Ejercicios de ciencias

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 034 1 - 4 - 5 - 1 34 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Comprueba que $𝐴 3 + 𝐼 = 𝑂$ , siendo $𝐼$ la matriz identidad y $𝑂$ la matriz nula. Calcula $𝐴 - 1$ .
Calcula $𝐴 2025$ .

Considera la matriz $𝐴 = (0 - 1 10) .$

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11818010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula $𝐴 2024 .$
Halla la matriz $𝑋$ , si es posible, que verifica $𝐴 2 𝑋 𝐴 + 𝐼 = 𝑂$ , donde $𝐼$ y $𝑂$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

Resolución

Calculamos las primeras potencias de $𝐴 .$ $𝐴 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12828010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐴 3 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 13838010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐴 4 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 14848010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝐴 2024 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12024820248010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1253253010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ ∣ ∣ ∣ 11818010001 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 .$ Como $d e t (𝐴) \neq 0$ , la matriz $𝐴 3$ es invertible con $d e t (𝐴 3) = 1 .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝐴 2 𝑋 𝐴 + 𝐼 = 𝑂 \Leftrightarrow 𝐴 2 𝑋 𝐴 = - 𝐼 \Leftrightarrow 𝑋 = - 𝐴 - 2 𝐴 - 1 = - 𝐴 - 3 .$ Para hallar la inversa de $𝐴 3$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴 3) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 - 38 10 - 38 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 3 = 1 | 𝐴 3 | A d j (𝐴 3) 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 38 - 38 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = - 𝐴 3 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 3838 0 - 1 0 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 𝑎 - 𝑏 00 𝑏 000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula $𝐴 10 .$
Calcula, si es posible, la matriz inversa de $𝐼 + 𝐴 + 𝐴 2$ , donde $𝐼$ denota la matriz identidad de orden 3.

Resolución

Calculamos las primeras potencias de $𝐴 .$ $𝐴 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 00 𝑎 𝑏 000000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐴 3 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 000000000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Como $𝐴 3$ es una matriz nula, entonces el resto de potencias serán también matrices nulas. Por tanto, $𝐴 10 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 000000000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
En primer lugar, hallamos la matriz. $𝐼 + 𝐴 + 𝐴 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 𝑎 - 𝑏 00 𝑏 000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 00 𝑎 𝑏 000000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 𝑎 𝑎 𝑏 - 𝑏 01 𝑏 001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Como $d e t (𝐼 + 𝐴 + 𝐴 2) = 1 \neq 0$ , la matriz es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐼 + 𝐴 + 𝐴 2) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 - 𝑎 10 𝑏 - 𝑏 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $(𝐼 + 𝐴 + 𝐴 2) - 1 = 1 | 𝐼 + 𝐴 + 𝐴 2 | A d j (𝐼 + 𝐴 + 𝐴 2) 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 𝑎 𝑏 01 - 𝑏 001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Considera la matriz $𝐴 = (- 12 - \sqrt 3 2 \sqrt 3 2 - 12) .$

Resolución

Calculamos las primeras potencias de $𝐴 .$ $𝐴 2 = (- 12 \sqrt 3 2 - \sqrt 3 2 - 12) y 𝐴 3 = (1001) .$ Como $𝐴 3 = 𝐼$ , entonces $𝐴 4 = 𝐴 3 \cdot 𝐴 = 𝐴, 𝐴 5 = 𝐴 3 \cdot 𝐴 2 = 𝐴 2, 𝐴 6 = 𝐴 3 \cdot 𝐴 3 = 𝐼, \dots$ La división $37 / 3$ tiene resto 1 y $41 / 3$ tiene resto 2. Por tanto, $𝐴 37 = 𝐴 = (- 12 - \sqrt 3 2 \sqrt 3 2 - 12) y 𝐴 41 = 𝐴 2 = (- 12 \sqrt 3 2 - \sqrt 3 2 - 12) .$
Calculamos el determinante. Como la matriz $𝐴$ es de orden 2 y $d e t (𝐴) = 1$ , $| 3 𝐴 52 (𝐴 𝑡) 4 | = 32 | 𝐴 | 52 | 𝐴 | 4 = 9 .$

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (112) .$

Calcula $𝐴 2018 .$
Determina, si existe, la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 (𝑋 + 2 𝐼) = 𝐵 𝐶$ , donde $𝐼$ es la matriz identidad.

Considera las siguientes matrices: $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001 0 - 1 0 100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 𝑏 𝑐 010 - 1 00 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determina, si existen, los valores de $𝑎$ , $𝑏$ y $𝑐$ para los que las matrices $𝐴$ y $𝐵$ conmutan.
Calcula $𝐴 2$ , $𝐴 3$ , $𝐴 2017$ y $𝐴 2018 .$
Calcula, si existe, la matriz inversa de $𝐴 .$

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 11 010 - 2 11 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 3 32 - 8 74 8 - 6 - 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 𝑚 𝑚 - 1 02 0 1 - 𝑚 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Sea $𝐴 = (11 1 - 1) .$

Dada la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 034 1 - 4 - 5 - 1 34 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Demuestra que se verifica la igualdad $𝐴 3 = - 𝐼$ , siendo $𝐼$ la matriz identidad de orden 3.
Justifica que $𝐴$ es invertible y halla su inversa.
Calcula razonadamente $𝐴 100$ .