Ejercicios de ciencias

Ejercicio 4: Junio de 2026

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝛼 𝛽 1 2 𝛼 𝛽 34 𝛼 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ que cumple $| 𝐴 | = - 2$ .

Calcula $∣ - 3 - 4 - 𝛼 𝛼 - 2 𝛽 - 𝛼 1 - 𝛽 8 4 𝛼 4 𝛽 ∣ .$
Calcula $| 𝐴 - 1 (𝐴 𝑡) 2 𝐴 |$ .

Resolución

Calculamos el determinante. $∣ - 3 - 4 - 𝛼 𝛼 - 2 𝛽 - 𝛼 1 - 𝛽 8 4 𝛼 4 𝛽 ∣ = - 4 \cdot ∣ 34 𝛼 𝛼 - 2 𝛽 - 𝛼 1 - 𝛽 2 𝛼 𝛽 ∣ = - 4 \cdot ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∣ 34 𝛼 𝛼 𝛽 1 2 𝛼 𝛽 ∣ - ∣ 34 𝛼 2 𝛼 𝛽 2 𝛼 𝛽 ∣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = - 4 \cdot ∣ 34 𝛼 𝛼 𝛽 1 2 𝛼 𝛽 ∣ = - 4 \cdot ∣ 𝛼 𝛽 1 2 𝛼 𝛽 34 𝛼 ∣ = - 4 \cdot (- 2) = 8 .$
Calculamos el determinante. $| 𝐴 - 1 (𝐴 𝑡) 2 𝐴 | = | 𝐴 | - 1 \cdot | 𝐴 | 2 \cdot | 𝐴 | = (- 2) - 1 \cdot (- 2) 2 \cdot (- 2) = 4 .$

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2025

Sabiendo que $∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑤 𝑣 ∣ = 1,$ calcula razonadamente:

$∣ 𝑎 + 𝑥 𝑏 + 𝑦 𝑐 + 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 2 𝑎 + 𝑢 2 𝑏 + 𝑣 2 𝑐 + 𝑤 ∣ .$
$∣ 𝑧 𝑐 𝑤 𝑥 𝑎 𝑢 𝑦 𝑏 𝑣 ∣ .$

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2025

Considera la matriz $𝐴 = (0 - 1 10) .$

Calcula $𝐴 4$ y $𝐴 31$ .
Halla razonadamente el determinante de la matriz $4 𝐴 25 (𝐴 𝑡) 4$ .

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2025

Sean las matrices $𝐴 = (2234) y 𝐵 = (3122) .$

Halla razonadamente el determinante de una matriz $𝑋$ que verifica $𝑋 3 𝐴 𝑋 2 = 𝐵 2$ .
Determina, si existe, una matriz $𝑌$ que verifique $𝐴 3 𝑌 𝐵 - 1 = 𝐴 2$ .

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2025

Se considera la matriz $𝑀 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ con determinante igual a -5.

Calcula $∣ 𝑎 11 𝑎 31 2 𝑎 21 3 𝑎 12 3 𝑎 32 6 𝑎 22 2 𝑎 13 2 𝑎 33 4 𝑎 23 ∣ .$
Calcula $∣ 2 𝑎 11 - 3 𝑎 31 2 𝑎 12 - 3 𝑎 32 4 𝑎 13 - 6 𝑎 33 𝑎 21 𝑎 22 2 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 2 𝑎 33 ∣ .$

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2024

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑥 𝑦 𝑧 302111 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (1 𝑦 𝑧) y 𝐶 = (300) .$

Sabiendo que el determinante de $𝐴$ es 5, calcula $∣ 𝑥 - 1 𝑦 - 1 𝑧 - 1 111413 ∣,$ indicando las propiedades que utilizas.
Calcula los valores $(𝑥, 𝑦, 𝑧)$ tales que $𝐵 𝐴 = 𝐶 .$

