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📋 Reserva 1 de 2024

Ejercicio 1

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑥−1𝑥2−1, para 𝑥 ≠ ±1. Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto (0,1) y es paralela a la recta 𝑦 =2𝑥, calcula la asíntota oblicua y los valores de 𝑎 y 𝑏.

Resolución

La asíntota oblicua tiene pendiente 𝑚 =2 y pasa por el punto (0,1), así que su ecuación es 𝑦−1=2𝑥⇔𝑦=2𝑥+1.

Hallamos la asíntota oblicua analíticamente. La pendiente de la asíntota viene dada por el límite lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=lím𝑥→+∞⁡𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑥−1𝑥3−𝑥=𝑎⇒𝑎=2. Por otro lado, la ordenada en el origen de la asíntota se calcula como lím𝑥→+∞⁡(𝑓(𝑥)−2𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(2𝑥3+𝑏𝑥2+𝑥−1𝑥2−1−2𝑥)=lím𝑥→+∞⁡2𝑥3+𝑏𝑥2+𝑥−1−2𝑥3+2𝑥𝑥2−1==lím𝑥→+∞⁡𝑏𝑥2+3𝑥−1𝑥2−1=𝑏⇒𝑏=1. Por tanto, 𝑎 =2 y 𝑏 =1.

Ejercicio 2

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =arctg⁡(𝑥 +𝜋).

  1. Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de 𝑓. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Calcula lím𝑥→−𝜋⁡arctg⁡(𝑥+𝜋)sen⁡(𝑥).

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la primera y la segunda derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=11+(𝑥+𝜋)2y𝑓″(𝑥)=−2(𝑥+𝜋)(1+(𝑥+𝜋)2)2. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔−2(𝑥+𝜋)(1+(𝑥+𝜋)2)2=0⇔𝑥+𝜋=0⇔𝑥=−𝜋. Estudiamos el signo de 𝑓″.
    • Si 𝑥 < −𝜋, 𝑓″(𝑥) >0. Así que 𝑓 es convexa.
    • Si 𝑥 > −𝜋, 𝑓″(𝑥) <0. Así que 𝑓 es cóncava.
    Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −∞, −𝜋) y es cóncava en ( −𝜋, +∞). Además, ( −𝜋,0) es el único punto de inflexión.
  2. Calculamos el límite. lím𝑥→−𝜋⁡arctg⁡(𝑥+𝜋)sen⁡(𝑥)=00. Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital. lím𝑥→−𝜋⁡arctg⁡(𝑥+𝜋)sen⁡(𝑥)L’H=lím𝑥→−𝜋⁡11+(𝑥+𝜋)2cos⁡(𝑥)=1−1=−1.

Ejercicio 3

Halla la función 𝑓 :(2, +∞) →ℝ que pasa por el punto (3, −4ln⁡(5)) y verifica 𝑓′(𝑥)=3𝑥2+4𝑥+12𝑥2−4.

Resolución

Como 𝑓′ es la derivada de 𝑓, entonces 𝑓(𝑥)=∫𝑓′(𝑥)𝑑𝑥=∫3𝑥2+4𝑥+12𝑥2−4𝑑𝑥. Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. 3𝑥2+4𝑥+12𝑥2−4=3+4𝑥+24𝑥2−4. Así que: 𝑓(𝑥)=∫3𝑥2+4𝑥+12𝑥2−4𝑑𝑥=∫3𝑑𝑥+∫4𝑥+24𝑥2−4𝑑𝑥=3𝑥+∫4𝑥+24𝑥2−4𝑑𝑥. Expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son -2 y 2, así que la función se puede escribir como 4𝑥+24𝑥2−4=𝐴𝑥−2+𝐵𝑥+2=𝐴(𝑥+2)+𝐵(𝑥−2)𝑥2−4=(𝐴+𝐵)𝑥+2𝐴−2𝐵𝑥2−4. Igualando ambas expresiones, obtenemos que {𝐴+𝐵=4,2𝐴−2𝐵=24⇔{𝐴+𝐵=4,𝐴−𝐵=12. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝐴=16⇔𝐴=8. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que 𝐴+𝐵=4⇔𝐵=4−𝐴𝐴=8←←←←←←→𝐵=−4. Por tanto, 4𝑥+24𝑥2−4=8𝑥−2−4𝑥+2. Resolvemos la integral. 𝑓(𝑥)=3𝑥+∫4𝑥+24𝑥2−4𝑑𝑥=3𝑥+8∫1𝑥−2𝑑𝑥−4∫1𝑥+2𝑑𝑥=3𝑥+8ln⁡|𝑥−2|−4ln⁡|𝑥+2|+𝐶.

