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Ejercicio 5: Reserva 2 de 2025

Sabiendo que βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘₯π‘¦π‘§π‘’π‘€π‘£βˆ£=1, calcula razonadamente:

  1. βˆ£π‘Ž+π‘₯𝑏+𝑦𝑐+π‘§π‘Žπ‘π‘2π‘Ž+𝑒2𝑏+𝑣2𝑐+π‘€βˆ£.
  2. βˆ£π‘§π‘π‘€π‘₯π‘Žπ‘’π‘¦π‘π‘£βˆ£.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2024

Considera las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯𝑦𝑧302111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐡=(1𝑦𝑧)y𝐢=(300).

  1. Sabiendo que el determinante de 𝐴 es 5, calcula ∣π‘₯βˆ’1π‘¦βˆ’1π‘§βˆ’1111413∣, indicando las propiedades que utilizas.
  2. Calcula los valores (π‘₯,𝑦,𝑧) tales que 𝐡𝐴 =𝐢.

ResoluciΓ³n
  1. Calculamos el determinante. ∣π‘₯βˆ’1π‘¦βˆ’1π‘§βˆ’1111413∣=∣π‘₯𝑦𝑧111413βˆ£βˆ’βˆ£111111413∣=∣π‘₯𝑦𝑧111413∣=∣π‘₯𝑦𝑧111302∣=βˆ’βˆ£π‘₯𝑦𝑧302111∣=βˆ’5.
  2. Se tiene que verificar: 𝐡𝐴=𝐢⇔(1𝑦𝑧)βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯𝑦𝑧302111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(300)⇔(π‘₯+3𝑦+𝑧𝑦+𝑧2𝑦+2𝑧)=(300)β‡”β‡”βŽ§{ {⎨{ {⎩π‘₯+3𝑦+𝑧=3,𝑦+𝑧=0,2𝑦+2𝑧=0⇔{π‘₯+3𝑦+𝑧=3,𝑦+𝑧=0. Si tomamos 𝑧 =πœ†, 𝑦+𝑧=0⇔𝑦=βˆ’π‘§π‘§=πœ†β†β†β†β†β†β†β†’π‘¦=βˆ’πœ†,π‘₯+3𝑦+𝑧=3⇔π‘₯=3βˆ’3π‘¦βˆ’π‘§π‘¦=βˆ’πœ†β†β†β†β†β†β†β†β†’π‘§=πœ†π‘₯=3+2πœ†. Por tanto, la igualdad se cumple para todos los valores (π‘₯,𝑦,𝑧) de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩π‘₯=3+2πœ†,𝑦=βˆ’πœ†,𝑧=πœ†.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2024

Considera las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1βˆ’10720001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝2010101900⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula los determinantes de las matrices ((𝐴𝐡)5)βˆ’1 y 27𝐴𝐡6.
  2. Halla la matriz 𝑋, si es posible, que verifica que 𝐴𝑋𝐡 =9𝐼, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3.

