Matemáticas de Selectividad

1. En primer lugar, comparamos los vectores directores ⃗𝑑𝑟 =(4,3, −1) y ⃗𝑑𝑠 =( −1,1, −2). Observamos que sus coordenadas no son proporcionales, así que los vectores no son paralelos. En consecuencia, las rectas no son paralelas ni coincidentes.

   Para determinar si son perpendiculares o se cruzan, estudiamos si las rectas están contenidas en un mismo plano. Tomamos un punto 𝑅( −1, −2,2) de 𝑟 y un punto 𝑆(1,2, −3) de 𝑠 para comprobar si los vectores ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(2,4, −5) son linealmente dependientes. ∣43−1−11−224−5∣=−9≠0. Como los tres vectores son linealmente independientes, las rectas no están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzan.

2. Llamamos 𝜋 al plano que nos piden.
   • El plano 𝜋 contiene a la recta 𝑟, así que ⃗𝑑𝑟 es un vector director del plano y 𝑅 es un punto de 𝜋.
   • El plano 𝜋 contiene a una recta perpendicular a 𝑟 y 𝑠, así que un vector director del plano es: ⃗𝑑𝑟×⃗𝑑𝑠=(4,3,−1)×(−1,1,−2)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧43−1−11−2∣=(−5,9,7).
   Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano 𝜋 son: 𝜋≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1+4𝜆−5𝜇,𝑦=−2+3𝜆+9𝜇,𝑧=2−𝜆+7𝜇,𝜆,𝜇∈ℝ.

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de las rectas 𝑟 y 𝑠.
   • Para la recta 𝑟, si tomamos 𝑥 =𝜆, 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=0,𝑧=2𝜆. Así que el vector director de 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(1,0,2).
   • Para la recta 𝑠, si tomamos 𝑥 =𝜇, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜇,𝑦=−7−𝜇,𝑧=0. Así que el vector director de 𝑠 es ⃗𝑑𝑠 =(1, −1,0).
   Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales, porque 11≠0−1≠20. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(0,0,0) de 𝑟 y un punto 𝑆(0, −7,0) de 𝑠. Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano viendo si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(0, −7,0) son linealmente dependientes. ∣1021−100−70∣=−14≠0. Como los tres vectores son linealmente independientes, 𝑟 y 𝑠 no están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzan.
2. Llamamos 𝜋 al plano que queremos hallar. Como está a la misma distancia de ambas rectas, tiene que ser paralelo a las dos. Así que ⃗𝑑𝑟 y ⃗𝑑𝑠 son dos vectores directores del plano 𝜋. Además, el punto 𝑀(0,−72,0) pertenece al plano por ser el punto medio entre 𝑅 y 𝑆. Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano 𝜋 son 𝜋≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆+𝜇,𝑦=−72−𝜇,𝑧=2𝜆.

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si tomamos 𝑥 =𝜇, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜇,𝑦=−3𝑎2+12𝜇,𝑧=2−𝜇. Observamos que los vectores directores ⃗𝑑𝑟 =(1,1,2) y ⃗𝑑𝑠 =(1,12,−1) no son proporcionales, así que las dos rectas no son ni paralelas ni coincidentes para ningún valor de 𝑎. Tomamos un punto 𝑅(0, −𝑎, −1) de 𝑟 y 𝑆(0,−3𝑎2,2) de 𝑠. Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano estudiando si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(0,−𝑎2,3) son linealmente dependientes. ∣ ∣ ∣ ∣112112−10−𝑎23∣ ∣ ∣ ∣=32−𝑎−𝑎2−3=−32−3𝑎2. Para que las rectas 𝑟 y 𝑠 se corten, ha de verificarse: −32−3𝑎2=0⇔𝑎=−1.
2. Si 𝑎 = −1, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cortan por el apartado anterior. Llamamos 𝑡 a la recta que nos piden. Como es perpendicular a las rectas 𝑟 y 𝑠, su vector director viene dado por: ⃗𝑑𝑡=⃗𝑑𝑟×⃗𝑑𝑠=∣ ∣ ∣ ∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧112112−1∣ ∣ ∣ ∣=(−2,3,−12). Como además corta a las dos rectas, 𝑡 tiene que pasar por el punto de corte de 𝑟 y 𝑠. Para ello, hallamos en primer lugar las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑟. 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=1+𝜆,𝑧=−1+2𝜆. Calculamos el punto de corte igualando las ecuaciones entre sí. ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆=𝜇,1+𝜆=32+12𝜆,−1+2𝜆=2−𝜇 Obtenemos que 𝜆 =1 y 𝜇 =1, así que el punto de corte es (1,2,1). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑡 son: 𝑡≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1−2𝜆,𝑦=2+3𝜆,𝑧=1−12𝜆.

