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📋 Reserva 3 de 2024

Ejercicio 1

De entre todos los rectángulos de área 25 cm2, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.

Resolución

Llamamos 𝑥 e 𝑦 al largo y el ancho del rectángulo en centímetros, respectivamente. Como 𝑥 e 𝑦 son longitudes, 𝑥,𝑦 >0.

Como el área del rectángulo es de 25 cm2, entonces: 𝑥𝑦=25⇒𝑦=25𝑥. Así que la función a minimizar es: 𝑓(𝑥)=(√𝑥2+𝑦2)2=𝑥2+𝑦2=𝑥2+(25𝑥)2=𝑥2+625𝑥2.

En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑥−2⋅625𝑥3=2(𝑥−625𝑥3). Hallamos los puntos críticos de 𝑓 igualando la derivada a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2(𝑥−625𝑥3)=0⇔𝑥−625𝑥3=0⇔𝑥4=625⇔𝑥=±5. Como 𝑥 >0 por ser una longitud, la solución 𝑥 = −5 no es válida para este problema.

Comprobamos que en el punto de abscisa 𝑥 =5 se alcanza el mínimo de la función.

(0,5) (5, +∞)
signo de 𝑓′ − +
monotonía de 𝑓 → →

Luego 𝑓 tiene un mínimo en 𝑥 =5. Por tanto, 𝑦 =255 =5.

Así que el rectángulo tiene base 5 cm y altura 5 cm, es decir, se trata de un cuadrado de lado 5 cm.

Ejercicio 2

Considera la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑥−1𝑥2+𝑏𝑥−3, para 𝑥2 +𝑏𝑥 −3 ≠0.

  1. Calcula 𝑎 y 𝑏 para que 𝑦 =𝑥 −2 sea una asíntota oblicua de la gráfica de 𝑓.
  2. Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de 𝑓 cuando 𝑎 =0 y 𝑏 =2.

Resolución
  1. La recta 𝑦 =𝑥 −2 tiene pendiente 𝑚 =1 y ordenada en el origen 𝑛 = −2. La pendiente de la asíntota oblicua de la gráfica de 𝑓 viene dada por: lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)𝑥=lím𝑥→+∞⁡𝑎𝑥3+𝑥−1𝑥3+𝑏𝑥2−3𝑥=𝑎. Para que tenga pendiente 1, tiene que ocurrir que 𝑎 =1. Por otro lado, la ordenada en el origen de la asíntota oblicua viene dada por: lím𝑥→+∞⁡(𝑓(𝑥)−𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑥3+𝑥−1𝑥2+𝑏𝑥−3−𝑥)=lím𝑥→+∞⁡−𝑏𝑥2+4𝑥−1𝑥2+𝑏𝑥−3=−𝑏. Para que su ordenada en el origen sea -2, tiene que verificarse que −𝑏 = −2 ⇔𝑏 =2. Por tanto, 𝑎 =1 y 𝑏 =2.
  2. Si 𝑎 =0 y 𝑏 =2, 𝑓(𝑥)=𝑥−1𝑥2+2𝑥−3. Estudiamos en qué puntos se anula el denominador. 𝑥2+2𝑥−3=0⇔{𝑥=−3,𝑥=1. Así que podemos escribir la función 𝑓 como: 𝑓(𝑥)=𝑥−1(𝑥−1)(𝑥+3)=1𝑥+3. De esta forma, Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{ −3}. Observamos que: lím𝑥→−3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3−⁡1𝑥+3=10−=−∞,lím𝑥→−3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3+⁡1𝑥+3=10+=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −3 es la única asíntota vertical de 𝑓.

Ejercicio 3

Considera la función 𝑓(𝑥)={1−𝑒𝑥,si 𝑥≤0,𝑥cos⁡(𝑥),si 𝑥>0. Calcula ∫𝜋−𝜋𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución

Calculamos la integral: ∫𝜋−𝜋𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫0−𝜋(1−𝑒𝑥)𝑑𝑥+∫𝜋0𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥.

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función 𝑓(𝑥) =𝑥cos⁡(𝑥) integrando por partes. 𝑢=𝑥⇒𝑢′=1,𝑣′=cos⁡(𝑥)⇒𝑣=sen⁡(𝑥). De esta forma, ∫𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑥sen⁡(𝑥)−∫sen⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑥sen⁡(𝑥)+cos⁡(𝑥).

Por tanto, ∫𝜋−𝜋𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫0−𝜋(1−𝑒𝑥)𝑑𝑥+∫𝜋0𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=[𝑥−𝑒𝑥]0−𝜋+[𝑥sen⁡(𝑥)+cos⁡(𝑥)]𝜋0==−1−(−𝜋−𝑒−𝜋)+(−1)−1=𝑒−𝜋+𝜋−3.

