥 \neq 1 .$ Halla la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(2, 3 l n (2)) .$

Resolución

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2020

Calcula $\int l n (𝑥 2 + 2 𝑥 + 2) 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = 𝑥 + 1$ ).

Resolución

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2020

Determina la función $𝑓 : (- 1, + \infty) \to ℝ$ , sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ , $𝑓' (0) = 0$ y $𝑓 ″ (𝑥) = 1 𝑥 + 1 .$

Resolución

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2020

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = - 4 𝑥 + 2$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 2 𝑥 + 𝑐 .$

Halla el valor de $𝑐$ sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que $𝑔$ alcanza su máximo.
Para $𝑐 = - 3$ , calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.

Resolución

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2020

Determina la única función derivable $𝑓 : ℝ \to ℝ$ que cumple que $𝑓 (0) = 1$ , $𝑓' (0) = 1$ y $𝑓 ″ (𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 2) .$

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2020

Calcula el valor de $𝑎 > 0$ para que el área comprendida entre la parábola $𝑦 = 3 𝑥 2 - 2 𝑎 𝑥$ y el eje de abscisas sea 4 unidades cuadradas.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2020

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑡) = 1 1 + 𝑒 𝑡 .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑥 = 1 + 𝑒 𝑡$ ).
Se define $𝑔 (𝑥) = \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Calcula $l í m 𝑥 \to 0 𝑔 (𝑥) 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2020

Calcula $\int c o s (l n (𝑥)) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 2: Septiembre de 2020

Calcula $\int 𝜋 0 𝑥 s e n 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio 6: Septiembre de 2020

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 |$ y $𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 - 2 .$

Calcula los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Esboza el recinto que determinan.
Determina el área del recinto anterior.

Resolución

Ejercicio A2: Junio de 2019

Sea la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 + 𝑒 𝑥 1 - 𝑒 𝑥 .$ Halla la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 1) .$ (Sugerencia: cambio de variable $𝑡 = 𝑒 𝑥$ ).

Resolución

Ejercicio B2: Junio de 2019

Considera las funciones $𝑓 : (- 2, + \infty) \to ℝ$ , definida por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥 + 2)$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ , definida por $𝑔 (𝑥) = 12 (𝑥 - 3) .$

Esboza el recinto que determinan la gráfica de $𝑓$ , la gráfica de $𝑔$ , la recta $𝑥 = 1$ y la recta $𝑥 = 3 .$ (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).
Determina el área del recinto anterior.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2019

Calcula $\int l n (𝑥 2 + 1 𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2019

Sean las funciones $𝑓, 𝑔 : [0, 𝜋] \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = s e n (𝑥)$ y $𝑔 (𝑥) = s e n (2 𝑥) .$

Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas $𝑥 = 0$ y $𝑥 = 𝜋 3 .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2019

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 4 𝑥 2 - 1$ para $𝑥 \neq - 1, 1 .$

Halla todas las funciones primitivas de $𝑓 .$
Calcula la primitiva que pasa por $(2, 0) .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2019

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : [- 𝜋, 𝜋] \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = c o s (𝑥)$ y $𝑔 (𝑥) = s e n (𝑥) .$

Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de $𝑓$ y de $𝑔$ en el intervalo $[- 3 𝜋 4, 𝜋 4] .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2019

Dado un número real $𝑎 > 0$ , considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ , dada por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 - 𝑎 𝑥$ , y la recta $𝑦 = 2 𝑎 𝑥 .$ Determina $𝑎$ sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta anterior es 36.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2019

Sea $𝑓 : [0, 𝜋 6] \to ℝ$ una función continua y sea $𝐹$ la primitiva de $𝑓$ que cumple $𝐹 (0) = 𝜋 3$ y $𝐹 (𝜋 6) = 𝜋 .$

Calcula $\int 𝜋 6 0 (3 𝑓 (𝑥) - c o s (𝑥)) 𝑑 𝑥 .$
Calcula $\int 𝜋 6 0 s e n (𝐹 (𝑥)) 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Resolución

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2019

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función dada por $𝑓 (𝑥) = {- 𝑥 2 + 6 𝑥 - 8, s i 𝑥 \leq 4, 𝑥 2 - 6 𝑥 + 8, s i 𝑥 > 4 .$

Calcula los puntos de corte entre la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 2 𝑥 - 4 .$ Esboza el recinto que delimitan la gráfica de $𝑓$ y la recta.
Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2019

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ dada por $𝑓 (𝑥) = - 4 𝑥 2 + 𝑎$ , siendo $𝑎 > 0$ un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 0 .$ Calcula $𝑎$ sabiendo que el área del recinto es 18.

