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Ejercicio 8: Reserva 3 de 2024

Considera los vectores ⃗𝑢 =(1,𝑎,2) y ⃗𝑣 =( −2,1,𝑎).

  1. Calcula 𝑎 para que ambos vectores formen un ángulo de 𝜋3 radianes.
  2. Calcula 𝑎 para que el vector (⃗𝑢 ×⃗𝑣) −⃗𝑣 sea ortogonal a ⃗𝑢.

Resolución
  1. El coseno del ángulo 𝛼 que forman los vectores ⃗𝑢 y ⃗𝑣 viene dado por: cos⁡(𝛼)=|⃗𝑢⋅⃗𝑣||⃗𝑢|⋅|⃗𝑣|=|−2+3𝑎|√5+𝑎2⋅√5+𝑎2=|−2+3𝑎|5+𝑎2. Para que formen un ángulo de 𝜋3, ha de verificarse: 12=|−2+3𝑎|5+𝑎2⇔{12=−2+3𝑎5+𝑎2⇔−4+6𝑎=5+𝑎2⇔𝑎2−6𝑎+9=0⇔𝑎=3,12=2−3𝑎5+𝑎2⇔4−6𝑎=5+𝑎2⇔𝑎2+6𝑎+1=0⇔𝑎=−3±2√2.
  2. En primer lugar, calculamos el vector (⃗𝑢 ×⃗𝑣) −⃗𝑣. (⃗𝑢×⃗𝑣)−⃗𝑣=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1𝑎2−21𝑎∣−(−2,1,𝑎)=(𝑎2−2,−𝑎−5,1+𝑎)−(−2,1,𝑎)=(𝑎2,−𝑎−5,1+𝑎). Para que este vector y ⃗𝑢 sean ortogonales, ha de verificarse: ((⃗𝑢×⃗𝑣)−⃗𝑣)⋅⃗𝑢=0⇔𝑎2+𝑎(−𝑎−5)+2(1+𝑎)=0⇔𝑎2−𝑎2−5𝑎+2+2𝑎=0⇔3𝑎=2⇔𝑎=23.

Ejercicio 7: Julio de 2023

Considera los planos 𝜋1 ≡𝑥 −𝑦 +𝑧 =0 y 𝜋2 ≡𝑥 +𝑦 =2.

  1. Calcula la distancia entre la recta intersección de 𝜋1 y 𝜋2 y el punto 𝑃(2,6, −2).
  2. Halla el ángulo que forman 𝜋1 y 𝜋2.

Resolución
  1. La recta 𝑟 intersección de los planos 𝜋1 y 𝜋2 viene dada por 𝑟≡{𝑥−𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑦=2. Hallamos en primer lugar las ecuaciones paramétricas de 𝑟. Su vector director viene dado por el producto vectorial de los vectores normales de cada plano, ⃗𝑛1 =(1, −1,1) y ⃗𝑛2 =(1,1,0). ⃗𝑑𝑟=⃗𝑛1×⃗𝑛2=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1−11110∣=(−1,1,2). Como el punto (0,2,2) pertenece a la recta 𝑟, sus ecuaciones paramétricas son 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜆,𝑦=2+𝜆,𝑧=2+2𝜆. Para hallar la distancia de la recta 𝑟 al punto 𝑃 podemos trazar un plano 𝜏 perpendicular a 𝑟 que pase por 𝑃. Este plano cortará a 𝑟 en un punto 𝑄, de forma que dist⁡(𝑃,𝑟) =dist⁡(𝑃,𝑄). Si 𝜏 es perpendicular a 𝑟, su vector normal es ⃗𝑛 =⃗𝑑𝑟 =( −1,1,2). Así que la ecuación del plano 𝜏 es 𝜏≡−(𝑥−2)+𝑦−6+2(𝑧+2)=0⇔−𝑥+𝑦+2𝑧=0. Calculamos el punto 𝑄 =𝑟 ∩𝜏. Para ello sustituimos las ecuaciones paramétricas de 𝑟 en la ecuación del plano. −(−𝜆)+2+𝜆+2(2+2𝜆)=0⇔6𝜆=−6⇔𝜆=−1. Por tanto, el punto de corte es 𝑄(1,1,0).
    Por último, calculamos la distancia de 𝑃 a 𝑟 como el módulo del vector ⃗𝑃𝑄 =( −1, −5,2). dist⁡(𝑃,𝑟)=dist⁡(𝑃,𝑄)=|⃗𝑃𝑄|=√1+52+22=√30𝑢.
  2. El coseno del ángulo 𝛼 que forman los planos 𝜋1 y 𝜋2 viene dado por cos⁡(𝛼)=⃗𝑛1⋅⃗𝑛2|⃗𝑛1||⃗𝑛2|=0. Por tanto, el ángulo que forman es de 90º.

