Matemáticas de Selectividad

Llamamos 𝑥 al precio del jersey, 𝑦 al precio de la camisa y 𝑧 al precio del pantalón.

Planteamos el sistema de ecuaciones. {𝑥+𝑦+𝑧=80,𝑥=𝑦+𝑧3⇔{𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que: 4𝑥=80⇔𝑥=20. El sistema queda: {𝑦+𝑧=60,−𝑦−𝑧=−60⇔𝑦+𝑧=60. Por tanto, el jersey cuesta 20€ pero no se puede determinar de forma única el precio de la camisa.

Completamos el sistema de ecuaciones con la nueva ecuación. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0,0,7𝑥+0,6𝑦+0,8𝑧=57⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=80,3𝑥−𝑦−𝑧=0,7𝑥+6𝑦+8𝑧=570. Como sabemos que 𝑥 =20 por el apartado anterior, el sistema queda: {𝑦+𝑧=60,6𝑦+8𝑧=430⇔{𝑦+𝑧=60,3𝑦+4𝑧=215. Resolvemos el sistema por sustitución. Como 𝑧 =60 −𝑦, entonces: 3𝑦+240−4𝑦=215⇔𝑦=25⇒𝑧=60−𝑦=60−25=35. Por tanto, el jersey cuesta 20€, la camisa cuesta 25€ y el pantalón cuesta 35€.

Calculamos el límite. lím𝑥→0⁡sen⁡(𝑥)−𝑎𝑥+2−2cos⁡(𝑥)𝑒𝑥−𝑥cos⁡(𝑥)−1=00.

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. lím𝑥→0⁡sen⁡(𝑥)−𝑎𝑥+2−2cos⁡(𝑥)𝑒𝑥−𝑥cos⁡(𝑥)−1L’H=lím𝑥→0⁡cos⁡(𝑥)−𝑎+2sen⁡(𝑥)𝑒𝑥−𝑐𝑜𝑠(𝑥)+𝑥sen⁡(𝑥)=1−𝑎0. Si 𝑎 ≠1 este límite será infinito, así que necesariamente 𝑎 =1.

Continuamos resolviendo el límite para 𝑎 =1. lím𝑥→0⁡cos⁡(𝑥)−1+2sen⁡(𝑥)𝑒𝑥−𝑐𝑜𝑠(𝑥)+𝑥sen⁡(𝑥)L’H=lím𝑥→0⁡−sen⁡(𝑥)+2cos⁡(𝑥)𝑒𝑥+sen⁡(𝑥)+sen⁡(𝑥)−𝑥cos⁡(𝑥)=2.

1. La ordenada de la asíntota horizontal viene dada por: lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑎+ln⁡(𝑥)𝑥2)=𝑎. Para que 𝑦 =1 sea la asíntota horizontal, ha de verificarse que 𝑎 =1.
2. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=1𝑥⋅𝑥2−ln⁡(𝑥)⋅2𝑥𝑥4=𝑥−2𝑥ln⁡(𝑥)𝑥4=1−2ln⁡(𝑥)𝑥3. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔1−2ln⁡(𝑥)𝑥3=0⇔1−2ln⁡(𝑥)=0⇔ln⁡(𝑥)=12⇔𝑥=√𝑒. Estudiamos el signo de la derivada.

   	(0,√𝑒)	(√𝑒, +∞)
   signo de 𝑓′	+	−
   monotonía de 𝑓	→	→

   Por tanto, 𝑓 es creciente en (0,√𝑒) y decreciente en (√𝑒, +∞). Además, el punto (√𝑒,12𝑒) es un máximo relativo.

1. El volumen del tetraedro determinado por los puntos 𝑂, 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es un sexto del volumen del paralelepípedo formado por los vectores ⃗𝑂𝐴 =(0,2, −2), ⃗𝑂𝐵 =(1,2,𝑚) y ⃗𝑂𝐶 =(2,3,2). Este viene dado por el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores. [⃗𝑂𝐴,⃗𝑂𝐵,⃗𝑂𝐶]=∣02−212𝑚232∣=4𝑚−6+8−4=4𝑚−2⇒𝑉=|4𝑚−2|6. Si el volumen es de 3 unidades cúbicas, ha de verificarse: |4𝑚−2|6=3⇔|4𝑚−2|=18⇔{4𝑚−2=18⇔4𝑚=20⇔𝑚=5,4𝑚−2=−18⇔4𝑚=−16⇔𝑚=−4.
2. El plano 𝜋 determinado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 tiene como vectores directores ⃗𝐴𝐵 =(1,0,2) y ⃗𝐴𝐶 =(2,1,4). El vector normal al plano viene dado por: ⃗𝑛𝜋=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧102214∣=(−2,0,1). Como 𝐴 pertenece al plano, la ecuación del plano 𝜋 es: 𝜋≡−2𝑥+𝑧+2=0⇔2𝑥−𝑧−2=0. Por tanto, la distancia del punto 𝑂 al plano 𝜋 viene dada por: dist⁡(𝑂,𝜋)=|−2|√5=2√5𝑢.