Ejercicio A2: Septiembre de 2019

Determina la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple $𝑓' (𝑥) = l n (𝑥) \sqrt 𝑥$ y que la gráfica de $𝑓$ pasa por el punto $(1, 0) .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2019

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ dada por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑒 - 𝑥 2 .$

Calcula los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con los ejes coordenados y los extremos relativos de $𝑓$ (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).
Determina $𝑎 > 0$ de manera que sea $14$ el área del recinto determinado por la gráfica de $𝑓$ en el intervalo $[0, 𝑎]$ y el eje de abscisas.

Ejercicio A2: Junio de 2018

Considera las funciones $𝑓$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ dadas por $𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 - 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = | 𝑥 2 - 2 𝑥 | .$

Esboza el recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Junio de 2018

Considera las funciones $𝑓$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 3 - 𝑥 2$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 4 .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1$ y comprueba que también es tangente a la gráfica de $𝑔 .$ Determina el punto de tangencia con la gráfica de $𝑔 .$
Esboza el recinto limitado por la recta $𝑦 = 4 - 2 𝑥$ y las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2018

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 2 - 𝑥 .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 2 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje de ordenadas y la recta $𝑥 + 𝑦 = 3 .$
Calcula el área del recinto indicado.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2018

Considera la función $𝑓 : (- 𝑒 2, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = l n (2 𝑥 + 𝑒) .$

Haz un esbozo de la gráfica de $𝑓$ calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y los ejes de coordenadas.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2018

Determina la función $𝑓 : (1, + \infty) \to ℝ$ sabiendo que $𝑓 ″ (𝑥) = 1 (𝑥 - 1) 2$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 2$ es $𝑦 = 𝑥 + 2 .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2018

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 c o s (𝑥 2) .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
Encuentra la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1) .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2018

Siendo $𝑎 > 1$ , considera el rectángulo de vértices $𝐴 (1, 0)$ , $𝐵 (1, 1)$ , $𝐶 (𝑎, 1)$ y $𝐷 (𝑎, 0) .$ La gráfica de la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 1 𝑥 2$ para $𝑥 \neq 0$ divide al rectángulo anterior en dos recintos.

Haz un esbozo de la gráfica de $𝑓$ y del rectángulo descrito.
Determina el valor de $𝑎$ para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2018

Calcula $\int l n (2) 0 1 1 + 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2018

Considera las funciones $𝑓$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 2 - 𝑥 + 3$ y $𝑔 (𝑥) = | 𝑥 | .$

Esboza el recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2018

Se sabe que la función $𝑓 : [0, + \infty) \to ℝ$ dada por $𝑓 (𝑥) = ⎧ { {⎨ { {⎩ \sqrt 𝑎 𝑥, s i 0 \leq 𝑥 \leq 0, 𝑥 2 - 32 𝑥 - 4, s i 𝑥 > 8$ es continua.

Determina $𝑎 .$
Para $𝑎 = 8$ , calcula $\int 100 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2018

Considera la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 l n (𝑥) - 𝑏 𝑥$ para $𝑥 > 0 .$ Determina $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que $𝑓$ tiene un extremo relativo en $𝑥 = 1$ y que $\int 21 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 8 l n (2) - 9 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2018

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 - 2 𝑥 .$

Determina el punto de la gráfica de $𝑓$ en el que la recta tangente es $𝑦 = - 2 𝑒 𝑥 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑦 = - 2 𝑒 𝑥$ y el eje de ordenadas.
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Junio de 2017

Considera la región limitada por las curvas $𝑦 = 𝑥 2$ e $𝑦 = - 𝑥 2 + 4 𝑥 .$

Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.
Expresa el área como una integral.
Calcula el área.

Ejercicio B2: Junio de 2017

Calcula $\int 161 𝑑 𝑥 \sqrt 𝑥 + 4 \sqrt 𝑥 .$ (Sugerencia $𝑡 = 4 \sqrt 𝑥$ ).

