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📋 Reserva 1 de 2021

Ejercicio 1

Calcula 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 sabiendo que la gráfica de la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑 tiene un punto de inflexión en (0,4) y su recta normal en el punto (1,8) es paralela al eje de ordenadas.

Resolución

En primer lugar, hallamos la primera y la segunda derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐,𝑓″(𝑥)=6𝑎𝑥+2𝑏.

  • Si la función tiene un punto de inflexión en 𝑥 =0, entonces 𝑓″(0) =0. 𝑓″(0)=0⇔𝑏=0. Por otro lado, si (0,4) es un punto de la función, 𝑓(0) =4. 𝑓(0)=4⇔𝑑=4.
  • Si la recta normal a la gráfica de la función en 𝑥 =1 es paralela al eje de ordenadas, entonces la recta tangente en 𝑥 =1 tiene pendiente 0, así que 𝑓′(1) =0. 𝑓′(1)=0⇔3𝑎+𝑐=0. Por otro lado, si (1,8) es un punto de la función, 𝑓(1) =8. 𝑓(1)=8⇔𝑎+𝑐+4=8⇔𝑎+𝑐=4.

Con estas dos condiciones, podemos montar un sistema de ecuaciones. {3𝑎+𝑐=0,𝑎+𝑐=4. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝑎=−4⇔𝑎=−2. Despejando y sustituyendo en la segunda ecuación, 𝑎+𝑐=4⇔𝑐=4−𝑎𝑎=−2←←←←←←←←←→𝑐=6.

Por tanto, 𝑎 = −2, 𝑏 =0, 𝑐 =6 y 𝑑 =4.

Ejercicio 2

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3 (para 𝑥 ≠ −3, 𝑥 ≠1).

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

Resolución
  1. Estudiamos las asíntotas.
    • El denominador se anula en 𝑥 = −3 y 𝑥 =1. Observamos que lím𝑥→−3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3−⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=−10+=−∞,lím𝑥→−3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3+⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=−10−=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −3 es una asíntota vertical. De igual forma, observamos que lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=−90−=+∞,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=−90+=−∞. Por tanto, la recta 𝑥 =1 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑥2−10𝑥2+2𝑥−3=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal y 𝑓 no tiene ninguna asíntota oblicua.
  2. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥(𝑥2+2𝑥−3)−(𝑥2−10)(2𝑥+2)(𝑥2+2𝑥−3)2=2𝑥3+4𝑥2−6𝑥−2𝑥3−2𝑥2+20𝑥+20(𝑥2+2𝑥−3)2=2𝑥2+14𝑥+20(𝑥2+2𝑥−3)2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥2+14𝑥+20(𝑥2+2𝑥−3)2=0⇔2𝑥2+14𝑥+20=0⇔𝑥2+7𝑥+10=0⇔{𝑥=−5,𝑥=−2. Así que los puntos críticos son 𝑥 = −5 y 𝑥 = −2. También consideramos 𝑥 = −3 y 𝑥 =1 por no pertenecer al dominio. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞, −5) ( −5, −3) ( −3, −2) ( −2,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + − − + +
    monotonía de 𝑓 → → → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞, −5) ∪( −2,1) ∪(1, +∞) y decreciente en ( −5, −3) ∪( −3, −2).

Ejercicio 3

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥.

  1. Calcula 𝑎 para que la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto (𝑎,𝑓(𝑎)) pase por el origen de coordenadas.
  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta tangente a la misma en el punto (1,𝑓(1)) y el eje de ordenadas.

Resolución
  1. En primer lugar, sabemos que la derivada de la función 𝑓 es 𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝑎 es 𝑦−𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(𝑥−𝑎)⇔𝑦−𝑒𝑎=𝑒𝑎(𝑥−𝑎)⇔𝑦=𝑒𝑎𝑥+𝑒𝑎−𝑎𝑒𝑎. Si la recta tangente pasa por el origen de coordenadas, su ordenada en el origen debe ser 0. Así que 𝑒𝑎−𝑎𝑒𝑎=0⇔𝑒𝑎(1−𝑎)=0⇔𝑎=1. Podemos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 para comprobar que, efectivamente, pasa por el origen. 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1)⇔𝑦−𝑒=𝑒(𝑥−1)⇔𝑦=𝑒𝑥.
  2. Sabemos por el apartado anterior que la función y la recta se cortan en 𝑥 =1. Podemos representar el recinto la función, la recta tangente y el eje de ordenadas. Figura Calculamos el área. ∫10(𝑒𝑥−𝑒𝑥)𝑑𝑥=[𝑒𝑥−𝑒2𝑥2]10=𝑒−𝑒2−1=𝑒2−1𝑢2.

