Matemáticas de Selectividad

Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de 100 cm², el margen superior tiene que ser de 2 cm, el inferior de 3 cm y los laterales de 5 cm cada uno. Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

Determina la función 𝑓 :ℝ →ℝ tal que 𝑓″(𝑥) =𝑥𝑒𝑥, cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en 𝑥 =1.

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11120313𝑚−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑚2𝑚+1𝑚−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
2. Para 𝑚 =2, calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para la que 𝑧 =17.

Los puntos 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,2,2) y 𝐶(1,3,3) son vértices consecutivos del paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷.

1. Calcula el área del paralelogramo.
2. Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.
3. Calcula las coordenadas del vértice 𝐷.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥2.

1. Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de 𝑓. Calcula los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
2. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje 𝑂𝑋, la recta 𝑦 =𝑥, la gráfica 𝑦 =1𝑥3 y la recta 𝑥 =3.

1. Haz un esbozo del recinto descrito.
2. Calcula el área del recinto.
3. Si consideras la gráfica 𝑦 =1𝑥 en lugar de 𝑦 =1𝑥3, el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿Por qué?

Considera 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑘0𝑘𝑘+1𝑘00𝑘+1𝑘+1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Discute el rango de 𝐴 según los valores de 𝑘.
2. Para 𝑘 =1, calcula el determinante de 2(𝐴𝑡𝐴−1)2017.

Considera el punto 𝑃(0,1,1) y la recta 𝑟 dada por {𝑥−2𝑦=−5,𝑧=2.

1. Determina la ecuación del plano que pasa por 𝑃 y contiene a 𝑟.
2. Halla las coordenadas del punto simétrico de 𝑃 respecto de 𝑟.