ResoluciΓ³n
  1. En primer lugar, hallamos los determinantes de las matrices 𝐴 y 𝐡. |𝐴|=∣1βˆ’10720001∣=9,|𝐡|=∣ ∣ ∣ ∣2010101900∣ ∣ ∣ ∣=βˆ’19.
    • Calculamos el determinante de ((𝐴𝐡)5)βˆ’1. |((𝐴𝐡)5)βˆ’1|=(|𝐴|β‹…|𝐡|)βˆ’5=(9β‹…(βˆ’19))βˆ’5=βˆ’1.
    • Calculamos el determinante de 27𝐴𝐡6. Como 𝐴 y 𝐡 son de orden 3, |27𝐴𝐡6|=273β‹…|𝐴|β‹…|𝐡|6=273β‹…9β‹…(βˆ’19)6=13.
  2. Por el apartado anterior, 𝐴 y 𝐡 son invertibles. Despejamos la ecuaciΓ³n matricial. 𝐴𝑋𝐡=9𝐼⇔𝑋=9π΄βˆ’1π΅βˆ’1=9(𝐡𝐴)βˆ’1. En primer lugar, calculamos 𝐡𝐴. 𝐡𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝2010101900⎞⎟ ⎟ ⎟ βŽŸβŽ βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝1βˆ’10720001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝2βˆ’2172019βˆ’190⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. AdemΓ‘s, su determinante es: |𝐡𝐴|=|𝐡|β‹…|𝐴|=βˆ’19β‹…9=βˆ’1. Para hallar la inversa de 𝐡𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁑(𝐡𝐴)=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝00βˆ’1βˆ’19βˆ’190βˆ’2718⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. De esta forma, podemos calcular su inversa como: (𝐡𝐴)βˆ’1=1|𝐡𝐴|Adj⁑(𝐡𝐴)𝑑=βˆ’βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝0βˆ’19βˆ’20βˆ’197βˆ’1018⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝0192019βˆ’710βˆ’18⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=9(𝐡𝐴)βˆ’1=9βŽ›βŽœ ⎜ ⎜ ⎜⎝0192019βˆ’710βˆ’18⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝011801βˆ’6390βˆ’162⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 6: Julio de 2022

Se sabe que βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘π‘žπ‘Ÿπ‘₯π‘¦π‘§βˆ£=βˆ’2.

  1. Calcula: βˆ£π‘Žπ‘π‘2π‘₯2𝑧2π‘¦βˆ’3π‘βˆ’3π‘Ÿβˆ’3π‘žβˆ£.
  2. Calcula: ∣π‘₯π‘Žβˆ’3π‘βˆ’2π‘Žπ‘¦π‘βˆ’3π‘žβˆ’2π‘π‘§π‘βˆ’3π‘Ÿβˆ’2π‘βˆ£.

ResoluciΓ³n
  1. Calculamos el determinante. βˆ£π‘Žπ‘π‘2π‘₯2𝑧2π‘¦βˆ’3π‘βˆ’3π‘Ÿβˆ’3π‘žβˆ£=2β‹…(βˆ’3)β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘₯π‘§π‘¦π‘π‘Ÿπ‘žβˆ£=(βˆ’1)β‹…(βˆ’6)β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘₯π‘¦π‘§π‘π‘žπ‘Ÿβˆ£=βˆ’6β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘π‘žπ‘Ÿπ‘₯π‘¦π‘§βˆ£=12.
  2. Calculamos el determinante. ∣π‘₯π‘Žβˆ’3π‘βˆ’2π‘Žπ‘¦π‘βˆ’3π‘žβˆ’2π‘π‘§π‘βˆ’3π‘Ÿβˆ’2π‘βˆ£=∣π‘₯π‘Žβˆ’2π‘Žπ‘¦π‘βˆ’2π‘π‘§π‘βˆ’2π‘βˆ£+∣π‘₯βˆ’3π‘βˆ’2π‘Žπ‘¦βˆ’3π‘žβˆ’2π‘π‘§βˆ’3π‘Ÿβˆ’2π‘βˆ£=∣π‘₯βˆ’3π‘βˆ’2π‘Žπ‘¦βˆ’3π‘žβˆ’2π‘π‘§βˆ’3π‘Ÿβˆ’2π‘βˆ£=(βˆ’3)β‹…(βˆ’2)β‹…βˆ£π‘₯π‘π‘Žπ‘¦π‘žπ‘π‘§π‘Ÿπ‘βˆ£==βˆ’6β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘₯π‘π‘žπ‘¦π‘π‘Ÿπ‘§βˆ£=βˆ’6β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘π‘žπ‘Ÿπ‘₯π‘¦π‘§βˆ£=12.

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2021

Considera la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘Ž21π‘βˆ’11𝑐11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, con determinante igual a 5.

