Matemáticas de Selectividad

1. En primer lugar, calculamos el producto vectorial de los vectores ⃗𝐴𝐵 =( −2,4, −4) y ⃗𝐴𝐶 =( −5, −1,0). ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧−24−4−5−10∣=(−4,20,22). El área del triángulo determinado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 viene dada por: 𝑆=|⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|2=√42+202+2222=15𝑢2.

2. Los puntos del eje 𝑂𝑍 son de la forma 𝐷 =(0,0,𝑎).

   En primer lugar, hallamos el producto mixto de los vectores ⃗𝐴𝐵, ⃗𝐴𝐶 y ⃗𝐴𝐷 =( −3,1,𝑎 −1). [⃗𝐴𝐵,⃗𝐴𝐶,⃗𝐴𝐷]=∣−24−4−5−10−31𝑎−1∣=2𝑎−2+20+12+20𝑎−20=22𝑎+10. El volumen del tetraedro determinado por los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 viene dado por: 𝑉=|22𝑎+10|6=|11𝑎+5|3. Para que el volumen sea de 20 unidades cúbicas, ha de verificarse: 𝑉=20⇔|11𝑎+5|3=20⇔{11𝑎+53=20⇔11𝑎+5=60⇔11𝑎=55⇔𝑎=5,11𝑎+53=−20⇔11𝑎+5=−60⇔11𝑎=−65⇔𝑎=−6511. Por tanto, los puntos son 𝐷1(0,0,5) y 𝐷2(0,0,−6511).

1. Para hallar el área del triángulo 𝑂𝐴𝐵, calculamos en primer lugar el producto vectorial de los vectores ⃗𝑂𝐴 =(𝑎, −1,2) y ⃗𝑂𝐵 =(𝑎,1,0). ⃗𝑂𝐴×⃗𝑂𝐵=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧𝑎−12𝑎10∣=(−2,2𝑎,2𝑎). El área del triángulo viene dada por: 𝑆=12|⃗𝑂𝐴×⃗𝑂𝐵|=12√22+(2𝑎)2+(2𝑎)2=12√4+8𝑎2=√1+2𝑎2. Para que el área sea de 3 𝑢2, 𝑆=3⇔√1+2𝑎2=3⇔1+2𝑎2=9⇔𝑎2=4⇔𝑎=±2. Por tanto, los posibles valores son 𝑎 = −2 y 𝑎 =2.
2. Los cuatro puntos son coplanarios si el determinante formado por ⃗𝑂𝐴, ⃗𝑂𝐵 y ⃗𝑂𝐶 =(1,1,0) es nulo. Calculamos este determinante. ∣𝑎−12𝑎10110∣=2𝑎−2. Para que los cuatro puntos sean coplanarios, 2𝑎−2=0⇔𝑎=1. Por tanto, 𝑎 =1.

1. Para hallar el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶, calculamos en primer lugar los vectores ⃗𝐴𝐵 =(0, −1, −1) y ⃗𝐴𝐶 =(0, −2,0). Su producto vectorial es ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧0−1−10−20∣=(−2,0,0). Por último, calculamos el área como 12|⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|=12√22=1𝑢2.
2. Representamos el paralelogramo. Podemos hallar el punto 𝐷 trasladando el punto 𝐴 mediante el vector ⃗𝐵𝐶 =(0, −1,1). ⃗𝑂𝐷=⃗𝑂𝐴+⃗𝐵𝐶=(1,1,2)+(0,−1,1)=(1,0,3). Por tanto, 𝐷(1,0,3).

En primer lugar, calculamos el punto medio 𝑀 del segmento ―――𝑃𝑄. 𝑀=(22,3+12,8+62)=(1,2,7). Además, el vector director del segmento ―――𝑃𝑄 es ⃗𝑃𝑄 =(2, −2, −2).

Llamamos 𝜋 al plano que queremos calcular. Como 𝜋 es perpendicular al segmento ―――𝑃𝑄, entonces ⃗𝑛𝜋 =⃗𝑃𝑄 =(2, −2, −2). Además, 𝑀(1,2,7) ∈𝜋. Por tanto, podemos hallar la ecuación del plano como 𝜋≡2(𝑥−1)−2(𝑦−2)−2(𝑧−7)=0⇔2𝑥−2𝑦−2𝑧+16=0⇔𝑥−𝑦−𝑧+8=0.

Calculamos ahora los puntos de corte del plano 𝜋 con los ejes coordenados.

