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Ejercicio 1: Reserva 1 de 2025

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)𝑒𝑥.

  1. Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de inflexión.
  2. Estudia y calcula las asíntotas de la función.

Ejercicio 1: Junio de 2024

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥) y los puntos de su gráfica 𝐴(1,0) y 𝐵(𝑒,1).

  1. Determina, si existen, los puntos de la gráfica de 𝑓 en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵.
  2. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝐴.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐴(1,0) y 𝐵(𝑒,1). 𝑚=1−0𝑒−1=1𝑒−1. Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 viene dada por el valor de su derivada. Calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=1𝑥. Hallamos los puntos en los que las pendientes coinciden. 𝑓′(𝑥)=1𝑒−1⇔1𝑥=1𝑒−1⇔𝑥=𝑒−1. Por tanto, la recta tangente es paralela a la recta dada en el punto (𝑒 −1,ln⁡(𝑒 −1)).
  2. La pendiente 𝑚𝑡 de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 viene dada por 𝑚𝑡=𝑓′(1)=1. Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, su pendiente 𝑚𝑛 es 𝑚𝑛=−1𝑚𝑡=−1. Por tanto, la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝐴(1,0) es 𝑦−0=𝑚𝑛(𝑥−1)⇔𝑦=−𝑥+1.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2024

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=∫𝑥0cos⁡(𝑡)sen2⁡(𝑡)𝑑𝑡. Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋4.

Resolución

La función 𝑔(𝑥) =cos⁡(𝑥)sen2⁡(𝑥) es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝑓(𝑥)=∫𝑥0𝑔(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥0cos⁡(𝑡)sen2⁡(𝑡)𝑑𝑡 es derivable, con 𝑓′(𝑥) =𝑔(𝑥).

Hallamos el valor de la función y la derivada en 𝜋4. 𝑓(𝜋4)=∫𝜋40𝑔(𝑡)𝑑𝑡=∫𝜋40cos⁡(𝑡)sen2⁡(𝑡)𝑑𝑡=[13sen3⁡(𝑡)]𝜋40=13⋅√24=√212,𝑓′(𝜋4)=𝑔(𝜋4)=cos⁡(𝜋4)sen2⁡(𝜋4)=√24.

  • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝜋4 viene dada por: 𝑦−𝑓(𝜋4)=𝑓′(𝜋4)(𝑥−𝜋4)⇔𝑦−√212=√24(𝑥−𝜋4)⇔𝑦=√24𝑥+√212−√2𝜋16.
  • La ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝜋4 viene dada por: 𝑦−𝑓(𝜋4)=−1𝑓′(𝜋4)(𝑥−𝜋4)⇔𝑦−√212=−4√2(𝑥−𝜋4)⇔𝑦=−2√2𝑥+√212+𝜋√2.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2024

Sea la función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)={𝑎𝑒−𝑥+𝑏ln⁡(1−𝑥),si 𝑥<0,𝑥+ln⁡(1+𝑥),si 𝑥≥0.

  1. Determina 𝑎 y 𝑏.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua y derivable en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏, con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑎𝑒−𝑥−𝑏1−𝑥,si 𝑥<0,1+11+𝑥,si 𝑥≥0. Pasamos a estudiar su continuidad y derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =0.
    • Estudiamos la continuidad. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(𝑎𝑒−𝑥+𝑏ln⁡(1−𝑥))=𝑎,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥+ln⁡(1+𝑥))=0,𝑓(0)=0. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔𝑎=0.
    • Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−−𝑏1−𝑥=−𝑏,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡1+11+𝑥=2. Como 𝑓 es derivable en 𝑥 =0, 𝑓′−(0)=𝑓′+(0)⇔−𝑏=2⇔𝑏=−2.
    Así que 𝑎 =0 y 𝑏 = −2.
    • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 es: 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=2𝑥.
    • La recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 tiene como pendiente −1𝑓′(0). Por tanto, su ecuación es: 𝑦−𝑓(0)=−1𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=−12𝑥.

Ejercicio 2: Junio de 2023

Sea la función 𝑓 :[ −2,2] →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −2𝑥 +5.

  1. Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( −2,𝑓( −2)) y (2,𝑓(2)).
  2. Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de inflexión.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( −2,𝑓( −2)) =( −2,1) y (2,𝑓(2)) =(2,9). 𝑚=9−12−(−2)=2. Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en un punto 𝑎 viene dada por el valor de 𝑓′(𝑎). La derivada de 𝑓 es 𝑓′(𝑥) =3𝑥2 −2. Hallemos los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es 2. 𝑓′(𝑥)=2⇔3𝑥2−2=2⇔3𝑥2=4⇔𝑥=±√43=±2√3. Por tanto, las abscisas de los puntos en los que las pendientes coinciden son 𝑥1 = −2√3 y 𝑥2 =2√3.
  2. Calculamos en primer lugar la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑥)=6𝑥. Para hallar el punto de inflexión, igualamos la segunda derivada de 𝑓 a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔6𝑥=0⇔𝑥=0. Así que en 𝑥 =0 se encuentra el único punto de inflexión. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 es 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦−5=−2𝑥⇔𝑦=−2𝑥+5. La recta normal a la gráfica de 𝑓 tiene como pendiente −1𝑓′(0). Por tanto, su ecuación es 𝑦−𝑓(0)=−1𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦−5=12𝑥⇔𝑦=12𝑥+5.

