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📋 Reserva 1 de 2022

Ejercicio 1

Sea 𝑓 la función continua definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2+1𝑥−1,si 𝑥≤0,𝑎𝑥+𝑏(𝑥+1)2,si 𝑥>0.

  1. Determina 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −1, estudia la derivabilidad de 𝑓.

Resolución
  1. En primer lugar, estudiamos la continuidad de la función.
    • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥2+1𝑥−1=−1,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑎𝑥+𝑏(𝑥+1)2=𝑏,𝑓(0)=−1. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que 𝑏 = −1.
    Por otro lado, si 𝑥 >0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)2−2(𝑎𝑥+𝑏)(𝑥+1)(𝑥+1)4𝑏=−1←←←←←←←→𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)2−2(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+1)4. Si la función tiene un extremo en 𝑥 =2, entonces 𝑓′(2) =0. 𝑓′(2)=0⇔9𝑎−6(2𝑎−1)81=0⇔9𝑎−6(2𝑎−1)=0⇔9𝑎−12𝑎+6=0⇔3𝑎=6⇔𝑎=2. Por tanto, 𝑎 =2 y 𝑏 = −1.
  2. Si 𝑎 =2 y 𝑏 = −1, por el apartado anterior 𝑓 es continua. Estudiamos la derivabilidad de la función.
    • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥(𝑥−1)−(𝑥2+1)(𝑥−1)2,si 𝑥<0,2(𝑥+1)2−2(2𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+1)4,si 𝑥>0=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2−2𝑥−1(𝑥−1)2,si 𝑥<0,−2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4,si 𝑥>0.
    • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑥2−2𝑥−1(𝑥−1)2=−1,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡−2𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)4=4. Observamos que 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{0}.

Ejercicio 2

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de 200𝜋 metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de 10 euros por metro lineal, y en los tramos circulares de 20 euros por metro lineal, calcula las dimensiones 𝑎 y 𝑏 del terreno para los que se minimiza el coste del cercado. Figura

Resolución

El área del recinto rectangular es de 200𝜋 metros cuadrados, así que 𝑎𝑏=200𝜋⇒𝑏=200𝜋𝑎. La longitud de cerca en los tramos rectos es de 2𝑎 y en los tramos circulares de 2𝜋𝑏2 =𝜋𝑏. Como además los costes son de 10€ y 20€ por metro en los tramos rectos y circulares, respectivamente, la función a minimizar es 𝑓(𝑎)=10⋅2𝑎+20⋅𝜋𝑏=20𝑎+20𝜋⋅200𝜋𝑎=20𝑎+4.000𝑎.

En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑎)=20−4.000𝑎2. Hallamos los puntos críticos de 𝑓 igualando la derivada a cero. 𝑓′(𝑎)=0⇔20−4.000𝑎2=0⇔20=4.000𝑎2⇔20𝑎2=4.000⇔𝑎2=200⇔𝑎=√200.

Comprobamos que en el punto de abscisa 𝑎 =√200 se alcanza el mínimo de la función.

  • Si 𝑎 <√200, 𝑓′(𝑎) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
  • Si 𝑎 >√200, 𝑓′(𝑎) >0. Así que 𝑓 es creciente.
Luego 𝑓 tiene un mínimo en 𝑎 =√200. Por tanto, 𝑏=200𝜋𝑎=200𝜋√200=√200𝜋.

Así que 𝑎 =√200 m y 𝑏 =√200𝜋 m.

Ejercicio 3

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥sen⁡(2𝑥). Halla la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (0,0).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de 𝑓. 𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑒𝑥sen⁡(2𝑥)𝑑𝑥.

Resolvemos la integral por partes. 𝑢=sen⁡(2𝑥)⇒𝑢′=2cos⁡(2𝑥),𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Entonces: 𝐹(𝑥)=∫𝑒𝑥sen⁡(2𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥sen⁡(2𝑥)−2∫𝑒𝑥cos⁡(2𝑥)𝑑𝑥. Integramos de nuevo por partes. 𝑢=cos⁡(2𝑥)⇒𝑢′=−2sen⁡(2𝑥),𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Luego 𝐹(𝑥)=𝑒𝑥sen⁡(2𝑥)−2∫𝑒𝑥cos⁡(2𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥sen⁡(2𝑥)−2𝑒𝑥cos⁡(2𝑥)−4∫𝑒𝑥sen⁡(2𝑥)𝑑𝑥. Así que 𝐹(𝑥)=15𝑒𝑥(sen⁡(2𝑥)−2cos⁡(2𝑥))+𝐶.

La primitiva que pasa por el punto (0,0) ha de verificar 𝐹(0) =0. Por tanto, 𝐹(0)=0⇔−25+𝐶=0⇔𝐶=25. Luego la primitiva es 𝐹(𝑥)=15𝑒𝑥(sen⁡(2𝑥)−2cos⁡(2𝑥))+25.

Ejercicio 4

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =1 −𝑥2 y 𝑔(𝑥) =2𝑥2.

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Esboza el recinto que delimitan.
  2. Determina el área del recinto anterior.

Resolución
  1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔1−𝑥2=2𝑥2⇔3𝑥2=1⇔𝑥=±1√3. Por tanto, los puntos de corte son (−1√3,23) y (1√3,23). Representamos el recinto determinado por ambas funciones. Figura
  2. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como 2∫1√30(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫1√30(1−𝑥2−2𝑥2)𝑑𝑥=2∫1√30(1−3𝑥2)𝑑𝑥=2[𝑥−𝑥3]1√30==2(1√3−1√27)=2√3⋅23=43√3𝑢2.