• Si 𝑦 =𝑧 =0, obtenemos el punto 𝐴( −8,0,0).
• Si 𝑥 =𝑧 =0, obtenemos el punto 𝐵(0,8,0).
• Si 𝑥 =𝑦 =0, obtenemos el punto 𝐶(0,0,8).

El área del triángulo viene dado por Δ=12|⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|.

Hallamos los vectores ⃗𝐴𝐵 =(8,8,0) y ⃗𝐴𝐶 =(8,0,8) y hacemos su producto vectorial. ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧880808∣=(64,−64,−64), con módulo |⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|=|(64,−64,−64)|=√642+642+642=√3⋅642=64√3.

Por tanto, el área del triángulo es Δ=12|⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|=1264√3=32√3𝑢2.

1. Hallamos en primer lugar la ecuación de la recta 𝑟. Su vector director es ⃗𝐵𝐶 =( −2,0, −2). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de 𝑟 son 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2−2𝜆,𝑦=1,𝑧=1−2𝜆. Para hallar la distancia del punto 𝐴 a la recta 𝑟 podemos trazar un plano 𝜋 perpendicular a 𝑟 que pase por 𝐴. Este plano cortará a 𝑟 en un punto 𝑃, de forma que dist⁡(𝐴,𝑟) =dist⁡(𝐴,𝑃). Si 𝜋 es perpendicular a 𝑟, su vector normal es ⃗𝑛𝜋 =⃗𝐵𝐶 =( −2,0, −2). Así que la ecuación del plano 𝜋 es 𝜋≡−2(𝑥+1)−2(𝑧−3)=0⇔−2𝑥−2𝑧+4=0⇔𝑥+𝑧−2=0. Calculamos el punto 𝑃 =𝑟 ∩𝜋. Para ello sustituimos las ecuaciones paramétricas de 𝑟 en la ecuación del plano. 2−2𝜆+1−2𝜆−2=0⇔4𝜆=1⇔𝜆=14. Por tanto, el punto de corte es 𝑃(2−2⋅14,1,1−2⋅14)=(32,1,12). Por último, calculamos la distancia de 𝐴 a 𝑟 como el módulo del vector ⃗𝐴𝑃 =(52,0,−52). dist⁡(𝐴,𝑟)=dist⁡(𝐴,𝑃)=|⃗𝐴𝑃|=√(52)2+(52)2=√2(52)2=52√2𝑢.
2. Para hallar el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶, calculamos en primer lugar los vectores ⃗𝐴𝐵 =(3,0, −2) y ⃗𝐴𝐶 =(1,0, −4). Su producto vectorial es ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧30−210−4∣=(0,10,0). Por último, calculamos el área como 12|⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|=12√102=5𝑢2.

Los vectores son ⃗𝑂𝐴 =(2, −1,0), ⃗𝑂𝐵 =(3,0,𝑥) y ⃗𝑂𝐶 =( −𝑥,1, −1).

1. El volumen del paralelepípedo formado por los vectores viene dado por el valor absoluto de su producto mixto. [⃗𝑂𝐴,⃗𝑂𝐵,⃗𝑂𝐶]=∣2−1030𝑥−𝑥1−1∣=𝑥2−2𝑥−3⇒𝑉=|𝑥2−2𝑥−3| Si el volumen es de 5 unidades cúbicas, entonces 𝑉=5⇔|𝑥2−2𝑥−3|=5⇒{𝑥2−2𝑥−3=5⇔𝑥2−2𝑥−8=0⇔𝑥=−2o𝑥=4,𝑥2−2𝑥−3=−5⇔𝑥2−2𝑥+2=0no tiene solución. Por tanto, los posibles valores son 𝑥 = −2 y 𝑥 =4.
2. Si 𝑥 =1, entonces ⃗𝑂𝐵 =(3,0,1). Cada cara del paralelepípedo es un paralelogramo. El área del paralelogramo formado por los vectores ⃗𝑂𝐴 y ⃗𝑂𝐵 viene dado por el módulo de su producto vectorial. ⃗𝑂𝐴×⃗𝑂𝐵=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧2−10301∣=(−1,−2,3). Por tanto, el área de la cara es |⃗𝑂𝐴×⃗𝑂𝐵|=|(−1,−2,3)|=√12+22+32=√14𝑢2.

