Matemáticas de Selectividad

Considera los puntos $A(t, 2, -1)$, $B(0, 1, 1)$, $C(-1, 0, 2)$ y $D(2, 3, -t-1).$

1. Calcula el valor o valores de $t$ para que el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$, $D$ sea 5 unidades cúbicas.
2. Para $t = 0$, calcula la distancia del punto $A$ a la recta determinada por los puntos $B$ y $C.$

Considera el punto $A(0, 1, -2)$ y los planos $\pi_1 \equiv 2x - y - z + 5 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + 5y - 6z - 4 = 0.$

1. Halla el punto simétrico de $A$ respecto de $\pi_1.$
2. Determina la recta que pasa por $A$ y es paralela a $\pi_1$ y $\pi_2.$

Considera los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(-1, 0, 2)$ y $O(0, 0, 0)$, y la recta $$r \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda, \\ y = \lambda, \\ z = 2. \end{cases}$$

1. Calcula la distancia del punto $A$ a la recta $r.$
2. Determina el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $O.$

Considera el plano $\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0$, la recta $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda, \\ y = 1 - 2\lambda, \\ z = -2 - \lambda \end{cases}$$ y el punto $P(1, 1, 2).$

1. Determina la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$, paralelo a $r$ y que pasa por el punto $P.$
2. Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r.$

Considera la recta $$r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}$$ y los planos $\pi_1 \equiv x = 0$ y $\pi_2 \equiv y = 0.$

1. Halla los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2.$
2. Determina la posición relativa de la recta $r$ y la recta intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2.$

Considera el punto $A(2, 1, 0)$ y los planos $\pi_1 \equiv x + y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv x - y + z = 0.$

1. Calcula la recta que pasa por $A$ y es paralela a $\pi_1$ y $\pi_2.$
2. Calcula los puntos de la recta $$s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2}$$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2.$

Considera los puntos $A(0, 3, -1)$ y $B(0, 1, a)$ y el plano $\pi$ de ecuación $x - y + z = 0.$

1. Determina $a$ sabiendo que la recta que pasa por $A$ y por $B$ es paralela al plano $\pi.$
2. Halla el punto de corte del plano $\pi$ con la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a dicho plano.
3. Para $a = 2$, halla el plano que contiene a los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $\pi.$

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(2, -2, -1)$ con vector director $\vec{v} = (k, 3+k, -2k)$ y sea $\pi$ el plano de ecuación $-x + 2y + 2z - 1 = 0.$

1. Calcula el valor de $k$ para que $r$ sea paralela a $\pi.$
2. Calcula el valor de $k$ para que $r$ sea perpendicular a $\pi.$
3. Para $k = -1$, calcula los puntos de $r$ que distan 3 unidades de $\pi.$

Considera el punto $P(-5, 3, 1)$ y la recta $$r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-1}.$$

1. Calcula la ecuación general del plano que pasa por $P$ y contiene a $r.$
2. Calcula la ecuación de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a $r.$

Considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + 2 = 0, \\ -y + z + 5 = 0 \end{cases}$$ y el plano $\pi \equiv 2x + y - mz = 1.$

1. Calcula $m$ sabiendo que $r$ y $\pi$ son paralelos.
2. Para $m = -1$, calcula la distancia entre $r$ y $\pi.$

Halla cada uno de los puntos de la recta $$r \equiv \begin{cases} x - y = 0, \\ y - z = 0 \end{cases}$$ de manera que junto con los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(1, 0, 1)$ y $C(0, 1, 1)$ formen un tetraedro de volumen $\frac{5}{6}.$

Considera la recta $$r \equiv \frac{x-4}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{5}$$ y el plano $\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0.$

1. Halla la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r.$
2. Calcula la distancia entre $r$ y $\pi.$

Se consideran los puntos $A(0, -1, 3)$, $B(2, 3, -1)$ y la recta $$r \equiv \frac{x+2}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}.$$

1. Halla un punto $C$ de $r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $A.$
2. Calcula los puntos de $r$ que equidistan de los puntos $A$ y $B.$

