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Ejercicio 6: Reserva 4 de 2024

Considera la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝10120π‘Ž53π‘Žβˆ’10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula el rango de 𝐴 segΓΊn los valores de π‘Ž.
  2. Si 𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝124⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠ y π‘Ž =2 resuelve, si es posible, el sistema 𝐴𝑋 =𝐡.

ResoluciΓ³n
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣10120π‘Ž53π‘Žβˆ’10∣=2(3π‘Žβˆ’1)βˆ’π‘Ž(3π‘Žβˆ’1)=(2βˆ’π‘Ž)(3π‘Žβˆ’1). Observamos que: |𝐴|=0⇔(2βˆ’π‘Ž)(3π‘Žβˆ’1)=0⇔{2βˆ’π‘Ž=0β‡”π‘Ž=2,3π‘Žβˆ’1=0β‡”π‘Ž=13. AsΓ­ que rang⁑(𝐴) =3 si π‘Ž β‰ 13 y π‘Ž β‰ 2. En caso contrario, rang⁑(𝐴) ≀2. Estudiamos estos casos.
    • Si π‘Ž =13, 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝1012013500⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣11213∣=βˆ’53β‰ 0β‡’rang⁑(𝐴)=2.
    • Si π‘Ž =2, 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝101202550⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1055∣=5β‰ 0β‡’rang⁑(𝐴)=2.
    Por tanto,
    • Si π‘Ž β‰ 13 y π‘Ž β‰ 2, entonces rang⁑(𝐴) =3.
    • Si π‘Ž =13 o π‘Ž =2, entonces rang⁑(𝐴) =2.
  2. Si π‘Ž =2, por el apartado anterior rang⁑(𝐴) =2. La matriz de coeficientes ampliada es: π΄βˆ—=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝101120225504⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ Observamos que la segunda fila es el doble de la primera, asΓ­ que rang⁑(π΄βˆ—) =2. Como rang⁑(𝐴) =rang⁑(π΄βˆ—) <3, el sistema es compatible determinado. Podemos reducir el sistema a: {π‘₯+𝑧=1,5π‘₯+5𝑦=4. Si tomamos π‘₯ =πœ†, entonces: π‘₯+𝑧=1⇔𝑧=1βˆ’π‘₯π‘₯=πœ†β†β†β†β†β†β†β†’π‘§=1βˆ’πœ†,5π‘₯+5𝑦=4⇔5𝑦=4βˆ’5π‘₯⇔𝑦=4βˆ’5π‘₯5=45βˆ’π‘₯π‘₯=πœ†β†β†β†β†β†β†β†’π‘¦=45βˆ’πœ†. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩π‘₯=πœ†,𝑦=45βˆ’πœ†,𝑧=1βˆ’πœ†.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2023

Dadas las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝110101011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝001010100⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, se define la matriz 𝑀 =𝐴 +(πœ† βˆ’1)𝐡.

  1. Halla los valores de πœ† para los que la matriz 𝑀 tiene rango menor que 3.
  2. Para πœ† = βˆ’1, resuelve el sistema lineal homogΓ©neo cuya matriz de coeficientes es 𝑀.

