Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =(𝑒𝑎𝑥 +𝑏)𝑥, con 𝑎 ≠0. Calcula 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en 𝑥 =0 y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es 𝑥 =1.

Calcula el valor de 𝑎 >0 para el que se verifica ∫𝑎0𝑥2+𝑥2𝑑𝑥=1.

Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−1𝑚+2𝑚11𝑚+2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−𝑚𝑚7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
2. Resuelve el sistema para 𝑚 = −3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que 𝑥 =2.

Considera el plano 𝜋 de ecuación 𝑥 +2𝑦 +𝑧 =1.

1. Halla el punto de 𝜋 más próximo al punto (3,1,2).
2. Determina la ecuación de un plano paralelo a 𝜋 que forma con los ejes de coordenadas un triángulo de área √6.

De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12800 m² dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada for 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +𝑚𝑥 siendo 𝑚 >0. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 = −𝑚𝑥 y calcula el valor de 𝑚 para que el área de dicho recinto sea 36.

De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente:

• La empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas.
• El beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos.

1. Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C.
2. Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.

Sea 𝑟 la recta que pasa por los puntos 𝐴(1,1,0) y 𝐵(3, −1,1) y 𝑠 la recta dada por {𝑥+2𝑦=−1,𝑦+𝑧=−1.

1. Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.
2. Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por 𝐵 y es perpendicular a 𝑠.