Ejercicio 3: Junio de 2023

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =𝑥|𝑥 −1|. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución

En primer lugar, expresamos la función 𝑓 como función a trozos. 𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥−1|={−𝑥(𝑥−1)=−𝑥2+𝑥,si 𝑥<1,𝑥(𝑥−1)=𝑥2−𝑥,si 𝑥≥1.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 viene dada por el valor de 𝑓′(0). Si 𝑥 >1, la derivada de 𝑓 es 𝑓′(𝑥) =2𝑥 −1. Por tanto, la ecuación de la recta tangente es 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=𝑥.

Calculamos los puntos de corte de la función con la recta. {𝑦=𝑥2−𝑥𝑦=𝑥⇒𝑥2−𝑥=𝑥⇔𝑥(𝑥−2)=0⇔{𝑥1=0,𝑥2=2.

Representamos la función 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑥 para visualizar el área del recinto.

Figura

Por último, calculamos el área del recinto. ∫20(𝑥−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫10(𝑥−(−𝑥2+𝑥))𝑑𝑥+∫21(𝑥−(𝑥2−𝑥))𝑑𝑥=∫10𝑥2𝑑𝑥+∫21(−𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥==[𝑥33]10+[−𝑥33+𝑥2]21=1𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2023

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 +1.

  1. Determina el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 =4𝑥 −3.
  2. Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 =4𝑥 −3 y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥. La pendiente de la recta tangente viene dada por el valor de la derivada. Veamos en qué punto es igual a 4. 𝑓′(𝑥)=4⇔2𝑥=4⇔𝑥=2. Luego el único candidato es el punto (2,5). Podemos comprobar que, efectivamente, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)→𝑦−5=4(𝑥−2)⇔𝑦=4𝑥−3.
  2. Sabemos por el apartado anterior que la función y la recta se cortan en 𝑥 =2. Representamos el recinto. Figura Calculamos el área del recinto. ∫20((𝑥2+1)−(4𝑥−3))𝑑𝑥=∫20(𝑥2−4𝑥+4)𝑑𝑥=[𝑥33−2𝑥2+4𝑥]20=83𝑢2.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2023

Considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥−𝑏, para 𝑥 ≠𝑏.

  1. Calcula 𝑎 y 𝑏 para que la gráfica de 𝑓 pase por el punto (1, −2) y tenga a la recta 𝑦 =𝑥 +4 como asíntota oblicua.
  2. En el caso 𝑎 =5 y 𝑏 =4, calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 que pasa por el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución
  1. Por un lado, si la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (1, −2), entonces 𝑓(1) = −2. Así que 𝑓(1)=−2⇔1+𝑎1−𝑏=−2⇔1+𝑎=2𝑏−2. Por otro lado, la gráfica de 𝑓 tiene una asíntota oblicua de pendiente 𝑚 =1 y ordenada en el origen 𝑛 =4. La pendiente viene dada por el límite lím𝑥→∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=𝑥2+𝑎𝑥2−𝑏𝑥=1. Como 𝑚 =1, la ordenada en el origen se calcula como lím𝑥→∞⁡(𝑓(𝑥)−𝑥)=lím𝑥→∞⁡𝑥2+𝑎−𝑥2+𝑏𝑥𝑥−𝑏=lím𝑥→∞⁡𝑎+𝑏𝑥𝑥−𝑏=𝑏. Así que 𝑛=4⇔𝑏=4. Como 𝑏 =4, sustituyendo en la primera ecuación obtenemos que 1+𝑎=2𝑏−2⇔𝑎=2𝑏−3𝑏=4←←←←←→𝑎=5.
  2. Si 𝑎 =5 y 𝑏 =4, 𝑓(𝑥)=𝑥2+5𝑥−4. En primer lugar, calculamos su derivada. 𝑓′(𝑥)=2𝑥(𝑥−4)−𝑥2−5(𝑥−4)2=2𝑥2−8𝑥−𝑥2−5(𝑥−4)2=𝑥2−8𝑥−5(𝑥−4)2. La pendiente 𝑚𝑡 de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 viene dada por 𝑚𝑡=𝑓′(0)=−516. Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, su pendiente 𝑚𝑛 ha de verificar 𝑚𝑡⋅𝑚𝑛=−1⇔𝑚𝑛=−1𝑚𝑡𝑚𝑡=−5/16←←←←←←←←←←←←→𝑚𝑛=165. Por tanto, la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 se puede hallar usando la ecuación punto-pendiente como 𝑦−𝑓(0)=𝑚𝑛(𝑥−0)⇔𝑦+54=516𝑥⇔𝑦=516𝑥−54.

Ejercicio 1: Julio de 2023

Sea la función 𝑓 :[ −2,2𝜋] →ℝ, definida por 𝑓(𝑥)={5𝑥+1,si −2≤𝑥≤0,𝑒𝑥cos⁡(𝑥),si 0<𝑥≤2𝜋.