ResoluciΓ³n
  1. En primer lugar, calculamos 𝑀. 𝑀=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝110101011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+(πœ†βˆ’1)βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝001010100⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝11πœ†βˆ’11πœ†βˆ’11πœ†βˆ’111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Como la matriz 𝑀 es cuadrada, rang⁑(𝑀) <3 ⇔|𝑀| =0. Calculamos el determinante de 𝑀. |𝑀|=∣11πœ†βˆ’11πœ†βˆ’11πœ†βˆ’111∣=3(πœ†βˆ’1)βˆ’(πœ†βˆ’1)3βˆ’2=3πœ†βˆ’5βˆ’(πœ†3βˆ’3πœ†2+3πœ†βˆ’1)=βˆ’πœ†3+3πœ†2βˆ’4. Si factorizamos el polinomio, obtenemos que |𝑀|=βˆ’(πœ†βˆ’2)2(πœ†+1). AsΓ­ que |𝑀|=0β‡”βˆ’(πœ†βˆ’2)2(πœ†+1)=0⇔{πœ†βˆ’2=0β‡”πœ†=2,πœ†+1=0β‡”πœ†=βˆ’1. Por tanto, la matriz 𝑀 tiene rango menor que 3 para πœ† = βˆ’1 y πœ† =2.
  2. Si πœ† = βˆ’1, 𝑀=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝11βˆ’21βˆ’21βˆ’211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por el apartado anterior sabemos que rang⁑(𝑀) <3. Observamos que ∣111βˆ’2∣=βˆ’3β‰ 0β‡’rang⁑(𝑀)=2. El sistema a resolver es βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝11βˆ’21βˆ’21βˆ’211⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ β†’βŽ§{ {⎨{ {⎩π‘₯+π‘¦βˆ’2𝑧=0,π‘₯βˆ’2𝑦+𝑧=0,βˆ’2π‘₯+𝑦+𝑧=0. Podemos ver que se trata de un sistema compatible indeterminado por el teorema de RouchΓ©-Frobenius. Como el rango de 𝑀 es 2, el sistema se puede reducir a {π‘₯+π‘¦βˆ’2𝑧=0,π‘₯βˆ’2𝑦+𝑧=0. Resolvemos el sistema por el mΓ©todo de Gauss. (11βˆ’201βˆ’210)𝐹2βˆ’πΉ1←←←←←←←←→(11βˆ’200βˆ’330). El sistema resultante es {π‘₯+π‘¦βˆ’2𝑧=0,βˆ’3𝑦+3𝑧=0. Si tomamos 𝑧 =πœ‡, βˆ’3𝑦+3𝑧=0𝑧=πœ‡β†β†β†β†β†β†β†’βˆ’3𝑦+3πœ‡=0⇔𝑦=πœ‡,π‘₯+π‘¦βˆ’2𝑧=0𝑦=πœ‡β†β†β†β†β†β†β†’π‘§=πœ‡π‘₯+πœ‡βˆ’2πœ‡=0⇔π‘₯=πœ‡. Por tanto, la soluciΓ³n del sistema es ⎧{ {⎨{ {⎩π‘₯=πœ‡,𝑦=πœ‡,𝑧=πœ‡,πœ‡βˆˆβ„.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2022

Considera las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘š131π‘š21π‘š3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝2210βˆ’12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula el rango de la matriz 𝐴 segΓΊn los valores de π‘š.
  2. Para π‘š =0 resuelve la ecuaciΓ³n 𝐴𝑋 =𝐡, si es posible.

ResoluciΓ³n
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=βˆ£π‘š131π‘š21π‘š3∣=3π‘š2+2+3π‘šβˆ’3π‘šβˆ’3βˆ’2π‘š2=π‘š2βˆ’1. Observamos que |𝐴|=0β‡”π‘š2βˆ’1=0β‡”π‘š2=1β‡”π‘š=Β±1. AsΓ­ que, si π‘š β‰  Β±1, entonces rang⁑(𝐴) =3. En caso contrario, rang⁑(𝐴) ≀2. Estudiamos estos casos.
    • Si π‘š = βˆ’1, 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’1131βˆ’121βˆ’13⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Como ∣13βˆ’12∣=5β‰ 0, entonces rang⁑(𝐴) =2.
    • Si π‘š = βˆ’1, 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝113112113⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Como ∣1312∣=βˆ’1β‰ 0, entonces rang⁑(𝐴) =2.
    Por tanto,
    • Si π‘š β‰  Β±1, entonces rang⁑(𝐴) =3.
    • Si π‘š = βˆ’1 o π‘š =1, entonces rang⁑(𝐴) =2.
  2. Resolvemos la ecuaciΓ³n matricial para π‘š =0. 𝐴𝑋=𝐡⇔𝑋=π΄βˆ’1𝐡. Como π‘š =0, por el apartado anterior 𝐴 es invertible y det(𝐴) = βˆ’1. Para hallar la inversa de la matriz 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁑(𝐴)=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝0βˆ’10βˆ’3βˆ’3123βˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como π΄βˆ’1=1|𝐴|Adj⁑(𝐴)𝑑=βˆ’βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝0βˆ’32βˆ’1βˆ’3301βˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝03βˆ’213βˆ’30βˆ’11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por ΓΊltimo, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=π΄βˆ’1𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝03βˆ’213βˆ’30βˆ’11⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝2210βˆ’12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝5βˆ’48βˆ’4βˆ’22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2021