Considera los puntos $P(1, 0, -1)$, $Q(2, 1, 1)$ y la recta $r$ dada por $$r \equiv x-5 = y = \frac{z+2}{-2}.$$

1. Determina el punto simétrico de $P$ respecto de $r.$
2. Calcula el punto de $r$ que equidista de $P$ y $Q.$

Considera el punto $P(2, -1, 3)$ y el plano $\pi$ de ecuación $3x + 2y + z = 5.$

1. Calcula el punto simétrico a $P$ respecto de $\pi.$
2. Calcula la distancia de $P$ a $\pi.$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y + z = 6.$

1. Determina la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el origen de coordenadas.
2. Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto a $\pi.$
3. Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de $\pi$ con los ejes coordenados.

Considera las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r \equiv x - 2 = y - 2 = z \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x = 4 + t, \\ y = 4 + t, \\ z = mt. \end{cases}$$

1. Determina $m$ para que $r$ y $s$ sean paralelas.
2. Halla, si existe, un valor de $m$ para el que ambas rectas sean la misma.
3. Para $m = 1$, calcula la ecuación del plano que contiene a $r$ y a $s.$

Considera las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x + y = z + 4, \\ x + 2y = 7 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - 2 = 0, \\ y + 3 = 0. \end{cases}$$

1. Estudia y determina la posición relativa de $r$ y $s.$
2. Determina la recta perpendicular común a $r$ y a $s.$

Considera los puntos $A(2, -1, -2)$ y $B(-1, -1, 2)$, y la recta $r$ dada por $$x-1 = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{2}.$$

1. Determina los puntos del segmento $AB$ que lo dividen en 3 segmentos de la misma longitud.
2. Determina un punto $C$ de $r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $C.$

Se sabe que los puntos $A(-1, 2, 6)$ y $B(1, 4, -2)$ son simétricos respecto de un plano $\pi.$

1. Calcula la distancia de $A$ a $\pi.$
2. Determina la ecuación general del plano $\pi.$

Considera las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x = 2t, \\ y = 1, \\ z = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + y = 2, \\ z = 2. \end{cases}$$

1. Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s.$
2. Calcula la distancia entre las rectas dadas.

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A(3, 6, 7)$ y $B(7, 8, 3)$ y sea $s$ la recta dada por \begin{cases} x - 4y - z = -10, \\ 3x - 4y + z = -2. \end{cases}

1. Determina la posición relativa de $r$ y $s.$
2. Calcula la distancia entre $r$ y $s.$

1. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $A(0, 1, 0)$ y es perpendicular a la recta $r$ dada por $$x+1 = \frac{y+2}{2} = z-1.$$
2. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación $2x + 3y + 4z = 12$ con los ejes coordenados.

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{3} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} 2x - 3y = -5, \\ y - 2z = -1. \end{cases}$$

1. Estudia y determina la posición relativa de $r$ y $s.$
2. Calcula la distancia entre $r$ y $s.$

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{m} = z \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + nz = -2, \\ y - z = -3. \end{cases}$$

1. Halla los valores de $m$ y $n$ para los que $r$ y $s$ se cortan perpendicularmente.
2. Para $m = 3$ y $n = 1$, calcula la ecuación general del plano que contiene a $r$ y a $s.$

Considera el punto $P(1, -1, 0)$ y la recta $r$ dada por \begin{cases} x = 1 + 3t, \\ y = -2, \\ z = t. \end{cases}

1. Determina la ecuación del plano que pasa por $P$ y contiene a $r.$
2. Halla las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto de $r.$

Considera los vectores $\vec{u} = (1, 0, 1)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ y $\vec{w} = (m, 1, n).$

1. Halla $m$ y $n$ sabiendo que $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son linealmente dependientes y que $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{u}.$
2. Para $n = 1$, halla los valores de $m$ para que el tetraedro determinado por $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tenga volumen 10 unidades cúbicas.

Considera los vectores $\vec{u} = (2, 3, 4)$, $\vec{v} = (-1, -1, -1)$ y $\vec{w} = (-1, \lambda, -5)$ siendo $\lambda$ un número real.