  1. Halla los extremos relativos y absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋2.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)={5,si −2≤𝑥<0,𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)−sen⁡(𝑥)),si 0<𝑥≤2𝜋. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada de 𝑓 a cero.
    • Si −2 ≤𝑥 <0, 𝑓′(𝑥) =5 ≠0.
    • Si 0 <𝑥 ≤2𝜋, 𝑓′(𝑥)=0⇔𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)−sen⁡(𝑥))=0⇔cos⁡(𝑥)−sen⁡(𝑥)=0⇔cos⁡(𝑥)=sen⁡(𝑥)⇔{𝑥=𝜋4,𝑥=5𝜋4.
    Así que los puntos críticos son 𝑥 =𝜋4 y 𝑥 =5𝜋4. También consideraremos 𝑥 =0 por ser el punto de ruptura. Estudiamos el signo de 𝑓′ para determinar si se tratan de extremos.
    • Si −2 <𝑥 <0, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    • Si 0 <𝑥 <𝜋4, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    • Si 𝜋4 <𝑥 <5𝜋4, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
    • Si 5𝜋4 <𝑥 <2𝜋, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    Por tanto, considerando también los extremos del intervalo, 𝑓 tiene máximos relativos en 𝑥 =𝜋4 y 𝑥 =2𝜋 y tiene mínimos relativos en 𝑥 = −2 y 𝑥 =5𝜋4. Es decir, los puntos (𝜋4,𝑒𝜋4√22) y (2𝜋,𝑒2𝜋) son máximos relativos y los puntos ( −2, −9) y (5𝜋4,−𝑒5𝜋4√22) son mínimos relativos. Comparando, podemos concluir que el punto (2𝜋,𝑒2𝜋) es un máximo absoluto y el punto (5𝜋4,−𝑒5𝜋4√22) es un mínimo absoluto.
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝜋2 es 𝑦−𝑓(𝜋2)=𝑓′(𝜋2)(𝑥−𝜋2)→𝑦=−𝑒𝜋2(𝑥−𝜋2)⇔𝑦=−𝑒𝜋2𝑥+𝑒𝜋2𝜋2.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2022

Sea 𝑓 la función continua definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2+2,si 𝑥≤0,√𝑎𝑥+𝑏,si 0<𝑥≤2,−𝑥2√2+3√2,si 2<𝑥.

  1. Calcula 𝑎 y 𝑏.
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, estudia si existe la derivada de 𝑓 en 𝑥 =2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en dicho punto.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0 y 𝑥 =2.
    • Si 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(𝑥2+2)=2,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡√𝑎𝑥+𝑏=√𝑏,𝑓(0)=2. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔√𝑏=2⇔𝑏=4.
    • Si 𝑥 =2, lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡√𝑎𝑥+4=√2𝑎+4,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(−𝑥2√2+3√2)=2√2=√2,𝑓(2)=√2𝑎+4. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =2, lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2)⇔√2𝑎+4=√2⇔2𝑎+4=2⇔𝑎=−1.
    Así que 𝑎 = −1 y 𝑏 =4.
  2. La función 𝑓 es derivable en cada una de sus ramas y su derivada es 𝑓′(𝑥)=⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥,si 𝑥<0,−12√−𝑥+4,si 0<𝑥<2,−12√2,si 𝑥>2. Veamos si 𝑓 es derivable en 𝑥 =2 comprobando si sus derivadas laterales coinciden. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−12√−𝑥+4=−12√2,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−12√2=−12√2. Por tanto, 𝑓 es derivable en 𝑥 =2 con 𝑓′(2) = −12√2. Así que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)→𝑦−√2=−12√2(𝑥−2)⇔𝑦=−𝑥2√2+2√2.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2022

Considera la función 𝐹 :[0,2𝜋] →ℝ definida por 𝐹(𝑥)=∫𝑥02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝐹.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋.

Resolución

La función 𝑓(𝑥) =2𝑥cos⁡(𝑥) es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐹(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡 es derivable, con 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥).

  1. Hallamos los puntos críticos de 𝐹. 𝐹′(𝑥)=0⇔𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥cos⁡(𝑥)=0⇔{𝑥=0,cos⁡(𝑥)=0⇔𝑥=𝜋2o𝑥=3𝜋2. Así que los puntos críticos son 𝑥 =0, 𝑥 =𝜋2 y 𝑥 =3𝜋2. Estudiamos el signo de 𝐹′ =𝑓 para determinar si 𝐹 es creciente o decreciente.
    • Si 𝑥 ∈(0,𝜋2), 𝐹′(𝑥) >0. Así que 𝐹 es creciente.
    • Si 𝑥 ∈(𝜋2,3𝜋2), 𝐹′(𝑥) <0. Así que 𝐹 es decreciente.
    • Si 𝑥 ∈(3𝜋2,2𝜋), 𝐹′(𝑥) >0. Así que 𝐹 es creciente.
    Por tanto, 𝐹 es creciente en (0,𝜋2) ∪(3𝜋2,2𝜋) y es decreciente en (𝜋2,3𝜋2).
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en 𝑥 =𝜋 viene dada por 𝑦−𝐹(𝜋)=𝐹′(𝜋)(𝑥−𝜋). Por un lado, 𝐹′(𝜋)=𝑓(𝜋)=−2𝜋. Por otro lado, 𝐹(𝜋)=∫𝜋0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝜋02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡. En primer lugar, hallamos una primitiva de 𝑓. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑡⇒𝑢′=1,𝑣′=cos⁡(𝑡)⇒𝑣=sen⁡(𝑡). Entonces: ∫2𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2∫𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2𝑡sen⁡(𝑡)−2∫sen⁡(𝑡)𝑑𝑡=2𝑡sen⁡(𝑡)+2cos⁡(𝑡). Calculamos la integral definida. 𝐹(𝜋)=∫𝜋02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2[𝑡sen⁡(𝑡)+cos⁡(𝑡)]𝜋0=−2−2=−4. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 =𝜋 es 𝑦+4=−2𝜋(𝑥−𝜋)⇔𝑦=−2𝜋𝑥+2𝜋2−4.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2022

Sea 𝑓 :[0,2𝜋] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥(cos⁡(𝑥) +sen⁡(𝑥)).

