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Ejercicio 6: Junio de 2026

Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay 2 monedas de oro y 3 monedas de plata. En la segunda hay 6 monedas de oro y 3 de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

  1. Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.
  2. Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.

Ejercicio 7: Junio de 2025

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023:

Coches Motos
Aptos 116.383 160.667
No aptos 2.679 3.447
Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección.
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?
  2. Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

Resolución

Llamamos 𝐶 a elegir un coche, 𝑀 a elegir una moto y 𝐴 a resultar apto. Podemos ampliar la tabla de contingencia con los totales.

Coches Motos
Aptos 116.383 160.667 277.050
No aptos 2.679 3.447 6.126
119.062 164.114 283.176
  1. La probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto es: 𝑃(𝑀∪𝐴)=𝑃(𝑀∩𝐴)+𝑃(𝑀∩¯𝐴)+𝑃(𝐶∩𝐴)=160.667283.176+3.447283.176+116.383283.176≈0,9905.
  2. La probabilidad de que el vehículo haya resultado no apto sabiendo que es un coche es: 𝑃(¯𝐴|𝐶)=2.679119.062≈0,0225.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2025

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm y desviación típica 0,1 mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre 12,9 mm y 13,15 mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm y desviación típica 0,2 mm.

  1. En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

Resolución
  1. Llamamos 𝑋 a los diámetros de las bolas elaboradas por la máquina en condiciones normales, con 𝑋 ∼𝑁(13; 0,1). La probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo es: 𝑃(12,9≤𝑋≤13,15)=𝑃(12,9−130,1≤𝑍≤13,15−130,1)=𝑃(−1≤𝑍≤1,5)==𝑃(𝑍≤1,5)−𝑃(𝑍≤−1)=𝑃(𝑍≤1,5)−(1−𝑃(𝑍≤1))==0,9332−(1−0,8413)=0,7745.
  2. Llamamos 𝑌 a los diámetros de las bolas elaboradas por la máquina el 15 de julio, con 𝑌 ∼𝑁(12,9; 0,2). La probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo es: 𝑃(12,9≤𝑋≤13,15)=𝑃(12,9−12,90,2≤𝑍≤13,15−12,90,2)=𝑃(0≤𝑍≤1,25)==𝑃(𝑍≤1,25)−𝑃(𝑍≤0)=0,8944−0,5=0,3944.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2025

Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de 29%, 51% y 20%. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tasas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes 18%, 31% y 11%, respectivamente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?
  2. Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2025

Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20%, 50% y 30%. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7%, 6% y 2%, respectivamente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?
  2. Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2025

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media 200 gramos y desviación típica desconocida.

  1. Si el 33% de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.
  2. Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesen entre 160 y 220 gramos.

Ejercicio 7: Julio de 2025

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de 70 km/h.

  1. En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 64 km/h y desviación típica 4 km/h. Si el radar de control salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?
  2. En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h y que el 5,05% de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?

Resolución
  1. Llamamos 𝑋 a la velocidad de los vehículos, con 𝑋 ∼𝑁(64,4). La probabilidad de que un vehículo circule a una velocidad superior a 72 km/h es: 𝑃(𝑋>72)=𝑃(𝑍>72−644)=𝑃(𝑍>2)=1−𝑃(𝑍≤2)=1−0,9772=0,0228. Por tanto, son sancionados el 2,28% de los vehículos.
  2. Llamamos 𝑌 a la velocidad de los vehículos en sentido contrario, con 𝑌 ∼𝑁(63,6; 𝜎). Como el 5,05% de los vehículos viaja a más de 80 km/h, ha de verificarse que: 𝑃(𝑌>80)=0,0505⇔𝑃(𝑌≤80)=1−0,0505=0,9495. Observamos que: 𝑃(𝑌≤80)=𝑃(𝑍≤80−63,6𝜎)=𝑃(𝑍≤16,4𝜎). Así que: 𝑃(𝑌≤80)=0,9495⇔𝑃(𝑍≤16,4𝜎)=0,9495⇔16,4𝜎=1,64⇔𝜎=10. Por tanto, la desviación típica es de 10 km/h.

Ejercicio 1: Modelo de prueba

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es 13 y la de que no ocurra ninguno de ellos es 16. Calcula 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐵).

