Matemáticas de Selectividad

1. El volumen del tetraedro determinado por los puntos $O$, $A$, $B$ y $C$ es un sexto del volumen del paralelepípedo formado por los vectores $\vec{OA} = (0, 2, -2)$, $\vec{OB} = (1, 2, m)$ y $\vec{OC} = (2, 3, 2)$. Este viene dado por el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores. $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & m \\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 4m - 6 + 8 - 4 = 4m - 2 \Rightarrow V = \frac{|4m - 2|}{6}.$$ Si el volumen es de 3 unidades cúbicas, ha de verificarse: $$\frac{|4m - 2|}{6} = 3 \Leftrightarrow |4m - 2| = 18 \Leftrightarrow \begin{cases} 4m - 2 = 18 \Leftrightarrow 4m = 20 \Leftrightarrow m = 5, \\ 4m - 2 = -18 \Leftrightarrow 4m = -16 \Leftrightarrow m = -4. \end{cases}$$
2. El plano $\pi$ determinado por los puntos $A$, $B$ y $C$ tiene como vectores directores $\vec{AB} = (1, 0, 2)$ y $\vec{AC} = (2, 1, 4)$. El vector normal al plano viene dado por: $$\vec{n}_{\pi} = \begin{vproduct} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vproduct} = (-2, 0, 1).$$ Como $A$ pertenece al plano, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\pi \equiv -2x + z + 2 = 0 \Leftrightarrow 2x - z - 2 = 0.$$ Por tanto, la distancia del punto $O$ al plano $\pi$ viene dada por: $$\dist(O, \pi) = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \; u.$$

1. Llamamos $\pi$ al plano que nos piden. Como $\pi$ contiene a la recta $r$, entonces $\vec{d}_r = (1, 2, 2)$ es un vector director del plano. Por otro lado, como $R(1, 2, 3)$ es un punto de $r$, el vector $\vec{PR} = (0, 1, 2)$ es otro vector director del plano. Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano $\pi$ son: $$\pi \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = 1 + 2\lambda + \mu, \\ z = 1 + 2\lambda + 2\mu, \end{cases} \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}.$$
2. En primer lugar, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$. $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = 2 + 2\lambda, \\ z = 3 + 2\lambda, \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$ Llamamos $s$ a la recta que nos piden. Para hallarla, trazamos un plano $\tau$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. Como $\tau$ es perpendicular a $r$, entonces $\vec{n}_{\tau} = \vec{d}_r = (1, 2, 2)$. Luego la ecuación del plano $\tau$ es: $$\tau \equiv x - 1 + 2(y-1) + 2(z-1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 5 = 0.$$ A continuación, hallamos el punto de intersección $Q$ de la recta $r$ y el plano $\tau$ sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano. $$1 + \lambda + 2(2 + 2\lambda) + 2(3 + 2\lambda) - 5 = 0 \Leftrightarrow 9\lambda + 6 = 0 \Leftrightarrow \lambda = -\frac{2}{3}.$$ Así que el punto de intersección es $Q\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)$. Luego el vector director de la recta $s$ es $\vec{d}_s = \vec{PQ} = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \parallel (2, 1, -2)$. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ son: $$s \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda, \\ y = 1 + \lambda, \\ z = 1 - 2\lambda, \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

