Matemáticas de Selectividad

1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥𝑒𝑥+(𝑥2+1)𝑒𝑥=(𝑥2+2𝑥+1)𝑒𝑥=(𝑥+1)2𝑒𝑥. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔(𝑥+1)2𝑒𝑥=0⇔(𝑥+1)2=0⇔𝑥+1=0⇔𝑥=−1. Observamos que 𝑓′(𝑥) >0 para valor de 𝑥, así que 𝑓 es creciente en ℝ.
2. En primer lugar, hallamos la segunda derivada de la función 𝑓. 𝑓″(𝑥)=2(𝑥+1)𝑒𝑥+(𝑥+1)2𝑒𝑥=(2𝑥+2)𝑒𝑥+(𝑥2+2𝑥+1)𝑒𝑥=(𝑥2+4𝑥+3)𝑒𝑥. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada de 𝑓 a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔(𝑥2+4𝑥+3)𝑒𝑥=0⇔𝑥2+4𝑥+3=0⇔{𝑥=−3,𝑥=−1. Estudiamos el signo de la segunda derivada.

   	( −∞, −3)	( −3, −1)	( −1, +∞)
   signo de 𝑓″	+	−	+
   curvatura de 𝑓	⌣	⌢	⌣

   Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −∞, −3) ∪( −1, +∞) y cóncava en ( −3, −1). Además, ( −3,10𝑒−3) y ( −1,2𝑒−1) son los puntos de inflexión.

1. En primer lugar, calculamos la primera y la segunda derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=11+(𝑥+𝜋)2y𝑓″(𝑥)=−2(𝑥+𝜋)(1+(𝑥+𝜋)2)2. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔−2(𝑥+𝜋)(1+(𝑥+𝜋)2)2=0⇔𝑥+𝜋=0⇔𝑥=−𝜋. Estudiamos el signo de la segunda derivada.

   	( −∞, −𝜋)	( −𝜋, +∞)
   signo de 𝑓″	+	−
   curvatura de 𝑓	⌣	⌢

   Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −∞, −𝜋) y es cóncava en ( −𝜋, +∞). Además, ( −𝜋,0) es el único punto de inflexión.
2. Calculamos el límite. lím𝑥→−𝜋⁡arctg⁡(𝑥+𝜋)sen⁡(𝑥)=00. Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital. lím𝑥→−𝜋⁡arctg⁡(𝑥+𝜋)sen⁡(𝑥)L’H=lím𝑥→−𝜋⁡11+(𝑥+𝜋)2cos⁡(𝑥)=1−1=−1.

1. Calculamos en primer lugar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( −2,𝑓( −2)) =( −2,1) y (2,𝑓(2)) =(2,9). 𝑚=9−12−(−2)=2. Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en un punto 𝑎 viene dada por el valor de 𝑓′(𝑎). La derivada de 𝑓 es 𝑓′(𝑥) =3𝑥2 −2. Hallemos los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es 2. 𝑓′(𝑥)=2⇔3𝑥2−2=2⇔3𝑥2=4⇔𝑥=±√43=±2√3. Por tanto, las abscisas de los puntos en los que las pendientes coinciden son 𝑥1 = −2√3 y 𝑥2 =2√3.
2. Calculamos en primer lugar la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑥)=6𝑥. Para hallar el punto de inflexión, igualamos la segunda derivada de 𝑓 a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔6𝑥=0⇔𝑥=0. Así que en 𝑥 =0 se encuentra el único punto de inflexión. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 es 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦−5=−2𝑥⇔𝑦=−2𝑥+5. La recta normal a la gráfica de 𝑓 tiene como pendiente −1𝑓′(0). Por tanto, su ecuación es 𝑦−𝑓(0)=−1𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦−5=12𝑥⇔𝑦=12𝑥+5.