  1. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =3𝜋2.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)+sen⁡(𝑥))+𝑒𝑥(−sen⁡(𝑥)+cos⁡(𝑥))=2𝑒𝑥cos⁡(𝑥). Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑒𝑥cos⁡(𝑥)=0⇔cos⁡(𝑥)=0⇔{𝑥=𝜋2,𝑥=3𝜋2. Estudiamos el signo de 𝑓′.
    • Si 0 ≤𝑥 <𝜋2, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    • Si 𝜋2 <𝑥 <3𝜋2, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
    • Si 3𝜋2 <𝑥 ≤2𝜋, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    Así que los puntos (𝜋2,𝑒𝜋2) y (2𝜋,𝑒2𝜋) son máximos relativos y los puntos (0,1) y (3𝜋2,−𝑒𝜋2) son mínimos relativos. Por tanto, (2𝜋,𝑒2𝜋) es el máximo absoluto y (3𝜋2,−𝑒𝜋2) es el mínimo absoluto.
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =3𝜋2 es 𝑦−𝑓(3𝜋2)=𝑓′(3𝜋2)(𝑥−3𝜋2)⇔𝑦=−𝑒3𝜋2. Observamos que la recta tangente es horizontal, así que la recta normal tiene que ser vertical. Por tanto, su ecuación es 𝑥=3𝜋2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2022

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −𝑥. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función 𝑓 y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución

En primer lugar, hallamos la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0. Calculamos la derivada de la función. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 es 𝑚𝑡 =𝑓′(0) = −1. Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, su pendiente 𝑚𝑛 ha de verificar 𝑚𝑡⋅𝑚𝑛=−1⇔𝑚𝑛=−1𝑚𝑡𝑚𝑡=−1←←←←←←←←←→𝑚𝑛=1. Así que la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 se puede hallar usando la ecuación punto-pendiente como 𝑦−𝑓(0)=𝑚𝑛(𝑥−0)⇔𝑦=𝑥.

Calculamos los puntos de corte de la función con la recta. 𝑓(𝑥)=𝑥⇔𝑥3−𝑥=𝑥⇔𝑥3−2𝑥=0⇔𝑥(𝑥2−2)=0⇔{𝑥=0,𝑥2−2=0⇔𝑥2=2⇔𝑥=±√2. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =𝑥. Figura

Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como 2∫√20(𝑥−(𝑥3−𝑥))𝑑𝑥=2∫√20(2𝑥−𝑥3)𝑑𝑥=2[𝑥2−14𝑥4]√20=2(2−1)=2𝑢2.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2022

Sea 𝑓 la función continua definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑒𝜆𝑥−𝑒𝑥−𝑥𝑥2,si 𝑥≠0,𝜇,si 𝑥=0.

  1. Calcula 𝜆 y 𝜇.
  2. Para 𝜆 =2, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua si 𝑥 ≠0 para cualquier valor de 𝜆 y 𝜇. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0⁡𝑒𝜆𝑥−𝑒𝑥−𝑥𝑥2=00→lím𝑥→0⁡𝑒𝜆𝑥−𝑒𝑥−𝑥𝑥2L’H=lím𝑥→0⁡𝜆𝑒𝜆𝑥−𝑒𝑥−12𝑥=𝜆−20,𝑓(0)=𝜇. Si 𝜆 ≠2 este límite será infinito y la función no será continua en 𝑥 =0, así que necesariamente 𝜆 =2. Continuamos resolviendo el límite para 𝜆 =2. lím𝑥→0⁡2𝑒2𝑥−𝑒𝑥−12𝑥L’H=lím𝑥→0⁡4𝑒2𝑥−𝑒𝑥2=32. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔𝜇=32.
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 viene dada por 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1). Para 𝑥 ≠0, 𝑓′(𝑥)=(2𝑒2𝑥−𝑒𝑥−1)𝑥2−(𝑒2𝑥−𝑒𝑥−1)2𝑥𝑥4⇒𝑓′(1)=𝑒+1. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 =1 es 𝑦−(𝑒2−𝑒−1)=(𝑒+1)(𝑥−1)⇔𝑦=(𝑒+1)𝑥+𝑒2−2𝑒−2.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2022

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥4−3𝑥2+2(𝑥+2)3, para 𝑥 ≠ −2.