1. Para hallar el punto simétrico $P'$ de $P$ con respecto a $\pi$, trazamos una recta $r$ perpendicular al plano que pase por el punto $P$. Al ser perpendicular a $\pi$, su vector director es $\vec{d}_r = \vec{n}_\pi = (2, 1, 2)$. Así que la ecuación de la recta $r$ es: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda, \\ y = \lambda, \\ z = 1 + 2\lambda, \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$ A continuación, hallamos el punto de intersección $Q$ entre la recta y el plano sustituyendo las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano. $$2(1 + 2\lambda) + \lambda + 2(1 + 2\lambda) + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 4\lambda + \lambda + 2 + 4\lambda + 5 = 0 \Leftrightarrow 9\lambda + 9 = 0 \Leftrightarrow \lambda = -1.$$ Por tanto, el punto de intersección es $Q(-1, -1, -1)$. De esta forma, podemos hallar $P'$ como el punto simétrico de $P$ con respecto a $Q$. Si llamamos $P'(a, b, c)$, ha de verificarse: $$\begin{cases} \frac{1 + a}{2} = -1 \Leftrightarrow a = -3, \\ \frac{b}{2} = -1 \Leftrightarrow b = -2, \\ \frac{1 + c}{2} = -1 \Leftrightarrow c = -3. \end{cases}$$ Por tanto, el punto simétrico de $P$ con respecto al plano $\pi$ es $P'(-3, -2, -3)$.
2. Llamamos $\tau$ al plano que nos piden. Como $\tau$ es un plano paralelo a $\pi$, su vector normal es $\vec{n}_\tau = \vec{n}_\pi = (2, 1, 2)$. Así que la ecuación del plano $\tau$ es de la forma: $$\tau \equiv 2x + y + 2z + d = 0.$$ El punto $Q(-1, -1, -1)$ pertenece al plano $\pi$, así que la distancia entre $\pi$ y $\tau$ viene dada por: $$\dist(\pi, \tau) = \dist(Q, \tau) = \frac{|2 \cdot (-1) + (-1) + 2 \cdot (-1) + d|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|-5 + d|}{3}.$$ Para que la distancia sea de 2 unidades, ha de verificarse: $$\dist(\pi, \tau) = 2 \Leftrightarrow \frac{|-5 + d|}{3} = 2 \Leftrightarrow |-5 + d| = 6 \Leftrightarrow \begin{cases} -5 + d = 6 \Leftrightarrow d = 11, \\ -5 + d = -6 \Leftrightarrow d = -1. \end{cases}$$ Por tanto, las ecuaciones de los planos son: $$\tau_1 \equiv 2x + y + 2z + 11 = 0 \quad \text{y} \quad \tau_2 \equiv 2x + y + 2z - 1 = 0.$$

1. En primer lugar, hallamos el vector director de la recta $r$. $$\vec{d}_r = (1, -1, 1) \times (1, 2, -1) = \begin{vproduct} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vproduct} = (-1, 2, 3).$$ La recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos si el vector director $\vec{d}_r$ y el vector normal $\vec{n}_\pi = (m, -1, -2)$ son perpendiculares. Ha de verificarse que: $$\vec{d}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \Leftrightarrow -m - 2 - 6 = 0 \Leftrightarrow m = -8.$$
2. Si $m = -8$, por el apartado anterior sabemos que $r$ y $\pi$ son paralelos. Para calcular la distancia, hallamos en primer lugar un punto de la recta $r$. Si $x = 0$, entonces el sistema queda: $$\begin{cases} -y + z = 3, \\ 2y - z = 4. \end{cases}$$ Si realizamos $F_1 + F_2$, obtenemos que $y = 7$. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, $$-y + z = 3 \Leftrightarrow z = 3 + y = 10.$$ Luego $P(0, 7, 10)$ es un punto de la recta $r$. Por tanto: $$\dist(r, \pi) = \dist(P, \pi) = \frac{|-8 \cdot 0 - 7 - 2 \cdot 10 - 5|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{32}{\sqrt{69}} \; u.$$