1. El área del triángulo formado por 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es la mitad del área del paralelogramo determinado por dichos puntos, es decir, el paralelogramo formado por los vectores ⃗𝐴𝐵 =(𝑚, −2, −2) y ⃗𝐴𝐶 =(2, −1, −1). Esta viene dada por el módulo del producto vectorial de los vectores. ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧𝑚−2−22−1−1∣=(0,𝑚−4,−𝑚+4). Así que el área del triángulo es |⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|2=|(0,𝑚−4,−𝑚+4)|2=√(𝑚−4)2+(−𝑚+4)22=√2𝑚2−16𝑚+322. Si el área es de √182 𝑢2, entonces √2𝑚2−16𝑚+322=√182⇔2𝑚2−16𝑚+32=18⇔𝑚2−8𝑚+7=0⇔{𝑚=1,𝑚=7. Por tanto, los posibles valores son 𝑚 =1 y 𝑚 =7.
2. El ángulo en el vértice 𝐴 viene dado por el ángulo 𝛼 que forman los vectores ⃗𝐴𝐵 =(0, −2, −2) y ⃗𝐴𝐶 =(2, −1, −1). Por tanto, cos⁡(𝛼)=⃗𝐴𝐵⋅⃗𝐴𝐶|⃗𝐴𝐵||⃗𝐴𝐶|=4√8√6=1√3.

1. Las distancias entre un punto genérico 𝑅( −𝜆,1 +2𝜆, −1 +𝜆) de la recta 𝑟 y cada uno de los puntos vienen dadas por dist⁡(𝑅,𝐵)=√(−𝜆+1)2+(1+2𝜆)2+𝜆2=√𝜆2−2𝜆+1+4𝜆2+4𝜆+1+𝜆2=√6𝜆2+2𝜆+2,dist⁡(𝑅,𝐶)=√(−𝜆)2+(2𝜆)2+(𝜆+2)2=√𝜆2+4𝜆2+𝜆2+4𝜆+4=√6𝜆2+4𝜆+4. Como queremos hallar los puntos de 𝑅 que equidisten de 𝐵 y 𝐶, dist⁡(𝑅,𝐵)=dist⁡(𝑅,𝐶)⇔√6𝜆2+2𝜆+2=√6𝜆2+4𝜆+4⇔6𝜆2+2𝜆+2=6𝜆2+4𝜆+4⇔𝜆=−1. Por tanto, el punto es (1, −1, −2).
2. Para hallar el área del triángulo 𝐵𝐶𝐷, calculamos en primer lugar los vectores ⃗𝐵𝐶 =(1,1, −2) y ⃗𝐵𝐷 =(2, −1, −1). Su producto vectorial es ⃗𝐵𝐶×⃗𝐵𝐷=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧11−22−1−1∣=(−3,−3,−3). Por último, calculamos el área como 12|⃗𝐵𝐶×⃗𝐵𝐷|=12√32+32+32=√272=3√32𝑢2.

Como dos lados de un cuadrado están en 𝑟 y 𝑠, las dos rectas son necesariamente paralelas. Además, el lado del cuadrado tiene que coincidir con la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Para hallar la distancia entre dos las rectas, podemos trazar un plano 𝜋 perpendicular a 𝑟 y 𝑠 que pase por el punto 𝑃(0, −2,1) de 𝑟. Esta recta cortará a 𝑠 en un punto 𝑄, de forma que dist⁡(𝑟,𝑠) =dist⁡(𝑃,𝑄).

Si 𝜋 es perpendicular a 𝑟, su vector normal es ⃗𝑛𝜋 =⃗𝑑𝑟 =(1,2,1). Así que la ecuación del plano 𝜋 es 𝜋≡𝑥+2(𝑦+2)+𝑧−1=0⇔𝑥+2𝑦+𝑧=−3. Calculamos el punto 𝑄 =𝜋 ∩𝑠. Para ello, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de 𝑠 y la ecuación de 𝜋 usando el método de Gauss. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+𝑧=2,3𝑥−𝑦−𝑧=−4,𝑥+2𝑦+𝑧=−3𝐹2=𝐹2−3𝐹1←←←←←←←←←←←←←→𝐹3=𝐹3−𝐹1⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+𝑧=2,2𝑦−4𝑧=−10,3𝑦=−5⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−43,𝑦=−53,𝑧=53. Por tanto, el punto de corte es 𝑄(−43,−53,53). Por último, calculamos la distancia de 𝑟 a 𝑠 como el módulo del vector ⃗𝑃𝑄 =(−43,−13,23). dist⁡(𝑟,𝑠)=dist⁡(𝑃,𝑄)=|⃗𝑃𝑄|=√(43)2+(13)2+(23)2=√219=√213𝑢. Luego el área del cuadrado es (√213)2=219=73𝑢2.