Resolución

Sabemos que 𝑃(𝐴∩𝐵)=13y𝑃(¯𝐴∩¯𝐵)=16. En primer lugar, observamos que 𝑃(¯𝐴∩¯𝐵)=𝑃(――――𝐴∪𝐵)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)⇔𝑃(𝐴∪𝐵)=1−𝑃(¯𝐴∩¯𝐵)=1−16=56.

Como los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes, 𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵)=13. Por otro lado, usamos la probabilidad de la unión. 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)⇔𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴∪𝐵)+𝑃(𝐴∩𝐵)=56+13=76.

Planteamos el sistema de ecuaciones {𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)=13,𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=76. Resolvemos el sistema por sustitución. Despejando en la segunda ecuación, 𝑃(𝐵)=76−𝑃(𝐴). Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que 𝑃(𝐴)⋅(76−𝑃(𝐴))=13⇔76𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴)2=13⇔𝑃(𝐴)2−76𝑃(𝐴)+13=0⇔⇔6𝑃(𝐴)2−7𝑃(𝐴)+2=0⇔{𝑃(𝐴)=12,𝑃(𝐴)=23. Sustituimos estos valores en la ecuación 𝑃(𝐵) =76 −𝑃(𝐴).

  • Si 𝑃(𝐴) =12, 𝑃(𝐵)=76−12=46=23.
  • Si 𝑃(𝐴) =23, 𝑃(𝐵)=76−23=36=12.

Por tanto, 𝑃(𝐴) =12 y 𝑃(𝐵) =23, o viceversa.

Ejercicio 2: Modelo de prueba

Dados dos sucesos, 𝐴 y 𝐵, de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que 𝑃(𝐴) =49, 𝑃(𝐵) =12 y 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =1318, se pide:

  1. Comprobar si los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes o no.
  2. Calcular 𝑃(¯𝐴|𝐵).

Resolución
  1. En primer lugar, usamos la probabilidad de la unión para hallar la probabilidad de la intersección. 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)⇔𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)=49+12−1318=29. Por otro lado, observamos que 𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)=49⋅12=29. Como 𝑃(𝐴 ∩𝐵) =𝑃(𝐴) ⋅𝑃(𝐵), los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes.
  2. Como 𝐴 y 𝐵 son independientes, 𝑃(¯𝐴|𝐵)=𝑃(¯𝐴)=1−𝑃(𝐴)=1−49=59.

Ejercicio 3: Modelo de prueba

Un dado con las caras numeradas del 1 al 6 está trucado de modo que la probabilidad de obtener un número es directamente proporcional a dicho número. Tiramos el dado una vez.

  1. Halla la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió un número impar.
  2. Calcula la probabilidad de que salga un número par si se sabe que salió un número mayor que 3.

Resolución

Llamamos 𝑁1,𝑁2,𝑁3,𝑁4,𝑁5,𝑁6 a obtener un 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en el dado, respectivamente. Sabemos que: 𝑃(𝑁1)=𝑝,𝑃(𝑁2)=2𝑝,𝑃(𝑁3)=3𝑝,𝑃(𝑁4)=4𝑝,𝑃(𝑁5)=5𝑝,𝑃(𝑁6)=6𝑝. Como la suma de sus probabilidades tiene que ser 1, 𝑝+2𝑝+3𝑝+4𝑝+5𝑝+6𝑝=1⇔21𝑝=1⇔𝑝=121. Por tanto, 𝑃(𝑁1)=121,𝑃(𝑁2)=221,𝑃(𝑁3)=321=17,𝑃(𝑁4)=421,𝑃(𝑁5)=521,𝑃(𝑁6)=621=27.

  1. Llamamos 𝐼 a obtener un número impar en el dado. Sabemos que: 𝑃(𝐼)=𝑃(𝑁1)+𝑃(𝑁3)+𝑃(𝑁5)=121+321+521=921=37. La probabilidad de que salga 3 sabiendo que salió un número impar es 𝑃(𝑁3|𝐼)=𝑃(𝑁3∩𝐼)𝑃(𝐼)=𝑃(𝑁3)𝑃(𝐼)=1737=13.
  2. Llamamos 𝑀3 a obtener un número mayor que 3 y denotamos por ¯𝐼 a obtener un número par. Sabemos que: 𝑃(𝑀3)=𝑃(𝑁4)+𝑃(𝑁5)+𝑃(𝑁6)=421+521+621=1521=57. La probabilidad de que salga un número par sabiendo que salió un número mayor que 3 es 𝑃(¯𝐼|𝑀3)=𝑃(¯𝐼∩𝑀3)𝑃(𝑀3)=𝑃(𝑁4)+𝑃(𝑁6)𝑃(𝑀3)=421+62157=23.