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de las rectas $r$ y $s.$
   • Para la recta $r$, si tomamos $x = \lambda$, $$r \equiv \begin{cases} x = \lambda, \\ y = 0, \\ z = 2\lambda. \end{cases}$$ Así que el vector director de $r$ es $\vec{d}_r = (1, 0, 2).$
   • Para la recta $s$, si tomamos $x = \mu$, $$s \equiv \begin{cases} x = \mu, \\ y = -7 - \mu, \\ z = 0. \end{cases}$$ Así que el vector director de $s$ es $\vec{d}_s = (1, -1, 0).$
   Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales, porque $$\frac{1}{1} \neq \frac{0}{-1} \neq \frac{2}{0}.$$ Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto $R(0, 0, 0)$ de $r$ y un punto $S(0, -7, 0)$ de $s.$ Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano viendo si $\vec{d}_r$, $\vec{d}_s$ y $\vec{RS} = (0, -7, 0)$ son linealmente dependientes. $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -7 & 0 \end{vmatrix} = -14 \neq 0.$$ Como los tres vectores son linealmente independientes, $r$ y $s$ no están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas $r$ y $s$ se cruzan.
2. Llamamos $\pi$ al plano que queremos hallar. Como está a la misma distancia de ambas rectas, tiene que ser paralelo a las dos. Así que $\vec{d}_r$ y $\vec{d}_s$ son dos vectores directores del plano $\pi.$ Además, el punto $M\left(0, -\frac{7}{2}, 0\right)$ pertenece al plano por ser el punto medio entre $R$ y $S.$ Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano $\pi$ son $$\pi \equiv \begin{cases} x = \lambda + \mu, \\ y = -\frac{7}{2} - \mu, \\ z = 2\lambda. \end{cases}$$

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta $s.$ Si tomamos $x = \mu$, $$s \equiv \begin{cases} x = \mu, \\ y = -\frac{3a}{2} + \frac{1}{2}\mu, \\ z = 2 - \mu. \end{cases}$$ Observamos que los vectores directores $\vec{d}_r = (1, 1, 2)$ y $\vec{d}_s = \left(1, \frac{1}{2}, -1\right)$ no son proporcionales, así que las dos rectas no son ni paralelas ni coincidentes para ningún valor de $a.$ Tomamos un punto $R(0, -a, -1)$ de $r$ y $S\left(0, -\frac{3a}{2}, 2\right)$ de $s.$ Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano estudiando si $\vec{d}_r$, $\vec{d}_s$ y $\vec{RS} = \left(0, -\frac{a}{2}, 3\right)$ son linealmente dependientes. $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{a}{2} & 3 \end{vmatrix} = \frac{3}{2} - a - \frac{a}{2} - 3 = -\frac{3}{2} - \frac{3a}{2}.$$ Para que las rectas $r$ y $s$ se corten, ha de verificarse: $$-\frac{3}{2} - \frac{3a}{2} = 0 \Leftrightarrow a = -1.$$
2. Si $a = -1$, las rectas $r$ y $s$ se cortan por el apartado anterior. Llamamos $t$ a la recta que nos piden. Como es perpendicular a las rectas $r$ y $s$, su vector director viene dado por: $$\vec{d}_t = \vec{d}_r \times \vec{d}_s = \begin{vproduct} 1 & 1 & 2 \\ 1 & \frac{1}{2} & -1 \end{vproduct} = \left(-2, 3, -\frac{1}{2}\right).$$ Como además corta a las dos rectas, $t$ tiene que pasar por el punto de corte de $r$ y $s.$ Para ello, hallamos en primer lugar las ecuaciones paramétricas de la recta $r.$ $$r \equiv \begin{cases} x = \lambda, \\ y = 1 + \lambda, \\ z = -1 + 2\lambda. \end{cases}$$ Calculamos el punto de corte igualando las ecuaciones entre sí. \begin{cases} \lambda = \mu, \\ 1 + \lambda = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\lambda, \\ -1 + 2\lambda = 2 - \mu \end{cases} Obtenemos que $\lambda = 1$ y $\mu = 1$, así que el punto de corte es $(1, 2, 1).$ Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta $t$ son: $$t \equiv \begin{cases} x = 1 - 2\lambda, \\ y = 2 + 3\lambda, \\ z = 1 - \frac{1}{2}\lambda. \end{cases}$$