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2017

Considera la función dada por $𝑓 (𝑥) = \sqrt 3 + | 𝑥 |$ para $𝑥 \in [- 3, 3] .$

Expresa la función $𝑓$ definida a trozos.
Halla $\int 3 - 3 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2017

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 a r c t g (𝑥) .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 𝜋) .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2017

Sea $𝑓$ la función definida como $𝑓 (𝑥) = (𝑥 + 2) l n (𝑥)$ para $𝑥 > 0 .$

Calcula $\int 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
Encuentra la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica para por el punto $(1, 0) .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2017

Halla $\int 𝑥 2 (1 + 𝑥 3) 3 / 2 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia $𝑡 = 1 + 𝑥 3$ ).
Halla la primitiva cuya gráfica para por $(2, 0) .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2017

Sea $𝐼 = \int 80 1 2 + \sqrt 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 .$

Expresa $𝐼$ aplicando el cambio de variable $𝑡 = 2 + \sqrt 𝑥 + 1 .$
Calcula el valor de $𝐼 .$

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2017

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por $𝑓 (𝑥) = \sqrt 2 𝑥 - 2$ para $𝑥 \geq 1$ , la recta $𝑦 = 𝑥 - 5$ y el eje de abscisas.

Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de $𝑓$ y las rectas.
Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.
Calcula el área.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2017

Calcula $\int 30 1 1 + 3 \sqrt 𝑥 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia $𝑡 = 3 \sqrt 𝑥$ ).

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2017

Calcula $\int 10 𝑥 2 + 1 (𝑥 + 1) 2 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2017

Determina la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ tal que $𝑓 ″ (𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑥$ , cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en $𝑥 = 1 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2017

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje $𝑂 𝑋$ , la recta $𝑦 = 𝑥$ , la gráfica $𝑦 = 1 𝑥 3$ y la recta $𝑥 = 3 .$

Haz un esbozo del recinto descrito.
Calcula el área del recinto.
Si consideras la gráfica $𝑦 = 1 𝑥$ en lugar de $𝑦 = 1 𝑥 3$ , el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿Por qué?

Ejercicio A2: Junio de 2016

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1$ sabiendo que $𝑓 (0) = 0$ y $𝑓' (𝑥) = (𝑥 - 1) 2 𝑥 + 1$ para $𝑥 > - 1 .$

Ejercicio B2: Junio de 2016

Sea $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ la función dada por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥) .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1 .$
Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑦 = 𝑥 - 1$ y la recta $𝑥 = 3 .$ Calcula su área.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2016

Considera la función $𝑓$ dada por $𝑓 (𝑥) = \sqrt 𝑥 + l n (𝑥) 𝑥$ para $𝑥 > 0 .$

Halla todas las primitivas de $𝑓 .$
Halla $\int 31 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
Determina la primitiva de $𝑓$ que toma el valor 3 para $𝑥 = 1 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2016

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función dada por $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 (𝑥 2 + 1) 2 .$ Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje de abscisas y las rectas $𝑥 = 0$ y $𝑥 = 1 .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2016

De la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑒 𝑥 - 𝑏 𝑥$ , donde $𝑎, 𝑏 \in ℝ$ , se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en $𝑥 = 0$ y que $\int 10 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑒 - 32 .$ Halla los valores de $𝑎$ y $𝑏 .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2016

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 (2 𝑚 - 𝑥) 𝑚 3,$ con $𝑚 > 0 .$ Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de $𝑓$ y el eje $𝑂 𝑋 .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2016

Calcula el valor de $𝑎 > 0$ para el que se verifica $\int 𝑎 0 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑑 𝑥 = 1 .$

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2016

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ dada for $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 2 + 𝑚 𝑥$ siendo $𝑚 > 0 .$ Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = - 𝑚 𝑥$ y calcula el valor de $𝑚$ para que el área de dicho recinto sea 36.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2016

Calcula $\int \sqrt 2 𝑥 + 1 2 𝑥 + 1 + \sqrt 2 𝑥 + 1 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: $𝑡 = \sqrt 2 𝑥 + 1$ ).

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2016

Determina la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ tal que $𝑓 ″ (𝑥) = - 2 s e n (2 𝑥), 𝑓 (0) = 1 y 𝑓 (𝜋 2) = 0 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2016

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 4 .$ Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de $𝑓$ formando con ella un recinto con área $85 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2016

Calcula $\int 𝑥 1 + \sqrt 𝑥 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: $𝑡 = \sqrt 𝑥$ ).