Resolución

Calculamos el determinante. $∣ 𝑥 - 1 𝑦 - 1 𝑧 - 1 111413 ∣ = ∣ 𝑥 𝑦 𝑧 111413 ∣ - ∣ 111111413 ∣ = ∣ 𝑥 𝑦 𝑧 111413 ∣ = ∣ 𝑥 𝑦 𝑧 111302 ∣ = - ∣ 𝑥 𝑦 𝑧 302111 ∣ = - 5 .$
Se tiene que verificar: $𝐵 𝐴 = 𝐶 \Leftrightarrow (1 𝑦 𝑧) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑥 𝑦 𝑧 302111 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = (300) \Leftrightarrow (𝑥 + 3 𝑦 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 2 𝑦 + 2 𝑧) = (300) \Leftrightarrow \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 + 3 𝑦 + 𝑧 = 3, 𝑦 + 𝑧 = 0, 2 𝑦 + 2 𝑧 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 + 3 𝑦 + 𝑧 = 3, 𝑦 + 𝑧 = 0 .$ Si tomamos $𝑧 = 𝜆$ , $𝑦 + 𝑧 = 0 \Leftrightarrow 𝑦 = - 𝑧 𝑧 = 𝜆 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑦 = - 𝜆, 𝑥 + 3 𝑦 + 𝑧 = 3 \Leftrightarrow 𝑥 = 3 - 3 𝑦 - 𝑧 𝑦 = - 𝜆 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑧 = 𝜆 𝑥 = 3 + 2 𝜆 .$ Por tanto, la igualdad se cumple para todos los valores $(𝑥, 𝑦, 𝑧)$ de la forma: $⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 = 3 + 2 𝜆, 𝑦 = - 𝜆, 𝑧 = 𝜆 .$

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2024

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 0 720001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2010101900 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula los determinantes de las matrices $((𝐴 𝐵) 5) - 1$ y $27 𝐴 𝐵 6 .$
Halla la matriz $𝑋$ , si es posible, que verifica que $𝐴 𝑋 𝐵 = 9 𝐼$ , donde $𝐼$ es la matriz identidad de orden 3.

Resolución

En primer lugar, hallamos los determinantes de las matrices $A$ y $B.$ $|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 9, \quad |B| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{9} & 0 & 0 \end{vmatrix} = -\frac{1}{9}.$
- Calculamos el determinante de $((𝐴 𝐵) 5) - 1 .$ $| ((𝐴 𝐵) 5) - 1 | = (| 𝐴 | \cdot | 𝐵 |) - 5 = (9 \cdot (- 19)) - 5 = - 1 .$
- Calculamos el determinante de $27 𝐴 𝐵 6 .$ Como $𝐴$ y $𝐵$ son de orden 3, $| 27 𝐴 𝐵 6 | = 273 \cdot | 𝐴 | \cdot | 𝐵 | 6 = 273 \cdot 9 \cdot (- 19) 6 = 13 .$
Por el apartado anterior, $𝐴$ y $𝐵$ son invertibles. Despejamos la ecuación matricial. $𝐴 𝑋 𝐵 = 9 𝐼 \Leftrightarrow 𝑋 = 9 𝐴 - 1 𝐵 - 1 = 9 (𝐵 𝐴) - 1 .$ En primer lugar, calculamos $𝐵 𝐴 .$ $𝐵 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2010101900 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 0 720001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 2 1 720 19 - 19 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Además, su determinante es: $| 𝐵 𝐴 | = | 𝐵 | \cdot | 𝐴 | = - 19 \cdot 9 = - 1 .$ Para hallar la inversa de $𝐵 𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐵 𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 00 - 1 - 19 - 19 0 - 2 718 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ De esta forma, podemos calcular su inversa como: $(𝐵 𝐴) - 1 = 1 | 𝐵 𝐴 | A d j (𝐵 𝐴) 𝑡 = - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 19 - 2 0 - 19 7 - 1 018 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0192 019 - 7 10 - 18 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = 9 (𝐵 𝐴) - 1 = 9 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0192 019 - 7 10 - 18 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0118 01 - 63 90 - 162 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 6: Julio de 2022

Se sabe que $∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 ∣ = - 2 .$

Calcula: $∣ 𝑎 𝑐 𝑏 2 𝑥 2 𝑧 2 𝑦 - 3 𝑝 - 3 𝑟 - 3 𝑞 ∣ .$
Calcula: $∣ 𝑥 𝑎 - 3 𝑝 - 2 𝑎 𝑦 𝑏 - 3 𝑞 - 2 𝑏 𝑧 𝑐 - 3 𝑟 - 2 𝑐 ∣ .$