Considera la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝202βˆ’121014⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Estudia, segΓΊn los valores de πœ†, el rango de la matriz 𝐴 βˆ’πœ†πΌ, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden tres.
  2. Resuelve el sistema (π΄βˆ’πΌ)βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ y halla, si existe, una soluciΓ³n en la que π‘₯ =2.

ResoluciΓ³n
  1. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 βˆ’πœ†πΌ. βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝202βˆ’121014⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ βˆ’πœ†βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝2βˆ’πœ†02βˆ’12βˆ’πœ†1014βˆ’πœ†βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠. Calculamos el determinante de esta matriz. |π΄βˆ’πœ†πΌ|=∣2βˆ’πœ†02βˆ’12βˆ’πœ†1014βˆ’πœ†βˆ£=(2βˆ’πœ†)2(4βˆ’πœ†)βˆ’2βˆ’(2βˆ’πœ†)=βˆ’πœ†3+8πœ†2βˆ’19πœ†+12. Si factorizamos el polinomio, obtenemos que |π΄βˆ’πœ†πΌ|=βˆ’(πœ†βˆ’1)(πœ†βˆ’3)(πœ†βˆ’4). Observamos que |π΄βˆ’πœ†πΌ|=0β‡”βˆ’(πœ†βˆ’1)(πœ†βˆ’3)(πœ†βˆ’4)=0β‡”βŽ§{ {⎨{ {βŽ©πœ†=1,πœ†=3,πœ†=4. AsΓ­ que, si πœ† β‰ 1, πœ† β‰ 3 y πœ† β‰ 4, entonces rang⁑(𝐴 βˆ’πœ†πΌ) =3. En caso contrario, rang⁑(𝐴) ≀2. Estudiemos estos casos.
    • Si πœ† =1, π΄βˆ’πœ†πΌ=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝102βˆ’111013⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣10βˆ’11∣=1β‰ 0β‡’rang⁑(π΄βˆ’πœ†πΌ)=2.
    • Si πœ† =3, π΄βˆ’πœ†πΌ=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’102βˆ’1βˆ’11011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que βˆ£βˆ’10βˆ’1βˆ’1∣=1β‰ 0β‡’rang⁑(π΄βˆ’πœ†πΌ)=2.
    • Si πœ† =4, π΄βˆ’πœ†πΌ=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’202βˆ’1βˆ’21010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que βˆ£βˆ’20βˆ’1βˆ’2∣=4β‰ 0β‡’rang⁑(π΄βˆ’πœ†πΌ)=2.
    Por tanto,
    • Si πœ† β‰ 1, πœ† β‰ 3 y πœ† β‰ 4, entonces rang⁑(𝐴 βˆ’πœ†πΌ) =3.
    • Si πœ† =1, πœ† =3 o πœ† =4, entonces rang⁑(𝐴 βˆ’πœ†πΌ) =2.
  2. El sistema a resolver es βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝102βˆ’111013⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ β†’βŽ§{ {⎨{ {⎩π‘₯+2𝑧=0,βˆ’π‘₯+𝑦+𝑧=0,𝑦+3𝑧=0. Como se trata de un sistema homogΓ©neo, sabemos que es compatible. Por el apartado anterior rang⁑(𝐴 βˆ’πΌ) =2, asΓ­ que se trata de un sistema compatible indeterminado y se puede reducir a {π‘₯+2𝑧=0,𝑦+3𝑧=0. Si tomamos 𝑧 =πœ†, π‘₯+2𝑧=0𝑧=πœ†β†β†β†β†β†β†β†’π‘₯+2πœ†=0⇔π‘₯=βˆ’2πœ†,𝑦+3𝑧=0𝑧=πœ†β†β†β†β†β†β†β†’π‘¦+3πœ†=0⇔𝑧=βˆ’3πœ†. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩π‘₯=βˆ’2πœ†,𝑦=βˆ’3πœ†,𝑧=πœ†,πœ†βˆˆβ„. Para πœ† = βˆ’1, una soluciΓ³n es ⎧{ {⎨{ {⎩π‘₯=2,𝑦=3,𝑧=βˆ’1.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2021