Ejercicio A2: Junio de 2015

Calcula $\int - 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Junio de 2015

Determina la función $𝑓 : (0, \infty) \to ℝ$ sabiendo que $𝑓 ″ (𝑥) = l n (𝑥)$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $𝑃 (1, 2) .$

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2015

Calcula $\int 𝑑 𝑥 (𝑥 - 2) \sqrt 𝑥 + 2 .$ (Sugerencia: $\sqrt 𝑥 + 2 = 𝑡$ ).

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2015

Sea $𝑔$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = l n (𝑥)$ para $𝑥 > 0 .$ Calcula el valor de $𝑎 > 1$ para que el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑔$ , el eje de abscisas y la recta $𝑥 = 𝑎$ es 1.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2015

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = | l n (𝑥) |$ para $𝑥 > 0 .$

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 1 .$
Calcula los puntos de corte de la gráfica de $𝑓$ con la recta $𝑦 = 1 .$
Calcula el área del recinto citado.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2015

Calcula $\int 𝑒 2 𝑥 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2015

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥) 2 𝑥$ para $𝑥 > 0$ y sea $𝐹$ la primitiva de $𝑓$ tal que $𝐹 (1) = 2 .$

Calcula $𝐹' (𝑒) .$
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝐹$ en el punto de abscisa $𝑥 = 𝑒 .$

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2015

Sea $𝑓 : [0, \infty) \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = \sqrt 2 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = 12 𝑥 2 .$

Halla los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Haz un esbozo del recinto que limitan.
Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2015

Calcula el valor de $𝑎 > 1$ sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola $𝑦 = - 𝑥 2 + 𝑎 𝑥$ y la recta $𝑦 = 𝑥$ es $43 .$

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2015

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑥 2 (𝑥 - 1)$ para $𝑥 \neq 0$ y $𝑥 \neq 1$ y sea $𝐹$ la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $𝑃 (2, l n (2)) .$

Calcula la recta tangente a la gráfica $𝐹$ en el punto $𝑃 .$
Determina la función $𝐹 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2015

Calcula $\int 𝜋 0 𝑥 2 s e n (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2015

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 2 - 4 | .$

Haz un esbozo de la gráfica de $𝑓 .$
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = 5 .$

Ejercicio A2: Junio de 2014

Sean $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas respectivamente por $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 | 2 y 𝑔 (𝑥) = 1 1 + 𝑥 2 .$

Esboza las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Junio de 2014

Sea $𝑓$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 l n (𝑥 + 1)$ para $𝑥 > - 1 .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 0) .$

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2014

Determina una función derivable $𝑓 : ℝ \to ℝ$ sabiendo que $𝑓 (1) = - 1$ y que $𝑓' (𝑥) = {𝑥 2 - 2 𝑥, s i 𝑥 < 0, 𝑒 𝑥 - 1, s i 𝑥 \geq 0 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2014

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: $𝑦 = 𝑥 2, 𝑦 = 2 - 𝑥 2, 𝑦 = 4 .$

Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.
Calcula el área del recinto.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2014

Calcula $\int 1 - 1 l n (4 - 𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2014

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 2 + 2 𝑥 + 3 .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 2 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $2 𝑥 + 𝑦 - 7 = 0$ y el eje $𝑂 𝑋$ , calculando los puntos de corte.
Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2014

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 3 𝑥 2 - 𝑥 + 3 .$

Halla, si existe, el punto de la gráfica de $𝑓$ en el que la recta tangente es $𝑦 = 3 - 𝑥 .$
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta del apartado anterior.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2014

Sea $𝑓 : (- 1, 3) \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 9 (𝑥 + 1) (𝑥 - 3) .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 0) .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2014

Calcula $\int 𝑑 𝑥 2 𝑥 (𝑥 + \sqrt 𝑥) .$ (Sugerencia: cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑥$ ).

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2014

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 c o s (𝑥) .$

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 0 .$
Calcula la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 0) .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2014

Calcula $\int 10 𝑥 2 2 𝑥 2 - 2 𝑥 - 4 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2014

Calcula $\int 𝜋 / 4 0 𝑥 c o s 2 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$ (Sugerencia: integración por partes).