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución
    • El denominador se anula en 𝑥 = −2 y observamos que lím𝑥→−2−⁡𝑥4−3𝑥2+2(𝑥+2)3=20−=−∞,lím𝑥→−2+⁡𝑥4−3𝑥2+2(𝑥+2)3=20+=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑥4−3𝑥2+2(𝑥+2)3=+∞. Así que 𝑓 no tiene una asíntota horizontal.
    • Veamos si en su lugar tiene una asíntota oblicua. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=lím𝑥→+∞⁡𝑥4−3𝑥2+2𝑥(𝑥+2)3=lím𝑥→+∞⁡𝑥4−3𝑥2+2𝑥4+6𝑥3+12𝑥2+8𝑥=1. Así que 𝑓 tiene una asíntota oblicua con pendiente 𝑚 =1. Calculamos su ordenada en el origen. lím𝑥→+∞⁡(𝑓(𝑥)−𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑥4−3𝑥2+2(𝑥+2)3−𝑥)=lím𝑥→+∞⁡−6𝑥3−15𝑥2−8𝑥+2𝑥3+6𝑥2+12𝑥+8=−6. Por tanto, la recta 𝑦 =𝑥 −6 es una asíntota oblicua.
  2. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=(4𝑥3−6𝑥)(𝑥+2)3−3(𝑥+2)2(𝑥4−3𝑥2+2)(𝑥+2)6. La pendiente 𝑚𝑡 de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 viene dada por 𝑚𝑡=𝑓′(0)=−2464=−38. Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, su pendiente 𝑚𝑛 ha de verificar 𝑚𝑡⋅𝑚𝑛=−1⇔𝑚𝑛=−1𝑚𝑡𝑚𝑡=−3/8←←←←←←←←←←←→𝑚𝑛=83. Por tanto, la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 se puede hallar usando la ecuación punto-pendiente como 𝑦−𝑓(0)=𝑚𝑛(𝑥−0)⇔𝑦−14=83𝑥⇔𝑦=83𝑥+14.

Ejercicio 2: Junio de 2021

Considera la función continua 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩(3𝑥−6)𝑒𝑥,si 𝑥≤0,36(sen⁡(𝑥)−𝑎𝑥)𝑥3,si 𝑥>0.

  1. Calcula 𝑎.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎. Pasamos a estudiar su continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(3𝑥−6)𝑒𝑥=−6,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡36(sen⁡(𝑥)−𝑎𝑥)𝑥3=00→lím𝑥→0+⁡36(sen⁡(𝑥)−𝑎𝑥)𝑥3L’H=lím𝑥→0+⁡36(cos⁡(𝑥)−𝑎)3𝑥2=36(1−𝑎)0,𝑓(0)=−6. Si 𝑎 ≠1 el segundo límite será infinito y la función no será continua en 𝑥 =0, así que necesariamente 𝑎 =1. Continuamos resolviendo el límite para 𝑎 =1. lím𝑥→0+⁡36(cos⁡(𝑥)−1)3𝑥2L’H=lím𝑥→0+⁡−36sen⁡(𝑥)6𝑥L’H=lím𝑥→0+⁡−36cos⁡(𝑥)6=−366=−6. Observamos que para este valor de 𝑎 se verifica que lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0).
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 = −1 viene dada por 𝑦−𝑓(−1)=𝑓′(−1)(𝑥+1). Como para 𝑥 ≤0 la derivada de la función es 𝑓′(𝑥)=3𝑒𝑥+(3𝑥−6)𝑒𝑥=(3𝑥−3)𝑒𝑥, entonces 𝑓′( −1) = −6𝑒. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 = −1 es 𝑦+9𝑒=−6𝑒(𝑥+1)⇔𝑦=−6𝑒𝑥−15𝑒.

Ejercicio 4: Junio de 2021

Considera la función 𝐹 :[0, +∞) →ℝ definida por 𝐹(𝑥)=∫𝑥0(2𝑡+√𝑡)𝑑𝑡. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Resolución

La función 𝑓(𝑥) =2𝑥 +√𝑥 es continua si 𝑥 ≥0. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐹(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥0(2𝑡+√𝑡)𝑑𝑡 es derivable, con 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥).$

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en 𝑥 =1 viene dada por 𝑦−𝐹(1)=𝐹′(1)(𝑥−1). Por un lado, 𝐹′(1)=𝑓(1)=3. Por otro lado, 𝐹(1)=∫10𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫10(2𝑡+√𝑡)𝑑𝑡=[𝑡2+23𝑡32]10=1+23=53.

Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 =1 es 𝑦−53=3(𝑥−1)⇔𝑦=3𝑥−3+53⇔𝑦=3𝑥−43.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2021

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥.

  1. Calcula 𝑎 para que la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto (𝑎,𝑓(𝑎)) pase por el origen de coordenadas.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta tangente a la misma en el punto (1,𝑓(1)) y el eje de ordenadas.

Resolución
  1. En primer lugar, sabemos que la derivada de la función 𝑓 es 𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝑎 es 𝑦−𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(𝑥−𝑎)⇔𝑦−𝑒𝑎=𝑒𝑎(𝑥−𝑎)⇔𝑦=𝑒𝑎𝑥+𝑒𝑎−𝑎𝑒𝑎. Si la recta tangente pasa por el origen de coordenadas, su ordenada en el origen debe ser 0. Así que 𝑒𝑎−𝑎𝑒𝑎=0⇔𝑒𝑎(1−𝑎)=0⇔𝑎=1. Podemos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 para comprobar que, efectivamente, pasa por el origen. 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1)⇔𝑦−𝑒=𝑒(𝑥−1)⇔𝑦=𝑒𝑥.
  2. Sabemos por el apartado anterior que la función y la recta se cortan en 𝑥 =1. Podemos representar el recinto la función, la recta tangente y el eje de ordenadas. Figura Calculamos el área. ∫10(𝑒𝑥−𝑒𝑥)𝑑𝑥=[𝑒𝑥−𝑒2𝑥2]10=𝑒−𝑒2−1=𝑒2−1𝑢2.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2021

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑎−𝑥 (para 𝑥 ≠𝑎).