1. Para hallar el punto de $r$ a menor distancia de $P$, trazamos un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $P.$ Al ser perpendicular a la recta $r$, su vector normal es $\vec{n}_\pi = \vec{d}_r = (2, 2, -1).$ Así que la ecuación del plano $\pi$ es: $$\pi \equiv 2x + 2(y-2) - (z+4) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z - 8 = 0.$$ A continuación, calculamos el punto de intersección $Q$ de la recta y el plano, que será el punto de $r$ a menor distancia del punto $P.$ En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta $r.$ $$r \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda, \\ y = 2 + 2\lambda, \\ z = 3 - \lambda. \end{cases}$$ Para ello hallar el punto de corte, sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano. $$2(-1 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda - 2) - (3 - \lambda) - 8 = 0 \Leftrightarrow 9\lambda - 9 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1.$$ Por tanto, el punto de intersección es $Q(1, 4, 2).$ Así que este es el punto de $r$ a menor distancia de $P.$
2. Consideramos un punto genérico $R(-1 + 2\lambda, 2 + 2\lambda, 3 - \lambda)$ de la recta $r.$ La distancia entre $P$ y el punto genérico $R$ viene dada por el módulo del vector $\vec{PR} = (-1 + 2\lambda, 2\lambda, 7 - \lambda).$ $$\dist(P, R) = |\vec{PR}| = \sqrt{(-1 + 2\lambda)^2 + (2\lambda)^2 + (7 - \lambda)^2} = \sqrt{9\lambda^2 - 18\lambda + 50}.$$ Como queremos hallar los puntos de $r$ cuya distancia a $P$ sea de $\sqrt{50} \; u$, $$\dist(P, R) = \sqrt{50} \Leftrightarrow \sqrt{9\lambda^2 - 18\lambda + 50} = \sqrt{50} \Leftrightarrow 9\lambda^2 - 18\lambda + 50 = 50 \Leftrightarrow 9\lambda(\lambda - 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda = 0, \\ \lambda = 2. \end{cases}$$ Por tanto, los puntos son $R_1(-1, 2, 3)$ y $R_2(3, 6, 1).$

1. El plano $\pi$ perpendicular al segmento $PQ$ tiene como vector normal $\vec{n} = \vec{PQ} = (2, -2, 0).$ Si además pasa por el punto medio $M(2, -1, 1)$, entonces $$\pi \equiv 2(x-2) - 2(y+1) = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0.$$
2. Llamamos $\tau$ al plano que nos piden. Como $\tau$ es paralelo a $r$ y contiene al segmento $PQ$, $\vec{d}_r = (-1, 3, 1)$ y $\vec{PQ} = (2, -2, 0)$ son dos vectores directores del plano. Además, el punto $P(1, 0, 1)$ pertenece al plano. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de $\tau$ son $$\tau \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda + 2\mu, \\ y = 3\lambda - 2\mu, \\ z = 1 + \lambda. \end{cases}$$

Llamamos $C(a, b, c)$ al punto que nos piden. Como $C$ está en el plano $OXZ$, entonces $b = 0.$

Como queremos que el triángulo $ABC$ sea equilátero, las distancias entre los vértices tienen que ser iguales. Calculamos las distancias mediante los vectores $\vec{AB} = (-4, 2, 0)$, $\vec{AC} = (a-4, 0, c)$ y $\vec{BC} = (a, -2, c).$ \begin{align} & \dist(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}, \\ & \dist(A, C) = |\vec{AC}| = \sqrt{(a-4)^2 + c^2} = \sqrt{a^2 - 8a + 16 + c^2}, \\ & \dist(B, C) = |\vec{BC}| = \sqrt{a^2 + 2^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + 4 + c^2}. \end{align} Así que $$\begin{cases} \sqrt{a^2 - 8a + 16 + c^2} = \sqrt{20}, \\ \sqrt{a^2 + 4 + c^2} = \sqrt{20} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 8a + 16 + c^2 = 20, \\ a^2 + 4 + c^2 = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 8a + c^2 = 4, \\ a^2 + c^2 = 16. \end{cases}$$ Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que $$-8a = 12 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}.$$ Despejando y sustituyendo en la segunda ecuación, $$a^2 + c^2 = 16 \Leftrightarrow c = \sqrt{16 - a^2} \xrightarrow{a = 3/2} c = \pm \frac{\sqrt{55}}{2}.$$ Por tanto, los puntos son $C_1\left(\frac{3}{2}, 0, -\frac{\sqrt{55}}{2}\right)$ y $C_2\left(\frac{3}{2}, 0, \frac{\sqrt{55}}{2}\right).$