1. El vector normal del plano 𝜋 es ⃗𝑛 =(1, −2,1) y el vector director de la recta 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(2,1,0). Observamos que ⃗𝑛⋅⃗𝑑𝑟=(1,−2,1)⋅(2,1,0)=0⇒⃗𝑛⟂⃗𝑑𝑟. Así que la recta 𝑟 es paralela al plano 𝜋 o está contenida en él. Tomamos un punto 𝑅(1,0,1) de 𝑟 y comprobamos si pertenece al plano. 1−2⋅0+1−2=0. Como 𝑅 está en el plano 𝜋, la recta 𝑟 está contenida en el plano.
2. Llamamos 𝑠 a la recta que queremos hallar. Como la recta 𝑠 está contenida en 𝜋 y es perpendicular a 𝑟, el vector director de 𝑠 tiene que ser perpendicular a ⃗𝑛 y a ⃗𝑑𝑟. Así que ⃗𝑑𝑠=⃗𝑛×⃗𝑑𝑟=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1−21210∣=(−1,2,5). Además, el punto 𝑃(2, −1, −2) pertenece a la recta. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠 son 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2−𝜇,𝑦=−1+2𝜇,𝑧=−2+5𝜇.

1. El vector director de la recta 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(1, −1,2). Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales, porque 1+𝑎1=1+𝑎≠𝑎=−𝑎−1. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(2,0,1) de 𝑟. Las dos rectas se cortan si están contenidas en un mismo plano, es decir, si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑣 y ⃗𝑃𝑅 =(1, −2, −2) son linealmente dependientes. ∣1−121+𝑎−𝑎3𝑎1−2−2∣=𝑎−6. Los tres vectores son linealmente dependientes si y solo si 𝑎 −6 =0 ⇔𝑎 =6. Por tanto, 𝑟 y 𝑠 se cortan si y solo si 𝑎 =6. En otro caso, estas rectas se cruzan.
2. Las rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son, es decir, si su producto escalar es nulo. Calculamos entonces el producto escalar de los dos vectores directores. ⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑣=8𝑎+1. Así que ⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑣=0⇔8𝑎+1=0⇔𝑎=−18. Por tanto, 𝑟 y 𝑠 son perpendiculares si y solo si 𝑎 = −18.

1. En primer lugar, hallamos el vector director de la recta 𝑠. ⃗𝑑𝑠=(1,1,−3)×(3,−1,1)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧11−33−11∣=(−2,−10,−4). El vector director de la recta 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(1, −1,1). Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales, porque −21≠−10−1≠−41. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(0,1,0) de 𝑟 y un punto 𝑆(0,1, −1) de 𝑠. Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano estudiando si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(0,0, −1) son linealmente dependientes. ∣1−11−2−10−400−1∣=12≠0. Como los tres vectores son linealmente independientes, 𝑟 y 𝑠 no están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzan.
2. Llamamos 𝜋 al plano que nos piden. Como 𝜋 contiene a 𝑠 y es paralelo a 𝑟, ⃗𝑑𝑟 y ⃗𝑑𝑠 son dos vectores directores del plano. Además, el punto 𝑆 pertenece al plano por ser un punto de 𝑠. Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano 𝜋 son ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆−2𝜇,𝑦=1−𝜆−10𝜇,𝑧=−1+𝜆−4𝜇.