  1. Calcula razonadamente el determinante de 2𝐴3.
  2. Calcula razonadamente los determinantes ∣2π‘Žβˆ’132𝑏1/232π‘βˆ’1/23∣yβˆ£π‘Žπ‘π‘π‘Ž+4π‘βˆ’2𝑐+2π‘Ž+1𝑏+1𝑐+1∣.

ResoluciΓ³n
  1. Calculamos el determinante. Como 𝐴 es de orden 3, |2𝐴3|=23|𝐴3|=8|𝐴|3=8β‹…53=1000.
  2. Calculamos el primer determinante. ∣2π‘Žβˆ’132𝑏1/232π‘βˆ’1/23∣=2β‹…(βˆ’12)β‹…3β‹…βˆ£π‘Ž21π‘βˆ’11𝑐11∣=βˆ’15. Calculamos ahora el segundo determinante. βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘Ž+4π‘βˆ’2𝑐+2π‘Ž+1𝑏+1𝑐+1∣=βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘Žπ‘π‘π‘Ž+1𝑏+1𝑐+1∣+βˆ£π‘Žπ‘π‘4βˆ’22π‘Ž+1𝑏+1𝑐+1∣=βˆ£π‘Žπ‘π‘4βˆ’22π‘Ž+1𝑏+1𝑐+1∣==βˆ£π‘Žπ‘π‘4βˆ’22π‘Žπ‘π‘βˆ£+βˆ£π‘Žπ‘π‘4βˆ’22111∣=βˆ£π‘Žπ‘π‘4βˆ’22111∣=2β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘2βˆ’11111∣=2β‹…βˆ£π‘Ž21π‘βˆ’11𝑐11∣=10.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2021

Considera la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘Žπ‘π‘π‘‘π‘’π‘“123⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, con determinante igual a 2.

  1. Calcula razonadamente |13π΄βˆ’1𝐴𝑑|.
  2. Calcula razonadamente los determinantes ∣6𝑐2𝑏2π‘Ž3𝑓𝑒𝑑921∣y∣2π‘Žβˆ’2𝑏𝑐𝑏2π‘‘βˆ’2π‘’π‘“π‘’βˆ’232∣.

ResoluciΓ³n
  1. Calculamos el determinante. Como 𝐴 es de orden 3, ∣13π΄βˆ’1π΄π‘‘βˆ£=(13)3β‹…|𝐴|βˆ’1β‹…|𝐴|=127β‹…12β‹…2=127.
  2. Calculamos el primer determinante. ∣6𝑐2𝑏2π‘Ž3𝑓𝑒𝑑921∣=2β‹…βˆ£3π‘π‘π‘Ž3𝑓𝑒𝑑921∣=3β‹…2β‹…βˆ£π‘π‘π‘Žπ‘“π‘’π‘‘321∣=βˆ’6β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘‘π‘’π‘“123∣=βˆ’12. Calculamos ahora el segundo determinante. ∣2π‘Žβˆ’2𝑏𝑐𝑏2π‘‘βˆ’2π‘’π‘“π‘’βˆ’232∣=2β‹…βˆ£π‘Žβˆ’π‘π‘π‘π‘‘βˆ’π‘’π‘“π‘’βˆ’132∣=2β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘‘π‘“π‘’132∣+2β‹…βˆ£βˆ’π‘π‘π‘βˆ’π‘’π‘“π‘’βˆ’232∣=2β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘‘π‘“π‘’132∣=βˆ’2β‹…βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘‘π‘’π‘“123∣=βˆ’4.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2020

Considera la matriz 𝐴=(βˆ’12βˆ’βˆš32√32βˆ’12).