Resolución

Calculamos el determinante. $∣ 𝑎 𝑐 𝑏 2 𝑥 2 𝑧 2 𝑦 - 3 𝑝 - 3 𝑟 - 3 𝑞 ∣ = 2 \cdot (- 3) \cdot ∣ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑥 𝑧 𝑦 𝑝 𝑟 𝑞 ∣ = (- 1) \cdot (- 6) \cdot ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑞 𝑟 ∣ = - 6 \cdot ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 ∣ = 12 .$
Calculamos el determinante. $∣ 𝑥 𝑎 - 3 𝑝 - 2 𝑎 𝑦 𝑏 - 3 𝑞 - 2 𝑏 𝑧 𝑐 - 3 𝑟 - 2 𝑐 ∣ = ∣ 𝑥 𝑎 - 2 𝑎 𝑦 𝑏 - 2 𝑏 𝑧 𝑐 - 2 𝑐 ∣ + ∣ 𝑥 - 3 𝑝 - 2 𝑎 𝑦 - 3 𝑞 - 2 𝑏 𝑧 - 3 𝑟 - 2 𝑐 ∣ = ∣ 𝑥 - 3 𝑝 - 2 𝑎 𝑦 - 3 𝑞 - 2 𝑏 𝑧 - 3 𝑟 - 2 𝑐 ∣ = (- 3) \cdot (- 2) \cdot ∣ 𝑥 𝑝 𝑎 𝑦 𝑞 𝑏 𝑧 𝑟 𝑐 ∣ = = - 6 \cdot ∣ 𝑎 𝑝 𝑥 𝑏 𝑞 𝑦 𝑐 𝑟 𝑧 ∣ = - 6 \cdot ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 ∣ = 12 .$

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2021

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 21 𝑏 - 1 1 𝑐 11 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ con determinante igual a 5.

Calcula razonadamente el determinante de $2 𝐴 3 .$
Calcula razonadamente los determinantes $∣ 2 𝑎 - 1 3 2 𝑏 1 / 2 3 2 𝑐 - 1 / 2 3 ∣ y ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 + 4 𝑏 - 2 𝑐 + 2 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 + 1 ∣ .$

Resolución

Calculamos el determinante. Como $𝐴$ es de orden 3, $| 2 𝐴 3 | = 23 | 𝐴 3 | = 8 | 𝐴 | 3 = 8 \cdot 53 = 1000 .$
Calculamos el primer determinante. $∣ 2 𝑎 - 1 3 2 𝑏 1 / 2 3 2 𝑐 - 1 / 2 3 ∣ = 2 \cdot (- 12) \cdot 3 \cdot ∣ 𝑎 21 𝑏 - 1 1 𝑐 11 ∣ = - 15 .$ Calculamos ahora el segundo determinante. $∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 + 4 𝑏 - 2 𝑐 + 2 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 + 1 ∣ = ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 + 1 ∣ + ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 4 - 2 2 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 + 1 ∣ = ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 4 - 2 2 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 + 1 ∣ = = ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 4 - 2 2 𝑎 𝑏 𝑐 ∣ + ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 4 - 2 2 111 ∣ = ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 4 - 2 2 111 ∣ = 2 \cdot ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 2 - 1 1 111 ∣ = 2 \cdot ∣ 𝑎 21 𝑏 - 1 1 𝑐 11 ∣ = 10 .$

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2021

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 123 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ con determinante igual a 2.

Calcula razonadamente $| 13 𝐴 - 1 𝐴 𝑡 | .$
Calcula razonadamente los determinantes $∣ 6 𝑐 2 𝑏 2 𝑎 3 𝑓 𝑒 𝑑 921 ∣ y ∣ 2 𝑎 - 2 𝑏 𝑐 𝑏 2 𝑑 - 2 𝑒 𝑓 𝑒 - 2 32 ∣ .$

Resolución

Calculamos el determinante. Como $𝐴$ es de orden 3, $∣ 13 𝐴 - 1 𝐴 𝑡 ∣ = (13) 3 \cdot | 𝐴 | - 1 \cdot | 𝐴 | = 127 \cdot 12 \cdot 2 = 127 .$
Calculamos el primer determinante. $∣ 6 𝑐 2 𝑏 2 𝑎 3 𝑓 𝑒 𝑑 921 ∣ = 2 \cdot ∣ 3 𝑐 𝑏 𝑎 3 𝑓 𝑒 𝑑 921 ∣ = 3 \cdot 2 \cdot ∣ 𝑐 𝑏 𝑎 𝑓 𝑒 𝑑 321 ∣ = - 6 \cdot ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 123 ∣ = - 12 .$ Calculamos ahora el segundo determinante. $∣ 2 𝑎 - 2 𝑏 𝑐 𝑏 2 𝑑 - 2 𝑒 𝑓 𝑒 - 2 32 ∣ = 2 \cdot ∣ 𝑎 - 𝑏 𝑐 𝑏 𝑑 - 𝑒 𝑓 𝑒 - 1 32 ∣ = 2 \cdot ∣ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑓 𝑒 132 ∣ + 2 \cdot ∣ - 𝑏 𝑐 𝑏 - 𝑒 𝑓 𝑒 - 2 32 ∣ = 2 \cdot ∣ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑓 𝑒 132 ∣ = - 2 \cdot ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 123 ∣ = - 4 .$

