Matemáticas de Selectividad

1. En primer lugar, observamos que 𝑓 es continua y derivable en cada una de sus ramas para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏, con 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑎+𝑏(𝑥−1)2,si 𝑥<0,11+𝑥,si 𝑥≥0. Pasamos a estudiar su continuidad y derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =0.
   • Estudiamos la continuidad. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡𝑎𝑥+𝑏𝑥−1=−𝑏,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡ln⁡(1+𝑥)=0,𝑓(0)=0. Como 𝑓 es continua en 𝑥 =0, lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0)⇔−𝑏=0⇔𝑏=0.
   • Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡−𝑎(𝑥−1)2=−𝑎,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡11+𝑥=1. Como 𝑓 es derivable en 𝑥 =0, 𝑓′−(0)=𝑓′+(0)⇔−𝑎=1⇔𝑎=−1.
   Así que 𝑎 = −1 y 𝑏 =0.
2. • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 es 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−ln⁡(3)=13(𝑥−2)⇔𝑦=13𝑥−23+ln⁡(3).
   • La recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =2 tiene como pendiente −1𝑓′(2). Por tanto, su ecuación es 𝑦−𝑓(2)=−1𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−ln⁡(3)=−3(𝑥−2)⇔𝑦=−3𝑥+6+ln⁡(3).

En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑏cos⁡(𝑥)+2𝑐cos⁡(2𝑥).

• Si la función tiene un punto crítico en 𝑥 =𝜋, entonces 𝑓′(𝜋) =0. 𝑓′(𝜋)=0⇔−𝑏+2𝑐=0.
• Si la recta normal en 𝑥 =0 tiene pendiente −12, entonces −1𝑓′(0) = −12. −1𝑓′(0)=−12⇔𝑓′(0)=2⇔𝑏+2𝑐=2.
• Si 𝑦 = −12𝑥 +3 es la recta normal en 𝑥 =0, el punto (0,3) pertenece la función. Así que 𝑓(0) =3. 𝑓(0)=3⇔𝑎=3.

Planteamos el sistema de ecuaciones {−𝑏+2𝑐=0,𝑏+2𝑐=2. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que 4𝑐=2⇔𝑐=12. Por otro lado, si restamos las dos ecuaciones, −2𝑏=−2⇔𝑏=1.

Por tanto, 𝑎 =3, 𝑏 =1 y 𝑐 =12.

1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2ln⁡(𝑥)⋅1𝑥=2ln⁡(𝑥)𝑥. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔2ln⁡(𝑥)𝑥=0⇔ln⁡(𝑥)=0⇔𝑥=1. Estudiamos el signo de la derivada.

   	(0,1)	(1, +∞)
   signo de 𝑓′	−	+
   monotonía de 𝑓	→	→

   Por tanto, 𝑓 es creciente en (1, +∞) y decreciente en (0,1). Además, el punto (1,0) es un mínimo relativo.
2. Podemos representar la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =1 y 𝑥 =𝑒. El área de la región viene dada por ∫𝑒1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑒1ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥. En primer lugar, hallamos una primitiva de 𝑓 por partes. 𝑢=ln2⁡(𝑥)⇒𝑢′=2ln⁡(𝑥)𝑥,𝑣′=1⇒𝑣=𝑥. Entonces ∫ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑥ln2⁡(𝑥)−∫2ln⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑥ln2⁡(𝑥)−2𝑥ln⁡(𝑥)+2𝑥. Por último, calculamos el área de la región. ∫𝑒1ln2⁡(𝑥)𝑑𝑥=[𝑥ln2⁡(𝑥)−2𝑥ln⁡(𝑥)+2𝑥]𝑒1=𝑒−2𝑒+2𝑒−2=𝑒−2𝑢2.

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función 𝑓(𝑥)=11+√𝑒𝑥.

Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable 𝑡=√𝑒𝑥⇒𝑥=2ln⁡(𝑡),𝑑𝑥=2𝑡𝑑𝑡. De esta forma, ∫11+√𝑒𝑥𝑑𝑥=2∫1𝑡(1+𝑡)𝑑𝑡.

Expresamos el integrando como suma de fracciones simples. Se puede escribir como 1𝑡(1+𝑡)=𝐴𝑡+𝐵1+𝑡=𝐴+𝐴𝑡+𝐵𝑡𝑡(1+𝑡)=(𝐴+𝐵)𝑡+𝐴𝑡(1+𝑡). Igualando ambas expresiones, obtenemos que {𝐴+𝐵=0,𝐴=1⇒{𝐴=1,𝐵=−1. Por tanto, 1𝑡(1+𝑡)=1𝑡−11+𝑡.

Resolvemos la integral. 2∫1𝑡(1+𝑡)𝑑𝑡=2∫1𝑡𝑑𝑡−2∫11+𝑡𝑑𝑡=2ln⁡|𝑡|−2ln⁡|1+𝑡|=𝑥−2ln⁡|1+√𝑒𝑥|.

Por último, calculamos la integral definida. ∫2011+√𝑒𝑥𝑑𝑥=[𝑥−2ln⁡|1+√𝑒𝑥|]20=2−2ln⁡(1+𝑒)+2ln⁡(2)=2+2ln⁡(21+𝑒).