  1. Calcula 𝐴37 y 𝐴41.
  2. Halla el determinante de la matriz 3𝐴52(𝐴𝑑)4.

ResoluciΓ³n
  1. Calculamos las primeras potencias de 𝐴. 𝐴2=(βˆ’12√32βˆ’βˆš32βˆ’12)y𝐴3=(1001). Como 𝐴3 =𝐼, entonces 𝐴4=𝐴3⋅𝐴=𝐴,𝐴5=𝐴3⋅𝐴2=𝐴2,𝐴6=𝐴3⋅𝐴3=𝐼,… La divisiΓ³n 37/3 tiene resto 1 y 41/3 tiene resto 2. Por tanto, 𝐴37=𝐴=(βˆ’12βˆ’βˆš32√32βˆ’12)y𝐴41=𝐴2=(βˆ’12√32βˆ’βˆš32βˆ’12).
  2. Calculamos el determinante. Como la matriz 𝐴 es de orden 2 y det(𝐴) =1, |3𝐴52(𝐴𝑑)4|=32|𝐴|52|𝐴|4=9.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2020

Considera las matrices 𝐴=(1112)y𝐡=(2120).

  1. Sabiendo que una matriz 𝑋 verifica que 𝑋3𝐴𝑋 =𝐡2, halla los posibles valores de su determinante.
  2. Determina, si existe, una matriz π‘Œ que verifique 𝐴2π‘Œπ΅βˆ’1 =𝐴.

Ejercicio A3: Junio de 2019

Calcula todas las matrices 𝑋=(π‘Žπ‘π‘π‘‘) tales que π‘Ž +𝑑 =1, tienen determinante 1 y cumplen 𝐴𝑋 =𝑋𝐴, siendo 𝐴=(0βˆ’110).

ResoluciΓ³n

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝑋. |𝑋|=βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘‘βˆ£=π‘Žπ‘‘βˆ’π‘π‘. Como su determinante es 1, entonces π‘Žπ‘‘βˆ’π‘π‘=1. Por otro lado, como 𝐴𝑋 =𝑋𝐴, (0βˆ’110)(π‘Žπ‘π‘π‘‘)=(π‘Žπ‘π‘π‘‘)(0βˆ’110)⇔(βˆ’π‘βˆ’π‘‘π‘Žπ‘)=(π‘βˆ’π‘Žπ‘‘βˆ’π‘)β‡”βŽ§{ { {⎨{ { {βŽ©βˆ’π‘=𝑏,βˆ’π‘‘=βˆ’π‘Ž,𝑑=π‘Ž,𝑏=βˆ’π‘β‡”{π‘Ž=𝑑,𝑐=βˆ’π‘.

Podemos montar el sistema de ecuaciones ⎧{ { {⎨{ { {βŽ©π‘Ž+𝑑=1,π‘Žπ‘‘βˆ’π‘π‘=1,π‘Ž=𝑑,𝑐=βˆ’π‘. Sustituyendo, π‘Ž+𝑑=1𝑑=π‘Žβ†β†β†β†β†β†β†’2π‘Ž=1β‡”π‘Ž=12⇒𝑑=12,π‘Žπ‘‘βˆ’π‘π‘=1𝑐=βˆ’π‘β†β†β†β†β†β†β†β†β†β†β†’π‘Ž=𝑑=1/214+𝑏2=1⇔𝑏2=34⇔𝑏=±√32⇒𝑐=βˆ“βˆš32. Por tanto, las matrices que cumplen estas condiciones son 𝑋1=(12√32βˆ’βˆš3212)y𝑋2=(12βˆ’βˆš32√3212).

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2019

Considera la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘Žπ‘π‘π‘‘π‘’π‘“π‘”β„Žπ‘–βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠ de la que se sabe que tiene determinante 5.

  1. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes: 3𝐴yβŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝2π‘Žπ‘‘+3π‘Žπ‘”2𝑏𝑒+3π‘β„Ž2𝑐𝑓+3π‘π‘–βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠.
  2. Si 𝐡 es otra matriz cuadrada de orden 3 y tiene determinante 4, calcula, indicando tambiΓ©n las propiedades que utilices, el determinante de la matriz π΅π΄βˆ’1.