1. Halla los valores de $\lambda$ para los que el paralelepípedo determinado por $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tiene volumen 6 unidades cúbicas.
2. Determina el valor de $\lambda$ para el que $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son linealmente dependientes.

Sea $r$ la recta que pasa por $A(4, 3, 6)$ y $B(-2, 0, 0)$ y sea $s$ la recta dada por \begin{cases} x = 2 + \lambda, \\ y = \lambda, \\ z = 1 - 2\lambda. \end{cases}

1. Determina la posición relativa de $r$ y $s.$
2. Calcula, si existen, los puntos $C$ de $s$ tales que los vectores $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ son ortogonales.

Considera las rectas dadas por $$r \equiv \begin{cases} x - y + 1 = 0, \\ x - z + 1 = 0, \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x = 1 - t, \\ y = t, \\ z = 2. \end{cases}$$

1. Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s.$
2. Halla la distancia entre las rectas $r$ y $s.$

Considera los puntos $A(1, 3, -1)$ y $B(3, -1, -1).$

1. Determina la ecuación del plano respecto del cual $B$ es el simétrico de $A.$
2. Siendo $C(5, 1, 5)$, calcula el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C.$

Considera los puntos $A(-1, -2, -1)$ y $B(1, 0, 1).$

1. Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos $A$ y $B$ son simétricos.
2. Calcula la distancia de $P(-1, 0, 1)$ a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B.$

Considera los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, -2, 2)$, $C(-1, 0, 2)$ y $D(2, -1, -2).$

1. Calcula el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D.$
2. Determina la ecuación de la recta que pasa por $D$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $A$, $B$ y $C.$

Sea $\pi$ el plano determinado por los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$ y $C(0, 0, \lambda)$, siendo $\lambda$ un número real, y sea $r$ la recta dada por $$r \equiv \begin{cases} y - z = 3, \\ -x + 2y = 3. \end{cases}$$

1. Halla la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r.$
2. Estudia la posición relativa de $r$ y $\pi$ según los valores de $\lambda.$

Considera el punto $P(-1, 0, 1)$, el vector $\vec{u} = (1, 2, 1)$ y el plano $\pi$ de ecuación $y = 0.$

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por $P$, está contenida en $\pi$ y cuyo vector director es perpendicular a $\vec{u}.$
2. Determina la ecuación del plano que pasa por $P$, es perpendicular a $\pi$ y del que $\vec{u}$ es un vector director.

Los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(2, 2, 2)$ y $C(1, 3, 3)$ son vértices consecutivos del paralelogramo $ABCD.$

1. Calcula el área del paralelogramo.
2. Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.
3. Calcula las coordenadas del vértice $D.$

Considera el punto $P(0, 1, 1)$ y la recta $r$ dada por \begin{cases} x - 2y = -5, \\ z = 2. \end{cases}

1. Determina la ecuación del plano que pasa por $P$ y contiene a $r.$
2. Halla las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto de $r.$

Considera el punto $P(1, 0, 5)$ y la recta $r$ dada por \begin{cases} y + 2z = 0, \\ x = 1. \end{cases}

1. Determina la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r.$
2. Calcula la distancia de $P$ a la recta $r$ y el punto simétrico de $P$ respecto a $r.$

Considera las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda, \\ y = 1 - \lambda, \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + 2y = -1, \\ z = -1. \end{cases}$$

1. Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.
2. Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas $r$ y $s$, calcula su área.

