Matemáticas de Selectividad

Halla 𝑎 y 𝑏 sabiendo que es continua la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida como 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+cos⁡(𝑥)−𝑎𝑒𝑥𝑥2,si 𝑥≠0,𝑏,si 𝑥=0.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) =|ln⁡(𝑥)| para 𝑥 >0.

1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =1.
2. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con la recta 𝑦 =1.
3. Calcula el área del recinto citado.

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01𝑚𝑚−10201−𝑚0⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Halla el valor, o valores, de 𝑚 para los que la matriz 𝐴 tiene rango 2.
2. Para 𝑚 =1, determina 𝐴2015.

Sean los planos 𝜋 ≡𝑥 +3𝑦 +2𝑧 −5 =0 y 𝜋′ ≡ −2𝑥 +𝑦 +3𝑧 +3 =0.

1. Determina el ángulo que forman 𝜋 y 𝜋′.
2. Calcula el volumen del tetraedro limitado por 𝜋 y los planos coordenados.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =(𝑥2 +3𝑥 +1)𝑒−𝑥.

1. Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Halla los puntos de la gráfica de 𝑓 cuya recta tangente es horizontal.
3. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Calcula ∫𝑒2𝑥sen⁡(𝑥)𝑑𝑥.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝛼𝑧=2,2𝑥+𝛼𝑦=𝛼+4,3𝑥+𝑦+(𝛼+4)𝑧=7.

1. Discute el sistema según los valores de 𝛼.
2. Resuelve el sistema para 𝛼 =2.

Sean el punto 𝑃(1,6, −2) y la recta 𝑟≡𝑥−56=𝑦+1−3=𝑧2.

1. Halla la ecuación general del plano 𝜋 que contiene al punto 𝑃 y a la recta 𝑟.
2. Calcula la distancia entre el punto 𝑃 y la recta 𝑟.