Ejercicio A2: Junio de 2013

Sean $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas mediante $𝑓 (𝑥) = | 𝑥 (𝑥 - 2) | y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 + 4 .$

Esboza las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Junio de 2013

Sea $𝑔 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = l n (𝑥 2 + 1) .$ Calcula la primitiva de $𝑔$ cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2013

De la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 3 + 𝑏 𝑥 2 + 𝑐 𝑥 + 𝑑$ se sabe que alcanza un máximo relativo en $𝑥 = 1$ , que la gráfica tiene un punto de inflexión en $(0, 0)$ y que $\int 10 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 54 .$ Calcula $𝑎$ , $𝑏$ , $𝑐$ y $𝑑 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2013

Calcula $\int 42 𝑥 2 𝑥 2 - 6 𝑥 + 5 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2013

Halla $\int 𝑥 + 1 1 + \sqrt 𝑥 𝑑 𝑥 .$ Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2013

Sea $𝑔 : (0, + \infty) \to ℝ$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = | l n (𝑥) | .$

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑔$ y la recta $𝑦 = 1 .$ Calcula los puntos de corte entre ellas.
Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2013

Sea $𝑔 : (0, + \infty) \to ℝ$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = 1 𝑥 + \sqrt 𝑥 .$ Determina la primitiva de $𝑔$ cuya gráfica pasa por el punto $𝑃 (1, 0) .$ Sugerencia: se puede usar el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑥 .$

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2013

Calcula $\int 𝜋 / 2 0 𝑥 s e n (2 𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2013

Sean $𝑓$ y $𝑔$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = 2 - 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = 2 𝑥 + 1$ para $𝑥 \neq - 1 .$

Calcula los puntos de corte entre las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$
Esboza las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ sobre los mismos ejes.
Halla el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2013

Calcula $\int 42 𝑒 𝑥 1 + \sqrt 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 .$ Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 𝑒 𝑥 .$

Ejercicio A2: Septiembre de 2013

Determina la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ tal que $𝑓' (𝑥) = (2 𝑥 + 1) 𝑒 - 𝑥$ y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.
Calcula la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 0 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2013

Sea $𝑔 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 6 𝑥 - 5 .$

Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $𝑔$ en el punto de abscisa $𝑥 = 4 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑔$ y la recta $𝑥 - 2 𝑦 + 2 = 0 .$ Calcula el área de este recinto.

Ejercicio A2: Junio de 2012

Sea $𝑓$ una función continua en el intervalo $[2, 3]$ y $𝐹$ una función primitiva de $𝑓$ tal que $𝐹 (2) = 1$ y $𝐹 (3) = 2 .$ Calcula:

$\int 32 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$
$\int 32 (5 𝑓 (𝑥) - 7) 𝑑 𝑥 .$
$\int 32 (𝐹 (𝑥)) 2 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio B2: Junio de 2012

Sea la función $𝑓$ definida por $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 2 - 1$ para $𝑥 \neq - 1$ y $𝑥 \neq 1 .$

Halla una primitiva de $𝑓 .$
Calcula el valor de $𝑘$ para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de $𝑓$ en el intervalo $[2, 𝑘]$ sea $l n (2) .$

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2012

Sean $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = s e n (𝑥)$ y $𝑔 (𝑥) = c o s (𝑥)$ respectivamente.

Realiza un esbozo de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ en el intervalo $[0, 𝜋 2] .$
Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas $𝑥 = 0$ y $𝑥 = 𝜋 2 .$

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2012

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 c o s (𝑥) .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(𝜋, 0) .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2012

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 - 4 𝑥 .$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y la recta $𝑦 = - 𝑥 - 2$ , determinando los puntos de corte de ambas gráficas.
Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2012

Sean $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 - 2 𝑥$ y $𝑔 (𝑥) = - 𝑥 2 + 4 𝑥$ respectivamente.

Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.
Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2012

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas $𝑦 = 4 𝑥$ , $𝑦 = 8 - 4 𝑥$ y la curva $𝑦 = 2 𝑥 - 𝑥 2 .$

Realiza un esbozo de dicho recinto.
Calcula su área.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2012

Calcula los valores de $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 l n (𝑥)$ tiene un extremo relativo en $𝑥 = 1$ y que $\int 41 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 27 - 8 l n (4) .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2012

Sea la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = (1 - 𝑥 2) 𝑒 - 𝑥 .$ Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $(- 1, 0) .$

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2012

Sean las funciones $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : [0, + \infty) \to ℝ$ definidas por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 4$ y $𝑔 (𝑥) = 2 \sqrt 𝑥$ respectivamente.