Considera el paralelogramo de vértices consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ siendo $A(1, 0, -1)$, $B(3, 2, 1)$ y $C(-7, 1, 5).$

1. Determina las coordenadas del punto $D.$
2. Calcula el área del paralelogramo.
3. Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

Considera el punto $P(1, 0, -1)$ y el plano $\pi$ de ecuación $2x - y + z + 1 = 0.$

1. Halla el simétrico del punto $P$ respecto del plano $\pi.$
2. Determina la ecuación del plano que contiene al punto $P$, es perpendicular al plano $\pi$ y es paralelo a la recta \begin{cases} x - 2y = 1, \\ z = 3. \end{cases}

Sea $r$ la recta dada por \begin{cases} x + z = 1, \\ y = -1 \end{cases} y sea $s$ la recta definida por \begin{cases} x = 2 + \lambda, \\ y = 2, \\ z = 2 + 2\lambda. \end{cases}

1. Comprueba que las rectas $r$ y $s$ se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s.$
2. Calcula la distancia entre $r$ y $s.$

Considera un rectángulo de vértices consecutivos $A$, $B$, $C$ y $D$ siendo $A(1, 1, 0)$ y $B(2, 2, 1).$ Sabiendo que la recta $r$ que contiene a los puntos $C$ y $D$ pasa por el origen de coordenadas se pide:

1. Halla unas ecuaciones paramétricas de $r.$
2. Calcula el área del triángulo $ABC.$
3. Determina las coordenadas del punto $D.$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y + z = 1.$

1. Halla el punto de $\pi$ más próximo al punto $(3, 1, 2).$
2. Determina la ecuación de un plano paralelo a $\pi$ que forma con los ejes de coordenadas un triángulo de área $\sqrt{6}.$

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A(1, 1, 0)$ y $B(3, -1, 1)$ y $s$ la recta dada por \begin{cases} x + 2y = -1, \\ y + z = -1. \end{cases}

1. Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.
2. Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por $B$ y es perpendicular a $s.$

Determina el punto de la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = y+1 = \frac{z}{3}$ que equidista de los planos $$\pi \equiv x + y + z + 3 = 0 \quad \text{y} \quad \pi' \equiv \begin{cases} x = -3 + \lambda, \\ y = -\lambda + \mu, \\ z = -6 - \mu. \end{cases}$$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $6x - my + 2z = 1$ y la recta $r$ dada por $$\frac{x-1}{-3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+2}{-1}.$$

1. Calcula $m$ en el caso en que la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi.$
2. ¿Existe algún valor de $m$ para el que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$?

Considera el punto $A(1, -1, 1)$ y la recta $r$ dada por \begin{cases} x = 1 + 2\lambda, \\ y = 1 - \lambda, \\ z = 1. \end{cases}

1. Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A$ respecto a $r.$
2. Determina la ecuación del plano que contiene a $r$ y pasa por $A.$

Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones $$x = y = z \quad \text{y} \quad \begin{cases} x = 1 + \mu, \\ y = 3 + \mu, \\ z = -\mu. \end{cases}$$

Sea el plano $\pi \equiv 2x + y - z + 8 = 0.$

1. Calcula el punto $P'$, simétrico del punto $P(2, -1, 5)$ respecto del plano $\pi.$
2. Calcula la recta $r'$, simétrica de la recta $$r \equiv \frac{x-2}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-5}{1}$$ respecto del plano $\pi.$

Considera el punto $P(-3, 1, 6)$ y la recta $r$ dada por \begin{cases} 2x - y - 5 = 0, \\ y - z + 2 = 0. \end{cases}

1. Determina la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r.$
2. Calcula las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r.$

Los puntos $A(0, 1, 1)$ y $B(2, 1, 3)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta $r$ dada por \begin{cases} 2x + y = 0, \\ z = 0. \end{cases}

1. Calcula las coordenadas de los posibles puntos $C$ de $r$ para que el triángulo $ABC$ tenga un ángulo recto en el vértice $A.$
2. Calcula las coordenadas de los posibles puntos $D$ de $r$ para que el triángulo $ABC$ tenga un área igual a $\sqrt{2}.$

Sean los planos $\pi \equiv x + 3y + 2z - 5 = 0$ y $\pi' \equiv -2x + y + 3z + 3 = 0.$

1. Determina el ángulo que forman $\pi$ y $\pi'.$
2. Calcula el volumen del tetraedro limitado por $\pi$ y los planos coordenados.