1. En primer lugar, expresamos la función 𝑓 como función a trozos. 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−1𝑥2,si 𝑥<0,1𝑥2,si 𝑥>0. Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥3,si 𝑥<0,−2𝑥3,si 𝑥>0y𝑓″(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−6𝑥4,si 𝑥<0,6𝑥4,si 𝑥>0. Observamos que 𝑓 no tiene puntos de inflexión, porque 𝑓″(𝑥) ≠0 para 𝑥 ≠0. Estudiamos el signo de la segunda derivada, considerando 𝑥 =0 por ser el punto de ruptura.

   	( −∞,0)	(0, +∞)
   signo de 𝑓″	−	+
   curvatura de 𝑓	⌢	⌣

   Por tanto, 𝑓 es convexa en (0, +∞) y es cóncava en ( −∞,0).
2. Estudiamos las asíntotas.
   • El denominador se anula en 𝑥 =0. Observamos que lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−−1𝑥2=−∞,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡1𝑥2=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 =0 es una asíntota vertical.
   • Veamos si tiene alguna asíntota horizontal. lím𝑥→−∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−∞−1𝑥2=0,lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡1𝑥2=0. Por tanto, la recta 𝑦 =0 es una asíntota horizontal y 𝑓 no tiene ninguna asíntota oblicua.
   Representamos gráficamente la función usando la información obtenida.

1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥𝑥2+1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥𝑥2+1=0⇔2𝑥=0⇔𝑥=0. Estudiamos el signo de la derivada.

   	( −∞,0)	(0, +∞)
   signo de 𝑓′	−	+
   monotonía de 𝑓	→	→

   Por tanto, 𝑓 es creciente en (0, +∞) y es decreciente en ( −∞,0).
2. En primer lugar, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑥)=2(𝑥2+1)−2𝑥⋅2𝑥(𝑥2+1)2=−2𝑥2+2(𝑥2+1)2. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔−2𝑥2+2(𝑥2+1)2=0⇔−2𝑥2+2=0⇔𝑥2=1⇔𝑥=±1. Estudiemos el signo de la segunda derivada.

   	( −∞, −1)	( −1,1)	(1, +∞)
   signo de 𝑓″	−	+	−
   curvatura de 𝑓	⌢	⌣	⌢

   Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −1,1) y es cóncava en ( −∞, −1) ∪(1, +∞). Además, tiene puntos de inflexión en 𝑥 = −1 y 𝑥 =1, es decir, los puntos ( −1,ln⁡(2)) y (1,ln⁡(2)).

En primer lugar, hallamos la primera y la segunda derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐,𝑓″(𝑥)=6𝑎𝑥+2𝑏.

• Si la función tiene un punto de inflexión en 𝑥 =0, entonces 𝑓″(0) =0. 𝑓″(0)=0⇔𝑏=0. Por otro lado, si (0,4) es un punto de la función, 𝑓(0) =4. 𝑓(0)=4⇔𝑑=4.
• Si la recta normal a la gráfica de la función en 𝑥 =1 es paralela al eje de ordenadas, entonces la recta tangente en 𝑥 =1 tiene pendiente 0, así que 𝑓′(1) =0. 𝑓′(1)=0⇔3𝑎+𝑐=0. Por otro lado, si (1,8) es un punto de la función, 𝑓(1) =8. 𝑓(1)=8⇔𝑎+𝑐+4=8⇔𝑎+𝑐=4.

Con estas dos condiciones, podemos montar un sistema de ecuaciones. {3𝑎+𝑐=0,𝑎+𝑐=4. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝑎=−4⇔𝑎=−2. Despejando y sustituyendo en la segunda ecuación, 𝑎+𝑐=4⇔𝑐=4−𝑎𝑎=−2←←←←←←←→𝑐=6.

Por tanto, 𝑎 = −2, 𝑏 =0, 𝑐 =6 y 𝑑 =4.

La función 𝑔(𝑥) =𝑥𝑒𝑥 es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐺(𝑥)=∫𝑥0𝑔(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡 es derivable, con 𝐺′(𝑥) =𝑔(𝑥). De esta forma, podemos escribir 𝑓(𝑥)=1+∫𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1+𝐺(𝑥).