1. El vector director de la recta 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(1,1, −1) y el vector director de 𝑠 es ⃗𝑑𝑠 =(2,0, −1). Observamos que los vectores directores no son proporcionales, así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅( −1,𝑎,0) de 𝑟 y 𝑆(5, −3,2) de 𝑠. Las dos rectas se cortan si están contenidas en un mismo plano, es decir, si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑃𝑄 =(6, −3 −𝑎,2) son linealmente dependientes. ∣11−120−16−3−𝑎2∣=𝑎−7. Los tres vectores son linealmente dependientes si y solo si 𝑎 −7 =0 ⇔𝑎 =7. Por tanto, 𝑟 y 𝑠 se cortan si y solo si 𝑎 =7. Para hallar su punto de corte, primero escribimos la recta 𝑟 en ecuaciones paramétricas. 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1+𝜇,𝑦=7+𝜇,𝑧=−𝜇. Calculamos el punto de corte igualando las ecuaciones entre sí. ⎧{ {⎨{ {⎩5+2𝜆=−1+𝜇,−3=7+𝜇,2−𝜆=−𝜇. Obtenemos que 𝜇 = −10 y 𝜆 = −8. Por tanto, el punto de corte es ( −11, −3,10).
2. Llamamos 𝜋 al plano que queremos calcular. Como contiene a la recta 𝑠, el vector ⃗𝑑𝑠 =(2,0, −1) es una dirección del plano y además 𝑆(5, −3,2) ∈𝜋. Por otro lado, 𝜋 pasa por 𝑃(8, −7,2), así que el vector ⃗𝑃𝑆 =( −3,4,0) es también una dirección del plano. Por tanto, 𝜋≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=8+2𝜆−3𝜇,𝑦=−7+4𝜇,𝑧=2−𝜆.

El vector director de la recta 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(2,2,3). La recta 𝑠 pasa por 𝑃(1,0,2) y 𝑄(𝑎,1,0), así que su vector director es ⃗𝑑𝑠 =⃗𝑃𝑄 =(𝑎 −1,1, −2). Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales, así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅( −3, −4,3) de 𝑟. Las dos rectas se cortan si están contenidas en un mismo plano, es decir, si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑃 =(4,4, −1) son linealmente dependientes. ∣223𝑎−11−244−1∣=−2+12(𝑎−1)−16−12+16+2(𝑎−1)=14𝑎−28. Los tres vectores son linealmente dependientes si y solo si 14𝑎−28=0⇔𝑎=2. Por tanto, 𝑟 y 𝑠 se cortan si y solo si 𝑎 =2.

Para hallar su punto de corte, primero escribimos las ecuaciones paramétricas de 𝑟 y 𝑠 para 𝑎 =2. 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−3+2𝜆,𝑦=−4+2𝜆,𝑧=3+3𝜆y𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+𝜇,𝑦=𝜇,𝑧=2−2𝜇. Calculamos el punto de corte igualando las ecuaciones entre sí. ⎧{ {⎨{ {⎩−3+2𝜆=1+𝜇,−4+2𝜆=𝜇,3+3𝜆=2−2𝜇. Resolvemos este sistema por sustitución. 3+3𝜆=2−2𝜇𝜇=−4+2𝜆←←←←←←←←←←←→3+3𝜆=2−2(−4+2𝜆)⇔3+3𝜆=10−4𝜆⇔7𝜆=7⇔𝜆=1. Por tanto, el punto de corte es 𝐶( −1, −2,6).

