Matemáticas de Selectividad

Halla los coeficientes 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐 tiene en 𝑥 =1 un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (1,1).

Considera las funciones 𝑓 y 𝑔 :ℝ →ℝ dadas por 𝑓(𝑥) =6𝑥 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) =|𝑥2 −2𝑥|.

1. Esboza el recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.
2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑦+(𝑚+3)𝑧=3,𝑥+𝑦+𝑧=3𝑚,2𝑥+4𝑦+3(𝑚+1)𝑧=8.

1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑚.
2. Resuelve el sistema para 𝑚 = −2.

Considera los puntos 𝑃(1,0, −1), 𝑄(2,1,1) y la recta 𝑟 dada por 𝑟≡𝑥−5=𝑦=𝑧+2−2.

1. Determina el punto simétrico de 𝑃 respecto de 𝑟.
2. Calcula el punto de 𝑟 que equidista de 𝑃 y 𝑄.

Determina 𝑘 ≠0 sabiendo que la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩3−𝑘𝑥2,si 𝑥≤1,2𝑘𝑥,si 𝑥>1 es derivable.

Considera las funciones 𝑓 y 𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =3 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) = −𝑥24.

1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1 y comprueba que también es tangente a la gráfica de 𝑔. Determina el punto de tangencia con la gráfica de 𝑔.
2. Esboza el recinto limitado por la recta 𝑦 =4 −2𝑥 y las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).
3. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

1. Justifica que es posible hacer un pago de 34,50 euros cumpliendo las siguientes restricciones:
   • Utilizando únicamente monedas de 50 céntimos, de 1 euro y de 2 euros.
   • Se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas.
   • Tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.
   ¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?
2. Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.

Considera el punto 𝑃(2, −1,3) y el plano 𝜋 de ecuación 3𝑥 +2𝑦 +𝑧 =5.

1. Calcula el punto simétrico a 𝑃 respecto de 𝜋.
2. Calcula la distancia de 𝑃 a 𝜋.