Ejercicio 4

Calcula una primitiva de la función 𝑓 :(1, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2ln⁡(√𝑥−12) cuya gráfica pase por el punto (5,−72). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑥 −1 =𝑡2).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de la función 𝑓 usando el cambio de variable: 𝑥−1=𝑡2⇒𝑡=√𝑥−1,𝑑𝑥=2𝑡𝑑𝑡. De esta forma, 𝐹(𝑥)=∫(𝑥−1)2ln⁡(√𝑥−12)𝑑𝑥=∫𝑡4ln⁡(𝑡2)⋅2𝑡𝑑𝑡=∫2𝑡5ln⁡(𝑡2)𝑑𝑡. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=ln⁡(𝑡2)⇒𝑢′=1𝑡,𝑣′=2𝑡5⇒𝑣=13𝑡6. Entonces: 𝐹(𝑥)=∫2𝑡5ln⁡(𝑡2)𝑑𝑡=13𝑡6ln⁡(𝑡2)−∫13𝑡5𝑑𝑡=13𝑡6ln⁡(𝑡2)−118𝑡6+𝐶==13(𝑥−1)3ln⁡(√𝑥−12)−118(𝑥−1)3+𝐶.

La primitiva que pasa por el punto (5,−72) ha de verificar: 𝐹(5)=−72⇔−329+𝐶=−72⇔𝐶=118. Por tanto, la primitiva es: 𝐹(𝑥)=13(𝑥−1)3ln⁡(√𝑥−12)−118(𝑥−1)3+118.

Ejercicio 5

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧302111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(1𝑦𝑧)y𝐶=(300).

  1. Sabiendo que el determinante de 𝐴 es 5, calcula ∣𝑥−1𝑦−1𝑧−1111413∣, indicando las propiedades que utilizas.
  2. Calcula los valores (𝑥,𝑦,𝑧) tales que 𝐵𝐴 =𝐶.

Resolución
  1. Calculamos el determinante. ∣𝑥−1𝑦−1𝑧−1111413∣=∣𝑥𝑦𝑧111413∣−∣111111413∣=∣𝑥𝑦𝑧111413∣=∣𝑥𝑦𝑧111302∣=−∣𝑥𝑦𝑧302111∣=−5.
  2. Se tiene que verificar: 𝐵𝐴=𝐶⇔(1𝑦𝑧)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧302111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(300)⇔(𝑥+3𝑦+𝑧𝑦+𝑧2𝑦+2𝑧)=(300)⇔⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+3𝑦+𝑧=3,𝑦+𝑧=0,2𝑦+2𝑧=0⇔{𝑥+3𝑦+𝑧=3,𝑦+𝑧=0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, 𝑦+𝑧=0⇔𝑦=−𝑧𝑧=𝜆←←←←←←→𝑦=−𝜆,𝑥+3𝑦+𝑧=3⇔𝑥=3−3𝑦−𝑧𝑦=−𝜆←←←←←←←→𝑧=𝜆𝑥=3+2𝜆. Por tanto, la igualdad se cumple para todos los valores (𝑥,𝑦,𝑧) de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=3+2𝜆,𝑦=−𝜆,𝑧=𝜆.

Ejercicio 6

Considera el sistema ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−2−320−23−2−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=𝑚⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina los valores de 𝑚 para los que el sistema es compatible indeterminado.
  2. Para 𝑚 =2 resuelve el sistema, si es posible.

Resolución
  1. En primer lugar, escribimos la expresión matricial en forma de sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩5𝑥−2𝑦−3𝑧=𝑚𝑥,2𝑥−2𝑧=𝑚𝑦,3𝑥−2𝑦−𝑧=𝑚𝑧⇔⎧{ {⎨{ {⎩(5−𝑚)𝑥−2𝑦−3𝑧=0,2𝑥−𝑚𝑦−2𝑧=0,3𝑥−2𝑦+(−1−𝑚)𝑧=0. Observamos que se trata de un sistema homogéneo, así que es compatible para cualquier valor de 𝑚. La matriz de coeficientes del sistema es: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑚−2−32−𝑚−23−2−1−𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para determinar el rango 𝐴 según el valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣5−𝑚−2−32−𝑚−23−2−1−𝑚∣=𝑚(5−𝑚)(1+𝑚)+24−9𝑚−4(1+𝑚)−4(5−𝑚)=−𝑚3+4𝑚2−4𝑚. Observamos que: |𝐴|=0⇔−𝑚3+4𝑚2−4𝑚=0⇔−𝑚(𝑚2−4𝑚+4)=0⇔{𝑚=0,𝑚2−4𝑚+4=0⇔𝑚=2. Así que rang⁡(𝐴) ≤2 si 𝑚 =0 o 𝑚 =2. Por tanto, el sistema es compatible indeterminado para 𝑚 =0 y 𝑚 =2.
  2. Si 𝑚 =2, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a: {3𝑥−2𝑦−3𝑧=0,2𝑥−2𝑦−2𝑧=0⇔{3𝑥−2𝑦−3𝑧=0,𝑥−𝑦−𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si a la primera ecuación le restamos el triple de la segunda, obtenemos que 𝑦 =0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces: 𝑥−𝑦−𝑧=0⇔𝑥=𝑦+𝑧𝑦=0←←←←←←→𝑧=𝜆𝑥=𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=0,𝑧=𝜆.