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si tomamos 𝑦 =𝜆, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=3−2𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=2−2𝜆. Así que su vector director es ⃗𝑑𝑠 =( −2,1, −2). Por otro lado, el vector director de 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =( −2,1, −2). Como los vectores directores son iguales, las rectas 𝑟 y 𝑠 son paralelas o coincidentes. Tomamos un punto 𝐴(2,1,0) de 𝑟 y comprobamos si también pertenece a 𝑠. {2+2≠3,2=2. Como el punto 𝐴 no pertenece a 𝑠, las rectas 𝑟 y 𝑠 son paralelas.
2. Llamamos 𝜋 al plano que nos piden. Como 𝜋 contiene a 𝑟 y 𝑠, ⃗𝑑𝑟 es un vector director del plano. De igual forma, si tomamos un punto 𝐵(3,0,2) de 𝑠, el vector ⃗𝐴𝐵 =(1, −1,2) es otro vector director del plano. Además, el punto 𝐴 pertenece al plano por ser un punto de 𝑟. Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano 𝜋 son ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2−2𝜆+𝜇,𝑦=1+𝜆−𝜇,𝑧=−2𝜆+2𝜇.

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si 𝑧 =𝜆, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2−𝜆,𝑦=−1+𝜆,𝑧=𝜆. Así que su vector director es ⃗𝑑𝑠 =( −1,1,1). Por otro lado, el vector director de 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(1,1,𝑚). Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales para ningún valor de 𝑚, porque 1−1≠11. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(1,1,2) de 𝑟 y un punto 𝑆(2, −1,0) de 𝑠. Podemos determinar si las dos rectas están contenidas en un plano estudiando si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(1, −2, −2) son linealmente dependientes. ∣11𝑚−1111−2−2∣=−2+1+2𝑚−𝑚−2+2=𝑚−1. Observamos que 𝑚−1=0⇔𝑚=1.
   • Si 𝑚 =1, los tres vectores son linealmente dependientes, por lo que 𝑟 y 𝑠 están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cortan.
   • Si 𝑚 ≠1, los tres vectores son linealmente independientes, por lo que 𝑟 y 𝑠 no están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzan.
2. Si 𝑚 =1, ⃗𝑑𝑟 =(1,1,1). El coseno del ángulo 𝛼 que forman las rectas 𝑟 y 𝑠 viene dado por cos⁡(𝛼)=|⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑑𝑠||⃗𝑑𝑟||⃗𝑑𝑠|=1√3⋅√3=13.

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si tomamos 𝑥 =𝜇, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜇,𝑦=1−𝜇,𝑧=0. Así que los vectores directores de las rectas 𝑟 y 𝑠 son ⃗𝑑𝑟 =(1,0, −1) y ⃗𝑑𝑠 =(1, −1,0), respectivamente. Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales, porque 11≠0−1≠−10. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(3,1, −3) de 𝑟 y un punto 𝑆(0,1,0) de 𝑠. Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano viendo si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =( −3,0,3) son linealmente dependientes. ∣10−11−10−303∣=0. Como los tres vectores son linealmente dependientes, 𝑟 y 𝑠 están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 son secantes.
2. Llamamos 𝑡 a la recta que queremos hallar. Como es perpendicular a las rectas 𝑟 y 𝑠, su vector director viene dado por ⃗𝑑𝑡=⃗𝑑𝑟×⃗𝑑𝑠=(1,0,−1)×(1,−1,0)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧10−11−10∣=(−1,−1,−1). Como además corta a las dos rectas, tiene que pasar por el punto de corte de 𝑟 y 𝑠. Calculamos el punto de corte igualando las ecuaciones entre sí. ⎧{ {⎨{ {⎩3+𝜆=𝜇,1=1−𝜇,−3−𝜆=0. Obtenemos que 𝜆 = −3 y 𝜇 =0. Así que el punto de corte es (0,1,0). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑡 son 𝑡≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜂,𝑦=1−𝜂,𝑧=−𝜂.