Sean el punto $P(1, 6, -2)$ y la recta $$r \equiv \frac{x-5}{6} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{2}.$$

1. Halla la ecuación general del plano $\pi$ que contiene al punto $P$ y a la recta $r.$
2. Calcula la distancia entre el punto $P$ y la recta $r.$

Halla unas ecuaciones paramétricas para la recta $r$, que contiene al punto $P(3, -5, 4)$ y corta perpendicularmente a la recta $$s \equiv \frac{x-4}{5} = \frac{y-8}{-3} = \frac{z}{4}.$$

Sea $r$ la recta de ecuación $$\frac{x+2}{3} = \frac{y+1}{4} = z.$$

1. Halla el punto de $r$ que equidista del origen de coordenadas y del punto $P(4, -2, 2).$
2. Determina el punto de la recta $r$ más próximo al origen de coordenadas.

Considera los puntos $B(1, 2, -3)$, $C(9, -1, 2)$, $D(5, 0, -1)$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + 1 = 0, \\ y - z = 0. \end{cases}$$

1. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son $B$, $C$ y $D.$
2. Halla un punto $A$ en la recta $r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $A.$

Considera el punto $P(1, 0, -1)$ y la recta $r$ dada por \begin{cases} x + y = 0, \\ z - 1 = 0. \end{cases}

1. Halla la distancia de $P$ a $r.$
2. Determina la ecuación general del plano que pasa por $P$ y contiene a $r.$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $mx + 5y + 2z = 0$ y la recta $r$ dada por $$\frac{x+1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z-1}{2}.$$

1. Calcula $m$ y $n$ en el caso en el que la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi.$
2. Calcula $m$ y $n$ en el caso en el que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi.$

Considera la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(-1, 1, 0).$

1. Halla la ecuación de la recta $s$ paralela a $r$ que pasa por $C(-2, 3, 2).$
2. Calcula la distancia de $r$ a $s.$

Sea $r$ la recta definida por \begin{cases} x + 2y - z = 3, \\ 2x - y + z = 1. \end{cases}

1. Determina la ecuación general del plano que contiene a $r$ y pasa por el origen de coordenadas.
2. Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a $r$ en el punto $(1, 1, 0).$

Considera los vectores $\vec{u} = (1, -1, 3)$, $\vec{v} = (1, 0, -1)$ y $\vec{w} = (\lambda, 1, 0).$

1. Calcula los valores de $\lambda$ que hacen que $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sean ortogonales.
2. Calcula los valores de $\lambda$ que hacen que $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente independientes.
3. Para $\lambda = 1$, escribe el vector $\vec{r} = (3, 0, 2)$ como combinación lineal de $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}.$

Sea $r$ la recta dada por $$\frac{x+2}{2} = y+1 = \frac{z-1}{-3}$$ y sea $s$ la recta dada por \begin{cases} x - y - 3 = 0, \\ 3y - z + 6 = 0. \end{cases}

1. Estudia la posición relativa de $r$ y $s.$
2. Halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s.$

Considera los vectores $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 2)$ y $\vec{w} = (1+\alpha, 2\alpha, 2-3\alpha).$ Halla los valores de $\alpha$ en cada uno de los siguientes casos.

1. $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ están en el mismo plano.
2. $\vec{w}$ es perpendicular a $\vec{u}$ y $\vec{v}.$
3. El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ es $\frac{1}{6}.$

Considera el punto $P(2, -2, 0)$ y la recta $r$ dada por \begin{cases} x + z - 2 = 0, \\ y + z - 1 = 0. \end{cases}

1. Halla la ecuación del plano que contiene a $P$ y es perpendicular a $r.$
2. Calcula la distancia de $P$ a $r.$

Sean $A(-3, 4, 0)$, $B(3, 6, 3)$ y $C(-1, 2, 1)$ los vértices de un triángulo.