Ejercicio 4: Modelo de prueba

En un club deportivo, el 55% de los socios practica natación, el 65% practica tenis, y el 10% no practica ni natación ni tenis.

  1. Si el club tiene 1.200 socios, ¿cuántos practicarían ambos deportes?
  2. Tomando al azar una persona de este club que practique natación, calcula la probabilidad de que no juegue al tenis.

Resolución

Llamamos 𝑁 a practicar natación y 𝑇 a practicar tenis. Sabemos que: 𝑃(𝑁)=0,55,𝑃(𝑇)=0,65y𝑃(¯𝑁∩¯𝑇)=0,1. Podemos hallar la probabilidad de la unión. 𝑃(𝑁∪𝑇)=1−𝑃(――――𝑁∪𝑇)=1−𝑃(¯𝑁∩¯𝑇)=1−0,1=0,9.

  1. La probabilidad de practicar ambos deportes es: 𝑃(𝑁∩𝑇)=𝑃(𝑁)+𝑃(𝑇)−𝑃(𝑁∪𝑇)=0,55+0,65−0,9=0,3. Así que el 30% practican natación y tenis. Como el club tiene 1.200 socios, 1.200 ⋅0,3 =360 practican ambos deportes.
  2. La probabilidad de que no juegue al tenis sabiendo que practica natación es: 𝑃(¯𝑇|𝑁)=𝑃(¯𝑇∩𝑁)𝑃(𝑁)=𝑃(𝑁)−𝑃(𝑁∩𝑇)𝑃(𝑁)=0,55−0,30,55≈0,4545.

Ejercicio 5: Modelo de prueba

De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea azul?
  3. Si la segunda bola es azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja?

Resolución

Llamamos 𝑅 a sacar una bola roja y 𝐴 a sacar una bola azul. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑅2
3/5←←←←←←←←←←←←←→
𝑅1
4/6←←←←←←←←←←←←←→ 2/5←←←←←←←←←←←←←→
𝐴2
𝑅2
2/6←←←←←←←←←←←←←→ 4/5←←←←←←←←←←←←←→
𝐴1
1/5←←←←←←←←←←←←←→
𝐴2
  1. La probabilidad de que sean de distinto color es: 𝑃(𝑅1∩𝐴2)+𝑃(𝐴1∩𝑅2)=𝑃(𝑅1)⋅𝑃(𝐴2|𝑅1)+𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝑅2|𝐴1)=46⋅25+26⋅45=815.
  2. La probabilidad de que la segunda bola sea de color azul es: 𝑃(𝐴2)=𝑃(𝑅1∩𝐴2)+𝑃(𝑅2∩𝐴2)=𝑃(𝑅1)⋅𝑃(𝐴2|𝑅1)+𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝐴2|𝐴1)=46⋅25+26⋅15=13.
  3. La probabilidad de que la primera bola sea roja sabiendo que la segunda es azul es: 𝑃(𝑅1|𝐴2)=𝑃(𝑅1∩𝐴2)𝑃(𝐴2)=𝑃(𝑅1)⋅𝑃(𝐴2|𝑅1)𝑃(𝐴2)=46⋅2513=45.

Ejercicio 6: Modelo de prueba

Se tienen dos urnas A y B con bolas de colores con la siguiente composición: la urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas; mientras que la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Además, se tiene un dado con 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que ha indicado el dado.

  1. ¿Cual es la probabilidad de que la bola sea verde?
  2. ¿Cual es la probabilidad de que la bola sea roja?
  3. Si la bola extraída es verde, ¿cual es la probabilidad de que esta proceda de la urna B?