Considera las matrices 𝐴=(1βˆ’101π‘š1)y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1102π‘šβˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula π‘š para que 𝐴𝐡 no tenga inversa.
  2. Estudia el rango de la matriz 𝐡𝐴 segΓΊn los valores de π‘š.

ResoluciΓ³n
  1. En primer lugar, hallamos la matriz 𝐴𝐡. 𝐴𝐡=(1βˆ’101π‘š1)βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1102π‘šβˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(1βˆ’11+π‘š2π‘š). Calculamos el determinante de 𝐴𝐡. |𝐴𝐡|=∣1βˆ’11+π‘š2π‘šβˆ£=2π‘š+1+π‘š=3π‘š+1. La matriz 𝐴𝐡 no tiene inversa si y solo si su determinante es nulo. |𝐴𝐡|=0⇔3π‘š+1=0β‡”π‘š=βˆ’13. Por tanto, la matriz 𝐴𝐡 no tiene inversa si π‘š = βˆ’13.
  2. En primer lugar, hallamos la matriz 𝐡𝐴. 𝐡𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1102π‘šβˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(1βˆ’101π‘š1)=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝2π‘šβˆ’1122π‘š2π‘šβˆ’1βˆ’2π‘šβˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣2122∣=2β‰ 0β‡’rang⁑(𝐡𝐴)β‰₯2. Calculamos el determinante de 𝐡𝐴. |𝐡𝐴|=∣2π‘šβˆ’1122π‘š2π‘šβˆ’1βˆ’2π‘šβˆ’1∣=βˆ’4π‘š+2(π‘šβˆ’1)2βˆ’4π‘šβˆ’2π‘š(π‘šβˆ’1)+2(π‘šβˆ’1)+8π‘š==βˆ’4π‘š+2π‘š2+2βˆ’4π‘šβˆ’4π‘šβˆ’2π‘š2+2π‘š+2π‘šβˆ’2+8π‘š=0. Por tanto, rang⁑(𝐡𝐴) =2 para todos los valores de π‘š.

Ejercicio 3: Julio de 2020

Considera la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1βˆ’1π‘š+201π‘š+1π‘š05⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Estudia el rango de 𝐴 segΓΊn los valores de π‘š.
  2. Para π‘š =2, calcula la inversa de 2020𝐴.

