Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 la función definida como 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑎−𝑥 para 𝑥 ≠𝑎.

1. Calcula 𝑎 y 𝑏 para que la gráfica de 𝑓 pase por el punto (2,3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente -4.
2. Para el caso 𝑎 =2, 𝑏 =3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Calcula ∫𝜋20sen⁡(√𝑥)𝑑𝑥. Sugerencia: efectúa el cambio √𝑥 =𝑡.

Sean las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−10𝑚341−𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1032−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(5−34−3−22).

1. Indica los valores de 𝑚 para los que 𝐴 es invertible.
2. Resuelve la ecuación matricial 𝑋𝐴 −𝐵𝑡 =𝐶 para 𝑚 =0.

Considera las rectas 𝑟 y 𝑠 de ecuaciones 𝑥−1=𝑦=1−𝑧y{𝑥−2𝑦=−1,𝑦+𝑧=1.

1. Determina su punto de corte.
2. Halla el ángulo que forman 𝑟 y 𝑠.
3. Determina la ecuación del plano que contiene a 𝑟 y 𝑠.

Calcula lím𝑥→0⁡𝑒𝑥−𝑒sen⁡(𝑥)𝑥2.

Considera la función 𝑓 dada por 𝑓(𝑥) =5 −𝑥 y la función 𝑔 definida como 𝑔(𝑥) =4𝑥 para 𝑥 ≠0.

1. Esboza el recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 indicando sus puntos de corte.
2. Calcula el área de dicho recinto.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝑦+𝑧=𝜆+2,2𝑥−𝜆𝑦+𝑧=2,𝑥−𝑦+𝜆𝑧=𝜆.

1. Discútelo según los valores de 𝜆. ¿Tiene siempre solución?
2. Resuelve el sistema para 𝜆 = −1.

Los puntos 𝑃(2,0,0) y 𝑄( −1,12,4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice 𝑆 pertenece a la recta 𝑟 de ecuación {4𝑥+3𝑧=33,𝑦=0.

1. Calcula las coordenadas del punto 𝑆 sabiendo que 𝑟 es perpendicular a la recta que pasa por 𝑃 y 𝑆.
2. Comprueba si el triángulo es rectángulo.