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📋 Julio de 2024

Ejercicio 1

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑎+𝑏cos⁡(𝑥)+𝑐sen⁡(𝑥). Halla 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa 𝑥 =𝜋2 a la recta 𝑦 =1 como recta tangente, y que la recta 𝑦 =𝑥 −1 corta a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Resolución

En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=−𝑏sen⁡(𝑥)+𝑐cos⁡(𝑥).

  • Si la recta tangente en 𝑥 =𝜋2 tiene pendiente 0, entonces 𝑓′(𝜋2) =0. 𝑓′(𝜋2)=0⇔−𝑏=0⇔𝑏=0.
  • Si 𝑦 =1 es la recta tangente en 𝑥 =𝜋2, el punto (𝜋2,1) pertenece a la función. Así que 𝑓(𝜋2) =1. 𝑓(𝜋2)=1⇔𝑎+𝑐=1.
  • Si 𝑦 =𝑥 −1 corta a la función en 𝑥 =0, el punto (0, −1) pertenece a la función. Así que 𝑓(0) = −1. 𝑓(0)=−1⇔𝑎+𝑏=−1𝑏=0←←←←←→𝑎=−1.

Como 𝑎 = −1, sustituyendo en la segunda ecuación 𝑎+𝑐=1𝑎=−1←←←←←←←→𝑐=2.

Por tanto, 𝑎 = −1, 𝑏 =0 y 𝑐 =2.

Ejercicio 2

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥)=(𝑥−12)𝑒−𝑥2.

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
  2. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑒−𝑥2+(𝑥−12)𝑒−𝑥2⋅(−2𝑥)=𝑒−𝑥2−2𝑥2𝑒−𝑥2+𝑥𝑒−𝑥2=𝑒−𝑥2(−2𝑥2+𝑥+1). Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔𝑒−𝑥2(−2𝑥2+𝑥+1)=0⇔−2𝑥2+𝑥+1=0⇔{𝑥=−12,𝑥=1. Estudiamos el signo de 𝑓′ para determinar si se tratan de extremos.
    • Si 𝑥 < −12, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
    • Si −12 <𝑥 <1, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (−12,1) y decreciente en (−∞,−12) ∪(1, +∞).
  2. Por el apartado anterior, el punto (1,12𝑒) es un máximo relativo y (−12,−14√𝑒) es un mínimo relativo. Veamos si alguno de estos extremos es absoluto. Por un lado, observamos que lím𝑥→−∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−∞⁡(𝑥−12)𝑒−𝑥2=0, así que 𝑓 no alcanza valores inferiores a −14√𝑒. Por tanto, (−12,−14√𝑒) es un mínimo absoluto. Por otro lado, como lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(𝑥−12)𝑒−𝑥2=0, la función no alcanza valores superiores a 12𝑒. Por tanto, (1,12𝑒) es un máximo absoluto.

Ejercicio 3

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +7 y 𝑔(𝑥) =|𝑥2 −1|.

  1. Halla los puntos de intersección de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
  2. Calcula el área de dicho recinto.

Resolución
  1. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔−𝑥2+7=|𝑥2−1|⇔{−𝑥2+7=𝑥2−1⇔2𝑥2=8⇔𝑥=±2,−𝑥2+7=−𝑥2+1⇔6=0. Por tanto, los puntos de corte son ( −2,3) y (2,3). Representamos el recinto determinado por ambas funciones. Figura
  2. En primer lugar, podemos expresar la función 𝑔 como función a trozos. 𝑔(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−1,si 𝑥≤−1,−𝑥2+1,si −1<𝑥<1,𝑥2−1,si 𝑥≥1. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como 2(∫10(−𝑥2+7−(−𝑥2+1))𝑑𝑥+∫21(−𝑥2+7−(𝑥2−1))𝑑𝑥)=2∫106𝑑𝑥+2∫21(−2𝑥2+8)𝑑𝑥==2[6𝑥]10+2[−23𝑥3+8𝑥]21=2⋅6+2⋅(−163+16−(−23+8))=563𝑢2.