ResoluciΓ³n
  1. En primer lugar, observamos que: ∣1βˆ’101∣=1β‰ 0β‡’rang⁑(𝐴)β‰₯2. Calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣1βˆ’1π‘š+201π‘š+1π‘š05∣=5βˆ’π‘š(π‘š+1)βˆ’π‘š(π‘š+2)=5βˆ’π‘š2βˆ’π‘šβˆ’π‘š2βˆ’2π‘š=βˆ’2π‘š2βˆ’3π‘š+5. Observamos que: |𝐴|=0β‡”βˆ’2π‘š2βˆ’3π‘š+5=0⇔{π‘š=βˆ’52,π‘š=1. Por tanto:
    • Si π‘š β‰  βˆ’52 y π‘š β‰ 1, entonces rang⁑(𝐴) =3.
    • Si π‘š = βˆ’52 o π‘š =1, entonces rang⁑(𝐴) =2.
  2. Si π‘š =2, 𝐴 es invertible por el apartado anterior con det(𝐴) = βˆ’9. AsΓ­ que la matriz 2020𝐴 tambiΓ©n es invertible con: (2020𝐴)βˆ’1=12020π΄βˆ’1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁑(𝐴)=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝56βˆ’25βˆ’3βˆ’2βˆ’7βˆ’31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. De esta forma, podemos calcular su inversa como: π΄βˆ’1=1|𝐴|Adj⁑(𝐴)𝑑=βˆ’19βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝55βˆ’76βˆ’3βˆ’3βˆ’2βˆ’21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’5βˆ’57βˆ’63322βˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, (2020𝐴)βˆ’1=12020π΄βˆ’1=118.180βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’5βˆ’57βˆ’63322βˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2020

Considera 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1111π‘Žπ‘π‘14⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐢=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝321⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Determina π‘Ž, 𝑏 y 𝑐, sabiendo que 𝐴𝐡 =𝐢 y la matriz 𝐴 tiene rango 2.

ResoluciΓ³n

Como 𝐴𝐡 =𝐢, entonces βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1111π‘Žπ‘π‘14⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝321⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ β‡”βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝31+π‘Ž+𝑏𝑐+5⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝321⎞⎟ ⎟ βŽŸβŽ β‡”{1+π‘Ž+𝑏=2β‡”π‘Ž+𝑏=1,𝑐+5=1⇔𝑐=βˆ’4. AsΓ­ que 𝑐 = βˆ’4.

Por otro lado, como la matriz 𝐴 tiene rango 2 entonces su determinante ha de ser nulo. AdemΓ‘s, observamos que ∣1114∣=3β‰ 0β‡’rang⁑(𝐴)β‰₯2. Calculamos el determinante de 𝐴. |𝐴|=∣1111π‘Žπ‘βˆ’414∣=4π‘Žβˆ’4𝑏+1+4π‘Žβˆ’π‘βˆ’4=8π‘Žβˆ’5π‘βˆ’3. AsΓ­ que rang⁑(𝐴)=2⇔|𝐴|=0⇔8π‘Žβˆ’5π‘βˆ’3=0⇔8π‘Žβˆ’5𝑏=3.

Con estas dos condiciones, podemos montar un sistema de ecuaciones. {π‘Ž+𝑏=1,8π‘Žβˆ’5𝑏=3. Resolvemos el sistema por sustituciΓ³n. Como π‘Ž +𝑏 =1 ⇔𝑏 =1 βˆ’π‘Ž, 8π‘Žβˆ’5𝑏=3𝑏=1βˆ’π‘Žβ†β†β†β†β†β†β†β†β†’8π‘Žβˆ’5(1βˆ’π‘Ž)=3⇔13π‘Ž=8β‡”π‘Ž=813. AsΓ­ que 𝑏=1βˆ’π‘Žπ‘Ž=8/13←←←←←←←←←→𝑏=513. Por tanto, π‘Ž =813, 𝑏 =513 y 𝑐 = βˆ’4.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2019

Dadas las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1π‘š1π‘šβˆ’1π‘š0111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝01π‘˜βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠y𝑋=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠.

  1. Estudia el rango de 𝐴 segΓΊn los valores de π‘š.
  2. Sabiendo que para π‘š =1 el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐡 tiene soluciΓ³n, encuentra π‘˜ y resuΓ©lvelo.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2018

Considera la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝0βˆ’1βˆ’2020113⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halla, si existe, la inversa de 𝐴.
  2. Determina los valores de π‘š tales que (𝐴 βˆ’π‘šπΌ) tiene inversa.
  3. Calcula el rango de (𝐴 βˆ’2𝐼).