Resolución

Llamamos 𝑉 a sacar una bola verde, 𝑁 a sacar una bola negra, 𝑅 a sacar una bola roja, 𝐴 a elegir la urna A y 𝐵 a elegir la urna B. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑉
3/10←←←←←←←←←←←←←←←→
𝐴 4/10←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑁
2/6←←←←←←←←←←←←←→ 3/10←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑅
𝑉
4/6←←←←←←←←←←←←←→ 6/10←←←←←←←←←←←←←←←→
𝐵
4/10←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑁
  1. La probabilidad de que la bola sea verde es: 𝑃(𝑉)=𝑃(𝐴∩𝑉)+𝑃(𝐵∩𝑉)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑉|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑉|𝐵)=26⋅310+46⋅610=12.
  2. La probabilidad de que la bola sea roja es: 𝑃(𝑅)=𝑃(𝐴∩𝑅)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑅|𝐴)=26⋅310=110.
  3. La probabilidad de que la bola proceda de la urna B sabiendo que es verde es: 𝑃(𝐵|𝑉)=𝑃(𝐵∩𝑉)𝑃(𝑉)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑉|𝐵)𝑃(𝑉)=46⋅61012=45.

Ejercicio 7: Modelo de prueba

Python y JavaScript se encuentran entre los lenguajes de programación más estudiados por los programadores, con un 20% y un 18% de desarrolladores que se especializan únicamente en cada uno de ellos. El resto de desarrolladores se especializan entre una decena de lenguajes (HTML-CSS, Java, C,...). La probabilidad de que un desarrollador que se ha especializado en Python obtenga empleo es 0,85, mientras que la de que lo obtenga uno que se ha especializado en JavaScript es 0,9. También se sabe que la probabilidad de que un desarrollador esté desempleado es del 0,15.

  1. Calcula la probabilidad de que un desarrollador esté empleado si no ha estudiado Python ni JavaScript.
  2. Calcula la probabilidad de que un desarrollador que está desempleado se haya especializado en Python o JavaScript.

Resolución

Llamamos 𝐴 a especializarse en Python, 𝐵 a especializarse en JavaScript, 𝐶 a especializarse en otro lenguaje de programación y 𝐸 a obtener empleo. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐸
0,85←←←←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,2←←←←←←←←←←←←←→ 0,15←←←←←←←←←←←←←←→
¯𝐸
𝐸
0,9←←←←←←←←←←←←←→
0,18←←←←←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,1←←←←←←←←←←←←←→
¯𝐸
𝐸
0,62←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐶
1−𝑝←←←←←←←←←←←←←←→
¯𝐸
También sabemos que: 𝑃(¯𝐸)=0,15⇒𝑃(𝐸)=0,85.

  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un desarrollador tenga empleo viene dada por: 𝑃(𝐸)=𝑃(𝐸∩𝐴)+𝑃(𝐸∩𝐵)+𝑃(𝐸∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐸|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐸|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐸|𝐶)==0,2⋅0,85+0,18⋅0,9+0,62⋅𝑝=0,62𝑝+0,332. Como 𝑃(𝐸) =0,85, 0,85=0,62𝑝+0,332⇔0,62𝑝=0,518⇔𝑝≈0,8355. Por tanto, la probabilidad de que un desarrollador esté empleado si no ha estudiado Python ni JavaScript es: 𝑃(𝐸|𝐶)=0,8355.
  2. La probabilidad de que un desarrollador se haya especializado en Python o JavaScript sabiendo que está desempleado es: 𝑃(𝐴∪𝐵|¯𝐸)=𝑃(𝐴|¯𝐸)+𝑃(𝐵|¯𝐸)=𝑃(𝐴∩¯𝐸)𝑃(¯𝐸)+𝑃(𝐵∩¯𝐸)𝑃(¯𝐸)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(¯𝐸|𝐴)𝑃(¯𝐸)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(¯𝐸|𝐵)𝑃(¯𝐸)==0,2⋅0,150,15+0,18⋅0,10,15=0,32.

Ejercicio 8: Modelo de prueba

En el enfermero de la doctora Martínez no se puede confiar, pues durante la ausencia del médico la probabilidad de que no le inyecte un suero a un enfermo es de 0,6. Se sabe que si a un enfermo grave se le inyecta el suero tiene igual probabilidad de mejorar que de empeorar, pero si no se le inyecta entonces la probabilidad de que mejore es de 0,25. A su regreso, la Dra. Martínez se encuentra con que un enfermo ha empeorado. Calcula la probabilidad de que el enfermero olvidara inyectar el suero a este paciente.