  1. Halla 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (2,3) y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale -4.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 =3, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Resolución
    • Si la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (2,3), entonces 𝑓(2) =3. 𝑓(2)=3⇔4𝑎+𝑏−2+𝑎=3⇔4𝑎+𝑏=−6+3𝑎⇔𝑎+𝑏=−6.
    • Si la función tiene una asíntota oblicua con pendiente -4, entonces lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=−4. Calculamos el límite. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=lím𝑥→+∞⁡𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎−𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑎𝑥2+𝑏−𝑥2+𝑎𝑥=−𝑎. Así que lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=−4⇔−𝑎=−4⇔𝑎=4.
    Despejando y sustituyendo en la primera ecuación. 𝑎+𝑏=−6⇔𝑏=−𝑎−6𝑎=4←←←←←←→𝑏=−10. Por tanto, 𝑎 =4 y 𝑏 = −10.
  2. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓 para 𝑎 =2 y 𝑏 =3. 𝑓′(𝑥)=4𝑥(2−𝑥)+2𝑥2+3(2−𝑥)2=−2𝑥2+8𝑥+3(2−𝑥)2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 es 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1)⇔𝑦−5=9(𝑥−1)⇔𝑦=9𝑥−4. Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, tiene como pendiente −19. Por tanto, su ecuación es 𝑦−5=−19(𝑥−1)⇔𝑦=−19𝑥+469.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2021

Sea la función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥≤0,ln⁡(1+𝑥),si 𝑥>0.

  1. Determina 𝑎 y 𝑏.
  2. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua y derivable en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏, con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑎+𝑏(𝑥−1)2,si 𝑥<0,11+𝑥,si 𝑥≥0. Pasamos a estudiar su continuidad y derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =0.
    • Estudiamos la continuidad. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑎𝑥+𝑏𝑥−1=−𝑏,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡ln⁡(1+𝑥)=0,𝑓(0)=0. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔−𝑏=0⇔𝑏=0.
    • Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡−𝑎(𝑥−1)2=−𝑎,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡11+𝑥=1. Como 𝑓 es derivable en 𝑥 =0, 𝑓′−(0)=𝑓′+(0)⇔−𝑎=1⇔𝑎=−1.
    Así que 𝑎 = −1 y 𝑏 =0.
    • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−ln⁡(3)=13(𝑥−2)⇔𝑦=13𝑥−23+ln⁡(3).
    • La recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 tiene como pendiente −1𝑓′(2). Por tanto, su ecuación es 𝑦−𝑓(2)=−1𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−ln⁡(3)=−3(𝑥−2)⇔𝑦=−3𝑥+6+ln⁡(3).

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2021

Halla 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑎 +𝑏sen⁡(𝑥) +𝑐sen⁡(2𝑥) tiene un punto crítico en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋 y la recta 𝑦 = −12𝑥 +3 es normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución

En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑏cos⁡(𝑥)+2𝑐cos⁡(2𝑥).

  • Si la función tiene un punto crítico en 𝑥 =𝜋, entonces 𝑓′(𝜋) =0. 𝑓′(𝜋)=0⇔−𝑏+2𝑐=0.
  • Si la recta normal en 𝑥 =0 tiene pendiente −12, entonces −1𝑓′(0) = −12. −1𝑓′(0)=−12⇔𝑓′(0)=2⇔𝑏+2𝑐=2.
  • Si 𝑦 = −12𝑥 +3 es la recta normal en 𝑥 =0, el punto (0,3) pertenece la función. Así que 𝑓(0) =3. 𝑓(0)=3⇔𝑎=3.

Planteamos el sistema de ecuaciones {−𝑏+2𝑐=0,𝑏+2𝑐=2. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que 4𝑐=2⇔𝑐=12. Por otro lado, si restamos las dos ecuaciones, −2𝑏=−2⇔𝑏=1.

Por tanto, 𝑎 =3, 𝑏 =1 y 𝑐 =12.

Ejercicio 5: Junio de 2020

Sea 𝑓 :[0,2𝜋] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=sen⁡(𝑥)2−cos⁡(𝑥).

  1. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋3.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=cos⁡(𝑥)(2−cos⁡(𝑥))−sen2⁡(𝑥)(2−𝑐𝑜𝑠(𝑥))2=2cos⁡(𝑥)−cos2⁡(𝑥)−sen2⁡(𝑥)(2−cos⁡(𝑥))2=2cos⁡(𝑥)−1(2−cos⁡(𝑥))2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2cos⁡(𝑥)−1(2−cos⁡(𝑥))2=0⇔2cos⁡(𝑥)−1=0⇔cos⁡(𝑥)=12⇔{𝑥=𝜋3,𝑦=5𝜋3. Estudiamos el signo de 𝑓′.
    • Si 0 <𝑥 <𝜋3, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    • Si 𝜋3 <𝑥 <5𝜋3, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
    • Si 5𝜋3 <𝑥 <2𝜋, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    Así que los puntos (0,0) y (𝜋3,1√3) son máximos relativos y los puntos (5𝜋3,−1√3) y (2𝜋,0) son mínimos relativos. Por tanto, (𝜋3,1√3) es el máximo absoluto y (5𝜋3,−1√3) es el mínimo absoluto.
    • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝜋3 viene dada por: 𝑦−𝑓(𝜋3)=𝑓′(𝜋3)(𝑥−𝜋3)⇔𝑦−1√3=0⇔𝑦=1√3.
    • Observamos que la recta tangente es horizontal, así que la recta normal tiene que ser vertical. Por tanto, su ecuación es: 𝑥=𝜋3.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2020