1. Halla la ecuación del plano $\pi$ que contiene al triángulo.
2. Halla la ecuación de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el origen de coordenadas.
3. Calcula el área del triángulo $ABC.$

Considera el punto $A(8, -1, 3)$ y la recta $r$ dada por $$\frac{x+1}{2} = y-2 = \frac{z-1}{3}.$$

1. Calcula la ecuación del plano que pasa por $A$ y es perpendicular a $r.$
2. Halla el punto simétrico de $A$ respecto de $r.$

Sea $r$ la recta definida por \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = 1 + \lambda, \\ z = \lambda \end{cases} y $s$ la recta dada por $$\frac{x-1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-2}.$$

1. Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s.$
2. Calcula la distancia entre $r$ y $s.$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $2x + y - z + 2 = 0$, y la recta $r$ de ecuación $$\frac{x-5}{-2} = y = \frac{z-6}{-3}.$$

1. Determina la posición relativa de $\pi$ y $r.$
2. Halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi.$
3. Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r.$

Considera los puntos $A(1, 1, 2)$ y $B(1, -1, -2)$ y la recta $r$ dada por \begin{cases} x = 1 + 2t, \\ y = t, \\ z = 1. \end{cases}

1. Halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a la recta que pasa por $A$ y por $B.$
2. Halla el punto de la recta $r$ que está a la misma distancia de $A$ y de $B.$

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, -1, 3).$

1. Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta $r.$
2. Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y pasa por el origen de coordenadas.

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $(1, 0, 0)$ y tiene como vector dirección $(a, 2a, 1)$ y sea $s$ la recta dada por \begin{cases} -2x + y = -2, \\ -ax + z = 0. \end{cases}

1. Calcula los valores de $a$ para los que $r$ y $s$ son paralelas.
2. Calcula, para $a = 1$, la distancia entre $r$ y $s.$

Considera los puntos $P(2, 3, 1)$ y $Q(0, 1, 1).$

1. Halla la ecuación del plano $\pi$ respecto del cual $P$ y $Q$ son simétricos.
2. Calcula la distancia de $P$ a $\pi.$

Calcula la distancia entre las rectas $$r \equiv x = y = z \quad \text{y} \quad s \equiv x-1 = y-2 = z-3.$$

Considera las rectas $$r \equiv x = y = z, \quad s \equiv \begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad t \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda, \\ y = 3\lambda, \\ z = -1 + \lambda. \end{cases}$$ Halla la recta que corta a $r$ y a $s$ y es paralela a $t.$

Del paralelogramo $ABCD$ se conocen los vértices $A(-1, 0, 3)$, $B(2, -1, 1)$ y $C(3, 2, -3).$

1. Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.
2. Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal $AC$ del paralelogramo.
3. Calcula las coordenadas del vértice $D.$

Considera los puntos $A(1, 2, 3)$ y $B(-1, 0, 4).$

1. Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento $AB$ en tres partes iguales.
2. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A$ y es perpendicular al segmento $AB.$

Considera los puntos $A(1, 2, 1)$, $B(-1, 0, 2)$ y $C(3, 2, 0)$ y el plano $\pi$ determinado por ellos.

1. Halla la ecuación de la recta $r$ que está contenida en $\pi$ y tal que $A$ y $B$ son simétricos respecto de $r.$
2. Calcula la distancia de $A$ a $r.$

Considera las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x = 2 - 3\lambda, \\ y = 3 + 5\lambda, \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + y - 1 = 0, \\ z - 5 = 0. \end{cases}$$

1. Determina la posición relativa de $r$ y $s.$
2. Calcula la distancia entre $r$ y $s.$

Determina el punto de la recta $$r \equiv \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = z+1$$ que equidista de los planos $$\pi_1 \equiv x - y + 3z + 2 = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2 \equiv \begin{cases} x = -4 + \lambda - 3\mu, \\ y = 1 + \lambda, \\ z = \mu. \end{cases}$$

Considera los puntos $A(0, 5, 3)$, $B(-1, 4, 3)$, $C(1, 2, 1)$ y $D(2, 3, 1).$

1. Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que $ABCD$ es un rectángulo.
2. Calcula el área de dicho rectángulo.

Considera el plano $\pi$ de ecuación $2x + y + 3z - 6 = 0.$

1. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.
2. Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano $\pi$ y los planos coordenados.