Resolución

Llamamos 𝐼 a inyectar el suero y 𝑀 a mejorar. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑀
0,5←←←←←←←←←←←←←→
𝐼
0,4←←←←←←←←←←←←←→ 0,5←←←←←←←←←←←←←→
¯𝑀
𝑀
0,6←←←←←←←←←←←←←→ 0,25←←←←←←←←←←←←←←→
¯𝐼
0,75←←←←←←←←←←←←←←→
¯𝑀

Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el paciente empeore es: 𝑃(¯𝑀)=𝑃(¯𝑀∩𝐼)+𝑃(¯𝑀∩¯𝐼)=𝑃(𝐼)⋅𝑃(¯𝑀|𝐼)+𝑃(¯𝐼)⋅𝑃(¯𝑀|¯𝐼)=0,4⋅0,5+0,6⋅0,75=0,65. Por tanto, la probabilidad de que el enfermero olvidara inyectar el suero al paciente sabiendo que ha empeorado es: 𝑃(¯𝐼|¯𝑀)=𝑃(¯𝐼∩¯𝑀)𝑃(¯𝑀)=𝑃(¯𝐼)⋅𝑃(¯𝑀|¯𝐼)𝑃(¯𝑀)=0,6⋅0,750,65≈0,6923.

Ejercicio 9: Modelo de prueba

Se estima que solo un 20% de los que compran acciones en bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el 80% obtiene beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un 10% obtiene beneficios.

  1. Calcula el porcentaje de los que obtienen beneficios comprando acciones en bolsa.
  2. Eligiendo una persona al azar, calcula la probabilidad de que no tenga conocimientos bursátiles y que no tenga beneficios al invertir en bolsa.

Resolución

Llamamos 𝐶 a tener conocimientos bursátiles y 𝐵 a obtener beneficios. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐵
0,8←←←←←←←←←←←←←→
𝐶
0,2←←←←←←←←←←←←←→ 0,2←←←←←←←←←←←←←→
¯𝐵
𝐵
0,8←←←←←←←←←←←←←→ 0,1←←←←←←←←←←←←←→
¯𝐶
0,9←←←←←←←←←←←←←→
¯𝐵
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de obtener beneficios es: 𝑃(𝐵)=𝑃(𝐵∩𝐶)+𝑃(𝐵∩¯𝐶)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐵|𝐶)+𝑃(¯𝐶)⋅𝑃(𝐵|¯𝐶)=0,2⋅0,8+0,8⋅0,1=0,24. Por tanto, el 24% de las personas que compran acciones en bolsa obtienen beneficios.
  2. La probabilidad de que una persona no tenga conocimientos bursátiles ni beneficios al invertir en bolsa es: 𝑃(¯𝐶∩¯𝐵)=𝑃(¯𝐶)⋅𝑃(¯𝐵|¯𝐶)=0,8⋅0,9=0,72.

Ejercicio 10: Modelo de prueba

Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay tres tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos de ensayo con el virus B y 5 tubos de ensayo con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad en un animal es de 13, que la produzca el virus B es de 23, y que la produzca el virus C es de 17.

  1. Si elegimos al azar un tubo de ensayo e inoculamos el virus a un animal, calcula la probabilidad de que contraiga la enfermedad.
  2. Si se inocula el virus a un animal y contrae la enfermedad, calcula la probabilidad de que el virus que se ha inoculado sea del tipo C.

Resolución

Llamamos 𝐴 a inocular el virus A, 𝐵 a inocular el virus B, 𝐶 a inocular el virus C y 𝐸 a contraer la enfermedad. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐸
1/3←←←←←←←←←←←←←→
𝐴
3/10←←←←←←←←←←←←←←←→ 2/3←←←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
𝐸
2/3←←←←←←←←←←←←←→
1/5←←←←←←←←←←←←←→ 𝐵
1/3←←←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
𝐸
1/2←←←←←←←←←←←←←→ 1/7←←←←←←←←←←←←←→
𝐶
6/7←←←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el animal contraiga la enfermedad es: 𝑃(𝐸)=𝑃(𝐸∩𝐴)+𝑃(𝐸∩𝐵)+𝑃(𝐸∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐸|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐸|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐸|𝐶)==310⋅13+15⋅23+12⋅17=32105≈0,3048.
  2. La probabilidad de que se haya inoculado el virus C sabiendo que el animal ha contraído la enfermedad es: 𝑃(𝐶|𝐸)=𝑃(𝐶∩𝐸)𝑃(𝐸)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐸|𝐶)𝑃(𝐸)=12⋅1732105=1564≈0,2344.