Halla los puntos de corte de las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$ Realiza un esbozo del recinto que limitan.
Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Septiembre de 2012

Sea $𝐼 = \int 10 𝑥 1 + \sqrt 1 - 𝑥 𝑑 𝑥 .$

Expresa la integral $𝐼$ aplicando el cambio de variable $𝑡 = \sqrt 1 - 𝑥 .$
Calcula el valor de $𝐼 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2012

Sea $𝑓 : ℝ \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 9 - 𝑥 2 4 .$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1 .$
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , la recta $𝑥 + 2 𝑦 = 5$ y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Junio de 2011

Sea $𝑓 : (- 1, + \infty) \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥 + 1) .$

Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje $𝑂 𝑌$ y la recta $𝑦 = 1 .$ Calcula los puntos de corte de las gráficas.
Halla el área del recinto anterior.

Ejercicio B2: Junio de 2011

Halla: $\int 𝑒 𝑥 (𝑒 2 𝑥 - 1) (𝑒 𝑥 + 1) 𝑑 𝑥 .$ Sugerencia: efectúa el cambio de variable $𝑡 = 𝑒 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2011

Determina la función $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ tal que $𝑓 ″ (𝑥) = 1 𝑥$ y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $𝑃 (1, 1)$ .

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2011

Calcula: $\int 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑥 - 2 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2011

Calcula el valor de $𝑏 > 0$ , sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva $𝑦 = \sqrt 𝑥$ y la recta $𝑦 = 𝑏 𝑥$ es de $43$ unidades cuadradas.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2011

Sea $𝑓 : (0, + \infty) \to ℝ$ la función definida por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 (1 - l n (𝑥))$ . Determina la primitiva de $𝑓$ cuya gráfica pasa por el punto $𝑃 (1, 1)$ .

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2011

Sean $𝑓 : ℝ \to ℝ$ y $𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por: $𝑓 (𝑥) = 4 - 3 | 𝑥 | y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 .$

Esboza las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ . Determina sus puntos de corte.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ .

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2011

Calcula: $\int 𝜋 2 0 𝑥 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 .$

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2011

Calcula un número positivo $𝑎$ , menor que 2, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación $𝑦 = 12 𝑥 2$ y las dos rectas horizontales de ecuaciones $𝑦 = 𝑎$ e $𝑦 = 2$ tenga un área de $143$ unidades cuadradas.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2011

Dada la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ definida por $𝑓 (𝑥) = - 2 𝑥 2 + 3 𝑥 - 1$ .

Prueba que las rectas $𝑦 = - 𝑥 + 1$ e $𝑦 = 3 𝑥 - 1$ son tangentes a su gráfica.
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ y las rectas mencionadas en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Septiembre de 2011

Considera las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ definidas por: $𝑓 (𝑥) = 6 𝑥 - 𝑥 2, 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 - 2 𝑥 .$

Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔 .$

Ejercicio B2: Septiembre de 2011

Sean $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ las funciones definidas por $𝑓 (𝑥) = - 14 𝑥 2 + 4 y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 - 1 .$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = - 2 .$
Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta $𝑦 = 𝑥 + 5 .$ Calcula el área de este recinto.

Ejercicio A2: Junio de 2010

Calcula $\int 𝜋 2 0 s e n (\sqrt 𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Sugerencia: efectúa el cambio $\sqrt 𝑥 = 𝑡$ .

Ejercicio B2: Junio de 2010

Considera la función $𝑓$ dada por $𝑓 (𝑥) = 5 - 𝑥$ y la función $𝑔$ definida como $𝑔 (𝑥) = 4 𝑥$ para $𝑥 \neq 0$ .

Esboza el recinto limitado por las gráficas de $𝑓$ y $𝑔$ indicando sus puntos de corte.
Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio A2: Septiembre de 2010

Sea $𝐼 = \int 5 1 + \sqrt 𝑒 - 𝑥 𝑑 𝑥 .$

Expresa $𝐼$ haciendo el cambio de variable $𝑡 2 = 𝑒 - 𝑥$ .
Determina $𝐼$ .

Ejercicio B2: Septiembre de 2010

Considera la función $𝑓 : ℝ \to ℝ$ dada por $𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + 4$ .

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $𝑓$ en el punto de abscisa $𝑥 = 1$ .
Esboza el recinto limitado por la gráfica de $𝑓$ , el eje de ordenadas y la recta de ecuación $𝑦 = 2 𝑥 + 3$ . Calcula su área.