Considera los puntos $A(1, 0, 2)$, $B(-1, 3, 1)$, $C(2, 1, 2)$ y $D(1, 0, 4).$

1. Halla la ecuación del plano que contiene a $A$, $B$ y $C.$
2. Halla el punto simétrico de $D$ respecto del plano $x - y - 5z + 9 = 0.$

Sean $r$ y $s$ las rectas dadas por $$r \equiv \begin{cases} x + y - z = 6, \\ x + z = 3 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{6} = \frac{z}{2}.$$

1. Determina el punto de intersección de ambas rectas.
2. Calcula la ecuación general del plano que las contiene.

El punto $M(1, -1, 0)$ es el centro de un paralelogramo y $A(2, 1, -1)$ y $B(0, -2, 3)$ son dos vértices consecutivos del mismo.

1. Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
2. Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

Calcula de manera razonada la distancia del eje $OX$ a la recta $r$ de ecuaciones \begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ 2x - 3y - z = 0. \end{cases}

Dadas las rectas $$r \equiv \frac{x+3}{-6} = \frac{y-9}{4} = \frac{z-8}{4} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x-3}{3} = \frac{y-9}{-2} = \frac{z-8}{-2}.$$

1. Determina la posición relativa de las rectas $r$ y $s.$
2. Calcula la distancia entre $r$ y $s.$

Los puntos $A(1, 1, 5)$ y $B(1, 1, 2)$ son vértices consecutivos de un rectángulo $ABCD.$ El vértice $C$, consecutivo a $B$, está en la recta $$x = \frac{y-6}{-2} = \frac{z+1}{2}.$$ Determina los vértices $C$ y $D.$

Se consideran los vectores $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (2, 1, -2)$ y $\vec{w} = (1, 1, k)$, donde $k$ es un número real.

1. Determina los valores de $k$ para los que $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son linealmente dependientes.
2. Determina los valores de $k$ para los que $\vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{v} - \vec{w}$ son ortogonales.
3. Para $k = -1$, determina aquellos vectores que son ortogonales a $\vec{v}$ y $\vec{w}$ y tienen módulo 1.

Encuentra los puntos de la recta $$r \equiv \frac{x-1}{4} = \frac{2-y}{2} = z-3$$ cuya distancia al plano $\pi \equiv x - 2y + 2z = 1$ vale cuatro unidades.

Determina el punto $P$ de la recta $$r \equiv \frac{x+3}{2} = \frac{y+5}{3} = \frac{z+4}{3}$$ que equidista del origen de coordenadas y del punto $A(3, 2, 1).$

Considera el punto $P(1, 0, 2)$ y la recta $r$ dada por las ecuaciones \begin{cases} 2x - y - 4 = 0, \\ y + 2z - 8 = 0. \end{cases}

1. Calcula la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r.$
2. Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r.$

Sean los puntos $A(0, 0, 1)$, $B(1, 0, -1)$, $C(0, 1, -2)$ y $D(1, 2, 0).$

1. Halla la ecuación del plano $\pi$ determinado por los puntos $A$, $B$ y $C.$
2. Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.
3. Calcula la distancia del punto $D$ al plano $\pi.$

Halla el punto simétrico de $P(2, 1, -5)$ respecto de la recta $r$ definida por \begin{cases} x - z = 0, \\ x + y + 2 = 0. \end{cases}

Determina el punto simétrico del punto $A(-3, 1, 6)$ respecto de la recta $r$ de ecuaciones: $$x - 1 = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 1}{2}.$$

Considera los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, 1, 0)$, y la recta $r$ dada por: $$\begin{cases} x + y = 1, \\ x + z = 2. \end{cases}$$

1. Determina la ecuación del plano que es paralelo a $r$ y pasa por $A$ y $B.$
2. Determina si la recta que pasa por los puntos $P(1, 2, 1)$ y $Q(3, 4, 1)$ está contenida en dicho plano.

Considera los puntos $A(1, 0, 2)$ y $B(1, 2, -1)$.