Se sabe que la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑 tiene un punto crítico en 𝑥 =0, que su gráfica pasa por (0,3) y que la recta 𝑦 = −2𝑥 +2 es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =1. Calcula 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2020

Se sabe que la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥−1, tiene un punto crítico en 𝑥 =2 y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =1 es 𝑦 =12𝑥 +32. Calcula 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Resolución

En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐.

  • Si la función tiene un punto crítico en 𝑥 =2, ha de verificarse que: 𝑓′(2)=0⇔12𝑎+4𝑏+𝑐=0.
  • Si la recta normal en 𝑥 =1 tiene pendiente 12, ha de verificarse que: −1𝑓′(1)=12⇔𝑓′(1)=−2⇔3𝑎+2𝑏+𝑐=−2.
  • Si 𝑦 =12𝑥 +32 es la recta normal en 𝑥 =1, el punto (1,2) pertenece a la gráfica de la función. Así que ha de verificarse que: 𝑓(1)=2⇔𝑎+𝑏+𝑐−1=2⇔𝑎+𝑏+𝑐=3.

Planteamos el sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑎+𝑏+𝑐=3,3𝑎+2𝑏+𝑐=−2,12𝑎+4𝑏+𝑐=0. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113321−212410⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−𝐹1←←←←←←←←→𝐹3−𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113210−51130−3⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−3𝐹2←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113210−550012⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑎+𝑏+𝑐=3,2𝑎+𝑏=−5,5𝑎=12. Por tanto, 5𝑎=12⇔𝑎=125,2𝑎+𝑏=−5⇔𝑏=−5−2𝑎=−5−245−495,𝑎+𝑏+𝑐=3⇔𝑐=3−𝑎−𝑏=3−125+495=525.

Ejercicio 5: Septiembre de 2020

Sea la función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)={𝑒2𝑎𝑥−4𝑏,si 𝑥<1,1−𝑥ln⁡(𝑥),si 𝑥≥1.

  1. Determina los valores de 𝑎 y 𝑏.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏 con: 𝑓′(𝑥)={2𝑎𝑒2𝑎𝑥−4𝑏,si 𝑥<1,−ln⁡(𝑥)−1,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad y la derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1.
      • Estudiamos la continuidad. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑒2𝑎𝑥−4𝑏=𝑒2𝑎−4𝑏,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(1−𝑥ln⁡(𝑥))=1,𝑓(1)=1. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que: lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1)⇔𝑒2𝑎−4𝑏=1⇔2𝑎−4𝑏=0⇔𝑎=2𝑏.
      • Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡2𝑎𝑒2𝑎𝑥−4𝑏=2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(−ln⁡(𝑥)−1)=−1. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse que: 𝑓′−(1)=𝑓′+(1)⇔2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏=−1.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones: {𝑎=2𝑏,2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏=−1. Sustituyendo en la segunda ecuación, 4𝑏=−1⇔𝑏=−14⇒𝑎=−12. Por tanto, 𝑎 = −12 y 𝑏 = −14.
  2. La ecuación de la recta tangente en 𝑥 =2 viene dada por: 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−1+2ln⁡(2)=(−ln⁡(2)−1)(𝑥−2)⇔⇔𝑦=−(ln⁡(2)+1)𝑥+2ln⁡(2)+2−2ln⁡(2)+1⇔𝑦=−(ln⁡(2)+1)𝑥+3.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2019

Se sabe que la gráfica de la función 𝑓 :ℝ →ℝ, dada por 𝑓(𝑥) =2𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐, tiene un punto de inflexión para 𝑥 =1 y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es 𝑦 = −6𝑥 +6. Calcula 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Resolución

En primer lugar, calculamos la primera y la segunda derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=6𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏,𝑓″(𝑥)=12𝑥+2𝑎.

Como 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 =1, 𝑓″(1)=0⇔12+2𝑎=0⇔𝑎=−6.

La pendiente de la recta tangente en 𝑥 =1 es -6, así que 𝑓′(1)=−6⇔6+2𝑎+𝑏=−6𝑎=−6←←←←←←←→6−12+𝑏=−6⇔𝑏=0. Como además la ecuación de la recta es 𝑦 = −6𝑥 +6, si 𝑥 =1 entonces 𝑦=−6⋅1+6=0. Así que el punto de tangencia es (1,0). Por tanto, 𝑓(1)=0⇔2+𝑎+𝑏+𝑐=0𝑎=−6←←←←←←←→𝑏=02−6+𝑐=0⇔𝑐=4.

Luego 𝑎 = −6, 𝑏 =0 y 𝑐 =4.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2019

Dada 𝑓 :(1,𝑒) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=1𝑥+ln⁡(𝑥), determina la recta tangente a la gráfica de 𝑓 que tiene pendiente máxima.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2019

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+1 para 𝑐𝑥 +1 ≠0. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la recta 𝑥 = −1 es una asíntota vertical a la gráfica de 𝑓 y que 𝑦 =2𝑥 +4 es la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Junio de 2018

Considera las funciones 𝑓 y 𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =3 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) = −𝑥24.

