Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 :[0,2] →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)={1−𝑒𝑥,si 0≤𝑥<1,2𝑥−1−𝑒,si 1≤𝑥≤2.

1. Estudia la derivabilidad de 𝑓.
2. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Calcula ∫2√34𝑥𝑥4−6𝑥2+10𝑑𝑥. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑡 =𝑥2 −3).

Sean las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −𝑥 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +1.

1. Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
2. Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0341−4−5−134⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Comprueba que 𝐴3 +𝐼 =𝑂, siendo 𝐼 la matriz identidad y 𝑂 la matriz nula. Calcula 𝐴−1.
2. Calcula 𝐴2025.

Sabiendo que ∣𝑎𝑏𝑐𝑥𝑦𝑧𝑢𝑤𝑣∣=1, calcula razonadamente:

1. ∣𝑎+𝑥𝑏+𝑦𝑐+𝑧𝑎𝑏𝑐2𝑎+𝑢2𝑏+𝑣2𝑐+𝑤∣.
2. ∣𝑧𝑐𝑤𝑥𝑎𝑢𝑦𝑏𝑣∣.

Considera el plano 𝜋 ≡𝑥 +𝑦 +𝑧 +1 =0 y los puntos 𝐴(1,2,0) y 𝐵(3,1,0).

1. Calcula el punto simétrico del punto 𝐴 con respecto al plano 𝜋.
2. Halla el plano que contiene a los puntos 𝐴 y 𝐵 y es perpendicular al plano 𝜋.

Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de 29%, 51% y 20%. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tasas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes 18%, 31% y 11%, respectivamente.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?
2. Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?