Ejercicio 4

Calcula ∫31|𝑥2−3𝑥+2|𝑑𝑥.

Resolución

En primer lugar, expresamos 𝑓(𝑥) =|𝑥2 −3𝑥 +2| como una función a trozos. Observamos que 𝑥2−3𝑥+2=0⇔{𝑥=1,𝑥=2. Por tanto, 𝑓(𝑥)=|𝑥2−3𝑥+2|=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−3𝑥+2,si 𝑥≤1,−𝑥2+3𝑥−2,si 1<𝑥<2,𝑥2−3𝑥+2,si 𝑥≥2.

Calculamos la integral. ∫31|𝑥2−3𝑥+2|𝑑𝑥=∫21(−𝑥2+3𝑥−2)𝑑𝑥+∫32(𝑥2−3𝑥+2)𝑑𝑥==[−13𝑥3+32𝑥2−2𝑥]21+[13𝑥3−32𝑥2+2𝑥]32==−83+6−4−(−13+32−2)+9−272+6−(83−6+4)=1.

Ejercicio 5

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎21𝑏−11𝑐11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, con determinante igual a 5.

  1. Calcula razonadamente el determinante de 2𝐴3.
  2. Calcula razonadamente los determinantes ∣2𝑎−132𝑏1/232𝑐−1/23∣y∣𝑎𝑏𝑐𝑎+4𝑏−2𝑐+2𝑎+1𝑏+1𝑐+1∣.

Resolución
  1. Calculamos el determinante. Como 𝐴 es de orden 3, |2𝐴3|=23|𝐴3|=8|𝐴|3=8⋅53=1000.
  2. Calculamos el primer determinante. ∣2𝑎−132𝑏1/232𝑐−1/23∣=2⋅(−12)⋅3⋅∣𝑎21𝑏−11𝑐11∣=−15. Calculamos ahora el segundo determinante. ∣𝑎𝑏𝑐𝑎+4𝑏−2𝑐+2𝑎+1𝑏+1𝑐+1∣=∣𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐𝑎+1𝑏+1𝑐+1∣+∣𝑎𝑏𝑐4−22𝑎+1𝑏+1𝑐+1∣=∣𝑎𝑏𝑐4−22𝑎+1𝑏+1𝑐+1∣==∣𝑎𝑏𝑐4−22𝑎𝑏𝑐∣+∣𝑎𝑏𝑐4−22111∣=∣𝑎𝑏𝑐4−22111∣=2⋅∣𝑎𝑏𝑐2−11111∣=2⋅∣𝑎21𝑏−11𝑐11∣=10.

Ejercicio 6

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑚𝑦+𝑚𝑧=1,𝑥+2𝑚𝑦+(𝑚+1)𝑧=1,2𝑥+𝑚𝑦+𝑚𝑧=2.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝑚 =1.

Resolución
  1. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝑚𝑚12𝑚𝑚+12𝑚𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣1𝑚𝑚12𝑚𝑚+12𝑚𝑚∣=2𝑚2+2𝑚(𝑚+1)+𝑚2−4𝑚2−𝑚(𝑚+1)−𝑚2=−𝑚2+𝑚. Observamos que |𝐴|=0⇔−𝑚2+𝑚=0⇔𝑚(−𝑚+1)=0⇔{𝑚=0,−𝑚+1=0⇔𝑚=1. Es decir, rang⁡(𝐴) =3 si y solo si 𝑚 ≠0 y 𝑚 ≠1. En otro caso, rang⁡(𝐴) ≤2.
    • Si 𝑚 ≠0 y 𝑚 ≠1, el rango de la matriz de coeficientes es máximo. Por tanto, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 =0, la matriz de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100101200⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Podemos ver que ∣1120∣=−2≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝100110112002⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣101111202∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =1, la matriz de coeficientes es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111122211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Podemos ver que ∣1121∣=−1≠0⇒rang⁡(𝐴)=2. La matriz de coeficientes ampliada es 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111112212112⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣111121212∣=0⇒rang⁡(𝐴∗)=2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) <3, el sistema es compatible indeterminado.
  2. Si 𝑚 =1, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a {𝑥+𝑦+𝑧=1,2𝑥+𝑦+𝑧=1. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos ambas ecuaciones, obtenemos que −𝑥=−1⇔𝑥=1. Si tomamos 𝑦 =𝜆, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=1⇔𝑧=1−𝑥−𝑦𝑥=1←←←←←←←→𝑦=𝜆𝑧=−𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1,𝑦=𝜆,𝑧=−𝜆.

Ejercicio 7

Considera el punto 𝑃(1,2,6) y el plano 𝜋 ≡2𝑥 −𝑦 +𝑧 =0.