Ejercicio 4

Halla ∫𝜋20𝑒𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥cos⁡(𝑥). Resolvemos la integral por partes. 𝑢=cos⁡(𝑥)⇒𝑢′=−sen⁡(𝑥),𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Entonces ∫𝑒𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥cos⁡(𝑥)+∫𝑒𝑥sen⁡(𝑥)𝑑𝑥. Integramos de nuevo por partes. 𝑢=sen⁡(𝑥)⇒𝑢′=cos⁡(𝑥),𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Luego ∫𝑒𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥cos⁡(𝑥)+∫𝑒𝑥sen⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥cos⁡(𝑥)+𝑒𝑥sen⁡(𝑥)−∫𝑒𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥. Despejando la integral en la expresión anterior, obtenemos que 2∫𝑒𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)+sen⁡(𝑥))⇔∫𝑒𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=12𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)+sen⁡(𝑥)).

Por último, calculamos la integral definida. ∫𝜋20𝑒𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=12[𝑒𝑥(cos⁡(𝑥)+sen⁡(𝑥))]𝜋20=12(𝑒𝜋2−1).

Ejercicio 5

Considera la matriz 𝐴=(−1001).

  1. Halla todas las matrices 𝑋 que cumplen 𝑋𝐴 = −𝐴𝑋𝑡 y 𝑋2 =𝐼, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 2.
  2. Halla todas las matrices 𝑌 que cumplen 𝑌𝐴 =𝐴𝑌, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante -1.

Resolución
  1. Llamamos 𝑋=(𝑎𝑏𝑐𝑑).
    • Como cumple que 𝑋𝐴 = −𝐴𝑋𝑡, 𝑋𝐴=−𝐴𝑋𝑡⇔(𝑎𝑏𝑐𝑑)(−1001)=(100−1)(𝑎𝑐𝑏𝑑)⇔(−𝑎𝑏−𝑐𝑑)=(𝑎𝑐−𝑏−𝑑)⇔⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑎=−𝑎,𝑏=𝑐,−𝑐=−𝑏,𝑑=−𝑑⇔{𝑎=𝑑=0,𝑏=𝑐.
    • Como además 𝑋2 =𝐼, 𝑋2=𝐼⇔(0𝑏𝑏0)(0𝑏𝑏0)=(1001)⇔(𝑏200𝑏2)=(1001)⇔𝑏2=1⇔𝑏=±1.
    Por tanto, las matrices son 𝑋1=(0−1−10)y𝑋2=(0110).
  2. Llamamos 𝑌=(𝑎𝑏𝑐𝑑).
    • Como cumple que 𝑌𝐴 =𝐴𝑌, 𝑌𝐴=𝐴𝑌⇔(𝑎𝑏𝑐𝑑)(−1001)=(−1001)(𝑎𝑏𝑐𝑑)⇔(−𝑎𝑏−𝑐𝑑)(−𝑎−𝑏𝑐𝑑)⇔⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑎=−𝑎,𝑏=−𝑏,−𝑐=𝑐,𝑑=𝑑.⇔𝑏=𝑐=0.
    • Como además la suma de los elementos de su diagonal principal es cero, 𝑎+𝑑=0⇔𝑑=−𝑎.
    • Por último, como su determinante es -1, |𝑌|=−1⇔∣𝑎00−𝑎∣=−1⇔−𝑎2=−1⇔𝑎=±1.
    Por tanto, las matrices son 𝑌1=(−1001)y𝑌2=(100−1).

Ejercicio 6

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2.200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1.250 euros.

  1. ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C?
  2. Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es 25 del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?

Resolución

Llamamos 𝑥 al precio de un perfume de tipo A, 𝑦 al de tipo B y 𝑧 al de tipo C.

Un pedido de 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C tiene un coste de 2.200 euros, así que 20𝑥+30𝑦+15𝑧=2.200⇔4𝑥+6𝑦+3𝑧=440. Además, como otro pedido de 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C cuesta 1.250 euros, 15𝑥+10𝑦+10𝑧=1.250⇔3𝑥+2𝑦+2𝑧=250.

  1. Podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales {4𝑥+6𝑦+3𝑧=440,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. (463440322250)2𝐹1−3𝐹2←←←←←←←←←←→(−160130322250). El sistema resultante es {−𝑥+6𝑦=130,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250. Si 𝑦 =𝜆, entonces −𝑥+6𝑦=130⇔𝑥=6𝑦−130𝑦=𝜆←←←←←←→𝑥=6𝜆−130,3𝑥+2𝑦+2𝑧=250⇔𝑧=250−3𝑥−2𝑦2𝑥=6𝜆−130←←←←←←←←←←←←→𝑧=𝜆𝑧=250−18𝜆+390−2𝜆2=320−10𝜆. Así que el precio de un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C se puede calcular como 25𝑥+10𝑦+16𝑧=25⋅(6𝜆−130)+10𝜆+16⋅(320−10𝜆)=150𝜆−3.250+10𝜆+5.120−160𝜆=1.870. Por tanto, el precio total es de 1.870€.
  2. Si el precio de un perfume de tipo C es 25 del precio de uno de tipo A, entonces 𝑧=25𝑥⇔2𝑥=5𝑧. Así que 2⋅(6𝜆−130)=5⋅(320−10𝜆)⇔12𝜆−260=1.600−50𝜆⇔𝜆=30. Así que 𝑥=6⋅30−130=50,𝑦=30,𝑧=320−10⋅30=20. Por tanto, el precio de un perfume de tipo A es de 50€, el de uno de tipo B de 30€ y el de uno de tipo C de 20€.