Ejercicio 11: Modelo de prueba

Un ayuntamiento estima que el 60% de los árboles de su localidad son de hoja caduca, y de ellos un 20% son autóctonos del área geográfica. Sin embargo, de los árboles de hoja perenne (no caduca) los autóctonos ascienden al 70%. Se elige al azar un árbol de esta localidad.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de hoja caduca y no sea autóctono?
  2. ¿Qué probabilidad hay de que el árbol sea autóctono?
  3. Sabiendo que el árbol es autóctono, ¿cuál es la probabilidad de que sea de hoja caduca?

Ejercicio 12: Modelo de prueba

Se tiene una prueba diagnóstica para una enfermedad con las siguientes propiedades:

  1. La probabilidad de que el test dé positivo teniendo la enfermedad es 0,95.
  2. La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,95.
  3. La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,05.
Realizada la prueba a una persona al azar, calcular:
  1. La probabilidad de que el test dé positivo.
  2. La probabilidad de tener la enfermedad cuando el test ha dado positivo.

Ejercicio 13: Modelo de prueba

Una empresa automovilística fabrica sus coches en cuatro factorías: 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 y 𝐹4. El porcentaje de producción total de coches que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de pintado defectuoso en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%, respectivamente. Tomamos un coche al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el coche haya sido fabricado en la factoría 𝐹1 y esté perfecto?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la pintura del coche presente algún desperfecto?

Ejercicio 14: Modelo de prueba

El 60% de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el 25% en Madrid y el resto en Lisboa. El 1% de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del 0,5% y del 2%, respectivamente.

  1. Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
  2. Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?

Ejercicio 15: Modelo de prueba

De una baraja española (40 cartas) Carlos y Paula extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. Con esas 8 cartas, Paula da dos cartas a Carlos y posteriormente una para ella. Calcula:

  1. La probabilidad de que Carlos tenga dos ases.
  2. La probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey.
  3. La probabilidad de que Paula tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.

Ejercicio 16: Modelo de prueba

Se estudia una prueba diagnóstica para detectar una enfermedad en un grupo de 200.000 personas a las que se ha sometido a dicha prueba y de los que el 0,5% están enfermos. Se ha observado que de los enfermos ha dado negativo a 50 personas y, de las sanas, le ha dado positivo a 19.900. Se escoge al azar una de estas persona sometidas a la prueba diagnóstica.

  1. Calcula la probabilidad de que la prueba dé resultado positivo. ¿Cuál sería la probabilidad de que el resultado de la prueba sea erróneo?
  2. Calcula la probabilidad de que la persona padezca la enfermedad, si el resultado de la prueba es negativo.

Ejercicio 17: Modelo de prueba

Se sabe que la probabilidad de que un dardo impacte en una diana es 0,4. Si se lanzan 9 dardos, determina:

  1. Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de dardos que dan en la diana.
  2. La media y la desviación típica de esta distribución.
  3. La probabilidad de que al menos 5 dardos impacten en la diana.

Ejercicio 18: Modelo de prueba

La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga problemas dermatológicos es de 0,15. Se toma una muestra de 50 personas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga problemas dermatológicos?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro tengan problemas dermatológicos?

Ejercicio 19: Modelo de prueba

En un laboratorio de análisis clínicos, el 5% de las muestras que llegan no cumplen las condiciones requeridas para obtener resultados concluyentes en el análisis. Si se eligen 5 muestras, calcula:

  1. La probabilidad de que de todas las muestras se puedan obtener resultados concluyentes.
  2. La probabilidad de que de al menos dos no se obtengan resultados concluyentes.
  3. La media y la desviación típica de la distribución.

Ejercicio 20: Modelo de prueba

En un centro de fertilidad, cada intento de inseminación in vitro para cualquier pareja tiene un porcentaje de éxito del 30%. Esta semana han acudido 10 parejas para realizar el tratamiento. Nos preguntamos por el número de ellas que consiguen tener hijos.