Ejercicio 5

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1211111−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcula 𝐴−1.
  2. Calcula la matriz 𝑋 de orden 3 que verifica 𝐴𝑋 +(𝐴 −𝑋)2 =𝑋2 +𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣1211111−1−1∣=2. Como det(𝐴) ≠0, 𝐴 es invertible. Para hallar la inversa de la matriz, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝02−21−2310−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0112−20−23−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝012121−10−132−12⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Resolvemos la ecuación matricial. 𝐴𝑋+(𝐴−𝑋)2=𝑋2+𝐼⇔𝐴𝑋+(𝐴−𝑋)(𝐴−𝑋)=𝑋2+𝐼⇔𝐴𝑋+𝐴2−𝐴𝑋−𝑋𝐴+𝑋2=𝑋2+𝐼⇔⇔𝐴2−𝑋𝐴=𝐼⇔𝑋𝐴=𝐴2−𝐼⇔𝑋=(𝐴2−𝐼)𝐴−1⇔𝑋=𝐴−𝐴−1. Operando, 𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1211111−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝012121−10−132−12⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝132120212−52−12⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 6

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75% de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de minutos de la Fase I, 𝑦 al de la Fase II y 𝑧 al de la Fase III.

En primer lugar, si se dedica el 75% de las 8 horas de sueño a la fase NO-REM, es decir, 360 minutos, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=360.

Además, si el tiempo dedicado a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas, 𝑦=2(𝑥+𝑦).

Por último, si el tiempo dedicado a la Fase III es el cuádruple que el de la Fase I, 𝑧=4𝑥.

Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,𝑦=2(𝑥+𝑦),𝑧=4𝑥.⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,2𝑥−𝑦+2𝑧=0,4𝑥−𝑧=0.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113602−12040−10⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−2𝐹1←←←←←←←←←→𝐹3+𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113600−30−720510360⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=360,−3𝑦=−720,5𝑥+𝑦=360.

Por tanto, −3𝑦=−720⇔𝑦=240,5𝑥+𝑦=360𝑦=240←←←←←←←←→5𝑥+240=360𝑥→=24,𝑥+𝑦+𝑧=360𝑥=24←←←←←←←←→𝑦=24024+240+𝑧=360⇔𝑧=96. Así que se dedican 24 minutos a la Fase I, 240 minutos a la Fase II y 96 minutos a la Fase III.

Ejercicio 7

Considera las rectas 𝑟≡{𝑥=0,𝑧=0y𝑠≡{𝑥+𝑦=1,𝑥−𝑦=1.

  1. Determina la ecuación del plano que contiene a 𝑟 y es paralelo a 𝑠.
  2. Determina la ecuación del plano que contiene a 𝑟 y es perpendicular a 𝑠.

Resolución
  1. Llamamos 𝜋 al plano que nos piden. Como 𝜋 contiene a 𝑟 y es paralelo a 𝑠, ⃗𝑑𝑟 =(0,1,0) y ⃗𝑑𝑠 =(0,0,1) son dos vectores directores del plano. Además, el punto (0,0,0) pertenece al plano por ser un punto de 𝑟. Por tanto, las ecuaciones paramétricas del plano 𝜋 son 𝜋≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑦=𝜆,𝑧=𝜇.
  2. Llamamos 𝜏 al plano que nos piden. Como 𝜏 es perpendicular a 𝑠, ⃗𝑑𝑠 =(0,0,1) es el vector normal del plano. Además, como 𝑟 está contenida en 𝜏, el punto (0,0,0) pertenece al plano por ser un punto de 𝑟. Por tanto, la ecuación del plano es 𝜏≡𝑧=0.

Ejercicio 8

Considera los planos 𝜋1 ≡𝑥 +𝑦 +2 =0 y 𝜋2 ≡𝑥 −𝑧 −1 =0, así como la recta 𝑟≡{2𝑥+𝑧=1,𝑦=1.

  1. Calcula los puntos de la recta 𝑟 que equidistan de los planos 𝜋1 y 𝜋2.
  2. Halla el ángulo que forman los planos 𝜋1 y 𝜋2.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑟. Si 𝑥 =𝜆, 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=1,𝑧=1−2𝜆. Las distancias entre un punto genérico 𝑅(𝜆,1,1 −2𝜆) de la recta 𝑟 y cada uno de los planos vienen dadas por dist⁡(𝑅,𝜋1)=|𝜆+1+2||⃗𝑛1|=|𝜆+3|√2,dist⁡(𝑅,𝜋2)=|𝜆−(1−2𝜆)−2||⃗𝑛2|=|3𝜆−2|√2. Como queremos hallar los puntos de 𝑟 que equidisten de 𝜋1 y 𝜋2, dist⁡(𝑅,𝜋1)=dist⁡(𝑅,𝜋2)⇔|𝜆+3|√2=|3𝜆−2|√2⇔|𝜆+3|=|3𝜆−2|⇔{𝜆+3=3𝜆−2⇔𝜆=52,𝜆+3=−3𝜆+2⇔𝜆=−14. Por tanto, los puntos son (52,1,−4) y (−14,1,32).
  2. El coseno del ángulo 𝛼 que forman los planos 𝜋1 y 𝜋2 viene dado por cos⁡(𝛼)=|⃗𝑛1⋅⃗𝑛2||⃗𝑛1||⃗𝑛2|=12. Por tanto, el ángulo que forman es de 60º.