ResoluciΓ³n
    • Calculamos el determinante. Como 𝐴 es de orden 3, |3𝐴|=33β‹…|𝐴|=27β‹…5=135.
    • Calculamos el determinante. ∣2π‘Žπ‘‘+3π‘Žπ‘”2𝑏𝑒+3π‘β„Ž2𝑐𝑓+3π‘π‘–βˆ£=∣2π‘Žπ‘‘π‘”2π‘π‘’β„Ž2π‘π‘“π‘–βˆ£+∣2π‘Ž3π‘Žπ‘”2𝑏3π‘β„Ž2𝑐3π‘π‘–βˆ£=∣2π‘Žπ‘‘π‘”2π‘π‘’β„Ž2π‘π‘“π‘–βˆ£=2βˆ£π‘Žπ‘‘π‘”π‘π‘’β„Žπ‘π‘“π‘–βˆ£=2βˆ£π‘Žπ‘π‘π‘‘π‘’π‘“π‘”β„Žπ‘–βˆ£=2β‹…5=10.
  2. Calculamos el determinante. |π΅π΄βˆ’1|=|𝐡|β‹…|𝐴|βˆ’1=4β‹…15=45.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2018

Considera la matriz 𝑀=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝123603π‘₯π‘¦π‘§βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠. Sabiendo que el determinante de 𝑀 es 2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices.

  1. El determinante de la matriz 5𝑀4.
  2. El determinante ∣201123π‘₯π‘¦π‘§βˆ£.
  3. El determinante ∣1π‘₯+6π‘₯2𝑦𝑦3𝑧+3π‘§βˆ£.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2017

Considera las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’20011042βˆ’2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝2120βˆ’15002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula la matriz inversa de 𝐴 +𝐡.
  2. Calcula el determinante de 2π΄βˆ’1(𝐴 +𝐡)𝑑.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2017

Sea 𝐴 una matriz 3 Γ—3 tal que det(2𝐴) =8.

  1. ¿CuÑnto vale det(𝐴)?
  2. Siendo 𝐡 la matriz que se obtiene de 𝐴 multiplicando por 3 la primera fila y por -1 la tercera, ¿cuÑnto vale det(𝐡)?
  3. Determina los valores de π‘₯ para los que la siguiente matriz 𝐴 verifica que det(2𝐴) =8: 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯11π‘₯+122π‘₯βˆ’π‘₯+21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio B3: Septiembre de 2017

Considera 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘˜0π‘˜π‘˜+1π‘˜00π‘˜+1π‘˜+1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el rango de 𝐴 segΓΊn los valores de π‘˜.
  2. Para π‘˜ =1, calcula el determinante de 2(π΄π‘‘π΄βˆ’1)2017.

Ejercicio B3: Junio de 2015

Considera las matrices 𝐴=(βˆ’122π‘š)y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝120βˆ’2π‘š032π‘šβŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠.

  1. Encuentra el valor, o los valores, de π‘š para los que 𝐴 y 𝐡 tienen el mismo rango.
  2. Determina, si existen, los valores de π‘š para los que 𝐴 y 𝐡 tienen el mismo determinante.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2015

Considera las matrices 𝐴=(1211)y𝐡=(4βˆ’141).

  1. Halla el determinante de una matriz 𝑋 que verifique la igualdad 𝑋2𝐴𝑋 =𝐡.
  2. Determina, si existe, la matriz π‘Œ que verifica la igualdad 𝐴2π‘Œπ΅βˆ’1 =𝐴.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2015

Considera las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝111123149⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’1111βˆ’1111βˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halla la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋 βˆ’π΅ =𝐼 (𝐼 denota la matriz identidad de orden 3).
  2. Calcula el determinante de la matriz (𝐴2π΅βˆ’1)2015.

Ejercicio A3: Septiembre de 2015

Considera las siguientes matrices: 𝐴=(βˆ’122βˆ’1),𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝100βˆ’210321⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐢=(100βˆ’150).

  1. Determina la matriz 𝑋 para la que π΄π‘‘π‘‹π΅βˆ’1 =𝐢.
  2. Calcula el determinante de π΅βˆ’1(𝐢𝑑𝐢)𝐡.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2014

Se sabe que el determinante de la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘Ž11π‘Ž12π‘Ž13π‘Ž21π‘Ž22π‘Ž23π‘Ž31π‘Ž32π‘Ž33⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ es -3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes.