En primer lugar, calculamos el punto medio $M$ del segmento $\overline{PQ}.$ $$M = \left(\frac{2}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{8+6}{2}\right) = (1, 2, 7).$$ Además, el vector director del segmento $\overline{PQ}$ es $\vec{PQ} = (2, -2, -2).$

Llamamos $\pi$ al plano que queremos calcular. Como $\pi$ es perpendicular al segmento $\overline{PQ}$, entonces $\vec{n}_\pi = \vec{PQ} = (2, -2, -2).$ Además, $M(1, 2, 7) \in \pi.$ Por tanto, podemos hallar la ecuación del plano como $$\pi \equiv 2(x-1) - 2(y-2) - 2(z-7) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y - 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 8 = 0.$$

Calculamos ahora los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.

• Si $y = z = 0$, obtenemos el punto $A(-8, 0, 0).$
• Si $x = z = 0$, obtenemos el punto $B(0, 8, 0).$
• Si $x = y = 0$, obtenemos el punto $C(0, 0, 8).$

El área del triángulo viene dado por $$\Delta = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|.$$

Hallamos los vectores $\vec{AB} = (8, 8, 0)$ y $\vec{AC} = (8, 0, 8)$ y hacemos su producto vectorial. $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vproduct} 8 & 8 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{vproduct} = (64, -64, -64),$$ con módulo $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = |(64, -64, -64)| = \sqrt{64^2 + 64^2 + 64^2} = \sqrt{3 \cdot 64^2} = 64\sqrt{3}.$$

Por tanto, el área del triángulo es $$\Delta = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}64\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \; u^2.$$

1. Hallamos en primer lugar la ecuación de la recta $r.$ Su vector director es $\vec{BC} = (-2, 0, -2).$ Por tanto, las ecuaciones paramétricas de $r$ son $$r \equiv \begin{cases} x = 2 - 2\lambda, \\ y = 1, \\ z = 1 - 2\lambda. \end{cases}$$ Para hallar la distancia del punto $A$ a la recta $r$ podemos trazar un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $A.$ Este plano cortará a $r$ en un punto $P$, de forma que $\dist(A, r) = \dist(A, P).$ Si $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal es $\vec{n}_\pi = \vec{BC} = (-2, 0, -2).$ Así que la ecuación del plano $\pi$ es $$\pi \equiv -2(x+1) -2(z-3) = 0 \Leftrightarrow -2x - 2z + 4 = 0 \Leftrightarrow x + z - 2 = 0.$$ Calculamos el punto $P = r \cap \pi.$ Para ello sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano. $$2 - 2\lambda + 1 - 2\lambda - 2 = 0 \Leftrightarrow 4\lambda = 1 \Leftrightarrow \lambda = \frac{1}{4}.$$ Por tanto, el punto de corte es $$P\left(2 - 2 \cdot \frac{1}{4}, 1, 1 - 2 \cdot \frac{1}{4}\right) = \left(\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2}\right).$$ Por último, calculamos la distancia de $A$ a $r$ como el módulo del vector $\vec{AP} = \left(\frac{5}{2}, 0, -\frac{5}{2}\right).$ $$\dist(A, r) = \dist(A, P) = |\vec{AP}| = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{2\left(\frac{5}{2}\right)^2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \; u.$$
2. Para hallar el área del triángulo $ABC$, calculamos en primer lugar los vectores $\vec{AB} = (3, 0, -2)$ y $\vec{AC} = (1, 0, -4).$ Su producto vectorial es $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vproduct} 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -4 \end{vproduct} = (0, 10, 0).$$ Por último, calculamos el área como $$\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{10^2} = 5 \; u^2.$$

En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta $r.$ Como su vector director es $\vec{d} = (1, 2, 2)$ y pasa por el punto $(1, 0, -1)$, $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = 2\lambda, \\ z = -1 + 2 \lambda. \end{cases}$$

Como $\pi'$ es un plano paralelo a $\pi$, tiene el mismo vector normal. Luego su ecuación será de la forma $$\pi' \equiv x + y + z + d = 0.$$