Ejercicio B3: Septiembre de 2017

Considera 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘˜0π‘˜π‘˜+1π‘˜00π‘˜+1π‘˜+1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el rango de 𝐴 segΓΊn los valores de π‘˜.
  2. Para π‘˜ =1, calcula el determinante de 2(π΄π‘‘π΄βˆ’1)2017.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2016

Sea la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝21001βˆ’1024⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Estudia, segΓΊn los valores de πœ†, el rango de la matriz 𝐴 βˆ’πœ†πΌ, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3.
  2. Resuelve el sistema dado por (π΄βˆ’2𝐼)βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio B3: Septiembre de 2016

Considera 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1βˆ’10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐢=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝111βˆ’1βˆ’1βˆ’1000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula el rango de 𝐴𝐡𝑑 +πœ†πΌ segΓΊn los valores de πœ† (𝐼 es la matriz identidad de orden 3).
  2. Calcula la matriz 𝑋 que verifica 𝐢𝑋 βˆ’π‘‹ =2𝐼.

Ejercicio B3: Junio de 2015

Considera las matrices 𝐴=(βˆ’122π‘š)y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝120βˆ’2π‘š032π‘šβŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠.

  1. Encuentra el valor, o los valores, de π‘š para los que 𝐴 y 𝐡 tienen el mismo rango.
  2. Determina, si existen, los valores de π‘š para los que 𝐴 y 𝐡 tienen el mismo determinante.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2015

Considera la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝01π‘šπ‘šβˆ’10201βˆ’π‘š0⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halla el valor, o valores, de π‘š para los que la matriz 𝐴 tiene rango 2.
  2. Para π‘š =1, determina 𝐴2015.

Ejercicio A3: Junio de 2013

Sea 𝑀=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝10βˆ’10π‘š+1011π‘šβˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina los valores de π‘š para los que los vectores fila de 𝑀 son linealmente independientes.
  2. Estudia el rango de 𝑀 segΓΊn los valores de π‘š.
  3. Para π‘š =1, calcula la inversa de 𝑀.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2013

Sean 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’21βˆ’3βˆ’1π‘šπ‘šβˆ’2π‘š02⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina el rango de 𝐴 segΓΊn los valores del parΓ‘metro π‘š.
  2. Discute el sistema 𝐴𝑋 =𝐡 segΓΊn los valores del parΓ‘metro π‘š.
  3. Resuelve el sistema 𝐴𝑋 =𝐡 para π‘š =1.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2013

Sea 𝑀 una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(𝑀) =2. Calcula:

  1. El rango de 𝑀3.
  2. El determinante de 2𝑀𝑑.
  3. El determinante de (π‘€βˆ’1)2.
  4. El determinante de 𝑁, donde 𝑁 es la matriz resultante de intercambiar la primera y la segunda filas de 𝑀.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2011

Sean 𝐴 y 𝐡 dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |𝐴| =12 y |𝐡| = βˆ’2. Halla:

  1. |𝐴3|.
  2. |π΄βˆ’1|.
  3. | βˆ’2𝐴|.
  4. |𝐴𝐡𝑑|.
  5. El rango de 𝐡.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2011

Dadas las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1102𝑑+1π‘‘βˆ’1βˆ’2π‘‘βˆ’10𝑑+3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula el rango de 𝐴 segΓΊn los diferentes valores de 𝑑.
  2. Razona para quΓ© valores de 𝑑 el sistema homogΓ©neo 𝐴𝑋 =0 tiene mΓ‘s de una soluciΓ³n.

Ejercicio A3: Septiembre de 2011

Dadas las matrices: 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ›Ό1βˆ’11π›Όβˆ’1βˆ’1βˆ’1π›ΌβŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠,𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula el rango de 𝐴 dependiendo de los valores de 𝛼.
  2. Para 𝛼 =2, resuelve la ecuaciΓ³n matricial 𝐴𝑋 =𝐡.