Ejercicio 7

Considera el plano 𝜋 ≡𝑥 −2𝑦 +𝑧 −2 =0 y la recta 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+2𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=1,𝜆∈ℝ.

  1. Estudia la posición relativa de 𝜋 y 𝑟.
  2. Calcula la ecuación de la recta contenida en 𝜋 que pasa por el punto 𝑃(2, −1, −2) y es perpendicular a 𝑟.

Resolución
  1. El vector normal del plano 𝜋 es ⃗𝑛 =(1, −2,1) y el vector director de la recta 𝑟 es ⃗𝑑𝑟 =(2,1,0). Observamos que ⃗𝑛⋅⃗𝑑𝑟=(1,−2,1)⋅(2,1,0)=0⇒⃗𝑛⟂⃗𝑑𝑟. Así que la recta 𝑟 es paralela al plano 𝜋 o está contenida en él. Tomamos un punto 𝑅(1,0,1) de 𝑟 y comprobamos si pertenece al plano. 1−2⋅0+1−2=0. Como 𝑅 está en el plano 𝜋, la recta 𝑟 está contenida en el plano.
  2. Llamamos 𝑠 a la recta que queremos hallar. Como la recta 𝑠 está contenida en 𝜋 y es perpendicular a 𝑟, el vector director de 𝑠 tiene que ser perpendicular a ⃗𝑛 y a ⃗𝑑𝑟. Así que ⃗𝑑𝑠=⃗𝑛×⃗𝑑𝑟=∣ ∣ ∣ ∣⃗𝑖⃗𝑗⃗𝑘1−21210∣ ∣ ∣ ∣=(−1,2,5). Además, el punto 𝑃(2, −1, −2) pertenece a la recta. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠 son 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2−𝜇,𝑦=−1+2𝜇,𝑧=−2+5𝜇.

Ejercicio 8

Considera los puntos 𝐴(4,0,0) y 𝐵(0,2,0). Calcula los puntos del plano 𝑂𝑋𝑍 que forman un triángulo equilátero con 𝐴 y 𝐵.

Resolución

Llamamos 𝐶(𝑎,𝑏,𝑐) al punto que nos piden. Como 𝐶 está en el plano 𝑂𝑋𝑍, entonces 𝑏 =0.

Como queremos que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 sea equilátero, las distancias entre los vértices tienen que ser iguales. Calculamos las distancias mediante los vectores ⃗𝐴𝐵 =( −4,2,0), ⃗𝐴𝐶 =(𝑎 −4,0,𝑐) y ⃗𝐵𝐶 =(𝑎, −2,𝑐). dist⁡(𝐴,𝐵)=|⃗𝐴𝐵|=√42+22=√20,dist⁡(𝐴,𝐶)=|⃗𝐴𝐶|=√(𝑎−4)2+𝑐2=√𝑎2−8𝑎+16+𝑐2,dist⁡(𝐵,𝐶)=|⃗𝐵𝐶|=√𝑎2+22+𝑐2=√𝑎2+4+𝑐2. Así que {√𝑎2−8𝑎+16+𝑐2=√20,√𝑎2+4+𝑐2=√20⇔{𝑎2−8𝑎+16+𝑐2=20,𝑎2+4+𝑐2=20⇔{𝑎2−8𝑎+𝑐2=4,𝑎2+𝑐2=16. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que −8𝑎=12⇔𝑎=32. Despejando y sustituyendo en la segunda ecuación, 𝑎2+𝑐2=16⇔𝑐=√16−𝑎2𝑎=3/2←←←←←←←←→𝑐=±√552. Por tanto, los puntos son 𝐶1(32,0,−√552) y 𝐶2(32,0,√552).