Ejercicio 8: Reserva 1 de 2022

Considera los planos 𝜋1 ≡𝑥 +𝑦 +2 =0 y 𝜋2 ≡𝑥 −𝑧 −1 =0, así como la recta 𝑟≡{2𝑥+𝑧=1,𝑦=1.

  1. Calcula los puntos de la recta 𝑟 que equidistan de los planos 𝜋1 y 𝜋2.
  2. Halla el ángulo que forman los planos 𝜋1 y 𝜋2.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑟. Si 𝑥 =𝜆, 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=1,𝑧=1−2𝜆. Las distancias entre un punto genérico 𝑅(𝜆,1,1 −2𝜆) de la recta 𝑟 y cada uno de los planos vienen dadas por dist⁡(𝑅,𝜋1)=|𝜆+1+2||⃗𝑛1|=|𝜆+3|√2,dist⁡(𝑅,𝜋2)=|𝜆−(1−2𝜆)−2||⃗𝑛2|=|3𝜆−2|√2. Como queremos hallar los puntos de 𝑟 que equidisten de 𝜋1 y 𝜋2, dist⁡(𝑅,𝜋1)=dist⁡(𝑅,𝜋2)⇔|𝜆+3|√2=|3𝜆−2|√2⇔|𝜆+3|=|3𝜆−2|⇔{𝜆+3=3𝜆−2⇔𝜆=52,𝜆+3=−3𝜆+2⇔𝜆=−14. Por tanto, los puntos son (52,1,−4) y (−14,1,32).
  2. El coseno del ángulo 𝛼 que forman los planos 𝜋1 y 𝜋2 viene dado por cos⁡(𝛼)=|⃗𝑛1⋅⃗𝑛2||⃗𝑛1||⃗𝑛2|=12. Por tanto, el ángulo que forman es de 60º.

Ejercicio 8: Reserva 2 de 2022

Sean los planos 𝜋1 ≡2𝑥 +𝑦 +𝑧 −3 =0, 𝜋2 ≡𝑥 +2𝑦 −𝑧 +5 =0 y la recta 𝑟≡𝑥−1=𝑦2=𝑧+15.

  1. Halla los puntos de 𝑟 que equidistan de 𝜋1 y 𝜋2.
  2. Halla el seno del ángulo que forma el plano 𝜋1 con la recta 𝑟.

Resolución
  1. En primer lugar, pasamos la recta 𝑟 a ecuaciones paramétricas. 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+𝜆,𝑦=2𝜆,𝑧=−1+5𝜆.
    • La distancia entre el plano 𝜋1 y un punto genérico 𝑅(1 +𝜆,2𝜆, −1 +5𝜆) de la recta 𝑟 viene dada por dist⁡(𝑅,𝜋1)=|2(1+𝜆)+2𝜆−1+5𝜆−3||⃗𝑛1|=|9𝜆−2|√22+12+12=|9𝜆−2|√6.
    • La distancia entre el plano 𝜋2 y un punto genérico 𝑅 de la recta 𝑟 viene dada por dist⁡(𝑅,𝜋2)=|1+𝜆+2⋅2𝜆−(−1+5𝜆)+5||⃗𝑛2|=7√12+22+12=7√6.
    Como queremos hallar los puntos de 𝑟 equidistantes de los planos 𝜋1 y 𝜋2, dist⁡(𝑅,𝜋1)=dist⁡(𝑅,𝜋2)⇔|9𝜆−2|√6=7√6⇔|9𝜆−2|=7⇔{9𝜆−2=7⇔𝜆=1,9𝜆−2=−7⇔𝜆=−59. Por tanto, los puntos son 𝑅1(2,2,4) y 𝑅2(49,−109,−349).
  2. El seno del ángulo 𝛼 que forman el plano 𝜋1 y la recta 𝑟 viene dado por sen⁡(𝛼)=|⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑛1||⃗𝑑𝑟||⃗𝑛1|=9√30√6=9√180=3√20.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2022

