Matemáticas de Selectividad

Sea la función 𝑓 :[1,𝑒] →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 −8ln⁡(𝑥).

1. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
2. Calcula los extremos absolutos y relativos de la función 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
3. Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −4𝑥.

1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 = −𝑥 −2, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.
3. Calcula el área del recinto anterior.

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝑘+1)𝑦+2𝑧=−1,𝑘𝑥+𝑦+𝑧=2,𝑥−2𝑦−𝑧=𝑘+1.

1. Clasifícalo según los distintos valores de 𝑘.
2. Resuélvelo para el caso 𝑘 =2.

Dadas las rectas 𝑟≡𝑥+3−6=𝑦−94=𝑧−84y𝑠≡𝑥−33=𝑦−9−2=𝑧−8−2.

1. Determina la posición relativa de las rectas 𝑟 y 𝑠.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥(𝑥2 −𝑥 +1).

1. Calcula lím𝑥→−∞⁡𝑓(𝑥)ylím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥).
2. Halla los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
3. Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓.

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥2 −2𝑥 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +4𝑥 respectivamente.

1. Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.
2. Calcula el área de dicho recinto.

Encuentra la matriz 𝑋 que satisface la ecuación 𝑋𝐴 +𝐴3𝐵 =𝐴, siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝001010100⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−1002−1−102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Los puntos 𝐴(1,1,5) y 𝐵(1,1,2) son vértices consecutivos de un rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷. El vértice 𝐶, consecutivo a 𝐵, está en la recta 𝑥=𝑦−6−2=𝑧+12. Determina los vértices 𝐶 y 𝐷.