Hallamos los puntos de corte de la recta $r$ con los planos $\pi$ y $\pi'.$

• Para hallar el punto de intersección $Q$ de $r$ y $\pi$, sustituimos las ecuaciones de $r$ en la ecuación del plano. $$1 + \lambda + 2\lambda - 1 + 2\lambda = 0 \Leftrightarrow 5\lambda = 0 \Leftrightarrow \lambda = 0 \Rightarrow Q(1, 0, -1).$$
• De igual forma, para hallar el punto de intersección $Q'$ de $r$ y $\pi'$, sustituimos las ecuaciones de $r$ en la ecuación del plano. $$1 + \lambda + 2\lambda - 1 + 2\lambda + d = 0 \Leftrightarrow 5\lambda = -d \Leftrightarrow \lambda = -\frac{d}{5} \Rightarrow Q'\left(1 - \frac{d}{5}, -\frac{2d}{5}, -1 - \frac{2d}{5}\right).$$

La distancia entre $Q$ y $Q'$ viene dada por $$\dist(Q, Q') = |\vec{QQ'}| = \sqrt{\left(\frac{d}{5}\right)^2 + \left(\frac{2d}{5}\right)^2 + \left(\frac{2d}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9d^2}{25}} = \frac{3|d|}{5}.$$ Como queremos que la distancia sea de 2 unidades, $$\dist(Q, Q') = 2 \Leftrightarrow \frac{3|d|}{5} = 2 \Leftrightarrow |d| = \frac{10}{3} \Leftrightarrow d = \pm \frac{10}{3}.$$ Por tanto, las posibles ecuaciones del plano $\pi'$ son $$\pi_1' \equiv x + y + z + \frac{10}{3} = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2' \equiv x + y + z - \frac{10}{3} = 0.$$

En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta $r.$ Su vector director viene dado por el producto vectorial: $$\vec{d} = (1, 0, -2) \times (0, 1, -1) = \begin{vproduct} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vproduct} = (2, 1, 1).$$ Como el punto $(3, 2, 0)$ pertenece a la recta $r$, sus ecuaciones paramétricas son: $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + 2\lambda, \\ y = 2 + \lambda, \\ z = \lambda, \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

El plano $\pi$ determinado por los puntos $A$, $B$ y $C$ tiene como vectores directores $\vec{AB} = (1, 1, 1)$ y $\vec{AC} = (3, 1, 0).$ El vector normal del plano es perpendicular a ambos, así que: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vproduct} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vproduct} = (-1, 3, -2) \parallel (1, -3, 2).$$ Como $A$ pertenece al plano, la ecuación de $\pi$ es: $$\pi \equiv x + 1 - 3y + 2z = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 2z + 1 = 0.$$

La distancia entre $\pi$ y un punto genérico $R(3 + 2\lambda, 2 + \lambda, \lambda)$ de la recta $r$ viene dada por: $$\dist(R, \pi) = \frac{|3 + 2\lambda - 3(2 + \lambda) + 2\lambda + 1|}{|\vec{n}|} = \frac{|\lambda - 2|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|\lambda - 2|}{\sqrt{14}}.$$ Como queremos hallar los puntos de $r$ cuya distancia a $\pi$ sea de $\sqrt{14}$ unidades, $$\dist(R, \pi) = \sqrt{14} \Leftrightarrow \frac{|\lambda - 2|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14} \Leftrightarrow |\lambda - 2| = 14 \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda - 2 = 14 \Leftrightarrow \lambda = 16 \Rightarrow R_1(35, 18, 16), \\ \lambda - 2 = -14 \Leftrightarrow \lambda = -12 \Rightarrow R_2(-21, -10, -12). \end{cases}$$ Por tanto, los puntos son $R_1(35, 18, 16)$ y $R_2(-21, -10, -12).$

Los vectores son $\vec{OA} = (2, -1, 0)$, $\vec{OB} = (3, 0, x)$ y $\vec{OC} = (-x, 1, -1).$