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos 𝐴(0,2,3), 𝐵(𝑚,0,1) y 𝐶(2,1,2).

  1. Halla los valores de 𝑚, sabiendo que el área del triángulo es √182 unidades cuadradas.
  2. Para 𝑚 =0, calcula el coseno del ángulo en el vértice 𝐴 de dicho triángulo.

Resolución
  1. El área del triángulo formado por 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es la mitad del área del paralelogramo determinado por dichos puntos, es decir, el paralelogramo formado por los vectores ⃗𝐴𝐵 =(𝑚, −2, −2) y ⃗𝐴𝐶 =(2, −1, −1). Esta viene dada por el módulo del producto vectorial de los vectores. ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧𝑚−2−22−1−1∣=(0,𝑚−4,−𝑚+4). Así que el área del triángulo es |⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|2=|(0,𝑚−4,−𝑚+4)|2=√(𝑚−4)2+(−𝑚+4)22=√2𝑚2−16𝑚+322. Si el área es de √182 𝑢2, entonces √2𝑚2−16𝑚+322=√182⇔2𝑚2−16𝑚+32=18⇔𝑚2−8𝑚+7=0⇔{𝑚=1,𝑚=7. Por tanto, los posibles valores son 𝑚 =1 y 𝑚 =7.
  2. El ángulo en el vértice 𝐴 viene dado por el ángulo 𝛼 que forman los vectores ⃗𝐴𝐵 =(0, −2, −2) y ⃗𝐴𝐶 =(2, −1, −1). Por tanto, cos⁡(𝛼)=⃗𝐴𝐵⋅⃗𝐴𝐶|⃗𝐴𝐵||⃗𝐴𝐶|=4√8√6=1√3.

Ejercicio 7: Junio de 2021

Considera las rectas 𝑟≡{2𝑥−3𝑦+𝑧−2=0,−3𝑥+2𝑦+2𝑧+1=0y𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=3−2𝜆,𝑦=−1+𝜆,𝑧=−2+2𝜆.

  1. Calcula el plano perpendicular a la recta 𝑠 que pasa por el punto 𝑃(1,0, −5).
  2. Calcula el seno del ángulo que forma la recta 𝑟 con el plano 𝜋 ≡ −2𝑥 +𝑦 +2𝑧 =0.

Resolución
  1. El plano 𝜏 perpendicular a la recta 𝑠 tiene como vector normal ⃗𝑛𝜏 =⃗𝑑𝑠 =( −2,1,2). Si además pasa por el punto 𝑃(1,0, −5), entonces 𝜏≡−2(𝑥−1)+𝑦+2(𝑧+5)=0⇔−2𝑥+𝑦+2𝑧+12=0.
  2. En primer lugar, hallamos el vector director de la recta 𝑟. ⃗𝑑𝑟=(2,−3,1)×(−3,2,2)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧2−31−322∣=(−8,−7,−5). Además, el vector normal del plano 𝜋 es ⃗𝑛𝜋 =( −2,1,2). Por tanto, el seno del ángulo 𝛼 que forman el plano 𝜋 y la recta 𝑟 viene dado por sen⁡(𝛼)=|⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑛𝜋||⃗𝑑𝑟||⃗𝑛𝜋|=1√138√9=13√138.

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2021

Considera las rectas 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+𝜆,𝑦=1+𝜆,𝑧=2+𝑚𝜆y𝑠≡{𝑥−𝑦+2𝑧=3,𝑥+𝑧=2.

