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📋 Reserva 2 de 2025

Ejercicio 1

Sea 𝑓 :[0,2] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)={1−𝑒𝑥,si 0≤𝑥<1,2𝑥−1−𝑒,si 1≤𝑥≤2.

  1. Estudia la derivabilidad de 𝑓.
  2. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ∈[0,2] con 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)={−𝑒𝑥,si 0≤𝑥<1,2,si 1<𝑥≤2.

    • Estudiamos la continuidad en 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(1−𝑒𝑥)=1−𝑒,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(2𝑥−1−𝑒)=1−𝑒,𝑓(1)=1−𝑒. Observamos que: lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =1.

      Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−−𝑒𝑥=−𝑒,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2=2. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.

    Por tanto, 𝑓 es derivable en [0,1) ∪(1,2].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 0 <𝑥 <1, observamos que 𝑓′(𝑥) = −𝑒𝑥 <0.
    • Si 1 <𝑥 <2, observamos que 𝑓′(𝑥) =2 >0.
    Así que 𝑓 no tiene puntos críticos. Consideramos 𝑥 =1 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,1) (1,2)
    signo de 𝑓′ − +
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, los puntos (0,0) y (2,3 −𝑒) son máximos relativos y el punto (1,1 −𝑒) es un mínimo relativo. Así que (2,3 −𝑒) es el máximo absoluto y (1,1 −𝑒) es el mínimo absoluto.

Ejercicio 2

Calcula ∫2√34𝑥𝑥4−6𝑥2+10𝑑𝑥. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑡 =𝑥2 −3).

Ejercicio 3

Sean las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −𝑥 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +1.

  1. Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
  2. Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Ejercicio 4

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0341−4−5−134⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Comprueba que 𝐴3 +𝐼 =𝑂, siendo 𝐼 la matriz identidad y 𝑂 la matriz nula. Calcula 𝐴−1.
  2. Calcula 𝐴2025.

Ejercicio 5

Sabiendo que ∣𝑎𝑏𝑐𝑥𝑦𝑧𝑢𝑤𝑣∣=1, calcula razonadamente:

  1. ∣𝑎+𝑥𝑏+𝑦𝑐+𝑧𝑎𝑏𝑐2𝑎+𝑢2𝑏+𝑣2𝑐+𝑤∣.
  2. ∣𝑧𝑐𝑤𝑥𝑎𝑢𝑦𝑏𝑣∣.

Ejercicio 6

Considera el plano 𝜋 ≡𝑥 +𝑦 +𝑧 +1 =0 y los puntos 𝐴(1,2,0) y 𝐵(3,1,0).

  1. Calcula el punto simétrico del punto 𝐴 con respecto al plano 𝜋.
  2. Halla el plano que contiene a los puntos 𝐴 y 𝐵 y es perpendicular al plano 𝜋.

Ejercicio 7

Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de 29%, 51% y 20%. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tasas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes 18%, 31% y 11%, respectivamente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?
  2. Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?