  1. Halla las ecuaciones de los planos paralelos a 𝜋 cuya distancia a este sea √6 unidades.
  2. Halla el simétrico del punto 𝑃 respecto al plano 𝜋.

Resolución
  1. Llamamos 𝜏 al plano que queremos hallar. Como 𝜏 es un plano paralelo a 𝜋, tiene el mismo vector normal. Luego su ecuación será de la forma 𝜏≡2𝑥−𝑦+𝑧+𝑑=0. El punto 𝐴(0,0,0) pertenece al plano 𝜋, así que la distancia entre 𝜋 y 𝜏 viene dada por dist⁡(𝜋,𝜏)=dist⁡(𝐴,𝜏)=|𝑑||⃗𝑛|=|𝑑|√6. Como queremos que la distancia sea de √6 unidades, dist⁡(𝜋,𝜏)=√6⇔|𝑑|√6=√6⇔|𝑑|=6⇔𝑑=±6. Por tanto, las ecuaciones de los planos son 𝜏1≡2𝑥−𝑦+𝑧+6=0y𝜏2≡2𝑥−𝑦+𝑧−6=0.
  2. Para hallar el punto simétrico 𝑃′ de 𝑃 con respecto a 𝜋, trazamos una recta 𝑟 perpendicular al plano que pase por el punto 𝑃. Al ser perpendicular a 𝜋, su vector director es ⃗𝑑 =⃗𝑛 =(2, −1,1). Así que las ecuaciones de la recta 𝑟 son ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+2𝜆,𝑦=2−𝜆,𝑧=6+𝜆. A continuación, hallamos el punto de intersección 𝑄 de la recta 𝑟 y el plano. Para ello sustituimos las ecuaciones paramétricas de 𝑟 en la ecuación del plano. 2(1+2𝜆)−(2−𝜆)+6+𝜆=0⇔2+4𝜆−2+𝜆+6+𝜆=0⇔6𝜆+6=0⇔𝜆=−1. Por tanto, el punto de intersección es 𝑄( −1,3,5). Como 𝑄 es el punto medio de 𝑃 y 𝑃′, podemos hallar 𝑃′ como el simétrico de 𝑃 con respecto a 𝑄. Si llamamos 𝑃′(𝑎,𝑏,𝑐), tiene que verificarse: ⎧{ {⎨{ {⎩1+𝑎2=−1⇔𝑎=−3,2+𝑏2=3⇔𝑏=4,6+𝑐2=5⇔𝑐=4. Por tanto, el punto simétrico de 𝑃 con respecto al plano 𝜋 es 𝑃′( −3,4,4).

Ejercicio 8

Considera los puntos 𝐵( −1,0, −1), 𝐶(0,1, −3) y la recta 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜆,𝑦=1+2𝜆,𝑧=−1+𝜆.

  1. Calcula un punto que esté en 𝑟 y equidiste de 𝐵 y 𝐶.
  2. Siendo 𝐷(1, −1, −2), calcula el área del triángulo con vértices en los puntos 𝐵, 𝐶 y 𝐷.

Resolución
  1. Las distancias entre un punto genérico 𝑅( −𝜆,1 +2𝜆, −1 +𝜆) de la recta 𝑟 y cada uno de los puntos vienen dadas por dist⁡(𝑅,𝐵)=√(−𝜆+1)2+(1+2𝜆)2+𝜆2=√𝜆2−2𝜆+1+4𝜆2+4𝜆+1+𝜆2=√6𝜆2+2𝜆+2,dist⁡(𝑅,𝐶)=√(−𝜆)2+(2𝜆)2+(𝜆+2)2=√𝜆2+4𝜆2+𝜆2+4𝜆+4=√6𝜆2+4𝜆+4. Como queremos hallar los puntos de 𝑅 que equidisten de 𝐵 y 𝐶, dist⁡(𝑅,𝐵)=dist⁡(𝑅,𝐶)⇔√6𝜆2+2𝜆+2=√6𝜆2+4𝜆+4⇔6𝜆2+2𝜆+2=6𝜆2+4𝜆+4⇔𝜆=−1. Por tanto, el punto es (1, −1, −2).
  2. Para hallar el área del triángulo 𝐵𝐶𝐷, calculamos en primer lugar los vectores ⃗𝐵𝐶 =(1,1, −2) y ⃗𝐵𝐷 =(2, −1, −1). Su producto vectorial es ⃗𝐵𝐶×⃗𝐵𝐷=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧11−22−1−1∣=(−3,−3,−3). Por último, calculamos el área como 12|⃗𝐵𝐶×⃗𝐵𝐷|=12√32+32+32=√272=3√32𝑢2.