1. El volumen del paralelepípedo formado por los vectores viene dado por el valor absoluto de su producto mixto. $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & x \\ -x & 1 & -1 \end{vmatrix} = x^2 - 2x - 3 \Rightarrow V = |x^2 - 2x - 3|$$ Si el volumen es de 5 unidades cúbicas, entonces $$V = 5 \Leftrightarrow |x^2 - 2x - 3| = 5 \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 2x - 3 = 5 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = -2 \quad \text{o} \quad x = 4, \\ x^2 - 2x - 3 = -5 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 2 = 0 \quad \text{no tiene solución}. \end{cases}$$ Por tanto, los posibles valores son $x = -2$ y $x = 4.$
2. Si $x = 1$, entonces $\vec{OB} = (3, 0, 1).$ Cada cara del paralelepípedo es un paralelogramo. El área del paralelogramo formado por los vectores $\vec{OA}$ y $\vec{OB}$ viene dado por el módulo de su producto vectorial. $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vproduct} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{vproduct} = (-1, -2, 3).$$ Por tanto, el área de la cara es $$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = |(-1, -2, 3)| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \; u^2.$$

En primer lugar, pasamos la recta $r$ a ecuaciones paramétricas. Su vector director viene dado por el producto vectorial $$\vec{d} = (1, -1, 1) \times (1, 3, 0) = \begin{vproduct} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vproduct} = (-3, 1, 4).$$ Como el punto $(1, 0, -1)$ pertenece a la recta $r$, sus ecuaciones paramétricas son $$r \equiv \begin{cases} x = 1 - 3\lambda, \\ y = \lambda, \\ z = -1 + 4\lambda. \end{cases}$$

• El plano $OYZ$ tiene de ecuación $\pi_1 \equiv x = 0.$ La distancia entre este plano y un punto genérico $R$ de la recta $r$ viene dada por $$\dist(R, \pi_1) = \frac{|1-3\lambda|}{\sqrt{1}} = |1 - 3\lambda|.$$
• El plano $OXZ$ tiene de ecuación $\pi_2 \equiv y = 0.$ La distancia entre este plano y un punto genérico $R$ de la recta $r$ viene dada por $$\dist(R, \pi_2) = \frac{|\lambda|}{\sqrt{1}} = |\lambda|.$$

Como queremos hallar los puntos de $r$ equidistantes de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$, $$\dist(R, \pi_1) = \dist(R, \pi_2) \Leftrightarrow |1 - 3\lambda| = |\lambda| \Leftrightarrow \begin{cases} 1 - 3\lambda = \lambda \Leftrightarrow 4\lambda = 1 \Leftrightarrow \lambda = \frac{1}{4} \Rightarrow R_1\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0\right), \\ 1 - 3\lambda = -\lambda \Leftrightarrow 2\lambda = 1 \Leftrightarrow \lambda = \frac{1}{2} \Rightarrow R_2\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right). \end{cases}$$ Por tanto, los puntos son $R_1\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0\right)$ y $R_2\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right).$

1. En primer lugar hallamos el vector director de la recta $r$, que viene dado por el producto vectorial $$\vec{d}_r = (1, -1, 1) \times (3, 0, -2) = \begin{vproduct} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \end{vproduct} = (2, 5, 3).$$ Llamamos $\pi$ al plano que nos piden y $s$ a la recta $$-x+1 = y = \frac{z-3}{2} \Leftrightarrow \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z-3}{2}.$$ Como $\pi$ es paralelo a $r$ y contiene a $s$, $\vec{d}_r = (2, 5, 3)$ y $d_s = (-1, 1, 2)$ son dos vectores directores del plano. Además, el punto $(1, 0, 3)$ pertenece al plano por ser un punto de $s.$ Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano $\pi$ son $$\pi \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda - \mu, \\ y = 5\lambda + \mu, \\ z = 3 + 3\lambda + 2\mu. \end{cases}$$
2. Llamamos $\tau$ al plano $$2x + 5y + 3z = 41.$$ Observamos que el vector normal al plano $\tau$ coincide con el vector director de la recta $r$, así que son secantes. Por tanto, la distancia entre ellos es cero.