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1 y comprueba que también es tangente a la gráfica de 𝑔. Determina el punto de tangencia con la gráfica de 𝑔.
  2. Esboza el recinto limitado por la recta 𝑦 =4 −2𝑥 y las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).
  3. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2018

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑒2−𝑥.

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje de ordenadas y la recta 𝑥 +𝑦 =3.
  3. Calcula el área del recinto indicado.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2018

Determina la función 𝑓 :(1, +∞) →ℝ sabiendo que 𝑓″(𝑥)=1(𝑥−1)2 y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2 es 𝑦 =𝑥 +2.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2018

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥 +𝑥𝑒−𝑥.

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 que es paralela a la recta 𝑥 −𝑦 +1 =0.
  2. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.

Ejercicio B2: Septiembre de 2018

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒−2𝑥.

  1. Determina el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 = −2𝑒𝑥.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 = −2𝑒𝑥 y el eje de ordenadas.
  3. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2017

Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto (0,2) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =1 es la recta 𝑥 +𝑦 =3.

Ejercicio B1: Septiembre de 2017

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥2.

  1. Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de 𝑓. Calcula los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Junio de 2016

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1 sabiendo que 𝑓(0) =0 y 𝑓′(𝑥)=(𝑥−1)2𝑥+1 para 𝑥 > −1.

Ejercicio B2: Junio de 2016

Sea 𝑓 :(0, +∞) →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥).

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 =𝑥 −1 y la recta 𝑥 =3. Calcula su área.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2016

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =|𝑥2 −4|.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2015

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥2 +3𝑥 +1)𝑒−𝑥.

  1. Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Halla los puntos de la gráfica de 𝑓 cuya recta tangente es horizontal.
  3. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2015

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥)2𝑥 para 𝑥 >0 y sea 𝐹 la primitiva de 𝑓 tal que 𝐹(1) =2.

  1. Calcula 𝐹′(𝑒).
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en el punto de abscisa 𝑥 =𝑒.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2015

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2+1𝑥2(𝑥−1) para 𝑥 ≠0 y 𝑥 ≠1 y sea 𝐹 la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto 𝑃(2,ln⁡(2)).

  1. Calcula la recta tangente a la gráfica 𝐹 en el punto 𝑃.
  2. Determina la función 𝐹.

Ejercicio A1: Junio de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐.

  1. Halla 𝑎, 𝑏 y 𝑐 para que la gráfica de 𝑓 tenga un punto de inflexión de abscisa 𝑥 =12 y que la recta tangente en el punto de abscisa 𝑥 =0 tenga por ecuación 𝑦 =5 −6𝑥.
  2. Para 𝑎 =3, 𝑏 = −9 y 𝑐 =8, calcula los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2014

Considera la función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑒𝑥−𝑒−𝑥2𝑥,si 𝑥<0,𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥≥0.

  1. Calcula 𝑎 y 𝑏.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2014

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) =12𝑥 +ln⁡(𝑥) para 𝑥 >0.

  1. Determina el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.
  2. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +3.

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 2𝑥 +𝑦 −7 =0 y el eje 𝑂𝑋, calculando los puntos de corte.
  3. Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 −𝑥 +3.

  1. Halla, si existe, el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 =3 −𝑥.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta del apartado anterior.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2014

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥cos⁡(𝑥).

  1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  2. Calcula la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (0,0).

Ejercicio B1: Junio de 2013

Sea 𝑓 :( −∞,1) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)={𝑥+2𝑒−𝑥,si 𝑥≤0,𝑎√𝑏−𝑥,si 0<𝑥<1.

  1. Determina 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 es derivable en todo su dominio.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2013

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 es 𝑦 +𝑥 = −3 y que el punto de inflexión tiene abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2013

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥ln⁡(𝑥) para 𝑥 >0, 𝑥 ≠1.

  1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝑒.

Ejercicio A2: Septiembre de 2013

  1. Determina la función 𝑓 :ℝ →ℝ tal que 𝑓′(𝑥) =(2𝑥 +1)𝑒−𝑥 y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.
  2. Calcula la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio B2: Septiembre de 2013

Sea 𝑔 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +6𝑥 −5.

  1. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑔 en el punto de abscisa 𝑥 =4.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑔 y la recta 𝑥 −2𝑦 +2 =0. Calcula el área de este recinto.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2012

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =1𝑥 +ln⁡(𝑥).

  1. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo [1𝑒,𝑒].
  2. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝑒.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2012

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −4𝑥.

  1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 = −𝑥 −2, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.
  3. Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2012

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥2 +3𝑥 +3) −𝑥.

  1. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Ejercicio A1: Septiembre de 2012

Sea la función continua 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑘,si 𝑥≤0,𝑒𝑥2−1𝑥2,si 𝑥>0.

  1. Calcula el valor de 𝑘.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Septiembre de 2012

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=9−𝑥24.

  1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 +2𝑦 =5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2011

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =4 −𝑥2.

  1. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  2. Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta 𝑥 +2𝑦 −2 =0.

Ejercicio B2: Septiembre de 2011

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥)=−14𝑥2+4y𝑔(𝑥)=𝑥2−1.

  1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  2. Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta 𝑦 =𝑥 +5. Calcula el área de este recinto.