Matemáticas de Selectividad

Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.

Determina la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ tal que 𝑓″(𝑥) =1𝑥 y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto 𝑃(1,1).

Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |𝐴| =12 y |𝐵| = −2. Halla:

1. |𝐴3|.
2. |𝐴−1|.
3. | −2𝐴|.
4. |𝐴𝐵𝑡|.
5. El rango de 𝐵.

Considera los puntos 𝐴(1,0,2) y 𝐵(1,2, −1).

1. Halla un punto 𝐶 de la recta de ecuación 𝑥−13=𝑦2=𝑧 que verifica que el triángulo de vértices 𝐴,𝐵 y 𝐶 tiene un ángulo recto en 𝐵.
2. Calcula el área del triángulo de vértices 𝐴,𝐵 y 𝐷, donde 𝐷 es el punto de corte del plano de ecuación 2𝑥 −𝑦 +3𝑧 =6 con el eje 𝑂𝑋.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =4 −𝑥2.

1. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.
2. Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta 𝑥 +2𝑦 −2 =0.

Calcula: ∫𝑥3+𝑥2𝑥2+𝑥−2𝑑𝑥.

Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0341−4−5−134⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Demuestra que se verifica la igualdad 𝐴3 = −𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3.
2. Justifica que 𝐴 es invertible y halla su inversa.
3. Calcula razonadamente 𝐴100.

Considera los planos 𝜋1, 𝜋2 y 𝜋3 dados respectivamente por las ecuaciones: 3𝑥−𝑦+𝑧−4=0,𝑥−2𝑦+𝑧−1=0,𝑥+𝑧−4=0. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃(3,1, −1), es paralela al plano 𝜋1 y corta a la recta intersección de los planos 𝜋2 y 𝜋3.