  1. Estudia la posición relativa de 𝑟 y 𝑠 según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =1, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas 𝑟 y 𝑠.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si 𝑧 =𝜆, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2−𝜆,𝑦=−1+𝜆,𝑧=𝜆. Así que su vector director es ⃗𝑑𝑠 =( −1,1,1). Por otro lado, el vector director de 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(1,1,𝑚). Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales para ningún valor de 𝑚, porque 1−1≠11. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(1,1,2) de 𝑟 y un punto 𝑆(2, −1,0) de 𝑠. Podemos determinar si las dos rectas están contenidas en un plano estudiando si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(1, −2, −2) son linealmente dependientes. ∣11𝑚−1111−2−2∣=−2+1+2𝑚−𝑚−2+2=𝑚−1. Observamos que 𝑚−1=0⇔𝑚=1.
    • Si 𝑚 =1, los tres vectores son linealmente dependientes, por lo que 𝑟 y 𝑠 están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cortan.
    • Si 𝑚 ≠1, los tres vectores son linealmente independientes, por lo que 𝑟 y 𝑠 no están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzan.
  2. Si 𝑚 =1, ⃗𝑑𝑟 =(1,1,1). El coseno del ángulo 𝛼 que forman las rectas 𝑟 y 𝑠 viene dado por cos⁡(𝛼)=|⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑑𝑠||⃗𝑑𝑟||⃗𝑑𝑠|=1√3⋅√3=13.

Ejercicio B4: Junio de 2019

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos 𝐴(1,1,0), 𝐵(1,0,2) y 𝐶(0,2,1).

  1. Halla el área de dicho triángulo.
  2. Calcula el coseno del ángulo en el vértice 𝐴.

Resolución
  1. El área del triángulo formado por 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es la mitad del área del paralelogramo determinado por dichos puntos, es decir, el paralelogramo formado por los vectores ⃗𝐴𝐵 =(0, −1,2) y ⃗𝐴𝐶 =( −1,1,1). Esta viene dada por el módulo del producto vectorial de los vectores. ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧0−12−111∣=(−3,−2,−1). Así que el área del paralelogramo es |⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|=|(−3,−2,−1)|=√32+22+12=√14𝑢2. Por tanto, el área del triángulo es √142 𝑢2.
  2. El ángulo en el vértice 𝐴 viene dado por el ángulo 𝛼 que forman los vectores ⃗𝐴𝐵 y ⃗𝐴𝐶. Por tanto, cos⁡(𝛼)=⃗𝐴𝐵⋅⃗𝐴𝐶|⃗𝐴𝐵||⃗𝐴𝐶|=1√5√3=1√15.

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2015

Sean los planos 𝜋 ≡𝑥 +3𝑦 +2𝑧 −5 =0 y 𝜋′ ≡ −2𝑥 +𝑦 +3𝑧 +3 =0.

  1. Determina el ángulo que forman 𝜋 y 𝜋′.
  2. Calcula el volumen del tetraedro limitado por 𝜋 y los planos coordenados.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2011

Considera los puntos 𝐴(1,0,2) y 𝐵(1,2, −1).

  1. Halla un punto 𝐶 de la recta de ecuación 𝑥−13=𝑦2=𝑧 que verifica que el triángulo de vértices 𝐴,𝐵 y 𝐶 tiene un ángulo recto en 𝐵.
  2. Calcula el área del triángulo de vértices 𝐴,𝐵 y 𝐷, donde 𝐷 es el punto de corte del plano de ecuación 2𝑥 −𝑦 +3𝑧 =6 con el eje 𝑂𝑋.

Ejercicio A4: Junio de 2010

Considera las rectas 𝑟 y 𝑠 de ecuaciones 𝑥−1=𝑦=1−𝑧y{𝑥−2𝑦=−1,𝑦+𝑧=1.

  1. Determina su punto de corte.
  2. Halla el ángulo que forman 𝑟 y 𝑠.
  3. Determina la ecuación del plano que contiene a 𝑟 y 𝑠.