Si la función 𝑓 pasa por el punto (3, −4ln⁡(5)), ha de verificar que 𝑓(3) = −4ln⁡(5). Por tanto, 𝑓(3)=−4ln⁡(5)⇔9−4ln⁡(5)+𝐶=−4ln⁡(5)⇔𝐶=−9. Luego la función es 𝑓(𝑥)=3𝑥+8ln⁡|𝑥−2|−4ln⁡|𝑥+2|−9.

Ejercicio 4

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥2 −3𝑥 +5)𝑒𝑥. Halla una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,5).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de 𝑓. 𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫(𝑥2−3𝑥+5)𝑒𝑥𝑑𝑥. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑥2−3𝑥+5⇒𝑢′=2𝑥−3,𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Entonces: 𝐹(𝑥)=∫(𝑥2−3𝑥+5)𝑒𝑥𝑑𝑥=(𝑥2−3𝑥+5)𝑒𝑥−∫(2𝑥−3)𝑒𝑥𝑑𝑥. Integramos de nuevo por partes. 𝑢=2𝑥−3⇒𝑢′=2,𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Luego 𝐹(𝑥)=(𝑥2−3𝑥+5)𝑒𝑥−∫(2𝑥−3)𝑒𝑥𝑑𝑥=(𝑥2−3𝑥+5)𝑒𝑥−(2𝑥−3)𝑒𝑥+2∫𝑒𝑥𝑑𝑥==(𝑥2−3𝑥+5)𝑒𝑥−(2𝑥−3)𝑒𝑥+2𝑒𝑥+𝐶=(𝑥2−5𝑥+10)𝑒𝑥+𝐶.

La primitiva que pasa por el punto (0,5) ha de verificar que 𝐹(0) =5. Por tanto, 𝐹(0)=5⇔10+𝐶=5⇔𝐶=−5. Luego la primitiva es 𝐹(𝑥)=(𝑥2−5𝑥+10)𝑒𝑥−5.

Ejercicio 5

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101𝑚101−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−48004441220⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina los valores de 𝑚 para los que la matriz 𝐴2 tiene inversa.
  2. Para 𝑚 =0 calcula, si es posible, la matriz 𝑋 que verifica 𝐴2𝑋 =12(𝐴 +𝐵).

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣101𝑚101−12∣=2−𝑚−1=1−𝑚. Así que |𝐴2|=|𝐴|2=(1−𝑚)2. La inversa de la matriz 𝐴2 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴2|=0⇔(1−𝑚)2=0⇔𝑚=1. Por tanto, la matriz 𝐴2 tiene inversa si y solo si 𝑚 ≠1.
  2. Si 𝑚 =0, por el apartado anterior 𝐴2 es invertible con det(𝐴2) =1, y es de la forma 𝐴2=𝐴⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−130103−35⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Despejamos la ecuación matricial. 𝐴2𝑋=12(𝐴+𝐵)⇔𝑋=12𝐴−2(𝐴+𝐵). Para hallar la inversa de 𝐴2, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴2)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝50−3−413−302⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−2=1|𝐴2|Adj⁡(𝐴2)𝑡=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−4−3010−332⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=12𝐴−2(𝐴+𝐵)=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−4−3010−332⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−48004441220⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦==12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−4−3010−332⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−38105451122⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−30−13−77054191353⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 6

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Resolución

Llamamos 𝑥 al dígito de las centenas, 𝑦 al de las decenas y 𝑧 al de las unidades. De esta forma, el número se escribe 𝑥𝑦𝑧 y se calcula como 100𝑥 +10𝑦 +𝑧.