1. Halla un punto $C$ de la recta de ecuación $$\frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = z$$ que verifica que el triángulo de vértices $A, B$ y $C$ tiene un ángulo recto en $B$.
2. Calcula el área del triángulo de vértices $A, B$ y $D$, donde $D$ es el punto de corte del plano de ecuación $2x - y + 3z = 6$ con el eje $OX$.

Considera los planos $\pi_1,$ $\pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones: $$3x - y + z - 4 = 0, \quad x - 2y + z - 1 = 0, \quad x + z - 4 = 0.$$ Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(3, 1, -1)$, es paralela al plano $\pi_1$ y corta a la recta intersección de los planos $\pi_2$ y $\pi_3$.

Dados los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 0, 1)$ y $P(1, -1, 1)$, y la recta $r$ definida por $$\begin{cases} x - y - 2 = 0, \\ z = 0. \end{cases}$$

1. Halla los puntos de la recta $r$ cuya distancia al punto $P$ es de 3 unidades.
2. Calcula el área del triángulo $ABP$.

Dados el punto $P(1, 1, -1)$ y la recta $r$ de ecuaciones $$\begin{cases} x + z = 1, \\ y + z = 0. \end{cases}$$

1. Halla la ecuación del plano que contiene a $r$ y pasa por $P$.
2. Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación $y + z = 0$, que es perpendicular a $r$ y pasa por $P$.

Sea el punto $P(2, 3, -1)$ y la recta $r$ dada por las ecuaciones $$\begin{cases} x = 1, \\ y = -2\lambda, \\ z = \lambda. \end{cases}$$

1. Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$.
2. Calcula la distancia del punto $P$ a la recta $r$ y determina el punto simétrico de $P$ respecto de $r$.

Considera los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ dados respectivamente por las ecuaciones $$(x, y, z) = (-2, 0, 7) + \lambda(1, -2, 0) + \mu(0, 1, -1) \quad \text{y} \quad 2x + y - z + 5 = 0.$$ Determina los puntos de la recta $r$ definida por $$x = y + 1 = \frac{z-1}{-3}$$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.

Dada la recta $r$ definida por $$\frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = -z + 3$$ y la recta $s$ definida por $$\begin{cases} x = 1, \\ 2y - z = -2. \end{cases}$$

1. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$.
2. Halla la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$.

Dada la recta $r$ definida por $$\frac{x+7}{2} = \frac{y-7}{-1} = z$$ y la recta $s$ definida por $$\begin{cases} x = 2, \\ y = -5, \\ z = \lambda. \end{cases}$$

1. Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.
2. Calcula la distancia entre $r$ y $s$.

Considera los puntos $A(-1, k, 3)$, $B(k + 1, 0, 2)$, $C(1, 2, 0)$ y $D(2, 0, 1).$

1. ¿Existe algún valor de $k$ para el que los vectores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ y $\overrightarrow{CD}$ sean linealmente dependientes?
2. Calcula los valores de $k$ para los que los puntos $A, B, C$ y $D$ forman un tetraedro de volumen 1.

Dados el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y - z = 0$ y la recta $r$ de ecuaciones $$\begin{cases} 3x - y = 5, \\ x + y - 4z = -13. \end{cases}.$$

1. Halla el punto de intersección del plano $\pi$ y la recta $r.$
2. Halla el punto simétrico del punto $Q(1, -2, 3)$ respecto del plano $\pi.$

Considera las rectas $r$ y $s$ de ecuaciones $$x - 1 = y = 1 - z \quad \text{y} \quad \begin{cases} x - 2y = -1, \\ y + z = 1. \end{cases}$$

1. Determina su punto de corte.
2. Halla el ángulo que forman $r$ y $s$.
3. Determina la ecuación del plano que contiene a $r$ y $s$.

Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta $r$ de ecuaciones $$\begin{cases} x - 2y + 11 = 0, \\ 2y + z - 19 = 0 \end{cases}$$ y contiene a la recta $s$ definida por $$\begin{cases} x = 1 - 5\lambda, \\ y = -2 + 3\lambda, \\ z = 2 + 2\lambda. \end{cases}$$