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2020

Considera la matriz $𝐴 = (- 12 - \sqrt 3 2 \sqrt 3 2 - 12) .$

Calcula $𝐴 37$ y $𝐴 41 .$
Halla el determinante de la matriz $3 𝐴 52 (𝐴 𝑡) 4 .$

Resolución

Calculamos las primeras potencias de $𝐴 .$ $𝐴 2 = (- 12 \sqrt 3 2 - \sqrt 3 2 - 12) y 𝐴 3 = (1001) .$ Como $𝐴 3 = 𝐼$ , entonces $𝐴 4 = 𝐴 3 \cdot 𝐴 = 𝐴, 𝐴 5 = 𝐴 3 \cdot 𝐴 2 = 𝐴 2, 𝐴 6 = 𝐴 3 \cdot 𝐴 3 = 𝐼, \dots$ La división $37 / 3$ tiene resto 1 y $41 / 3$ tiene resto 2. Por tanto, $𝐴 37 = 𝐴 = (- 12 - \sqrt 3 2 \sqrt 3 2 - 12) y 𝐴 41 = 𝐴 2 = (- 12 \sqrt 3 2 - \sqrt 3 2 - 12) .$
Calculamos el determinante. Como la matriz $𝐴$ es de orden 2 y $d e t (𝐴) = 1$ , $| 3 𝐴 52 (𝐴 𝑡) 4 | = 32 | 𝐴 | 52 | 𝐴 | 4 = 9 .$

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2020

Considera las matrices $𝐴 = (1112) y 𝐵 = (2120) .$

Sabiendo que una matriz $𝑋$ verifica que $𝑋 3 𝐴 𝑋 = 𝐵 2$ , halla los posibles valores de su determinante.
Determina, si existe, una matriz $𝑌$ que verifique $𝐴 2 𝑌 𝐵 - 1 = 𝐴 .$

Ejercicio A3: Junio de 2019

Calcula todas las matrices $𝑋 = (𝑎 𝑏 𝑐 𝑑)$ tales que $𝑎 + 𝑑 = 1$ , tienen determinante 1 y cumplen $𝐴 𝑋 = 𝑋 𝐴$ , siendo $𝐴 = (0 - 1 10) .$

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $𝑋 .$ $| 𝑋 | = ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ∣ = 𝑎 𝑑 - 𝑏 𝑐 .$ Como su determinante es 1, entonces $𝑎 𝑑 - 𝑏 𝑐 = 1 .$ Por otro lado, como $𝐴 𝑋 = 𝑋 𝐴$ , $(0 - 1 10) (𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) = (𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) (0 - 1 10) \Leftrightarrow (- 𝑐 - 𝑑 𝑎 𝑏) = (𝑏 - 𝑎 𝑑 - 𝑐) \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ - 𝑐 = 𝑏, - 𝑑 = - 𝑎, 𝑑 = 𝑎, 𝑏 = - 𝑐 \Leftrightarrow {𝑎 = 𝑑, 𝑐 = - 𝑏 .$

Podemos montar el sistema de ecuaciones $⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑎 + 𝑑 = 1, 𝑎 𝑑 - 𝑏 𝑐 = 1, 𝑎 = 𝑑, 𝑐 = - 𝑏 .$ Sustituyendo, $𝑎 + 𝑑 = 1 𝑑 = 𝑎 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 2 𝑎 = 1 \Leftrightarrow 𝑎 = 12 \Rightarrow 𝑑 = 12, 𝑎 𝑑 - 𝑏 𝑐 = 1 𝑐 = - 𝑏 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑎 = 𝑑 = 1 / 2 14 + 𝑏 2 = 1 \Leftrightarrow 𝑏 2 = 34 \Leftrightarrow 𝑏 = \pm \sqrt 3 2 \Rightarrow 𝑐 = \mp \sqrt 3 2 .$ Por tanto, las matrices que cumplen estas condiciones son $𝑋 1 = (12 \sqrt 3 2 - \sqrt 3 2 12) y 𝑋 2 = (12 - \sqrt 3 2 \sqrt 3 2 12) .$

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2019

Considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ de la que se sabe que tiene determinante 5.

Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes: $3 𝐴 y ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 𝑎 𝑑 + 3 𝑎 𝑔 2 𝑏 𝑒 + 3 𝑏 ℎ 2 𝑐 𝑓 + 3 𝑐 𝑖 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Si $𝐵$ es otra matriz cuadrada de orden 3 y tiene determinante 4, calcula, indicando también las propiedades que utilices, el determinante de la matriz $𝐵 𝐴 - 1 .$

Resolución

- Calculamos el determinante. Como $𝐴$ es de orden 3, $| 3 𝐴 | = 33 \cdot | 𝐴 | = 27 \cdot 5 = 135 .$
- Calculamos el determinante. $∣ 2 𝑎 𝑑 + 3 𝑎 𝑔 2 𝑏 𝑒 + 3 𝑏 ℎ 2 𝑐 𝑓 + 3 𝑐 𝑖 ∣ = ∣ 2 𝑎 𝑑 𝑔 2 𝑏 𝑒 ℎ 2 𝑐 𝑓 𝑖 ∣ + ∣ 2 𝑎 3 𝑎 𝑔 2 𝑏 3 𝑏 ℎ 2 𝑐 3 𝑐 𝑖 ∣ = ∣ 2 𝑎 𝑑 𝑔 2 𝑏 𝑒 ℎ 2 𝑐 𝑓 𝑖 ∣ = 2 ∣ 𝑎 𝑑 𝑔 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 ∣ = 2 ∣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ∣ = 2 \cdot 5 = 10 .$
Calculamos el determinante. $| 𝐵 𝐴 - 1 | = | 𝐵 | \cdot | 𝐴 | - 1 = 4 \cdot 15 = 45 .$

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2018

Considera la matriz $𝑀 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 123603 𝑥 𝑦 𝑧 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Sabiendo que el determinante de $𝑀$ es 2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices.

El determinante de la matriz $5 𝑀 4 .$
El determinante $∣ 201123 𝑥 𝑦 𝑧 ∣ .$
El determinante $∣ 1 𝑥 + 6 𝑥 2 𝑦 𝑦 3 𝑧 + 3 𝑧 ∣ .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2017

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 00 110 42 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 212 0 - 1 5 002 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcula la matriz inversa de $𝐴 + 𝐵 .$
Calcula el determinante de $2 𝐴 - 1 (𝐴 + 𝐵) 𝑡 .$

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2017

Sea $𝐴$ una matriz $3 \times 3$ tal que $d e t (2 𝐴) = 8 .$

¿Cuánto vale $d e t (𝐴)$ ?
Siendo $𝐵$ la matriz que se obtiene de $𝐴$ multiplicando por 3 la primera fila y por -1 la tercera, ¿cuánto vale $d e t (𝐵)$ ?
Determina los valores de $𝑥$ para los que la siguiente matriz $𝐴$ verifica que $d e t (2 𝐴) = 8$ : $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑥 11 𝑥 + 1 22 𝑥 - 𝑥 + 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio B3: Septiembre de 2017

Considera $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑘 0 𝑘 𝑘 + 1 𝑘 0 0 𝑘 + 1 𝑘 + 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Discute el rango de $𝐴$ según los valores de $𝑘 .$
Para $𝑘 = 1$ , calcula el determinante de $2 (𝐴 𝑡 𝐴 - 1) 2017 .$

Ejercicio B3: Junio de 2015

Considera las matrices $𝐴 = (- 1 2 2 𝑚) y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 120 - 2 𝑚 0 32 𝑚 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Encuentra el valor, o los valores, de $𝑚$ para los que $𝐴$ y $𝐵$ tienen el mismo rango.
Determina, si existen, los valores de $𝑚$ para los que $𝐴$ y $𝐵$ tienen el mismo determinante.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2015

Considera las matrices $𝐴 = (1211) y 𝐵 = (4 - 1 41) .$

Halla el determinante de una matriz $𝑋$ que verifique la igualdad $𝑋 2 𝐴 𝑋 = 𝐵 .$
Determina, si existe, la matriz $𝑌$ que verifica la igualdad $𝐴 2 𝑌 𝐵 - 1 = 𝐴 .$