Ejercicio 7

Considera las rectas 𝑟≡𝑥=𝑦+𝑎=𝑧+12y𝑠≡{𝑥−2𝑦=3𝑎,𝑥+𝑧=2.

  1. Calcula 𝑎 para que las rectas se corten.
  2. Para 𝑎 = −1, halla la recta que corta perpendicularmente a 𝑟 y 𝑠.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si tomamos 𝑥 =𝜇, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜇,𝑦=−3𝑎2+12𝜇,𝑧=2−𝜇. Observamos que los vectores directores ⃗𝑑𝑟 =(1,1,2) y ⃗𝑑𝑠 =(1,12,−1) no son proporcionales, así que las dos rectas no son ni paralelas ni coincidentes para ningún valor de 𝑎. Tomamos un punto 𝑅(0, −𝑎, −1) de 𝑟 y 𝑆(0,−3𝑎2,2) de 𝑠. Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano estudiando si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(0,−𝑎2,3) son linealmente dependientes. ∣ ∣ ∣ ∣112112−10−𝑎23∣ ∣ ∣ ∣=32−𝑎−𝑎2−3=−32−3𝑎2. Para que las rectas 𝑟 y 𝑠 se corten, ha de verificarse: −32−3𝑎2=0⇔𝑎=−1.
  2. Si 𝑎 = −1, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cortan por el apartado anterior. Llamamos 𝑡 a la recta que nos piden. Como es perpendicular a las rectas 𝑟 y 𝑠, su vector director viene dado por: ⃗𝑑𝑡=⃗𝑑𝑟×⃗𝑑𝑠=∣ ∣ ∣ ∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧112112−1∣ ∣ ∣ ∣=(−2,3,−12). Como además corta a las dos rectas, 𝑡 tiene que pasar por el punto de corte de 𝑟 y 𝑠. Para ello, hallamos en primer lugar las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑟. 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=1+𝜆,𝑧=−1+2𝜆. Calculamos el punto de corte igualando las ecuaciones entre sí. ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆=𝜇,1+𝜆=32+12𝜆,−1+2𝜆=2−𝜇 Obtenemos que 𝜆 =1 y 𝜇 =1, así que el punto de corte es (1,2,1). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑡 son: 𝑡≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1−2𝜆,𝑦=2+3𝜆,𝑧=1−12𝜆.

Ejercicio 8

Considera los vectores ⃗𝑢 =(1,𝑎,2) y ⃗𝑣 =( −2,1,𝑎).

  1. Calcula 𝑎 para que ambos vectores formen un ángulo de 𝜋3 radianes.
  2. Calcula 𝑎 para que el vector (⃗𝑢 ×⃗𝑣) −⃗𝑣 sea ortogonal a ⃗𝑢.

Resolución
  1. El coseno del ángulo 𝛼 que forman los vectores ⃗𝑢 y ⃗𝑣 viene dado por: cos⁡(𝛼)=|⃗𝑢⋅⃗𝑣||⃗𝑢|⋅|⃗𝑣|=|−2+3𝑎|√5+𝑎2⋅√5+𝑎2=|−2+3𝑎|5+𝑎2. Para que formen un ángulo de 𝜋3, ha de verificarse: 12=|−2+3𝑎|5+𝑎2⇔{12=−2+3𝑎5+𝑎2⇔−4+6𝑎=5+𝑎2⇔𝑎2−6𝑎+9=0⇔𝑎=3,12=2−3𝑎5+𝑎2⇔4−6𝑎=5+𝑎2⇔𝑎2+6𝑎+1=0⇔𝑎=−3±2√2.
  2. En primer lugar, calculamos el vector (⃗𝑢 ×⃗𝑣) −⃗𝑣. (⃗𝑢×⃗𝑣)−⃗𝑣=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1𝑎2−21𝑎∣−(−2,1,𝑎)=(𝑎2−2,−𝑎−5,1+𝑎)−(−2,1,𝑎)=(𝑎2,−𝑎−5,1+𝑎). Para que este vector y ⃗𝑢 sean ortogonales, ha de verificarse: ((⃗𝑢×⃗𝑣)−⃗𝑣)⋅⃗𝑢=0⇔𝑎2+𝑎(−𝑎−5)+2(1+𝑎)=0⇔𝑎2−𝑎2−5𝑎+2+2𝑎=0⇔3𝑎=2⇔𝑎=23.