1. Llamamos 𝜋 al plano que nos piden. Como 𝜋 contiene a la recta 𝑟, entonces ⃗𝑑𝑟 =(1,2,2) es un vector director del plano. Por otro lado, como 𝑅(1,2,3) es un punto de 𝑟, el vector ⃗𝑃𝑅 =(0,1,2) es otro vector director del plano. Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano 𝜋 son: 𝜋≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+𝜆,𝑦=1+2𝜆+𝜇,𝑧=1+2𝜆+2𝜇,𝜆,𝜇∈ℝ.
2. En primer lugar, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑟. 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+𝜆,𝑦=2+2𝜆,𝑧=3+2𝜆,𝜆∈ℝ. Llamamos 𝑠 a la recta que nos piden. Para hallarla, trazamos un plano 𝜏 perpendicular a 𝑟 que pase por 𝑃. Como 𝜏 es perpendicular a 𝑟, entonces ⃗𝑛𝜏 =⃗𝑑𝑟 =(1,2,2). Luego la ecuación del plano 𝜏 es: 𝜏≡𝑥−1+2(𝑦−1)+2(𝑧−1)=0⇔𝑥+2𝑦+2𝑧−5=0. A continuación, hallamos el punto de intersección 𝑄 de la recta 𝑟 y el plano 𝜏 sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano. 1+𝜆+2(2+2𝜆)+2(3+2𝜆)−5=0⇔9𝜆+6=0⇔𝜆=−23. Así que el punto de intersección es 𝑄(13,23,53). Luego el vector director de la recta 𝑠 es ⃗𝑑𝑠 =⃗𝑃𝑄 =(−23,−13,23) ∥(2,1, −2). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠 son: 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+2𝜆,𝑦=1+𝜆,𝑧=1−2𝜆,𝜆∈ℝ.

Como 𝑓″ es la derivada de 𝑓′, entonces: 𝑓′(𝑥)=∫𝑓″(𝑥)𝑑𝑥=∫(𝑒𝑥−1−1𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥−1−ln⁡(𝑥)+𝐶. De igual forma, 𝑓′ es la derivada de 𝑓, así que: 𝑓(𝑥)=∫𝑓′(𝑥)𝑑𝑥=∫(𝑒𝑥−1−ln⁡(𝑥)+𝐶)𝑑𝑥=𝑒𝑥−1−𝑥ln⁡(𝑥)+𝑥+𝐶𝑥+𝐾.

• Si la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (1,0), ha de verificarse que: 𝑓(1)=0⇔1+1+𝐶+𝐾=0⇔𝐶+𝐾=−2.
• Si la gráfica de 𝑓 para por el punto (2,𝑒 −2 −2ln⁡(2)), ha de verificarse que: 𝑓(2)=𝑒−2−2ln⁡(2)⇔𝑒−2ln⁡(2)+2+2𝐶+𝐾=𝑒−2−2ln⁡(2)⇔2𝐶+𝐾=−4.

Planteamos un sistema de ecuaciones con las dos condiciones. {𝐶+𝐾=−2,2𝐶+𝐾=−4. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que: 𝐶=−2⇒𝐾=−2−𝐶=−2+2=0.

Por tanto, 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1−𝑥ln⁡(𝑥)+𝑥−2𝑥=𝑒𝑥−1−𝑥ln⁡(𝑥)−𝑥.

Llamamos 𝐶 a elegir un coche, 𝑀 a elegir una moto y 𝐴 a resultar apto. Podemos ampliar la tabla de contingencia con los totales.

1. La probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto es: 𝑃(𝑀∪𝐴)=𝑃(𝑀∩𝐴)+𝑃(𝑀∩¯𝐴)+𝑃(𝐶∩𝐴)=160.667283.176+3.447283.176+116.383283.176≈0,9905.
2. La probabilidad de que el vehículo haya resultado no apto sabiendo que es un coche es: 𝑃(¯𝐴|𝐶)=2.679119.062≈0,0225.