1. Como se trata de un sistema homogéneo, sabemos que es compatible. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1123−1−2−12𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para que el sistema sea compatible indeterminado necesitamos que el rango de 𝐴 sea menor que el número de incógnitas, por el teorema de Rouché-Frobenius. Es decir, su determinante ha de ser nulo. Además, observamos que ∣113−1∣=−4≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Calculamos el determinante de 𝐴. |𝐴|=∣1123−1−2−12𝑚∣=−4𝑚+16. Así que rang⁡(𝐴)=2⇔|𝐴|=0⇔−4𝑚+16=0⇔𝑚=4. Por tanto, para 𝑚 =4 el sistema tiene infinitas soluciones. Como para este valor del parámetro el rango de 𝐴 es 2, el sistema se puede reducir a {𝑥+𝑦+2𝑧=0,3𝑥−𝑦−2𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que 4𝑥=0⇔𝑥=0. Si tomamos 𝑧 =𝜆, entonces 𝑥+𝑦+2𝑧=0𝑥=0←←←←←←←→𝑧=𝜆𝑦+2𝜆=0⇔𝑦=−2𝜆. Por tanto, la solución del sistema es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑦=−2𝜆,𝑧=𝜆,𝜆∈ℝ.
2. Si 𝑚 =2, el sistema es compatible determinado por el apartado anterior y como es homogéneo su única solución es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0. Por tanto, no existe ninguna solución con 𝑧 =1.

1. Calculamos el determinante. Como 𝐴 es de orden 3, ∣13𝐴−1𝐴𝑡∣=(13)3⋅|𝐴|−1⋅|𝐴|=127⋅12⋅2=127.
2. Calculamos el primer determinante. ∣6𝑐2𝑏2𝑎3𝑓𝑒𝑑921∣=2⋅∣3𝑐𝑏𝑎3𝑓𝑒𝑑921∣=3⋅2⋅∣𝑐𝑏𝑎𝑓𝑒𝑑321∣=−6⋅∣𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓123∣=−12. Calculamos ahora el segundo determinante. ∣2𝑎−2𝑏𝑐𝑏2𝑑−2𝑒𝑓𝑒−232∣=2⋅∣𝑎−𝑏𝑐𝑏𝑑−𝑒𝑓𝑒−132∣=2⋅∣𝑎𝑐𝑏𝑑𝑓𝑒132∣+2⋅∣−𝑏𝑐𝑏−𝑒𝑓𝑒−232∣=2⋅∣𝑎𝑐𝑏𝑑𝑓𝑒132∣=−2⋅∣𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓123∣=−4.

Como dos lados de un cuadrado están en 𝑟 y 𝑠, las dos rectas son necesariamente paralelas. Además, el lado del cuadrado tiene que coincidir con la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Para hallar la distancia entre dos las rectas, podemos trazar un plano 𝜋 perpendicular a 𝑟 y 𝑠 que pase por el punto 𝑃(0, −2,1) de 𝑟. Esta recta cortará a 𝑠 en un punto 𝑄, de forma que dist⁡(𝑟,𝑠) =dist⁡(𝑃,𝑄).

Si 𝜋 es perpendicular a 𝑟, su vector normal es ⃗𝑛𝜋 =⃗𝑑𝑟 =(1,2,1). Así que la ecuación del plano 𝜋 es 𝜋≡𝑥+2(𝑦+2)+𝑧−1=0⇔𝑥+2𝑦+𝑧=−3. Calculamos el punto 𝑄 =𝜋 ∩𝑠. Para ello, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de 𝑠 y la ecuación de 𝜋 usando el método de Gauss. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+𝑧=2,3𝑥−𝑦−𝑧=−4,𝑥+2𝑦+𝑧=−3𝐹2=𝐹2−3𝐹1←←←←←←←←←←←←←←←←→𝐹3=𝐹3−𝐹1⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+𝑧=2,2𝑦−4𝑧=−10,3𝑦=−5⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−43,𝑦=−53,𝑧=53. Por tanto, el punto de corte es 𝑄(−43,−53,53). Por último, calculamos la distancia de 𝑟 a 𝑠 como el módulo del vector ⃗𝑃𝑄 =(−43,−13,23). dist⁡(𝑟,𝑠)=dist⁡(𝑃,𝑄)=|⃗𝑃𝑄|=√(43)2+(13)2+(23)2=√219=√213𝑢. Luego el área del cuadrado es (√213)2=219=73𝑢2.

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si 𝑧 =𝜆, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2−𝜆,𝑦=−1+𝜆,𝑧=𝜆. Así que su vector director es ⃗𝑑𝑠 =( −1,1,1). Por otro lado, el vector director de 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(1,1,𝑚). Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales para ningún valor de 𝑚, porque 1−1≠11. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(1,1,2) de 𝑟 y un punto 𝑆(2, −1,0) de 𝑠. Podemos determinar si las dos rectas están contenidas en un plano estudiando si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =(1, −2, −2) son linealmente dependientes. ∣11𝑚−1111−2−2∣=−2+1+2𝑚−𝑚−2+2=𝑚−1. Observamos que 𝑚−1=0⇔𝑚=1.
   • Si 𝑚 =1, los tres vectores son linealmente dependientes, por lo que 𝑟 y 𝑠 están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cortan.
   • Si 𝑚 ≠1, los tres vectores son linealmente independientes, por lo que 𝑟 y 𝑠 no están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzan.
2. Si 𝑚 =1, ⃗𝑑𝑟 =(1,1,1). El coseno del ángulo 𝛼 que forman las rectas 𝑟 y 𝑠 viene dado por cos⁡(𝛼)=|⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑑𝑠||⃗𝑑𝑟||⃗𝑑𝑠|=1√3⋅√3=13.