Matemáticas de Selectividad

Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.

Calcula el valor de 𝑏 >0, sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva 𝑦 =√𝑥 y la recta 𝑦 =𝑏𝑥 es de 43 unidades cuadradas.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000𝜆10−1𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟⎠𝑦𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝001100010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. ¿Hay algún valor de 𝜆 para el que 𝐴 no tiene inversa?
2. Para 𝜆 =1, resuelve la ecuación matricial 𝐴−1𝑋𝐴 =𝐵.

Dados los puntos 𝐴(1,0,0), 𝐵(0,0,1) y 𝑃(1, −1,1), y la recta 𝑟 definida por {𝑥−𝑦−2=0,𝑧=0.

1. Halla los puntos de la recta 𝑟 cuya distancia al punto 𝑃 es de 3 unidades.
2. Calcula el área del triángulo 𝐴𝐵𝑃.

Sea 𝑓 :[1𝑒,4] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)={𝑥−ln⁡(𝑥)+𝑎,si 1𝑒≤𝑥≤2,𝑏𝑥+1−ln⁡(2),si 2<𝑥≤4.

1. Calcula los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea derivable en el intervalo (1𝑒,4).
2. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =12, halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea 𝑓 :(0, +∞) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥(1 −ln⁡(𝑥)). Determina la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto 𝑃(1,1).

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1102𝑡+1𝑡−1−2𝑡−10𝑡+3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Calcula el rango de 𝐴 según los diferentes valores de 𝑡.
2. Razona para qué valores de 𝑡 el sistema homogéneo 𝐴𝑋 =0 tiene más de una solución.

Dados el punto 𝑃(1,1, −1) y la recta 𝑟 de ecuaciones {𝑥+𝑧=1,𝑦+𝑧=0.

1. Halla la ecuación del plano que contiene a 𝑟 y pasa por 𝑃.
2. Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación 𝑦 +𝑧 =0, que es perpendicular a 𝑟 y pasa por 𝑃.