  1. ¿De qué tipo de distribución se trata? Calcular su media y su desviación.
  2. ¿Qué probabilidad hay de que ninguna pareja conciba? ¿Y de que alguna conciba?

Ejercicio 21: Modelo de prueba

La variedad de naranjas Navel se suele dedicar a naranja de mesa por su tamaño y aspecto. Pero aquellas que no cumplen con los estándares de calidad exigidos, son utilizadas para hacer zumo. En una finca, una de cada tres naranjas de la variedad Navel recolectadas se destina a hacer zumo. Si se elige un cargamento de 90 naranjas de esa finca, calcula la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 que se destinen a hacer zumo.

Ejercicio 22: Modelo de prueba

La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 6 meses es del 20%.

  1. Si en un acuario tenemos 15 peces de esta especie nacidos este mes, halla la probabilidad de que al menos 2 de ellos sigan vivos dentro de 6 meses.
  2. Si en un tanque de una piscifactoría hay 300 peces de esta especie nacidos este mismo mes, halla la probabilidad de que al cabo de 6 meses hayan sobrevivido al menos 50 de ellos.

Ejercicio 23: Modelo de prueba

Un modelo de avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea a la que pertenece ha decidido vender más billetes que asientos hay en el avión. La probabilidad de que un pasajero se presente en el aeropuerto el día del vuelo es del 95%. Si ese día la compañía ha vendido 280 billetes, ¿cuál es la probabilidad de que ese día se presenten 270 pasajeros?

Ejercicio 24: Modelo de prueba

Una fábrica de baterías para móviles ha detectado que una de sus máquinas produce un 10% de baterías defectuosas. Se han seleccionado al azar y de forma independiente 6 baterías.

  1. Calcula la probabilidad de que exactamente cuatro baterías sean defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo la mitad sean defectuosas?
  2. ¿Qué es más probable: que ninguna sea defectuosa o que lo sean las seis?

Ejercicio 25: Modelo de prueba

La altura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media 175 cm y desviación típica 4 cm.

  1. Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 170 cm.
  2. Calcula qué porcentaje de la población mide entre 170 y 185 cm.
  3. Calcula la altura máxima que es superada por el 33% de la población.

Ejercicio 26: Modelo de prueba

La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de 40 años. Se sabe además que el 2,28% de los habitantes de esa ciudad tiene más de 60 años.

  1. Calcula la desviación típica de la distribución.
  2. Si la edad de la población siguiera una distribución 𝑁(40,10), calcula el porcentaje de habitantes con menos de 35 años.

Ejercicio 27: Modelo de prueba

El peso de los estudiantes de determinada localidad sigue una distribución Normal de media 75 kg y varianza 36 kg2.

  1. Calcula el porcentaje de alumnado cuyo peso está comprendido entre 68 y 80 kg.
  2. Si se sabe que uno de los estudiantes pesa más de 76 kg, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de 80 kg?

Ejercicio 28: Modelo de prueba

El peso de las lubinas vendidas en una cadena de hipermercados sigue una distribución normal de media 6.706 gramos. Sabiendo que el 20% de las lubinas pesan más de 7.386 gramos, calcula el porcentaje de lubinas que pesan entre 6 y 8 kg.

Ejercicio 29: Modelo de prueba

El peso de una población de elefantes africanos macho sigue una distribución normal de media 6 toneladas y desviación típica 1.500 kg.

  1. Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar pese exactamente 6 toneladas.
  2. Calcula qué porcentaje de la población pesa entre 5 y 8 toneladas.
  3. Calcula qué peso es superado por el 33% de la población.

Ejercicio 30: Modelo de prueba

Estudios realizados en un cierto país demuestran que el consumo de gasolina en autos compactos está normalmente distribuido, con una media de 6 litros por cada 100 km y una desviación estándar de 1,2 litros por cada 100 km.

  1. Calcula el porcentaje de autos compactos que gasta 7 o más litros cada 100 km.
  2. Calcula el número máximo de litros por cada 100 km que debe consumir un auto compacto si el fabricante quiere que supere en economía de combustible al 95% de los que hay actualmente en el mercado.