  1. det( βˆ’2𝐴) y det(π΄βˆ’1).
  2. βˆ£π‘Ž21π‘Ž22π‘Ž237π‘Ž117π‘Ž127π‘Ž132π‘Ž312π‘Ž322π‘Ž33∣yβˆ£π‘Ž11π‘Ž21+2π‘Ž315π‘Ž31π‘Ž12π‘Ž22+2π‘Ž325π‘Ž32π‘Ž13π‘Ž23+2π‘Ž335π‘Ž33∣.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2014

Sabiendo que el determinante de la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘Žπ‘π‘π‘π‘‘π‘’π‘π‘’π‘“βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠ es 3, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices.

  1. det(𝐴3), det(π΄βˆ’1) y det(𝐴 +𝐴𝑑).
  2. detβŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘Žπ‘π‘π‘π‘’π‘“2𝑏2𝑑2π‘’βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠.
  3. detβŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘Žπ‘4π‘Žβˆ’π‘π‘π‘‘4π‘βˆ’π‘’π‘π‘’4π‘βˆ’π‘“βŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio B3: Septiembre de 2014

Sabiendo que el determinante de la matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝π‘₯𝑦𝑧101123⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ es 2, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices.

  1. det(3𝐴).
  2. det(π΄βˆ’1).
  3. ∣3013π‘₯2𝑦𝑧343∣.
  4. ∣123π‘₯+2𝑦+4𝑧+6βˆ’10βˆ’1∣.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2013

Considera las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’110200101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐡=(021120)y𝐢=(12βˆ’16).

  1. Halla π΄βˆ’1.
  2. Calcula la matriz 𝑋 que satisface 𝐴𝑋 =𝐡𝑑𝐢.
  3. Halla el determinante de 𝐴2013𝐡𝑑𝐡(π΄βˆ’1)2013.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2013

Sabiendo que el determinante de una matriz 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽπ‘Žπ‘π‘π‘‘π‘’π‘“π‘π‘žπ‘ŸβŽžβŽŸ ⎟ ⎟⎠ es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas.

  1. det( βˆ’2𝐴) y det(π΄βˆ’1).
  2. βˆ£π‘Žβˆ’π‘π‘2π‘‘βˆ’2𝑒2π‘“π‘βˆ’π‘žπ‘Ÿβˆ£yβˆ£βˆ’3π‘‘βˆ’3π‘’βˆ’3π‘“π‘Žπ‘π‘βˆ’π‘βˆ’π‘žβˆ’π‘Ÿβˆ£.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2013

Sea 𝑀 una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(𝑀) =2. Calcula:

  1. El rango de 𝑀3.
  2. El determinante de 2𝑀𝑑.
  3. El determinante de (π‘€βˆ’1)2.
  4. El determinante de 𝑁, donde 𝑁 es la matriz resultante de intercambiar la primera y la segunda filas de 𝑀.

Ejercicio A3: Septiembre de 2013

Considera las matrices 𝐴=βŽ›βŽœ ⎜ ⎜⎝101110002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐡=βŽ›βŽœ ⎜ βŽœβŽβˆ’1111βˆ’1100βˆ’1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halla, si es posible, π΄βˆ’1 y π΅βˆ’1.
  2. Halla el determinante de 𝐴𝐡2013𝐴𝑑.
  3. Calcula la matriz 𝑋 que satisface 𝐴𝑋 βˆ’π΅ =𝐴𝐡.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2011

Sean 𝐴 y 𝐡 dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |𝐴| =12 y |𝐡| = βˆ’2. Halla:

  1. |𝐴3|.
  2. |π΄βˆ’1|.
  3. | βˆ’2𝐴|.
  4. |𝐴𝐡𝑑|.
  5. El rango de 𝐡.