Matemáticas de Selectividad

Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide 8 cm y la altura correspondiente mide 5 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo.

Siendo 𝑎 >1, considera el rectángulo de vértices 𝐴(1,0), 𝐵(1,1), 𝐶(𝑎,1) y 𝐷(𝑎,0). La gráfica de la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) =1𝑥2 para 𝑥 ≠0 divide al rectángulo anterior en dos recintos.

1. Haz un esbozo de la gráfica de 𝑓 y del rectángulo descrito.
2. Determina el valor de 𝑎 para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200121103⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Discute el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝑚𝑋 según los valores del parámetro 𝑚.
2. Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.
3. Para 𝑚 =3 resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que 𝑥 +𝑦 +𝑧 =3.

Se sabe que los puntos 𝐴( −1,2,6) y 𝐵(1,4, −2) son simétricos respecto de un plano 𝜋.

1. Calcula la distancia de 𝐴 a 𝜋.
2. Determina la ecuación general del plano 𝜋.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥 +𝑥𝑒−𝑥.

1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 que es paralela a la recta 𝑥 −𝑦 +1 =0.
2. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.

Calcula ∫ln⁡(2)011+𝑒𝑥𝑑𝑥.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑧=𝑚,𝑚𝑦+3𝑧=1,4𝑥+𝑦−𝑚𝑧=5.

1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑚.
2. Para 𝑚 =1 resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea 𝑥 =𝑧.

Considera las rectas 𝑟 y 𝑠 dadas por 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2𝑡,𝑦=1,𝑧=0y𝑠≡{𝑥+𝑦=2,𝑧=2.

1. Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a 𝑟 y a 𝑠.
2. Calcula la distancia entre las rectas dadas.