Para estudiar la curvatura de la función 𝑓 tenemos que hallar su segunda derivada. 𝑓′(𝑥)=𝐺′(𝑥)=𝑔(𝑥)=𝑥𝑒𝑥,𝑓″(𝑥)=𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥=𝑒𝑥(𝑥+1). Hallamos los candidatos a puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔𝑒𝑥(𝑥+1)=0⇔𝑥+1=0⇔𝑥=−1. Así que el único candidato a punto de inflexión tiene abscisa 𝑥 = −1.

Estudiamos el signo de la segunda derivada para determinar si 𝑓 es cóncava o convexa.

Por tanto, 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 = −1. Su imagen viene dada por 𝑓(−1)=1+∫−10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1+∫−10𝑔(𝑡)𝑑𝑡.

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función 𝑔. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑡⇒𝑢′=1,𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Entonces: ∫𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=𝑡𝑒𝑡−∫𝑒𝑡𝑑𝑡=𝑡𝑒𝑡−𝑒𝑡=𝑒𝑡(𝑡−1). Calculamos la integral definida. ∫−10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=[𝑒𝑡(𝑡−1)]−10=−2𝑒−1+1. Por tanto, 𝑓(−1)=1+∫−10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1−2𝑒−1+1=2−2𝑒. Así que el punto de inflexión es (−1,2−2𝑒).

En primer lugar, calculamos la primera y la segunda derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥2−5𝑥+6)+𝑒𝑥(2𝑥−5)=𝑒𝑥(𝑥2−3𝑥+1),𝑓″(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥2−3𝑥+1)+𝑒𝑥(2𝑥−3)=𝑒𝑥(𝑥2−𝑥−2).

Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔𝑒𝑥(𝑥2−𝑥−2)=0⇔𝑥2−𝑥−2=0⇔{𝑥=−1,𝑥=2. Estudiamos el signo de la segunda derivada.

Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −∞, −1) ∪(2, +∞) y cóncava en ( −1,2). Además, (−1,12𝑒) y (2,0) son puntos de inflexión.

1. En primer lugar, calculamos la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥+(𝑥−𝑎)𝑒𝑥=(𝑥−𝑎+1)𝑒𝑥. Como 𝑓 tiene un punto crítico en 𝑥 =0, entonces 𝑓′(0) =0. 𝑓′(0)=0⇔−𝑎+1=0⇔𝑎=1.
2. Si 𝑎 =1, entonces 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)𝑒𝑥 y 𝑓′(𝑥) =𝑥𝑒𝑥. Calculamos su segunda derivada. 𝑓″(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥=(𝑥+1)𝑒𝑥. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión igualamos la segunda derivada de 𝑓 a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔(𝑥+1)𝑒𝑥=0⇔𝑥+1=0⇔𝑥=−1. Estudiemos el signo de la segunda derivada.

   	( −∞, −1)	( −1, +∞)
   signo de 𝑓″	−	+
   curvatura de 𝑓	⌢	⌣

   Como en 𝑥 = −1 se produce un cambio de curvatura, (−1,−2𝑒) es el punto de inflexión de 𝑓.

En primer lugar, calculamos la primera y la segunda derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=6𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏,𝑓″(𝑥)=12𝑥+2𝑎.

Como 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 =1, 𝑓″(1)=0⇔12+2𝑎=0⇔𝑎=−6.

La pendiente de la recta tangente en 𝑥 =1 es -6, así que 𝑓′(1)=−6⇔6+2𝑎+𝑏=−6𝑎=−6←←←←←←←→6−12+𝑏=−6⇔𝑏=0. Como además la ecuación de la recta es 𝑦 = −6𝑥 +6, si 𝑥 =1 entonces 𝑦=−6⋅1+6=0. Así que el punto de tangencia es (1,0). Por tanto, 𝑓(1)=0⇔2+𝑎+𝑏+𝑐=0𝑎=−6←←←←←←←→𝑏=02−6+𝑐=0⇔𝑐=4.

Luego 𝑎 = −6, 𝑏 =0 y 𝑐 =4.