En primer lugar, como la suma de sus cifras es 9, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=9. Por otro lado, el número que se obtiene al intercambiar las cifra de las centenas por la de las unidades se escribe 𝑧𝑦𝑥 y se calcula como 100𝑧 +10𝑦 +𝑥. Como la diferencia entre los dos números es 198, entonces 100𝑥+10𝑦+𝑧−(100𝑧+10𝑦+𝑥)=198⇔99𝑥−99𝑧=198⇔𝑥−𝑧=2. Además, como la suma ebtre ambos números es 828, entonces 100𝑥+10𝑦+𝑧+100𝑧+10𝑦+𝑥=828⇔101𝑥+20𝑦+101𝑧=828. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=9,𝑥−𝑧=2,101𝑥+20𝑦+101𝑧=828.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111910−1210120101828⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−101𝐹1←←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111910−120−810−81⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝012710−120−810−81⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑦+2𝑧=7,𝑥−𝑧=2,−81𝑦=−81. Por tanto, −81𝑦=−81⇔𝑦=1,𝑦+2𝑧=7⇔𝑧=7−𝑦2𝑦=1←←←←←→𝑧=3,𝑥−𝑧=2⇔𝑥=2+𝑧𝑧=3←←←←←→𝑥=5. Así que el número es 513.

Ejercicio 7

Considera los puntos 𝑃(1,0,1) y 𝑄(3, −2,1).

  1. Calcula el plano perpendicular al segmento 𝑃𝑄 que pasa por su punto medio.
  2. Calcula el plano paralelo a la recta 𝑟≡1−𝑥=𝑦−23=𝑧+1 que pasa por 𝑃 y 𝑄.

Resolución
  1. El plano 𝜋 perpendicular al segmento 𝑃𝑄 tiene como vector normal ⃗𝑛 =⃗𝑃𝑄 =(2, −2,0). Si además pasa por el punto medio 𝑀(2, −1,1), entonces 𝜋≡2(𝑥−2)−2(𝑦+1)=0⇔𝑥−𝑦−3=0.
  2. Llamamos 𝜏 al plano que nos piden. Como 𝜏 es paralelo a 𝑟 y contiene al segmento 𝑃𝑄, ⃗𝑑𝑟 =( −1,3,1) y ⃗𝑃𝑄 =(2, −2,0) son dos vectores directores del plano. Además, el punto 𝑃(1,0,1) pertenece al plano. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de 𝜏 son 𝜏≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1−𝜆+2𝜇,𝑦=3𝜆−2𝜇,𝑧=1+𝜆.

Ejercicio 8

Considera los puntos 𝐴(1,1,2), 𝐵(1,0,1) y 𝐶(1, −1,2).

  1. Determina el área del triángulo de vértices 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
  2. Calcula 𝐷 para que los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.

Resolución
  1. Para hallar el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶, calculamos en primer lugar los vectores ⃗𝐴𝐵 =(0, −1, −1) y ⃗𝐴𝐶 =(0, −2,0). Su producto vectorial es ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣ ∣ ∣ ∣⃗𝑖⃗𝑗⃗𝑘0−1−10−20∣ ∣ ∣ ∣=(−2,0,0). Por último, calculamos el área como 12|⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|=12√22=1𝑢2.
  2. Representamos el paralelogramo. Figura Podemos hallar el punto 𝐷 trasladando el punto 𝐴 mediante el vector ⃗𝐵𝐶 =(0, −1,1). ⃗𝑂𝐷=⃗𝑂𝐴+⃗𝐵𝐶=(1,1,2)+(0,−1,1)=(1,0,3). Por tanto, 𝐷(1,0,3).