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2015

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111123149 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 11 1 - 1 1 11 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Halla la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 𝑋 - 𝐵 = 𝐼$ ( $𝐼$ denota la matriz identidad de orden 3).
Calcula el determinante de la matriz $(𝐴 2 𝐵 - 1) 2015 .$

Ejercicio A3: Septiembre de 2015

Considera las siguientes matrices: $𝐴 = (- 1 2 2 - 1), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 - 2 10 321 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (100 - 1 50) .$

Determina la matriz $𝑋$ para la que $𝐴 𝑡 𝑋 𝐵 - 1 = 𝐶 .$
Calcula el determinante de $𝐵 - 1 (𝐶 𝑡 𝐶) 𝐵 .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2014

Se sabe que el determinante de la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ es -3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes.

$d e t (- 2 𝐴)$ y $d e t (𝐴 - 1) .$
$∣ 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 7 𝑎 11 7 𝑎 12 7 𝑎 13 2 𝑎 31 2 𝑎 32 2 𝑎 33 ∣ y ∣ 𝑎 11 𝑎 21 + 2 𝑎 31 5 𝑎 31 𝑎 12 𝑎 22 + 2 𝑎 32 5 𝑎 32 𝑎 13 𝑎 23 + 2 𝑎 33 5 𝑎 33 ∣ .$

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2014

Sabiendo que el determinante de la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑑 𝑒 𝑐 𝑒 𝑓 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ es 3, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices.

$d e t (𝐴 3)$ , $d e t (𝐴 - 1)$ y $d e t (𝐴 + 𝐴 𝑡) .$
$d e t ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑒 𝑓 2 𝑏 2 𝑑 2 𝑒 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
$d e t ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 𝑏 4 𝑎 - 𝑐 𝑏 𝑑 4 𝑏 - 𝑒 𝑐 𝑒 4 𝑐 - 𝑓 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio B3: Septiembre de 2014

Sabiendo que el determinante de la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑥 𝑦 𝑧 101123 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ es 2, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices.

$d e t (3 𝐴) .$
$d e t (𝐴 - 1) .$
$∣ 301 3 𝑥 2 𝑦 𝑧 343 ∣ .$
$∣ 123 𝑥 + 2 𝑦 + 4 𝑧 + 6 - 1 0 - 1 ∣ .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2013

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 10 200101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (021120) y 𝐶 = (12 - 1 6) .$

Halla $𝐴 - 1 .$
Calcula la matriz $𝑋$ que satisface $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡 𝐶 .$
Halla el determinante de $𝐴 2013 𝐵 𝑡 𝐵 (𝐴 - 1) 2013 .$

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2013

Sabiendo que el determinante de una matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑝 𝑞 𝑟 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas.

$d e t (- 2 𝐴)$ y $d e t (𝐴 - 1) .$
$∣ 𝑎 - 𝑏 𝑐 2 𝑑 - 2 𝑒 2 𝑓 𝑝 - 𝑞 𝑟 ∣ y ∣ - 3 𝑑 - 3 𝑒 - 3 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 - 𝑝 - 𝑞 - 𝑟 ∣ .$

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2013

Sea $𝑀$ una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es $d e t (𝑀) = 2 .$ Calcula:

El rango de $𝑀 3 .$
El determinante de $2 𝑀 𝑡 .$
El determinante de $(𝑀 - 1) 2 .$
El determinante de $𝑁$ , donde $𝑁$ es la matriz resultante de intercambiar la primera y la segunda filas de $𝑀 .$

Ejercicio A3: Septiembre de 2013

Considera las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101110002 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 11 1 - 1 1 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Halla, si es posible, $𝐴 - 1$ y $𝐵 - 1 .$
Halla el determinante de $𝐴 𝐵 2013 𝐴 𝑡 .$
Calcula la matriz $𝑋$ que satisface $𝐴 𝑋 - 𝐵 = 𝐴 𝐵 .$

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2011

Sean $𝐴$ y $𝐵$ dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son $| 𝐴 | = 12$ y $| 𝐵 | = - 2$ . Halla:

$| 𝐴 3 |$ .
$| 𝐴 - 1 |$ .
$| - 2 𝐴 |$ .
$| 𝐴 𝐵 𝑡 |$ .
El rango de $𝐵$ .